第五章 样本及抽样分布1

X1 , X 2 ,
, X 10 是来自总体X 的样本, 求 , X 10 的联合概率密度; , X 10 分别为10块独立工作的电路板
(1) X 1 , X 2 , (2)设X 1 , X 2 , 的概率.
的寿命(以年计)，求10块电路板的寿命都大于2
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从历史的典籍中，人们不难发现许多关于 钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说 明人们很早就开始了统计的工作。 但是当时的统计，只是对有关事实的简单 记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作 出超越这些数据范围之外的推断。
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根据定义得:
若 X1 , X 2 , , X n 为总体X 的一个样本, 且X的分布函数为F
则 X1 , X 2 ,, X n 的联合分布函数为
F * ( x1 , x2 , , xn ) F ( xi ).
i 1 n
又若 X 具有概率密度 f ,
成绩分组 [0,60） [60,70） [70,80） [80,90） [90,100] 6 11 16 23 4 人 7班 数 9班 3 8 13 8 5 9 19 29 31 9 合班 合计 60 37 97
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从总体中抽取样本可以有不同的抽法，为了能由样 本对总体作出较可靠的推断，就希望样本能很好的 代表总体.这就需要对抽样方法提出一些要求. 最常用的“简单随机抽样”有如下两个要求： 样本具有随机性，即要求总体中每一个个体都有 同等机会被选入样本，这便意味着每一样品xi与总 体X 有相同的分布. 样本要有独立性，即要求样本中每一样品的取 值不影响其他样品的取值，这意味着 X1, X2, …,Xn , 相互独立. 6.简单随机样本：用简单随机抽样方法得到的样本 称为简单随机样本，简称样本。
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例5.1 考察某厂的产品质量，将其产品只分为合 格品与不合格品，并以0记合格品，以1记不合格 品，则 总体={该厂生产的全部合格品与不合格品} ={由0或1组成的一堆数} 若以 p表示这堆数中1的比例（不合格品率），则 该总体可由一个二点分布表示： X P 0 1－ p 1 p
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中位数： 将一组数据按照大小顺序排列，如果数据的个 数是奇数，则处于中间位置的一个数是这组数据的 中位数;如果数据的个数是偶数，则处于中间位置 的两个数椐的平均数就是这组数据的中位数;
例如，500 600 600 600 600 750 800 900 2000 3000
n左右为佳. 本例分为5组.
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160 175 161 156
2.确定组距；
196 178 168 170
164 166 166 157
148 181 162 162
170 162 172 154
极差 样本最大观测值 - 样本最小观测值 组距= = 组数 组数
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数理统计学是一门关于数据收集、整理、 分析和推断的科学。在概率论中已经知道， 由于大量的随机试验中各种结果的出现必然 呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随 机现象进行足够多次观察，各种结果的规律 性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的 观察永远是有限的，甚至是少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次品，如何确定次品率？
196-148 本例 组距= =9.6,为研究方便，取组距为10. 5
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160 175 161 156
196 178 168 170
164 166 166 157
148 181 162 162
170 162 172 154
3.确定组限及组中值；
各组区间端点为 a0 , a0 d a1 , a0 2d a2 , , a0 kd ak , 形成如下的分组区间 (a0 , a1 ],(a1 , a2 ], ,(ak -1 , ak ], 其中a0略小于最小观测值, ak 略大于最大观测值. 本例取a0 =147, a5 =197,于是分组区间为 (147,157],(157,167],(167,177],(177,187],(187,197].
则 X1 , X 2 ,, X n 的联合概率密度为
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ).
i 1 n
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例5.3 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分布,
x 1 e - , x 0, 其概率密度为f ( x ) 0, 其他.
650
这组数据的中位数
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• 中位数的作用和意义： 中位数也是用来描述数据的集中趋势的，它 是一个位置代表值。如果知道一组数据的中位数， 那么可以知道，小于或大于这个中位数的数据约 各占一半。
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2.用数字描述数据集 算术平均值 用来描述数据集中心的度量 中位数 截尾均值 用来描述数据集分散性的度量 方差、标准差 极差 3.五数概括、箱线图
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频数频率分布表 样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的 最常用方法之一是给出其频数分布或频率分布表.
组序 1 2 65 11 18.3% 8 21.6% 19 19.6% 3 75 16 26.7% 13 35.2% 29 29.9% 4 85 23 38.3% 8 21.6% 31 31.9% 5 合计
直方图 横坐标表示所关心变量 的取值区间，纵坐标表 示频数，这样就得到频 数直方图.若把纵轴改成 频率就得到频率直方图.
9班概率论成绩直方图
频率
60 70 80 90 100
x
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例 为研究某厂工人生产某种产品的能力，我 们随机调查了20名工人某天生产的该种产品的 数量，数据如下 160 175 161 156 196 178 168 170 164 166 166 157 148 181 162 162 170 162 172 154
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160 175 161 156
按成绩分组
组中值 7 班 9 班 合 班 人数 频率 人数 频率 人数 频率
60以下
55 6 10% 3 8.1% 9 9.3%
[60,70） [70,80） [80,90）
[90,100]
95 4 6.7% 5 13.5% 9 9.3% 60 1 37 1 97 1
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当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近 似地将它看成是无限总体. 抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中 有大有小，有的出现机会多，有的出现的机会少. 因此，用一个概率分布来描述和归纳总结总体是 恰当的. 从这个意义看，总体就是一个分布而其数量 指标就是服从这个分布的随机变量.
对这20个数据（样本）进行整理，具体步骤 如下：
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160 175 161 156
196 178 168 170
164 166 166 157
148 181 162 162
170 162 172 154
1.对样本进行分组，确定组数； 根据研究目的和样本含量n确定分组数，一般取
统计学分为两大类：描述统计和推断统计.
点图 1.用图形来显示数据 茎叶图 直方图
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2.用数字描述数据集 算术平均值 用来描述数据集中心的度量 中位数 截尾均值 用来描述数据集分散性的度量 方差、标准差 极差
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概 率 论 与 数 理 统 计
Key words： • 总体 2 分布 • 个体 t 分布 • 样本 F 分布 • 统计量
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Байду номын сангаас
现在转入课程的第二部分
数理统计
数理统计的特点是应用面广，分支较多, 社会的发展不断向统计提出新的问题。
到了十九世纪末二十世纪初，随着近代 数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统 计学这门学科.
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数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是 研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有 随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和 预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和 建议.
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4.抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察 的取值过程. 5.总体的随机样本：从总体中随机抽取的n个个体的 集合. n 称为样本容量.样本中的个体称为样品. 随机样本具有所谓的两重性：一方面，由于样本是从 总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因 此，样本是随机变量，用大写字母X1,X2, …,Xn表示; 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测 值，因此，样本又是一组数值，此时，用小写字母x1, x2, …, xn表示是恰当的，它们被称为是样本值;
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不同的p反映了总体间的差异. 譬如，两 个生产同类产品的工厂的产品总体分布为 X P 0 1 X P 0 1
0.983 0.017
0.915 0.085
显然，第一个工厂的产品质量优于第二个工厂. 实际上，分布中的不合格率是未知的，如何 对之进行估计是统计学要研究的问题.
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一、总体和样本 1.总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 2.个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 3.总体的容量：总体中所包含的个体的个数. 有限总体：容量有限 无限总体：容量无限
例：某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中, 个 体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总 体; 而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个 无限总体, 它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.
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计算机的诞生与发展，为数据处理提供了 强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合 是必然的发展趋势. 学习统计无须把过多时间花在计算上，可以 更有效地把时间用在基本概念、方法原理的正确 理解上. 国内外著名的统计软件包： SAS， SPSS，STAT等，都可以让你快速、简便地进行 数据处理和分析.
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概率论与数理统计是两个有密切联系的学 科,它们都以随机现象的统计规律为研究对象. 但在研究问题的方法上有很大区别： 概率论 —— 已知随机变量服从某分布,寻求 分布的性质、数字特征、及其应用; 数理统计 —— 通过对试验数据的统计分 析,寻找其所服从的分布和数字特征, 从而推断 总体的规律性. 数理统计的核心问题——由样本推断总体
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例5.2 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640g， 由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒净含量 均为640g，现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测 定其净含量，得到如下结果： 641 635 640 637 642 638 645 643 643 639 640 这是一个容量为10的样本的观测值，对应的总体为 该厂生产的瓶装啤酒的净含量. 例5.3 分组样本：