电工学第二章 正弦交流电路
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电工学-正弦交流电路
O
f 而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故
XL 与 f 的关系 可视为开路。
2.3.3 电容元件的交流电路
1. 电压电流关系 i
+
u
C
–
i
u Um sint i Im sin( t 90 )
+j •
u
I
波 形O 图
电流超前电压 90 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
t
U XCI U jXC I
2.1 正弦电压与电流 I, U
直流电路在稳定状态下电流、电压的大
小和方向是不随时间变化的，如图所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性
变化的，其波形如图示。
O u, i
t
电路图上所标的方向是指它们的参考
方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于的参考方向与实际方
+
向相反，所以为负值。
实
i
O i
t
际 方
第 2 章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
•
UL
为正
时电路 中电压 电流相 量图
•
• UL UC
•
U
•
UR
•
UC
的大小和正负由
中南大学电工学第2章正弦交流电路_02
例3 电路如图所示，图中各仪表均为交流电流表，其读数是 电路如图所示，图中各仪表均为交流电流表， 电流表的有效值。已知A 的读数为8A 8A， 的读数为60A 60A， 电流表的有效值。已知A1的读数为8A，A2的读数为60A，A3的 读数为66A 求电流表A 66A。 的读数，并画出相量图。 读数为66A。求电流表A和A4的读数，并画出相量图。 I4 I 解：由于电路为并联电 A A4 A3 路，则可设 I3 + A1 A2 US= US 0 V 1 US I1 I j L ω R j L 2 ω 则由已知条件得 I1= 8 0 A， 2= 60 -90 A，I3= 66 90 A ， I ， 根据KCL有 有 根据 I4= I2+I3= 60 -90 +66 90 =6 90 A I= I1+I4= 8 0 +6 90 =10 36.9 A 故表A的读数为 的读数为6A。 故表 的读数为10A，表A4的读数为 。 的读数为 ， 的读数为 相量图如图。 相量图如图。 I2 I2 I4 I I1 US I3
▲额定视在功率 额定视在功率 SN = UN IN —— 额定容量 ▲有功功率守恒 有功功率守恒: 有功功率守恒 P = ∑Pi =∑ Ui Ii cosϕ i ▲无功功率守恒 无功功率守恒: 无功功率守恒 Q = ∑Q i = ∑ Ui Ii sinϕ i ▲视在功率不守恒 视在功率不守恒: 视在功率不守恒 S ≠∑S i =∑ Ui Ii
& I 1 = 10 90 ° A = j10 A & & & I = I 1 + I 2 = 10 0 ° A
& & U L = I ( j10 )V = j100 V
电工学 正弦交流电
相量
复数表示法 复数运算
相量的复数表示—相量式
将复数 A 放到复平面上，可如下表示：
j
•
A
A a2 b2
bU
tan 1 b
+1
a
a
A a jb A c o s jA sin
•
A
b A
a
欧 拉
cos
e j e j 2
公 式
sin
e j
e j
2j
A a jb A(cos jsin )
t
i i 领先于
1
2
相 位
i1
落 后
2 1
i2
120 t i i1 落后于 2
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
uA uB uC
t
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如： u1 2U 1sin t1 u2 2U 2sin t2
uu1u2
2U1sin t1 2U2sin t2 2Usin t 幅度、相位变化
复数
瞬时值
正误判断
已知： i1s0i n t4 ()5
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ Im10e45
正误判断
已知： u2 1s0i(n t 1)5
则：
U10？15
？ U 1 0ej15
正误判断
已知： I10 5 00
则： i 1
Im 2I102 0
代数式
A e j
指数式
A
极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算 • 设： A 1 a 1 j b1 • A 2 a 2 jb2
则：
•• •
电工学试题库
第二章 正弦交流电路 习题参考答案一、填空题：1. 表征正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；表征正弦交流电随时间变化快慢程度的量是 角频率ω ；表征正弦交流电起始位置时的量称为它的 初相 。
三者称为正弦量的 三要素 。
2.电阻元件上任一瞬间的电压电流关系可表示为 u = iR；电感元件上任一瞬间的电压电流关由上述三个关系式可得， 电阻 元件为即时元件； 电感 和 电容 元件为动态元件。
3. 在RLC 串联电路中，已知电流为5A ，电阻为30Ω，感抗为40Ω，容抗为80Ω，那么电路的阻抗为 50Ω ，该电路为 容 性电路。
电路中吸收的有功功率为 450W ，吸收的无功功率又为 600var 。
二、 判断题：1. 正弦量的三要素是指最大值、角频率和相位。
（错）2. 电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率等于零。
（对）3. 因为正弦量可以用相量来表示，所以说相量就是正弦量。
（错）4. 电压三角形是相量图，阻抗三角形也是相量图。
（错）5. 正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。
（错）6. 一个实际的电感线圈，在任何情况下呈现的电特性都是感性。
（错）7. 串接在正弦交流电路中的功率表，测量的是交流电路的有功功率。
（错）8. 正弦交流电路的频率越高，阻抗越大；频率越低，阻抗越小。
（错）三、选择题：1. 某正弦电压有效值为380V ，频率为50Hz ，计时始数值等于380V ，其瞬时值表达式为（ B ） A 、V ；B 、V ；C 、V 。
2. 一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的最大值为（ D ） A 、7.07V ； B 、5V ； C 、14V ； D 、10V 。
3. 提高供电电路的功率因数，下列说法正确的是（ D ）A 、减少了用电设备中无用的无功功率；B 、减少了用电设备的有功功率，提高了电源设备的容量；C 、可以节省电能；D 、可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗。
第 章 正弦交流电路教案
•
I 2 = 10╱-45ºA=[10cos(- 45º)+10jsin(- 45º)]A=（7.07–j7.07 ）A
合成电流的相量为
•
•
•
I = I 1 + I 2 =（5╱30º+10╱-45º）A=[(4.33+7.07)+j(2.5–7.07)]A
= 11.42 + 4.532 ╱arctan - 4.53 A=12.27╱-21.65ºA 11.4
正弦交流电的三个特征量——三要素。
波形图如图 2-1 所示。
30
图 2-1 正弦交流电的波形图
1．正弦交流电的周期、频率和角频率——表示交流电变化快慢 周期：正弦交流电量重复变化一次所需的时间，单位是秒（s），或者是毫秒（ms）和 微秒（µs）。1ms=10-3s，1µs=10-6s。 频率：正弦交流电在每秒钟内变化的周期数，用 f 表示，单位是赫[兹]（Hz），1Hz 表示 每秒变化一个周期，周期和频率的关系是
±1800 之间，故采用后一角度。
•
•
方法 2。用相量图求合成电流的幅值和幅角，作图如图 2-6 所示，合成电流是 I 1 和 I 2 ，
两相量所作平行四边形的对角线，它与横轴正方向的夹角即为初相位。
第二次课：
图 2-6 例 2-4 相量图
2.2 单一参数交流电路
2.2.1 纯电阻电路
如果电路中电阻作用突出，其他参数的影响可忽略不计，则此电路称为纯电阻电路。 1． 电压和电流的关系 将纯电阻接入交流电源，并设电流和电压的正方向相同，如图 2-7 所示。为方便起见， 现选择电流为参考量，即设
U1m = 2U1 = (1.41× 220) V ≈ 311V
04电工(第2章交流2RLC串联电路,交流电路分析,功率因数提高)
消耗有功功率为： P PR UI cos
当U、P 一定时 cos
I
供电线路功耗
希望将cos 提高
供电局一般要求用户的cos >0.85 ，否则受处罚
常用电路的功率因数
纯电阻电路
纯电感电路或 纯电容电路
cos 1 ( 0) cos 0 ( 90)
R-L-C串联电路
电动机 空载 满载
0 cos 1
第4讲
第2章 正弦交流电路
2.4 正弦交流电路的分析计算 2.5 正弦交流电路的功率
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编
海南风光
本课内容
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦电压与电流 2.1.1正弦量的参考方向和电源模型 2.1.1 周期、频率和角频率 2.1.2 相位、初相位和相位差 2.1.3 最大值和有效值
例3（教材例2.20）
已知： R1 、R2、R3 、R4 、L、C、u、i、，求支路电流i1、 i2 、i3 。
A
A
R1 i1 R2 i2 R3 i3 R4
R1
I1 R2
I2 R3
I3 R4
u
+
L
+ C uS
相量模型
i
-
U
-
+
+
jX L
jX
US
C-
I
B
B
结点电位法
U I
VA 1
R1 1
1
R1 R2 jX L R3 jX C
i 2I sint
u 2U sin(t )
UIZ
Z
R2
X
2 L
i
+
+
正弦交流电路
幅值（最大值）、有效值：表示正弦量的大小 周期、频率、角频率：表示正弦量的变化速度 初相位：给出观察正弦量的起始点
目录
正弦交流电的基本概念 正弦量的向量表示法 单一参数的交流电路 RLC串联交流电路 阻抗的串并联
正弦量的相量表示法
●瞬时值表达式（三角函数表达式）
●波形图
i 2I sin(wt )
例
u1 4 2 sin wt 60
u2 3 2 sin wt 30
U2
ua u1 u2 ub u1 u2
U a U1 U 2 523
ua 5 2 sin wt 23
U b U1 U 2 597
ub 5 2 sin wt 97
Ub
5
U1
4
Ua
97 o
U
U
有效值相量图
用符号: I U E 表示。
包含大小与相位信息。
例
i1 8 2 sin wt 60 i2 6 2 sin wt 30
I1 860o A I2 6 30o A
相量式
有效值
I1 8
60 o
30 o
6
I2
初相位
相量图
正弦量的相量表示法
●同频率正弦量的运算
加减运算用相量图—平行四边形法则
有向线段表示正弦量 有向线段不等于正弦量
ω
u Um sinw t
Um
wt
正弦量的相量表示法
相量用复平面的有向线段表示，其长度（相量的模）表示正弦量的有效值；其与横轴 的夹角（相量的幅角）表示正弦量的初相位。
直角坐标式：
U a jb U cos j sin
指数式：
U Ue j
极坐标式：
电工学讲义2-单相交流电路
A(cos j sin )
A e j
指数式
A
极坐标形式
正弦量可由旋转有向线段表示 i
Im
有向线段可由复数表示
O
2
t
T
频率呢？ j
正弦量可由复数表示
bU
UA
+1
a 用来表示正弦量的有向线段（复数）称相量(phasor), 用相量表示正弦量称相量法。
由于在分析电路时，激励和响应均为同频正弦量，频率已知 或特定，可不必考虑，仅求出另两参数即可。
为什么正弦量可用相量表示？
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的 投影值来表示。
设正弦量: u Umsin( t ψ)
y
u
u0ω
O
x
u1
U
O
m
ψ
ω t1
ωt
若:有向线段长度 = Um
有向线段与横轴夹角 =
初相位
旋转有向线段具有 正弦量的三个特征， 可表示正弦量
有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转
第二章 正弦交流电路
本章基本要求
1. 深入理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗；
熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时 功率、无功功率和视在功率的概念； 4. 了解提高功率因数的意义和方法。
2-1 正弦交流电路的基本概念 正弦交流电路
* 电网频率：中国 50Hz 美国、日本 60Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz * 无线通讯频率： 30 KHz - 3×104 MHz
正弦波特征量之二-- 幅度
幅值又称最大值，是正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值。
A e j
指数式
A
极坐标形式
正弦量可由旋转有向线段表示 i
Im
有向线段可由复数表示
O
2
t
T
频率呢？ j
正弦量可由复数表示
bU
UA
+1
a 用来表示正弦量的有向线段（复数）称相量(phasor), 用相量表示正弦量称相量法。
由于在分析电路时，激励和响应均为同频正弦量，频率已知 或特定，可不必考虑，仅求出另两参数即可。
为什么正弦量可用相量表示？
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的 投影值来表示。
设正弦量: u Umsin( t ψ)
y
u
u0ω
O
x
u1
U
O
m
ψ
ω t1
ωt
若:有向线段长度 = Um
有向线段与横轴夹角 =
初相位
旋转有向线段具有 正弦量的三个特征， 可表示正弦量
有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转
第二章 正弦交流电路
本章基本要求
1. 深入理解正弦量的特征及其各种表示方法； 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗；
熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。 3. 掌握有功功率和功率因数的计算,了解瞬时 功率、无功功率和视在功率的概念； 4. 了解提高功率因数的意义和方法。
2-1 正弦交流电路的基本概念 正弦交流电路
* 电网频率：中国 50Hz 美国、日本 60Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz * 无线通讯频率： 30 KHz - 3×104 MHz
正弦波特征量之二-- 幅度
幅值又称最大值，是正弦量在变化过程中出现的最大瞬时值。
电子电工学第2章-1 交流电路的稳态分析
周期函数：f (t) f (t T )
2. 频率f：每秒钟内周期量重复的次数。 单位：赫兹、Hz。
频率与周期的关系： 3. 角频率ω
f 1 T
u
把单位时间正弦量经 历的弧度称为角频率。
2
0
或
T （rad/s ）
2f
2π t
T
已知：频率f=50Hz，问正弦量变化一周所需要 的时间，即周期T=？角频率ω =？
u
i
2
ui
U LI
2
t 0
2. 电感元件特性方程的相量形式
由u、i的三角函数式写出其相量表达式：
U Ue j u I Ie j i
求 I I1m I2m ?
Im I1m I2m 58
+j
I1m
I m
+1 0
i 5sin(t 8 )( A)
I2m
需要记住的几个相量：
I1 3 j4 553
I2 3 j3 3 245
I3 1 j 3 260
（3）
Um U R Im I
U I
R
瞬时功率：
2. 功率
p(t
)
ui 2UI
2U sint sin2 t i
u
2I sint i
UI 1 cos 2t i
说明：
p(t)≥0，电阻只消耗功率，以发热的形式表现出来。 p(t)包含两部分： UI——恒定量 UIcos2(ω t+ ψi)——正弦量，但频率为u、i两倍
i
e
L
i 2I sint i Im sint i
2. 频率f：每秒钟内周期量重复的次数。 单位：赫兹、Hz。
频率与周期的关系： 3. 角频率ω
f 1 T
u
把单位时间正弦量经 历的弧度称为角频率。
2
0
或
T （rad/s ）
2f
2π t
T
已知：频率f=50Hz，问正弦量变化一周所需要 的时间，即周期T=？角频率ω =？
u
i
2
ui
U LI
2
t 0
2. 电感元件特性方程的相量形式
由u、i的三角函数式写出其相量表达式：
U Ue j u I Ie j i
求 I I1m I2m ?
Im I1m I2m 58
+j
I1m
I m
+1 0
i 5sin(t 8 )( A)
I2m
需要记住的几个相量：
I1 3 j4 553
I2 3 j3 3 245
I3 1 j 3 260
（3）
Um U R Im I
U I
R
瞬时功率：
2. 功率
p(t
)
ui 2UI
2U sint sin2 t i
u
2I sint i
UI 1 cos 2t i
说明：
p(t)≥0，电阻只消耗功率，以发热的形式表现出来。 p(t)包含两部分： UI——恒定量 UIcos2(ω t+ ψi)——正弦量，但频率为u、i两倍
i
e
L
i 2I sint i Im sint i
06电工(第2章串联谐振,并联谐振,传递函数)
I
R
Z R j X L X C Z R X L X C
2 2
UR
UL
X L XC tg R
1
若令：
U
L C
则：
0 U、I 同相
X L XC
UC
谐振
串联谐振的条件是：
X L XC
谐振频率：
fo
1 1 XC C 2fC
I0
可见 BW与 Q 相关。
U L U C 0 L 1 Q U U R 0 RC
f C1 f 0 f C 2
f
结论：Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐，选择特性好。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦，选择特性差。
电路参数对谐振曲线的影响
I
(a)R变大
U I0 R
I
U R 2 ( X L X C )2
1 或 LC
f0
1 2 LC
非理想情况下的并联谐振
I
U
IC
C
R IC I RL
L
I U
U U IRL I RL R jX L R jL I I RL I C U IC jC U jX C I、U 同相时则谐振
2 2
I
U I0 R
f0
谐振电流
I0 2
谐振频率
I0
1
2
f C1 fC 2
LC 下限截止频率
上限截止频率
BW f C 2 f C1通频带
f C1 f 0 f C 2
f
通频带
可以 BW 证明：
I
I
U R 2 ( X L X C )2
R
Z R j X L X C Z R X L X C
2 2
UR
UL
X L XC tg R
1
若令：
U
L C
则：
0 U、I 同相
X L XC
UC
谐振
串联谐振的条件是：
X L XC
谐振频率：
fo
1 1 XC C 2fC
I0
可见 BW与 Q 相关。
U L U C 0 L 1 Q U U R 0 RC
f C1 f 0 f C 2
f
结论：Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐，选择特性好。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦，选择特性差。
电路参数对谐振曲线的影响
I
(a)R变大
U I0 R
I
U R 2 ( X L X C )2
1 或 LC
f0
1 2 LC
非理想情况下的并联谐振
I
U
IC
C
R IC I RL
L
I U
U U IRL I RL R jX L R jL I I RL I C U IC jC U jX C I、U 同相时则谐振
2 2
I
U I0 R
f0
谐振电流
I0 2
谐振频率
I0
1
2
f C1 fC 2
LC 下限截止频率
上限截止频率
BW f C 2 f C1通频带
f C1 f 0 f C 2
f
通频带
可以 BW 证明：
I
I
U R 2 ( X L X C )2
电工学第二章
当电容两端的电压增大时，电场能量增大，在 此过程中，电容从电源取用电能转换为电场能量； 当电容两端的电压减小时，电场能量减小，电容释 放能量，电场能量转换为电能。可见电容器是一种 储能元件。
4.电容器的主要参数
（1）标称电容量 电容器的外壳上标出的电容量值称为标称电容量。
（2）允许偏差 电容器的允许偏差常用的有±2%、±5%、±10%、
用介电常数较大的物质作为电容器的电介质 可显著增大电容，而且能做成很小的极板间隔，因 而应用很广。
任何两个导体之间都存在着电容。
3. 电容器的充电和放电
（1）电容器的充电 当开关S置于A端，电源E通过电阻R 对电容器C开始充电。起初，充电电流 较大，但随着电容器C 两端电荷的不断积累，形成的电压 越来越高，它阻碍了电源 对电容器的充电，使充电电流越来越小，当电容器两端电压 达到了最大值E时，则不再变化，电流为零。故在直流稳态电 路中，电容相当于开路，这就是电容的隔直作用。
检测电感器
电感器的直流电阻很小，通常只有几欧或 几十欧，线径越细，圈数越多，电阻值越大。 一般情况下用万用表R×1电阻挡测量，只要能 测出电阻值，即可认为电感器是正常的；如果 测量结果为无穷大，说明电感器已经开路。
§2-3纯电阻、纯电感、纯电容交流电路
一、纯电阻交流电路
交流电路中如果只考虑电阻的作用，这种电 路称为纯电阻电路。
电容量也简称电容。
它只与电容器的极板正对面积、极板间距离 以及极板间电介质的特性有关；而与外加电压的 大小，电容器带电多少等外部条件无关。
C S
d
式中S、d、C的单位分别是m2、m、F，介电常 数ε的单位是F/m。
真空中的介电常数ε0≈8.86×10-12F/m ，某种介 质的介电常数ε与ε0之比，称该介质的相对介电常 数，用εr表示 。
4.电容器的主要参数
（1）标称电容量 电容器的外壳上标出的电容量值称为标称电容量。
（2）允许偏差 电容器的允许偏差常用的有±2%、±5%、±10%、
用介电常数较大的物质作为电容器的电介质 可显著增大电容，而且能做成很小的极板间隔，因 而应用很广。
任何两个导体之间都存在着电容。
3. 电容器的充电和放电
（1）电容器的充电 当开关S置于A端，电源E通过电阻R 对电容器C开始充电。起初，充电电流 较大，但随着电容器C 两端电荷的不断积累，形成的电压 越来越高，它阻碍了电源 对电容器的充电，使充电电流越来越小，当电容器两端电压 达到了最大值E时，则不再变化，电流为零。故在直流稳态电 路中，电容相当于开路，这就是电容的隔直作用。
检测电感器
电感器的直流电阻很小，通常只有几欧或 几十欧，线径越细，圈数越多，电阻值越大。 一般情况下用万用表R×1电阻挡测量，只要能 测出电阻值，即可认为电感器是正常的；如果 测量结果为无穷大，说明电感器已经开路。
§2-3纯电阻、纯电感、纯电容交流电路
一、纯电阻交流电路
交流电路中如果只考虑电阻的作用，这种电 路称为纯电阻电路。
电容量也简称电容。
它只与电容器的极板正对面积、极板间距离 以及极板间电介质的特性有关；而与外加电压的 大小，电容器带电多少等外部条件无关。
C S
d
式中S、d、C的单位分别是m2、m、F，介电常 数ε的单位是F/m。
真空中的介电常数ε0≈8.86×10-12F/m ，某种介 质的介电常数ε与ε0之比，称该介质的相对介电常 数，用εr表示 。
电工学 第二章正弦交流电路
e = Em sin (wt + j e )
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
电工学第二章 正弦交流电路
返回
例2：在如图所示的电路中，设：
i
i1 i2
i1 I1m sin( ωt φ1 ) 100 sin( ωt 45)A i2 I 2m sin( ωt φ2 ) 60 sin( ωt－30)A
求总电流 i 。
[解](1)用复数形式求解，根据基尔霍夫电流定律：
jφ jφ j 45 j 30 I m I1m I 2 m I1m e I 2 m e 100e 60e
1 因此电感元件中存储的磁场能量为： Li 2 2
返回
2.3.3 电容元件
对于右图中的电路，电容元件有：
dq du i C dt dt
电容的单位为法[拉](F)。 对上式两边乘以u并积分得：
1 2 u id t C u d u C u 0 0 2
t
t
因此电容元件中存储的电场能量为：
返回
常见的频率值 各国电网频率：
有线通讯频率： 无线通讯频率：
中国和欧洲国家采用50Hz 美国、日本等国家采用60Hz
300 - 5000 Hz
30 kHz - 3×104 MHz
高频加热设备频率： 200kHz - 300 kHz
例1：已知f=50Hz,求T 和ω。
[解]T=1/ f =1/50=0.02s, ω =2π f =2×3.14×50＝314rad/s
注意： 相量用上面打点的大写字母表示。
返回
相量图
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图, 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U
ψ２ ψ１
Ι
比电流相量 I 超前 角 电压相量 U
例2：在如图所示的电路中，设：
i
i1 i2
i1 I1m sin( ωt φ1 ) 100 sin( ωt 45)A i2 I 2m sin( ωt φ2 ) 60 sin( ωt－30)A
求总电流 i 。
[解](1)用复数形式求解，根据基尔霍夫电流定律：
jφ jφ j 45 j 30 I m I1m I 2 m I1m e I 2 m e 100e 60e
1 因此电感元件中存储的磁场能量为： Li 2 2
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2.3.3 电容元件
对于右图中的电路，电容元件有：
dq du i C dt dt
电容的单位为法[拉](F)。 对上式两边乘以u并积分得：
1 2 u id t C u d u C u 0 0 2
t
t
因此电容元件中存储的电场能量为：
返回
常见的频率值 各国电网频率：
有线通讯频率： 无线通讯频率：
中国和欧洲国家采用50Hz 美国、日本等国家采用60Hz
300 - 5000 Hz
30 kHz - 3×104 MHz
高频加热设备频率： 200kHz - 300 kHz
例1：已知f=50Hz,求T 和ω。
[解]T=1/ f =1/50=0.02s, ω =2π f =2×3.14×50＝314rad/s
注意： 相量用上面打点的大写字母表示。
返回
相量图
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图, 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U
ψ２ ψ１
Ι
比电流相量 I 超前 角 电压相量 U
《电工学》教案02正弦交流电路
7. 掌握三相四线制供电系统中单相及三相负载的正确联接方法，理解中线的作用；
8. 掌握对称三相电路电压、电流及功率的计算。
2.1 正弦电压与电流
1. 正弦电流及其三要素
随时间按正弦规律变化的电流称为正弦电流，同样地有正弦电压等。这些按正弦规律变
化的物理量统称为正弦量。
设图 2.1 中通过元件的电流 i 是正弦电流，其参考方向如图所示。正弦电流的一般表达
式为：
i (t)= I m sin(ωt+ψ)
图 2.1 电路元件
图 2.2 正弦电流波形图
它表示电流 i 是时间 t 的正弦函数，不同的时间有不同的量值，称为瞬时值，用小写字
母表示。电流 i 的时间函数曲线如图 2.2 所示，称为波形图。
I m 为正弦电流的最大值（幅值），即正弦量的振幅，用大写字母加下标 m 表示正弦量 的最大值，例如 I m 、U m 、 Em 等,它反映了正弦量变化的幅度。( t +ψ)随时间变化，称
少角度或时间，以角度表示时为ψ1-ψ2，若以时间表示，则为(ψ1-ψ2)/ω。如果两个正弦 电流的相位差为 12 = ，则称这两个正弦量为反相。如果 12 = 2 ，则称这两个正弦量为正
交。
图 2.4 正弦量的相位关系
3. 有效值
周期电流 i 流过电阻 R 在一个周期所产生的能量与直流电流 I 流过电阻 R 在时间 T 内所
从以上分析可知：
（1） 电感两端的电压与电流同频率；
（2） 电感两端的电压在相位上超前电流 90°；
（3） 电感两端的电压与电流有效值(或最大值)之比为 L。
令
X L = L =2 f L
X L 称为感抗，它用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成正比。
电工学第2章正弦交流电路PPT课件
p=ui=Um sin(ωt+90°) Imsinωt
=UmIm cosωtsinωt =UIsin2ωt
电感元件的功率波形
上式表明， 电感元件的瞬时功率是一个幅值为UI 并以2ω的角频率随时间而变化的正弦量。瞬时功率 的变化曲线如右图所示。
26
当p>0时，表明电感元件吸收能量并作负载 使用，即将电能转换成磁场能量储存起来；
1. 相位角（或相位）——（ωt +ψi） 2. 初相位——t=0时的相位角，即ωt +ψi|t=0＝ψi
初相位不同，正弦波的起始点不同，如下图所 示。
(a)ψi＝0
(b)ψi＞0
(c)ψi<0
由于正弦量是周期性变化量，其值经2π后又重复，所
以一般取主值，| ψi |≤π。
8
2.1.3 初相位
在一个正弦交流电路中， 电压u和电流i的频率是相同的， 但初相位却可以不同。设：
19
在电阻元件的交流电路中，电压u与电流i 相 位相同、频率相同。其波形图、相量图如下所示：
根据 i=Imsinωt ；u=iR=ImRsinωt
可知电压幅值: Um=Im R；
U=I R
如果用相量来表 示电压与电流的
•
•
U
•
Um
•
R
或
••
U IR
关系，则有： I I m
20
瞬时功率：p=ui= Umsinωt Imsinωt=UmImsin²ωt
③指数形式可改写为极坐标形式：
A=r
三种复数式可以互相转换。复数的加减运 算可用直角坐标式；复数的乘除运算用指数形 式或极坐标形式则比较方便。
13
e e 例如: 设A1= a1+jb1 ＝r1 j 1 ；A2= a2+jb2 ＝r2 j 2
华东理工大学电工学第二章习题答案
第二章 正弦交流电路2.1 基本要求(1) 深入理解正弦量的特征，特别是有效值、初相位和相位差。
(2) 掌握正弦量的各种表示方法及相互关系。
(3) 掌握正弦交流电路的电压电流关系及复数形式。
(4) 掌握三种单一参数（R ，L ，C ）的电压、电流及功率关系。
(5) 能够分析计算一般的单相交流电路，熟练运用相量图和复数法。
(6) 深刻认识提高功率因数的重要性。
(7) 了解交流电路的频率特性和谐振电路。
2.2 基本内容 2.2.1 基本概念 1. 正弦量的三要素(1) 幅值（U m ，E m ，I m ）、瞬时值（u, e, i ）、有效值（U ，E ，I ）。
注：有效值与幅值的关系为：有效值2幅值=。
(2) 频率（f ）、角频率（ω）、周期（T ）。
注：三者的关系是 Tf ππω22==。
(3) 相位（ϕω+t ）、初相角（ϕ）、相位差（21ϕϕ-）。
注：相位差是同频率正弦量的相位之差。
2. 正弦量的表示方法 (1) 函数式表示法：。
)sin();sin();sin(i m e m u m t I i t E e t U u ϕωϕωϕω-=+=+= (2) 波形表示法：例如u 的波形如图2-1-1(a)所示。
(3) 相量（图）表示法：使相量的长度等于正弦量的幅值（或有效值）； 使相量和横轴正方向的夹角等于正弦量的初相角； 使相量旋转的角速度等于正弦量的角速度。
注：例。
)60sin(24,)30sin(2621V t u V t u o o +=+=ωω求?21=+u u解：因为同频率同性质的正弦量相加后仍为正弦量，故)sin(221ϕω+==+t U u u u , 只要求出U 及ϕ问题就解决了。
解1：相量图法求解如下：具体步骤为三步法（如图2-1-2所示）：第一步：画出正弦量u 1、u 2的相量12U U 、（U 1=6，U 2=4）。
第二步：在相量图上进行相量的加法，得到一个新相量U。
电工学I(电路与电子技术)[第二章正弦交流电路]山东大学期末考试知识点复习
![电工学I(电路与电子技术)[第二章正弦交流电路]山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/d0cf1af2941ea76e58fa0445.png)
第二章正弦交流电路2．1．1 正弦量的三要素及表示方法(1)正弦交流电路：如果在线性电路中施加正弦激励(正弦交流电压源或正弦交流电流源)，则电路中的所有响应在电路达到稳态时，也都是与激励同频率的正弦量，这样的电路称为正弦交流电路。
(2)正弦交流电压或正弦交流电流等物理量统称为正弦量，它们的特征表现在变化的快慢、大小及初值3个方面，分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。
所以称频率、幅值(或有效值)和初相位为正弦量的三要素。
(3)因为正弦量具有3个要素，它们完全可以表达对应的正弦量的特点和共性。
所以，只要能够反映出正弦的三要素，就可以找到多种表示正弦量的方法，其常见的表示方法如下。
①三角函数表示法和正弦波形图示法，比如正弦电压u=U m sin(ωt+φ)，其正弦波形如图2．1所示，但是正弦量的这两种表示方法都不利于计算。
②旋转矢量表示法，由于复平面上一个逆时针方向旋转的复数能够反映出正弦量的3个要素，因此可用来表示正弦量。
③相量及相量图表示法，由于正弦交流电路中的激励和响应均为同频率的正弦量，故可在已知频率的情况下，只研究幅值和初相位的问题。
这样，不仅可以用旋转矢量表示正弦量，而且也能把正弦量表示成复数(该复数与一个正弦量对应，称为相量)。
图2．1所示正弦电压的幅值相量和有效值相量分别为2．1．2 电路基本定律的相量形式将正弦量用相量表示有利于简化电路的分析和计算，其中电路分析的基本定律在频域中也是成立的，即为表2．1的电路基本定律的相量形式。
当用相量来表示正弦电压与电流，用复阻抗来表示电阻、电感和电容时，正弦交流电路的分析与计算也就类似于直流电路，复阻抗的串并联等效、支路电流法、叠加定理和戴维宁定理等分析方法均可应用。
为了研究复杂正弦交流电路中激励与响应之间的关系，以及研究电路中能量的转换与功率问题，就必须首先掌握单一参数(电阻、电感、电容)元件在正弦交流电路中的特性(见表2．2)，以作为分析复杂正弦交流电路的基础。
电工学第二章 正弦交流电
电流超前电压 90 u i u i ωt O 90°
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
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i
i
+
+
_u
R
_u
R
正半周
实际方向和参考方向一致
负半周
实际方向和参考方向相反
返回
（一）交流电的周期、频率、角频率
i
2π
0
ωt T
周期 T：变化一周所需要的时间（s）
1 频率 f ：1s内变化的周数（Hz）。 f T 角频率ω： 正弦量1s内变化的弧度数。
ω= 2πf = 2π (rad/s)
O
i3
i1与i2同相
ωt
i1与i3反相
总 结 最大值、角频率、初相位
描述正弦量的三个特征量：
返回
思考题1 1、i = 100 sin（6280t－π/4）mA，请指出它的频率、 周期、角频率、幅值、有效值和初相位。 频率：1000Hz，周期：0.001s， 角频率：6280rad/s，幅值：100mA， 有效值：70.7mA，初相位： －π/4 2、已知：i 1= 15 sin（314t＋π/4）mA i 2= 10 sin（314t－π/6）mA 试问两者相位差为多少？谁超前？谁滞后？ 相位差为75度，i1超前，i2滞后。 返回
0
交流 则： I 由：
1 T
直流
T
0
i 2 dt
i I m sin t
正弦电压和电动势的有效值：
可得正弦电流的有效值： I
Im 2
U
Um 2
E
Em 2 返回
（三）交流电的相位、初相位、相位差
相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位：t =0时的相位。 i
i I m sint
不对。应该写为： i= 15 sin（314t＋π/4）mA
或： i= Im sin（314t＋π/4）mA
返回
2.2 正弦交流电的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i I m sin t
i
★ 波形图：
O
t
★ 相量法：用复数的方法表示正弦量
返回
相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。
第
2
章
正弦交流电路
目
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
录
正弦交流电的基本概念 正弦交流电的相量表示法 正弦交流电路的向量模型 电阻、电感与电容元件串联交流电路 阻抗的串联与并联 正弦交流电路的功率 电路的功率因数 电路中的谐振
2.1 正弦交流电的基本概念
直流电:
第一章分析的是直流电路，其中的电压和电流 的大小和方向是不随时间变化的。
3、i 1= 15 sin（100 π t＋π/4）mA
i 2= 10 sin（200 π t－π/6）mA 两者相位差为75度，对不对？ 不对。因为频率不同，无法进行比较。 4、根据本书符号的规定，写成：
I= 15 sin（314t＋π/4）mA 或
i= I sin（314t＋π/4）mA 对不对？
u
i
i I m sin t 2
则u和i的相位差为：
O
ωt
t 1 t 2 1 2
当 1 2 时，u比i超前 角，或i比u滞后 角。
注：只有同频率的两个正弦量才能比较相位差。 返回
例：
i = 100 sin（100 t +30O）A u = 311sin（314 t－60O）V ωt +ψ ψi = 30O , ψu = －60O
相位： t
O
初相位: 0
i
t
i I m sin t
ψ
t
t 初相位： 相位：
说 明
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
返回
相位差：
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。
设正弦交流电路中电压和电流为：
u U m sin t 1
返回
常见的频率值 各国电网频率：
有线通讯频率： 无线通讯频率：
中国和欧洲国家采用50Hz 美国、日本等国家采用60Hz
300 - 5000 Hz
30 kHz - 3×104 MHz
高频加热设备频率： 200kHz - 300 kHz
例1：已知f=50Hz,求T 和ω。
[解]T=1/ f =1/50=0.02s, ω =2π f =2×3.14×50＝314rad/s
I， U
O
直流电压和电流
t
返回
正弦交流电:
电压和电流的大小和方向是按照正弦规律周期 性变化的。 i Im i = Imsin(ωt +ψ)
角频率 瞬时值 最大值 初相位 ψ
0
ωt
最大值 角频率 初相位
正弦电压和电流
正弦交流电的三要素
返回
u i
O
实际方向和参考方向一致
＋ －
正弦电压和电流
t
实际方向和参考方向相反
有向线段的长度表示正弦量的幅值（最大值）； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
u Um sin t
ω
Um
t
返回
有向线段OA可用复数形式表示
复数的表示和计算方法 1. 复数的表示方法
相位 初相位
相位: 初相位:
相位差: 同频率的正弦电量的相位或初相位之差。
i = 100 sin（314 t +30O）A u = 311sin（314 t－60O）V
=ψu －ψi = －60O －30O = －90O
返回
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180°。
b
j A
代数式
0
A= a+jb
模
a
+1
辐角 三角式 = r (cosψ +j sinψ ) = r e jψ 指数式 = r∠ψ 极坐标式
e、i、u Em、Im、Um E、I、U
瞬时值
最大值
有效值
返回
有效值与最大值的关系：
有效值是用电流的热效应来规定的。设一交流电流i和一 直流电流I 流过相同的电阻R，如果在交流电的一个周期内交 流电和直流电产生的热量相等，则交流电流的有效值就等于 这个直流电的电流I。 T 2 2 根据热效应相等有： I RT i R dt
返回
（二）交流电的瞬时值、最大值、有效值
瞬时值：正弦量在任一瞬间的值，用小写字母表示，如：i、u、e 等。
瞬时值中的最大的值，用带下标m的大写字母表示， 最大值： 如：Im、Um、Em等。
有效值：在工程应用中常用有效值表示交流电的幅度。一般所讲的
正弦交流电的大小，如交流电压380V或220V，指的都是有 效值。用大写字母表示，如：I、U、E等。