第二章正弦交流电路
第2章 正弦稳态电路的分析
u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im
wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t
大学物理学第2章正弦交流电路_02
解法2: 利用相量图分析求解
设 U AB为参考相量,
I1 10A
I2 100 5 5
2 2
j10Ω
I
I1
A
A
I 1 超前 U AB 90
10 2A,
I2
C1
B
5Ω j5Ω
V
画相量图如下：
I 2滞后UAB 45°
由相量图可求得： I =10 A
UL= I XL =100V U L超前I 90°
I1 Z2 j400 I 0.5 33 A Z1 Z 2 100 j200 j400
0.89 - 59.6 A
同理：
I
I2
Z1 I Z1 Z 2
100 j200 0.5 33 A 100 j200 j400 0.5 93.8 A
UL
I1 100 10
U
由相量图可求得： V =141V
45° I 45°
I2
U AB
10 2
2.5 正弦稳态电路的功率
2.5.1 功率
一、瞬时功率
I +
i = Im sinωt U u = Umsin (ωt + ) － p = u i = UmImsin(ωt + ) sinωt = U I cos + U I cos ( 2ωt + )
S =√P2 + Q2 = 190 V· A
例2 如图所示是测量电感线圈参数R和L的实验电路，已知电 压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W， 电源的频率f=50Hz。试求R和L的值。 ﹡ I 解：根据图中3个仪表的读数, A W ﹡ + 可先求得线圈的阻抗 电 R 感 Z | Z | R jL V U 线 圈 L U | Z | 50 I 功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有 P UI cos 30W 30 arctan( ) 53.130 UI 从而求得
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
第2章__正弦交流电路_习题参考答案[1]
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第二章 正弦交流电路 习题参考答案一、填空题：1. 表征正弦交流电振荡幅度的量是它的 最大值 ；表征正弦交流电随时间变化快慢程度的量是 角频率ω ；表征正弦交流电起始位置时的量称为它的 初相 。
三者称为正弦量的 三要素 。
2. 电阻元件上任一瞬间的电压电流关系可表示为 u = iR ；电感元件上任由上述三个关系式可得， 电阻 元件为即时元件； 电感 和 电容 元件为动态元件。
3. 在RLC 串联电路中，已知电流为5A ，电阻为30Ω，感抗为40Ω，容抗为80Ω，那么电路的阻抗为 50Ω ，该电路为 容 性电路。
电路中吸收的有功功率为 750W ，吸收的无功功率又为 1000var 。
二、判断题：1. 正弦量的三要素是指最大值、角频率和相位。
（错）2. 电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率等于零。
（对）3. 因为正弦量可以用相量来表示，所以说相量就是正弦量。
（错）4. 电压三角形是相量图，阻抗三角形也是相量图。
（错）5. 正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。
（错）6. 一个实际的电感线圈，在任何情况下呈现的电特性都是感性。
（错）7. 串接在正弦交流电路中的功率表，测量的是交流电路的有功功率。
（错）8. 正弦交流电路的频率越高，阻抗越大；频率越低，阻抗越小。
（错）三、选择题：1. 某正弦电压有效值为380V ，频率为50Hz ，计时始数值等于380V ，其瞬时值表达式为（ B ）A 、t u 314sin 380=V ；B 、)45314sin(537︒+=t u V ；C 、)90314sin(380︒+=t u V 。
2. 一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的最大值为（ D ）A 、；B 、5V ；C 、14V ；D 、10V 。
3. 提高供电电路的功率因数，下列说法正确的是（ D ）A 、减少了用电设备中无用的无功功率；B 、减少了用电设备的有功功率，提高了电源设备的容量；C 、可以节省电能；D 、可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗。
正弦交流电
同频正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位
i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
解：
3
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
U 311.1 60 220 60 110 j190.5 V 2
I
100 / 6
/3
220
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A
I2 10 e j30 A
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
旋转矢量
最大值 Um
有效值 U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： Um、Im
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
3. 相量符号 U、I包含幅度与相位信息 U、I
则： U U1 U2 U1 U 2 e j(12 )
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j 2
则：
U1 U2
U1 U2
e j12
电工第2章 正弦交流电路
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
第2章 正弦交流电路
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180°。 下面图中是三个正弦电流波形。 i1与 i2 同相， i1与 i3反相。
i
i1 i2
O
i3
ωt
总 结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
9
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2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i
相位 表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位 t =0时的相位。
i I m sint 相位： t 初相位： 0
i I m sin t
相位：
i
O
t
i
t
说 明
初相位：
ψ
t
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
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相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不 一定相同，设电路中电压和电流为：
26
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2.3.3 电容元件的交流电路 电压电流关系
对于电容电路：
dq du i C dt dt
i
＋
如果电容两端加正弦电压：
u
_
C
u Um sin t
则：
注意u 和i的参考方向！
dU m sint i C CUm cost CUm sin t 90 I m sin t 90 dt
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:
电路 第二章 正弦交流电路(1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
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第2章 正弦交流电路判断题2.1 正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I Ａ，︒=90/82I Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I += [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ]答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ]答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ]答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ]答案:X2.2 正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I Ａ，︒=90/82I Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I += 。
[ ] 答案:X2.3 单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:V8．直流电路中，电感元件的感抗为零，相当于短路。
[ ]答案:V9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L＞X C时电路呈电容性，则电流与电压同相。
[ ] 答案:X10．电感元件电压相位超前于电流π/2 (rad)，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X11．正弦交流电路中，电源频率越高，电路中的感抗越大，而电路中的容抗越小。
[ ]答案:V12．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最大，当电流为最大值时，则电压为零。
[ ]答案:V13．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最小。
[ ] 答案:X14．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X15．电容元件的容抗是电容电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V16．单一电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率比较小。
[ ]答案:X17．电容元件的交流电路中，电压比电流超前90°。
[ ]答案:X18．电容元件的交流电路中，电流比电压超前90°。
[ ]答案:V19．电感元件的有功功率为零。
[ ]答案:V20．电容元件的有功功率为零。
[ ]答案:V21．电压、电流的相量式，既能反映电压与电流间的大小关系，又能反映相互间的相位关系。
[ ]答案:V2.4 R 、L 、C 串联的正弦交流电路1．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＞ＵC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:V2．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＞ＸC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:V3．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L ＜X C 时电路呈电感性，则电流与电压同相。
[ ] 答案:X4．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＜ＵC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:V5．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＜ＸC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:V6．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＜ＵC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:X7．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＜ＸC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:X8．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＞ＵC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:X9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＞ＸC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:X10．在Ｒ、C 并联电路中，支路电流均为４Ａ，则电路总电流Ｉ＝8Ａ。
[ ]答案:X11．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)50sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电感性。
[ ]答案:V12．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)60sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电容性。
[ ]答案:X13．若电路的电流)60sin(︒+=t I i m ω，电压)30sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电感性。
[ ]答案:X14．若电路的电流)60sin(︒+=t I i m ω，电压)30sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电容性。
[ ]答案:V15．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)60sin(︒-=t U u m ω，则该电路为纯电容性。
[ ]答案:V16．若电路的电流)30sin(︒-=t I i m ω，电压)60sin(︒+=t U u m ω，则该电路为纯电感性。
[ ]答案:V17．正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。
[ ] 答案:X18．电压三角形、阻抗三角形和功率三角形都是相量图。
[ ] 答案:X19．功率表应串接在正弦交流电路中，用来测量电路的视在功率。
[ ] 答案:X2.5 阻抗的串联与并联1．R 、L 并联电路中，支路电流均为4A ，则电路总电流Ｉ＝8A 。
[ ]答案:X2．两个电感相串联，端电压分别为8Ｖ和4Ｖ，则总电压为12Ｖ。
[ ]答案:V3．两个电容相并联，支路电流分别为2Ａ和3Ａ，则电路总电流为5Ａ。
[ ]答案:V4．两个无源元件串联在正弦电流电路中，若总电压小于其中一个元件的电压值，则其中必有一个为电感性元件，另一个为电容性元件。
[ ]答案:V5．在正弦电流电路中，两元件串联后的总电压必大于分电压，两元件并联后的总电流必大于分电流。
[ ]答案:X6．正弦交流电路的频率越高，阻抗就越大；频率越低，阻抗越小。
[ ]答案:X7．电抗和电阻由于概念相同，所以它们的单位也相同。
[ ]答案:X8．交流电路中的视在功率与有功功率和无功功率一定呈直角三角形关系。
[ ]答案:V9．R 、L 并联电路中，支路电流均为5A ，则电路总电流I =10A 。
[ ]答案:X10．R 、L 并联电路中，支路电流均为5A ，则电路总电流I =52A 。
[ ] 答案:V2．6 功率因数的提高1．根据cos φ=Ｐ／[ＵＩ]可知，当电压Ｕ升高时负载的功率因数降低。
[ ]答案:X2．与电感性负载并联电容器可以提高负载的功率因数，因而可以减小负载的电流。
[ ] 答案:X3．电感性负载并联电容后，总电流一定比原来小，因此电网功率因数一定会提高。
[ ] 答案:X4．电感性负载并联电阻后也可以提高电网功率因数，但总电流和总功率都将增大。
[ ]答案:V5．在感性负载两端并联任意大小的电容器都可以提高电路的功率因数。
[ ] 答案:X6．正弦电路中，电源电压和负载一定时，功率因数越高，无功功率越小。
[ ] 答案:V7．交流电路中的功率因数高，反映电源设备的利用率就高。
[ ]答案:V选择题2.1 正弦交流电的基本概念1、有“220V 、100W ”“220V 、25W ”白炽灯两盏，串联后接入220V 交流电源，其亮度情况是 。
A.100W 灯泡最亮B.25W 灯泡最亮C.两只灯泡一样亮D.都不亮答案:B2、已知工频正弦电压有效值和初始值均为380V ，则该电压的瞬时值表达式为 。
A.t u 314sin 380=VB.)45314sin(537︒+=t u VC.)90314sin(380︒+=t u VD.)45314sin(380︒+=t u V答案:B3、一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的有效值为 。
A.7.07VB.5VC.14VD.10V答案:A4、已知)90314sin(101︒+=t i A ，︒+=30628sin(102t i ）A ，则 。
A.i 1超前i 260°；B.i 1滞后i 260°；C.相位差无法比较D.同相 。
答案:C5、从相量中可直接读取交流电的有效值（或最大值）和 。
A.相位B.频率C.初相位答案:C6、正弦交流电的初相角反映了交流电变化的 。
A.起始位置B.快慢C.大小关系D.频率特性答案:A7、若i 1＝10sin(ωt+30º)A ，i 2＝20sin(ωt －10º)A ，则i 1的相位比i 2超前 。
A. 40ºB. －20ºC. 20ºD. －40º答案:A8、若)30sin(101︒+=t u ωV, )10sin(202︒-=t u ωV ，则1u 比2u 超前__ _。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:C9、若i 1=10 sin(ωt+30°)A ，i 2=20 sin(ωt+50°)A ，则i 1的相位比i 2超前__ _。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:B10、若u 1=10 sin(ωt+20°)A,u 2=20 sin(ωt-20°)A,则u 1的相位比u 2超前_ __。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:C2.2 正弦量的相量表示法2.3 单一参数的正弦交流电路1、正弦交流电路中，采用相量分析时，电容器的容抗为 。
A.C XB.C jX -C.C jXD.L jX -答案:B2、正弦交流电路中，采用相量分析法时，电感的感抗为 。
A.L XB.C jX -C.L jXD.L jX -答案:C3、纯电感交流电路中，正确的表达式是 。
A.LL L X u i =B.L X I j U =C.C X I j U -=D.不确定 答案:B4、纯电容正弦交流电路中，电压有效值不变，当频率增大时，电路中电流将 。