第二章正弦交流电路
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第2章 正弦稳态电路的分析
u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im
wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t
大学物理学第2章正弦交流电路_02
解法2: 利用相量图分析求解
设 U AB为参考相量,
I1 10A
I2 100 5 5
2 2
j10Ω
I
I1
A
A
I 1 超前 U AB 90
10 2A,
I2
C1
B
5Ω j5Ω
V
画相量图如下：
I 2滞后UAB 45°
由相量图可求得： I =10 A
UL= I XL =100V U L超前I 90°
I1 Z2 j400 I 0.5 33 A Z1 Z 2 100 j200 j400
0.89 - 59.6 A
同理：
I
I2
Z1 I Z1 Z 2
100 j200 0.5 33 A 100 j200 j400 0.5 93.8 A
UL
I1 100 10
U
由相量图可求得： V =141V
45° I 45°
I2
U AB
10 2
2.5 正弦稳态电路的功率
2.5.1 功率
一、瞬时功率
I +
i = Im sinωt U u = Umsin (ωt + ) － p = u i = UmImsin(ωt + ) sinωt = U I cos + U I cos ( 2ωt + )
S =√P2 + Q2 = 190 V· A
例2 如图所示是测量电感线圈参数R和L的实验电路，已知电 压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W， 电源的频率f=50Hz。试求R和L的值。 ﹡ I 解：根据图中3个仪表的读数, A W ﹡ + 可先求得线圈的阻抗 电 R 感 Z | Z | R jL V U 线 圈 L U | Z | 50 I 功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有 P UI cos 30W 30 arctan( ) 53.130 UI 从而求得
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工第2章 正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
第二章正弦交流电的表示方法
R R R
I
U
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i I m sin ( t )
uip
则 p u i U m sin t I m sin t u U m sin ( t ) U m I m sin 2 t
p
u
0
i
ωt
结论：1. p随时间变化 2. p≥0；耗能元件,吸收电能，转换为热能
最大值 频率 初相角
第一篇
电工电子技术
一、解析式表示法
例1：已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 50 Hz，初 相位为 60 ，写出该电流的解析式，并求t=0时的瞬时值。 Im=2A ；
ω 2πf 2 50π 100π rad / s
60
i0
则它的解析式是： i = Imsin( t i0) = 2sin(100π t 60) A t=0s时的电流瞬时值是： i = 2sin(100π ×0 60°) = 2sin(60) =2× 3 = 3 A
答：初相位是2π /3 rad，t=0.5s时的瞬时值是1.59A。
电工电子技术 五、正弦交流电的表示方法
前提： 在分析正弦交流电路时，同一电路中的 所有电压、电流都是同频率的正弦量， 且频率与电源的频率相同。 因此： 一个正弦量由最大值（或有效值）和初 相位两个要素也能确定。 描述正弦交流电的有向线段称为相量。
电工电子技术
参数
见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。 1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε， 电容极板的正对面积S，电容极板的距离d有 关。
I
U
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i I m sin ( t )
uip
则 p u i U m sin t I m sin t u U m sin ( t ) U m I m sin 2 t
p
u
0
i
ωt
结论：1. p随时间变化 2. p≥0；耗能元件,吸收电能，转换为热能
最大值 频率 初相角
第一篇
电工电子技术
一、解析式表示法
例1：已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 50 Hz，初 相位为 60 ，写出该电流的解析式，并求t=0时的瞬时值。 Im=2A ；
ω 2πf 2 50π 100π rad / s
60
i0
则它的解析式是： i = Imsin( t i0) = 2sin(100π t 60) A t=0s时的电流瞬时值是： i = 2sin(100π ×0 60°) = 2sin(60) =2× 3 = 3 A
答：初相位是2π /3 rad，t=0.5s时的瞬时值是1.59A。
电工电子技术 五、正弦交流电的表示方法
前提： 在分析正弦交流电路时，同一电路中的 所有电压、电流都是同频率的正弦量， 且频率与电源的频率相同。 因此： 一个正弦量由最大值（或有效值）和初 相位两个要素也能确定。 描述正弦交流电的有向线段称为相量。
电工电子技术
参数
见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。 1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε， 电容极板的正对面积S，电容极板的距离d有 关。
汽车电工电子技术---正弦交流电路
汽车电工电子技术
正弦交流电路
第二章 正弦交流电路
• 在研究电能的不同形式上，人们常用图形来表示电动势、电压 和电流随时间的变化规律，这种图形称为波形图。图2-1是几种 电能形式的波形图。
• 直流电路中所讨论的电压和电流，其大小和方向（或极性）都 是不随时间变化的，如图2-1（a）所示。凡大小和方向随时间 周期性变化的电动势、电压和电流，统称为交流电。其波形如 图2-1（b）、（c）、（d）所示。随时间按正弦规律变化的交 流电称为正弦交流电，其波形如图2-1(b)所示。
• 正弦交流电是电能生产、输送、分配和使用的主要形 式。正弦交流电获得广泛应用的原因是：
• 第一：交流电易于产生、传输和转换，从而具有成本 低廉的优势；
• 第二，就用电设备看，由三相交流电源供电的三相异 步电动机结构简单、价格便宜、使用维护方便，是使 用最多的动力设备；
• 第三，在需要使用直流电的地方，可以用整流设备将 交流电变为直流电。因此学习和研究正弦交流电具有 重要的现实意义。
• (3)电容的无功功率
• 电容与电源之间的功率交换也用无功功率表示，其大小为
Q
UI
I 2 XC
U2 XC
• 电容的无功功率单位也是乏（Var）。
• 四、串联交流电路
• 实际交流电路，往往不是单一参数组成，而是由二个或三个参 数组成。例如像电动机和继电器这类电感性电路，当其线圈内 阻不可忽略时，线圈的电感和内阻便同时存在；又如一些电子 设备中多含有电阻、电感和电容。电阻、电感和电容串接在交 流电路上，就组成了RLC串联电路，如图2-9（a）所示。
• 下面我们以单相交流电讨论正弦交流电的产生和变化规律。如图 2-3（b）所示，以发电机转子的轴心o为原点，建立直角坐标。轴 与发电机的中性面重合。当线圈以角速度逆时针方向转动时，线 圈ab平面与y轴重合的瞬间，正弦电动势e有最大值Em或最小值Em，当线圈ab平面与轴重合的瞬间，正弦电动势e为零。
正弦交流电路
第二章 正弦交流电路
• 在研究电能的不同形式上，人们常用图形来表示电动势、电压 和电流随时间的变化规律，这种图形称为波形图。图2-1是几种 电能形式的波形图。
• 直流电路中所讨论的电压和电流，其大小和方向（或极性）都 是不随时间变化的，如图2-1（a）所示。凡大小和方向随时间 周期性变化的电动势、电压和电流，统称为交流电。其波形如 图2-1（b）、（c）、（d）所示。随时间按正弦规律变化的交 流电称为正弦交流电，其波形如图2-1(b)所示。
• 正弦交流电是电能生产、输送、分配和使用的主要形 式。正弦交流电获得广泛应用的原因是：
• 第一：交流电易于产生、传输和转换，从而具有成本 低廉的优势；
• 第二，就用电设备看，由三相交流电源供电的三相异 步电动机结构简单、价格便宜、使用维护方便，是使 用最多的动力设备；
• 第三，在需要使用直流电的地方，可以用整流设备将 交流电变为直流电。因此学习和研究正弦交流电具有 重要的现实意义。
• (3)电容的无功功率
• 电容与电源之间的功率交换也用无功功率表示，其大小为
Q
UI
I 2 XC
U2 XC
• 电容的无功功率单位也是乏（Var）。
• 四、串联交流电路
• 实际交流电路，往往不是单一参数组成，而是由二个或三个参 数组成。例如像电动机和继电器这类电感性电路，当其线圈内 阻不可忽略时，线圈的电感和内阻便同时存在；又如一些电子 设备中多含有电阻、电感和电容。电阻、电感和电容串接在交 流电路上，就组成了RLC串联电路，如图2-9（a）所示。
• 下面我们以单相交流电讨论正弦交流电的产生和变化规律。如图 2-3（b）所示，以发电机转子的轴心o为原点，建立直角坐标。轴 与发电机的中性面重合。当线圈以角速度逆时针方向转动时，线 圈ab平面与y轴重合的瞬间，正弦电动势e有最大值Em或最小值Em，当线圈ab平面与轴重合的瞬间，正弦电动势e为零。
第2章 正弦交流电路
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180°。 下面图中是三个正弦电流波形。 i1与 i2 同相， i1与 i3反相。
i
i1 i2
O
i3
ωt
总 结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
9
电气与自动化工程学院
2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i
相位 表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位 t =0时的相位。
i I m sint 相位： t 初相位： 0
i I m sin t
相位：
i
O
t
i
t
说 明
初相位：
ψ
t
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
7
电气与自动化工程学院
相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不 一定相同，设电路中电压和电流为：
26
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2.3.3 电容元件的交流电路 电压电流关系
对于电容电路：
dq du i C dt dt
i
＋
如果电容两端加正弦电压：
u
_
C
u Um sin t
则：
注意u 和i的参考方向！
dU m sint i C CUm cost CUm sin t 90 I m sin t 90 dt
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:
电路 第二章 正弦交流电路(1)
11
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
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相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
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Q UI sin 101.24 sin 29.74o 6.15Var
Ｓ＝ＵＩ＝10×1.24＝12.4 VA pf＝cosθ＝cos29.74°＝0.8683
7.功率因数的提高 P ＝Ｓcosθ＝ＵＩcosθ ①Ｓ一定, cosθ大, Ｐ大, 充分利用电源的容量 ②Ｐ、Ｕ一定, cosθ大, Ｉ＝Ｐ/(Ｕcosθ)小, 线路损耗小 ③对ＲＬ电路, 要提高cosθ, 减少θ,并联合适的C
第二章正弦交流电路
2.6 正弦交流电路中的功率
2.7 电路谐振
二.阻抗电路中的功率
设 u(t) 2U sint V i(t) 2I sin(t ) A
1.瞬时功率
p(t) ui 2UI sint sin(t ) UI[cos cos(2t )]
①p以2ω作正弦交变 ②p>0:ｕｉ同向，电源 电路
4.视在功率 单位: VA
P＝ＵＩcosθ
Q＝ＵＩsinθ
定义 Ｓ＝ＵＩ 为视在功率
则 Ｐ＝Ｓcosθ
Ｑ＝Ｓsinθ Ｐ2＋Ｑ2＝Ｓ2 5.功率因数 λ＝cosθ＝P/S
θ: 功率因数角(阻抗角, 相位差角)
-90°<θ<90°时, cosθ> 0
θ>0: 感性 记作 λ = cosθ = C (滞后)
C
2
P fU
2
tg1
tg
40 2 3.14 50
2202
2.04
0.48
4.05
F
P UI cos
40 220 I 0.9
I 0.2A
§2.7 电路谐振
动态电路中, U与 I同相位
电路呈纯电阻性
U ZI I YU
Ｚ＝Ｒ＋jＸ＝z/θ Ｙ＝Ｇ＋jＢ＝ｙ/φ
U与I同相位
求Z，令X＝0 或θ＝0 或 求Y，令B＝0 或φ＝0
而: P＝Ｕ2G ≠Ｉ2/G
P＝ＵＩcosθ ＝ＵRＩ＝Ｉ2Ｒ＝Ｕ2G
3.无功功率 单位:var Q＝ＵＩsinθ Q > 0 : 感性电路 Q < 0 : 容性电路 θ ＝ψu－ψi
ＵX ＝Ｕsinθ
Ｕ＝zＩ
Q＝ＵＩsinθ ＝ＵXＩ
＝zＩ2sinθ ＝Ｉ2X (X＝Im[Z])
Q＝ＵＩsinθ ＝ＵXＩ＝Ｉ2X
二. 并联谐振
1
Y＝────＋jωC
Ｒ＋jωL
Ｒ
ωL
＝──────＋j(ωC－──────)
Ｒ2＋ω2 L2
Ｒ2＋ω2 L2
: 谐振条件
解得：
o
1 LC
1 R2C L
: 谐振角频率
fo
2
1 LC
1 R2C L
: 谐振频率
令 L
C
: 特性阻抗
o
1 LC1R 2ρ < R, ωO为虚数, 不可能谐振
p<0:ｕｉ反向, 电源 电路 p＝0: ｕ＝0或ｉ＝0
2.平均功率 单位: ｗ P＝ＵＩcosθ θ ＝ψu－ψi
P > 0 : 有功功率
ＵR ＝Ｕcosθ
Ｕ＝zＩ
P＝ＵＩcosθ ＝ＵRＩ
＝zＩ2cosθ ＝Ｉ2Ｒ (R＝Ｒe[Z])
注意: P ≠Ｕ2/R
∵Ｉ＝Ｕ/z ∴ P＝(Ｕ2/z)cosθ ≠Ｕ2/R
一., 串联谐振
⑴等效阻抗 1
Ｚ＝Ｒ＋ｊωＬ－ｊ── ωＣ
⑵
1
ωL－──＝0 :谐振条件
ωC
o
1 LC
:谐振角频率
fo
2
1 LC
:谐振频率
⑶谐振特点
①X ＝ 0, θ＝ 0, z ＝ R (最小, 纯电阻性)
XL oL
L LC
L C
XC
1 oC
LC C
L C
XL XC 0
L C
θ<0: 容性 记作 λ = cosθ = C (超前)
功率守恒
电路
P 0 Q 0 S~ 0 S 0
单口网络
P Pk Q Qk S~ S~k S Sk
无源单口网络
P PR Q QL QC
例.uS(t) 10 2 sin2t V, 求 P、Q、S、pf
解. Ｕ＝10 V j4(4－j4) Z＝3＋─────＝7＋j4＝8.06/29.74° Ω j4＋4－j4 Ｕ 10 I＝─＝───＝1.24 A P UI cos 101.24cos 29.74o 10.8w ｚ 8.06
①求pf＝cosθ1 ②并Ｃ, 使cosθ2＝ 0.9, 求Ｃ,Ｉ
解.①并上C以前
Ｐ
40
cosθ1＝──＝─────＝0.44 A ＵＩ 220×0.41
②并上Ｃ后: cosθ1 ＝0.44 , θ1 ＝63.9 。 , tg θ1 =2.04 cosθ ＝0.9 , θ1 ＝25.8。 , tg θ =0.48
Ｐ＝ＵＩ1cosθ1＝ＵＩcosθ Ｉ1cosθ1
①Ｉ＝───── cosθ
Ｐ＝ＵＩ1cosθ1＝Ｕｉcosθ
Ｐ
Ｐ
Ｉ1＝──── Ｉ＝────
Ｕcosθ1
Ｕcosθ
ＩC＝Ｉ1sinθ1－Ｉsinθ Ｐsinθ1 Ｐsinθ
＝──── － ──── Ｕcosθ1 Ｕcosθ Ｐ ＝─(tgθ1－tgθ)＝ωＣＵ＝2πfＣＵ Ｕ P
作业： 2－30 2－32
P S=───
cosθ
Q S2 P2
ＱC＝Ｑ－ＱL
fo
2
1 LC
练习
在图示电路中，已知 u =220 2 sin314t V,求 i1、i2、i 及
电路的功率P、Q、S。
I
解：
求U电路 的22功0率0：V
② C＝─2π─f─Ｕ─2 (tgθ1－tgθ)
其中 θ1: 并联电容Ｃ之前电路的功率因数角 θ : 并联电容Ｃ之后电路的功率因数角
例:设有一40W的日光灯接在220V, 50Hz电源上的电流为0.41Ａ, 问功率因数为多少? 为使其功率因数提高到0.9, 应并一 多大的电容, 此时电流为多少?
已知:Ｐ＝ 40 W, Ｕ＝220 V, f＝50 Hz, Ｉ1＝0.41 A
RLC电路的特性阻抗
②Ｉ＝ＵS/R 最大 ③ＵR＝RＩ＝ＵS
ωOL
ＵL ＝ωOL·Ｉ＝──·ＵS
R
1
1/ωOC
ＵC＝──·Ｉ＝────·ＵS
ωOC
R
ＵL＝ＵC≠ 0
UL UC 0
④品质因数(Ｑ值, 共振系数)
ωOL 1/ωOC
ρ
Ｑ＝──＝─────＝─
R
R
Ｒ
谐振时: ＵL＝ＵC＝ＱＵS (电压谐振)
ρ ＝ R, ωO＝ 0, 无所谓谐振
ρ > R, ωO> 0, 可能谐振
令
k
1
R
2
: 修正系数
ρ/R 2
3
4
5
10 100
k 0.866 0.943 0.968 0.990 0.995 0.999
工程允许误差5% 当ρ/R > 4 时，
o
1 LC
谐振阻抗:
接电流源(晶体管)输出电压高 电力系统中要避免谐振 电子系统中利用谐振
Ｓ＝ＵＩ＝10×1.24＝12.4 VA pf＝cosθ＝cos29.74°＝0.8683
7.功率因数的提高 P ＝Ｓcosθ＝ＵＩcosθ ①Ｓ一定, cosθ大, Ｐ大, 充分利用电源的容量 ②Ｐ、Ｕ一定, cosθ大, Ｉ＝Ｐ/(Ｕcosθ)小, 线路损耗小 ③对ＲＬ电路, 要提高cosθ, 减少θ,并联合适的C
第二章正弦交流电路
2.6 正弦交流电路中的功率
2.7 电路谐振
二.阻抗电路中的功率
设 u(t) 2U sint V i(t) 2I sin(t ) A
1.瞬时功率
p(t) ui 2UI sint sin(t ) UI[cos cos(2t )]
①p以2ω作正弦交变 ②p>0:ｕｉ同向，电源 电路
4.视在功率 单位: VA
P＝ＵＩcosθ
Q＝ＵＩsinθ
定义 Ｓ＝ＵＩ 为视在功率
则 Ｐ＝Ｓcosθ
Ｑ＝Ｓsinθ Ｐ2＋Ｑ2＝Ｓ2 5.功率因数 λ＝cosθ＝P/S
θ: 功率因数角(阻抗角, 相位差角)
-90°<θ<90°时, cosθ> 0
θ>0: 感性 记作 λ = cosθ = C (滞后)
C
2
P fU
2
tg1
tg
40 2 3.14 50
2202
2.04
0.48
4.05
F
P UI cos
40 220 I 0.9
I 0.2A
§2.7 电路谐振
动态电路中, U与 I同相位
电路呈纯电阻性
U ZI I YU
Ｚ＝Ｒ＋jＸ＝z/θ Ｙ＝Ｇ＋jＢ＝ｙ/φ
U与I同相位
求Z，令X＝0 或θ＝0 或 求Y，令B＝0 或φ＝0
而: P＝Ｕ2G ≠Ｉ2/G
P＝ＵＩcosθ ＝ＵRＩ＝Ｉ2Ｒ＝Ｕ2G
3.无功功率 单位:var Q＝ＵＩsinθ Q > 0 : 感性电路 Q < 0 : 容性电路 θ ＝ψu－ψi
ＵX ＝Ｕsinθ
Ｕ＝zＩ
Q＝ＵＩsinθ ＝ＵXＩ
＝zＩ2sinθ ＝Ｉ2X (X＝Im[Z])
Q＝ＵＩsinθ ＝ＵXＩ＝Ｉ2X
二. 并联谐振
1
Y＝────＋jωC
Ｒ＋jωL
Ｒ
ωL
＝──────＋j(ωC－──────)
Ｒ2＋ω2 L2
Ｒ2＋ω2 L2
: 谐振条件
解得：
o
1 LC
1 R2C L
: 谐振角频率
fo
2
1 LC
1 R2C L
: 谐振频率
令 L
C
: 特性阻抗
o
1 LC1R 2ρ < R, ωO为虚数, 不可能谐振
p<0:ｕｉ反向, 电源 电路 p＝0: ｕ＝0或ｉ＝0
2.平均功率 单位: ｗ P＝ＵＩcosθ θ ＝ψu－ψi
P > 0 : 有功功率
ＵR ＝Ｕcosθ
Ｕ＝zＩ
P＝ＵＩcosθ ＝ＵRＩ
＝zＩ2cosθ ＝Ｉ2Ｒ (R＝Ｒe[Z])
注意: P ≠Ｕ2/R
∵Ｉ＝Ｕ/z ∴ P＝(Ｕ2/z)cosθ ≠Ｕ2/R
一., 串联谐振
⑴等效阻抗 1
Ｚ＝Ｒ＋ｊωＬ－ｊ── ωＣ
⑵
1
ωL－──＝0 :谐振条件
ωC
o
1 LC
:谐振角频率
fo
2
1 LC
:谐振频率
⑶谐振特点
①X ＝ 0, θ＝ 0, z ＝ R (最小, 纯电阻性)
XL oL
L LC
L C
XC
1 oC
LC C
L C
XL XC 0
L C
θ<0: 容性 记作 λ = cosθ = C (超前)
功率守恒
电路
P 0 Q 0 S~ 0 S 0
单口网络
P Pk Q Qk S~ S~k S Sk
无源单口网络
P PR Q QL QC
例.uS(t) 10 2 sin2t V, 求 P、Q、S、pf
解. Ｕ＝10 V j4(4－j4) Z＝3＋─────＝7＋j4＝8.06/29.74° Ω j4＋4－j4 Ｕ 10 I＝─＝───＝1.24 A P UI cos 101.24cos 29.74o 10.8w ｚ 8.06
①求pf＝cosθ1 ②并Ｃ, 使cosθ2＝ 0.9, 求Ｃ,Ｉ
解.①并上C以前
Ｐ
40
cosθ1＝──＝─────＝0.44 A ＵＩ 220×0.41
②并上Ｃ后: cosθ1 ＝0.44 , θ1 ＝63.9 。 , tg θ1 =2.04 cosθ ＝0.9 , θ1 ＝25.8。 , tg θ =0.48
Ｐ＝ＵＩ1cosθ1＝ＵＩcosθ Ｉ1cosθ1
①Ｉ＝───── cosθ
Ｐ＝ＵＩ1cosθ1＝Ｕｉcosθ
Ｐ
Ｐ
Ｉ1＝──── Ｉ＝────
Ｕcosθ1
Ｕcosθ
ＩC＝Ｉ1sinθ1－Ｉsinθ Ｐsinθ1 Ｐsinθ
＝──── － ──── Ｕcosθ1 Ｕcosθ Ｐ ＝─(tgθ1－tgθ)＝ωＣＵ＝2πfＣＵ Ｕ P
作业： 2－30 2－32
P S=───
cosθ
Q S2 P2
ＱC＝Ｑ－ＱL
fo
2
1 LC
练习
在图示电路中，已知 u =220 2 sin314t V,求 i1、i2、i 及
电路的功率P、Q、S。
I
解：
求U电路 的22功0率0：V
② C＝─2π─f─Ｕ─2 (tgθ1－tgθ)
其中 θ1: 并联电容Ｃ之前电路的功率因数角 θ : 并联电容Ｃ之后电路的功率因数角
例:设有一40W的日光灯接在220V, 50Hz电源上的电流为0.41Ａ, 问功率因数为多少? 为使其功率因数提高到0.9, 应并一 多大的电容, 此时电流为多少?
已知:Ｐ＝ 40 W, Ｕ＝220 V, f＝50 Hz, Ｉ1＝0.41 A
RLC电路的特性阻抗
②Ｉ＝ＵS/R 最大 ③ＵR＝RＩ＝ＵS
ωOL
ＵL ＝ωOL·Ｉ＝──·ＵS
R
1
1/ωOC
ＵC＝──·Ｉ＝────·ＵS
ωOC
R
ＵL＝ＵC≠ 0
UL UC 0
④品质因数(Ｑ值, 共振系数)
ωOL 1/ωOC
ρ
Ｑ＝──＝─────＝─
R
R
Ｒ
谐振时: ＵL＝ＵC＝ＱＵS (电压谐振)
ρ ＝ R, ωO＝ 0, 无所谓谐振
ρ > R, ωO> 0, 可能谐振
令
k
1
R
2
: 修正系数
ρ/R 2
3
4
5
10 100
k 0.866 0.943 0.968 0.990 0.995 0.999
工程允许误差5% 当ρ/R > 4 时，
o
1 LC
谐振阻抗:
接电流源(晶体管)输出电压高 电力系统中要避免谐振 电子系统中利用谐振