第二章正弦交流电路
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第2章 正弦稳态电路的分析
u
l
L是一个与i、ψ无关的常数。若线圈中含有铁磁物质，则 L与i、ψ有关，不是常数。 线圈的电感与线圈的形状，几何尺寸，匝数以及周 围物质的导磁性质有关，即 SN 2 L l l为密绕长线圈的长度（m），截面为S（m2)， 匝数为N，μ为介质的磁导率。
2．自感电动势
i(t)变化
ψ变化
产生eL(t)
波形图中 正半周 u ＞ 0 , i ＞ 0 (正值),说明实际方向与参考方向相同 负半周 u ＜ 0 , i ＜0 (负值),说明实际方向与参考方向相反
+
u
_
i,u T Um O
波形： Im
wt
可见:没有设定参考方向,正负值就没有意义,波形图也表达不出 它们的变化规律
2.1.2 正弦交流电量的三要素：
u U m cos( t + ) w U m e j (wt + )的实部 正弦电压u正好等于复数
u Re [U m e j (wt + ) ] Re [U m e jwt e j ] e jwt ] (令U U e j ) Re [U m m m
现在就把பைடு நூலகம்U m U m e j U m 称为正弦电压u的最大值相量
除法：模相除，角相减。
正弦交流电量的表示法 1、瞬时表达式(即时间的正弦或余弦函数式) 2、波形图(即时间的正弦或余弦函数曲线) 3、相量法(用复数表示正弦电量的方法) (1)复数与正弦量的关系
U m e j (wt + ) U m [cos(wt + ) + j sin(wt + )]
特殊相位关系：
u, i
u i O u, i u O u, i u iw t
大学物理学第2章正弦交流电路_02
解法2: 利用相量图分析求解
设 U AB为参考相量,
I1 10A
I2 100 5 5
2 2
j10Ω
I
I1
A
A
I 1 超前 U AB 90
10 2A,
I2
C1
B
5Ω j5Ω
V
画相量图如下：
I 2滞后UAB 45°
由相量图可求得： I =10 A
UL= I XL =100V U L超前I 90°
I1 Z2 j400 I 0.5 33 A Z1 Z 2 100 j200 j400
0.89 - 59.6 A
同理：
I
I2
Z1 I Z1 Z 2
100 j200 0.5 33 A 100 j200 j400 0.5 93.8 A
UL
I1 100 10
U
由相量图可求得： V =141V
45° I 45°
I2
U AB
10 2
2.5 正弦稳态电路的功率
2.5.1 功率
一、瞬时功率
I +
i = Im sinωt U u = Umsin (ωt + ) － p = u i = UmImsin(ωt + ) sinωt = U I cos + U I cos ( 2ωt + )
S =√P2 + Q2 = 190 V· A
例2 如图所示是测量电感线圈参数R和L的实验电路，已知电 压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W， 电源的频率f=50Hz。试求R和L的值。 ﹡ I 解：根据图中3个仪表的读数, A W ﹡ + 可先求得线圈的阻抗 电 R 感 Z | Z | R jL V U 线 圈 L U | Z | 50 I 功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有 P UI cos 30W 30 arctan( ) 53.130 UI 从而求得
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工第2章 正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
第二章正弦交流电的表示方法
R R R
I
U
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i I m sin ( t )
uip
则 p u i U m sin t I m sin t u U m sin ( t ) U m I m sin 2 t
p
u
0
i
ωt
结论：1. p随时间变化 2. p≥0；耗能元件,吸收电能，转换为热能
最大值 频率 初相角
第一篇
电工电子技术
一、解析式表示法
例1：已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 50 Hz，初 相位为 60 ，写出该电流的解析式，并求t=0时的瞬时值。 Im=2A ；
ω 2πf 2 50π 100π rad / s
60
i0
则它的解析式是： i = Imsin( t i0) = 2sin(100π t 60) A t=0s时的电流瞬时值是： i = 2sin(100π ×0 60°) = 2sin(60) =2× 3 = 3 A
答：初相位是2π /3 rad，t=0.5s时的瞬时值是1.59A。
电工电子技术 五、正弦交流电的表示方法
前提： 在分析正弦交流电路时，同一电路中的 所有电压、电流都是同频率的正弦量， 且频率与电源的频率相同。 因此： 一个正弦量由最大值（或有效值）和初 相位两个要素也能确定。 描述正弦交流电的有向线段称为相量。
电工电子技术
参数
见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。 1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε， 电容极板的正对面积S，电容极板的距离d有 关。
I
U
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i I m sin ( t )
uip
则 p u i U m sin t I m sin t u U m sin ( t ) U m I m sin 2 t
p
u
0
i
ωt
结论：1. p随时间变化 2. p≥0；耗能元件,吸收电能，转换为热能
最大值 频率 初相角
第一篇
电工电子技术
一、解析式表示法
例1：已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 50 Hz，初 相位为 60 ，写出该电流的解析式，并求t=0时的瞬时值。 Im=2A ；
ω 2πf 2 50π 100π rad / s
60
i0
则它的解析式是： i = Imsin( t i0) = 2sin(100π t 60) A t=0s时的电流瞬时值是： i = 2sin(100π ×0 60°) = 2sin(60) =2× 3 = 3 A
答：初相位是2π /3 rad，t=0.5s时的瞬时值是1.59A。
电工电子技术 五、正弦交流电的表示方法
前提： 在分析正弦交流电路时，同一电路中的 所有电压、电流都是同频率的正弦量， 且频率与电源的频率相同。 因此： 一个正弦量由最大值（或有效值）和初 相位两个要素也能确定。 描述正弦交流电的有向线段称为相量。
电工电子技术
参数
见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。 1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε， 电容极板的正对面积S，电容极板的距离d有 关。
汽车电工电子技术---正弦交流电路
汽车电工电子技术
正弦交流电路
第二章 正弦交流电路
• 在研究电能的不同形式上，人们常用图形来表示电动势、电压 和电流随时间的变化规律，这种图形称为波形图。图2-1是几种 电能形式的波形图。
• 直流电路中所讨论的电压和电流，其大小和方向（或极性）都 是不随时间变化的，如图2-1（a）所示。凡大小和方向随时间 周期性变化的电动势、电压和电流，统称为交流电。其波形如 图2-1（b）、（c）、（d）所示。随时间按正弦规律变化的交 流电称为正弦交流电，其波形如图2-1(b)所示。
• 正弦交流电是电能生产、输送、分配和使用的主要形 式。正弦交流电获得广泛应用的原因是：
• 第一：交流电易于产生、传输和转换，从而具有成本 低廉的优势；
• 第二，就用电设备看，由三相交流电源供电的三相异 步电动机结构简单、价格便宜、使用维护方便，是使 用最多的动力设备；
• 第三，在需要使用直流电的地方，可以用整流设备将 交流电变为直流电。因此学习和研究正弦交流电具有 重要的现实意义。
• (3)电容的无功功率
• 电容与电源之间的功率交换也用无功功率表示，其大小为
Q
UI
I 2 XC
U2 XC
• 电容的无功功率单位也是乏（Var）。
• 四、串联交流电路
• 实际交流电路，往往不是单一参数组成，而是由二个或三个参 数组成。例如像电动机和继电器这类电感性电路，当其线圈内 阻不可忽略时，线圈的电感和内阻便同时存在；又如一些电子 设备中多含有电阻、电感和电容。电阻、电感和电容串接在交 流电路上，就组成了RLC串联电路，如图2-9（a）所示。
• 下面我们以单相交流电讨论正弦交流电的产生和变化规律。如图 2-3（b）所示，以发电机转子的轴心o为原点，建立直角坐标。轴 与发电机的中性面重合。当线圈以角速度逆时针方向转动时，线 圈ab平面与y轴重合的瞬间，正弦电动势e有最大值Em或最小值Em，当线圈ab平面与轴重合的瞬间，正弦电动势e为零。
正弦交流电路
第二章 正弦交流电路
• 在研究电能的不同形式上，人们常用图形来表示电动势、电压 和电流随时间的变化规律，这种图形称为波形图。图2-1是几种 电能形式的波形图。
• 直流电路中所讨论的电压和电流，其大小和方向（或极性）都 是不随时间变化的，如图2-1（a）所示。凡大小和方向随时间 周期性变化的电动势、电压和电流，统称为交流电。其波形如 图2-1（b）、（c）、（d）所示。随时间按正弦规律变化的交 流电称为正弦交流电，其波形如图2-1(b)所示。
• 正弦交流电是电能生产、输送、分配和使用的主要形 式。正弦交流电获得广泛应用的原因是：
• 第一：交流电易于产生、传输和转换，从而具有成本 低廉的优势；
• 第二，就用电设备看，由三相交流电源供电的三相异 步电动机结构简单、价格便宜、使用维护方便，是使 用最多的动力设备；
• 第三，在需要使用直流电的地方，可以用整流设备将 交流电变为直流电。因此学习和研究正弦交流电具有 重要的现实意义。
• (3)电容的无功功率
• 电容与电源之间的功率交换也用无功功率表示，其大小为
Q
UI
I 2 XC
U2 XC
• 电容的无功功率单位也是乏（Var）。
• 四、串联交流电路
• 实际交流电路，往往不是单一参数组成，而是由二个或三个参 数组成。例如像电动机和继电器这类电感性电路，当其线圈内 阻不可忽略时，线圈的电感和内阻便同时存在；又如一些电子 设备中多含有电阻、电感和电容。电阻、电感和电容串接在交 流电路上，就组成了RLC串联电路，如图2-9（a）所示。
• 下面我们以单相交流电讨论正弦交流电的产生和变化规律。如图 2-3（b）所示，以发电机转子的轴心o为原点，建立直角坐标。轴 与发电机的中性面重合。当线圈以角速度逆时针方向转动时，线 圈ab平面与y轴重合的瞬间，正弦电动势e有最大值Em或最小值Em，当线圈ab平面与轴重合的瞬间，正弦电动势e为零。
第2章 正弦交流电路
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180°。 下面图中是三个正弦电流波形。 i1与 i2 同相， i1与 i3反相。
i
i1 i2
O
i3
ωt
总 结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
9
电气与自动化工程学院
2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i
相位 表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位 t =0时的相位。
i I m sint 相位： t 初相位： 0
i I m sin t
相位：
i
O
t
i
t
说 明
初相位：
ψ
t
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
7
电气与自动化工程学院
相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不 一定相同，设电路中电压和电流为：
26
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2.3.3 电容元件的交流电路 电压电流关系
对于电容电路：
dq du i C dt dt
i
＋
如果电容两端加正弦电压：
u
_
C
u Um sin t
则：
注意u 和i的参考方向！
dU m sint i C CUm cost CUm sin t 90 I m sin t 90 dt
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:
电路 第二章 正弦交流电路(1)
11
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
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u i
结论：
o
ωt 纯电感不消
i
+
u
i u
i u
i u+
- ++-
p
可逆的能量 转换过程
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
耗能量，只和 电源进行能量 交换
ωt
电感L是 储能元件
储能 放能 储能 放能
23
(3) 无功功率 Q
用以衡量电感电路中能量交换的规模。 用瞬时功率达到的最大值表征。
U
O
m
ψ
称为相量。
相两
量
要 素
ω t1
ωt
若:矢量长度 = Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
旋
转 相
三 要 素
矢量以角速度 ω 按逆时针方向旋转 量
则:该旋转矢量每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应 时刻正弦量的瞬时值。 把该旋转矢量称为旋转相量。
11
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 复数表示形式
单位：var
30
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系
阻抗
i
+
Ru
u iR R
-
电压、电流关系
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
设
i 2Isinωt
则
U IR
I
U
U IR
UI I 2R
0
u 2Usinωt
u、 i 同相
i
设
U
i 2Isinωt
瞬时功率 ：p u i UI sin2ωt
QL U I I 2XL U 2 XL
单位：var
24
2.3.3 纯电容电路
1.电流与电压的关系
i
基本关系式： i C du
设：u 2 U sin ω t dt
+
u
C
_
则：
i
C
du
2 UC ω cos ω t
电流与电压
dt
的变化率成
2 U ωC sin(ω t 90) 正比。
设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb
+j
b
r
0
A
a +1
式中: a r cos ψ b r sin ψ
(2) 三角式
r ψ
a2 b2 arctan
b
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
为同频率 正弦量
2 I ( ω L)sin( ω t 90)
2I ( 1 )sin(ω t 90)
ωC
32
(2)相量法
I
+
+
R U_ R
+
U jXL U_ L
_ -jXC U+_C
1)相量式
U U R U L U C 设 I I0 （参考相量）
则 U R IR
U L I(jX L ) U C I(jXC )
Imsin ω t 2 I sin ω t
•
I
•
RU
R
相量电路
I
相量图 U
① u、i频率相同 ②大小关系：I
U
R
③ u、i 相位相同
相量式：
U U 0 I I 0
相位差 ： u i 0
U IR
16
2. 功率关系
(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
ui
i Im sin ω t = 2 U sin ω t
0
UI - I2XC
sin(t 90)
31
2.4 单相交流电路分析
2.4.1 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
i
(1) 瞬时值表达式
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
根据KVL可得：
u uR uL uC
iR
L
di dt
1 C
idt
+ 设：i 2 I sinω t
_ C u_ C 则 u 2IR sinω t
UI
L
+ u
u L di jX L 则
dt
u 2Iω L
U IX L
X L L
I U jIX L 0 I 2 X L
-
sin(t 90)
u超前 i 90°i
i C du dt
设
i 2Isinωt
jXC 则
I
u 2
ωC
U IX C
XC 1/c
U I U jIXC
u落后 i 90°
电容电路中相量形式的欧姆定律
I I 超前 U 90
U 相量图
•
I
•
U
j
1 C
相量模型
27
2.功率关系 u Umsin ω t
i Imsin ( ω t 90)
(1) 瞬时功率
p u i Um Im sin ω t sin ( ω t 90)
Um Im 2
sin2 ω t
UI
sin 2 ω t
相量表示:
U Ue j ψ U ψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
13
或：
Um Umejψ Um ψ
相量的模=正弦量的幅值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的幅值相量
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
②只有正弦量才能用相量表示。
14
如：已知 u 220 sin(ω t 45)V
U IR I (jX L ) I (jXC )
I R j X L XC I R + jX
总电压与总电流 的相量关系式
33
根据 U I R + jX I R j XL XC
令 Z R jX
阻抗 单位Ω
则 U IZ
X X L XC 电抗
Z U U u U I I i I
则Um 220 45 V或U 220 45 V 2
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
15
2. 3 单一元件的交流电路
2.3.1 纯电阻电路
i
1. 电压与电流的关系
+
根据欧姆定律: u iR
u
设 u Umsinω t
_
i u Umsinω t 2U sinω t
R
R
R
+
u
P 1
T p dt 1
T
u i dt
_
T0
大写
T0
pp
R
1
T
UI(1 cos2 ω t)dt
T0
P
UI
O
ωt
P UI I 2R U 2 单位:瓦（W）
R
平均功率就是电路中实际消耗的电功率——有功功率
18
2.3.2 纯电感电路
1. 电压与电流的关系
基本关系式：u
设：i 2 I sin
电容C是
ωt
储能元件
充电 放电 充电 放电
29
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设：
i 2I sinω t 则：u 2Usin ( ω t 90 ) 2U cos ω t
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
QC
UI
I2XC
U2 XC
(2) 平均功率 Ｐ
P 1
T
p dt
T0
1T
T 0 UI sin 2 ω t dt 0
C是非耗能 元件
28
瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
u,i i u
o
i
+
u
i u+
-i u
-i u
- -++
p
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
结论： ω t 纯电容不消
耗能量，只和 电源进行能量 交换
: 反映出正弦量之间的相位关系。
7
如：u Umsin( ω t ψ1 )
i Imsin( ω t ψ2 )
( t 1 ) ( t 2 )
ψ1 ψ2 若 ψ1 ψ2 0
电压超前电流 电流滞后电压
ui u i
O
ωt
8
注意:
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。
i i1
i2
O
t
② 只有同频率的正弦量比较才有意义。
9
2.2 正弦量的相量表示法
１.正弦量的表示方法
u
波形图表示
O
ωt
三角函数表示 u Umsin( t )
必须
相量 U Uψ
小写
重点
10
2.正弦量用旋转矢量表示
旋转相量的初始值
设正弦量: +j y
u
Umsin(
t ψ)
u
u0ω
x
O
u1 +1
可得相量式：I I 0 U U 90 Iω L 90
U 超前I 90
U
I
相量图
则：U U II