高一上学期第一次月考数学试卷及答案解析
高一上学期第一次月考数学测试题及答案
高一上学期第一次月考数学测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一、单选题（共6小题）1．下列各式正确的是（）A．a6÷a2＝a3B．C．D．2．＝（）A．4B．8C．D．3．若2m＝5，4n＝3，则43n﹣m的值是（）A．0.9B．1.08C．2D．44．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b5．设a∈R．若函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，且f（2）＞f（3），则a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．a＜2D．a＜2且a≠16．已知函数f（x）＝a x﹣1﹣3（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+x n+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．多选题（共3小题）7．下列判断正确的有（）A．＝3﹣πB．（其中a＞0）C．D．（其中m＞0，n＞0）8．已知（a＞0），则下列选项中正确的有（）A．B．C ．D ．9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的定义域为RB ．函数f （x ）的值域为（﹣1，1）C ．函数f （x ）的图象关于y 轴对称D ．函数f （x ）在R 上为减函数 三．填空题（共3小题）10．计算＝．11．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号）12．下列说法中正确的序号为 ． ①在同一坐标系中，函数y ＝2x 与函数的图象关于y 轴对称；②函数f （x ）＝a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象经过定点（0，2）； ③函数的单减区间为（﹣∞，1]；④任意x ∈（2，+∞），都有2x ＞x 2．参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBBBADBCDACAB②①②③一．选择题（共6小题）1．解：A 、原式＝a 4，所以A 选项错误；B 、原式＝，所以B 选项错误；C、原式＝，所以C选项错误；D、a＜0，原式＝，所以D选项正确．故选：D．2．解：原式＝×＝＝23＝8．故选：B．3．解：2m＝5，4n＝3，则43n﹣m＝（4n）3÷4m＝33÷52＝＝1.08．故选：B．4．解：根据题意，设f（x）＝2x，则f（x）在（0，+∞）单调递增，所以a＝f（0.4）＜b＝f（0.6）设g（x）＝x0.6，则g（x）在（0，+∞）单调递增，所以因为a＞20＝1，所以a＞c，综合可得：c＜a＜b．故选：B．5．解：函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，f（2）＞f（3）则函数f（x）在R上单调递减，故0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故选：A．6．解：由指数函数的图象和性质，令x﹣1＝0，解得x＝1所以f（1）＝a0﹣3＝﹣2，所以f（x）＝a x﹣1﹣3恒过定点（1，﹣2），所以m＝1，n＝﹣2所以，因此不经过第四象限．故选：D．二．多选题（共3小题）解：对于选项A，＝|3﹣π|＝π﹣3，A错误；对于选项B，因为a＞0，所以，B正确；对于选项C C正确；对于选项D，因为m＞0，n＞0，所以，D正确．故选：BCD．8．解：由，得，整理得，故A正确；由于，则，故B错误；由，a＞0，得，则，故C正确；由，得，解得，故D错误．故选：AC．9．解：A：因为2x＞0，所以函数f（x）的定义域为R，故A正确；B：由所以函数f（x）的值域为（﹣1，1），故B正确；C：因为所以函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；D：因为函数y＝2x+1是增函数，因为y＝2x+1＞1，所以函数是减函数因此函数是增函数，故D错误．故选：AB．三．填空题（共3小题）10．解：＝+＝．故答案为：．11．解：由指数函数的图像和性质可知，y＝3x，y＝图像关于y轴对称，y＝3x在R上单调递增，y＝在R上单调递减又曲线①②③④中有3条分别是函数y＝2x，y＝3x，y＝的图象，曲线①与④关于y轴对称，曲线②与③关于y轴对称所以曲线③为y＝3x，曲线④为y＝2x，曲线②为y＝．故答案为：②．12．解：在同一坐标系中，函数y＝2x与函数＝2﹣x的图象关于y轴对称，故①正确；当x＝0时，y＝a0+1＝2故函数f（x）的图象经过定点（0，2），故②正确；设g（x）＝x2﹣2x则g（x）在（﹣∞，1]上单调递减由复合函数的单调性可知，函数的单减区间为（﹣∞，1]，故③正确；当x＝4时，2x＝x2，故④错误．故答案为：①②③．。
南京市第九中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
江苏南京市第九中学2024-2025学年高一数学上第一次月考试卷一．选择题（共4小题）1．若不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（）A．（﹣3，0）B．[﹣3，0）C．[﹣3，0]D．（﹣3，0]2．已知集合，集合，则（）A．M∈N B．C．M＝N D．3．已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，则下列不等式一定成立的是（）A．ab2＞bc2B．ab2＞b2cC．（ab﹣ac）（b﹣c）＞0D．（ac﹣bc）（a﹣c）＞04．已知正实数a，b满足2a+b＝1，则的最小值为（）A．3B．9C．4D．8二．多选题（共5小题）（多选）5．下列四个命题中正确的是（）A．方程的解集为{2，﹣2}B．由所确定的实数集合为{﹣2，0，2}C．集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）} D．中含有三个元素（多选）6．已知实数a，b∈R+，且2a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为B．a2+b2的最小值为C．的最小值为6D．（多选）7．下列四个命题是真命题的是（）A．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x+1）的定义域为[﹣3，1]B．函数的值域为C．若函数y＝x2+mx+4的两个零点都在区间为（1，+∞）内，则实数m的取值范围为（﹣5，﹣4）D．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在区间[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）（多选）8．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是（）A．m≤﹣2B．m＜﹣2C．m＜2D．﹣4＜m＜﹣3（多选）9．若a＜0＜b，且a+b＞0，则（）A．B．C．|a|＜|b|D．（a﹣1）（b﹣1）＜0三．填空题（共4小题）10．定义在R上的函数f（x）满足，则＝．11．若命题“∃x∈[﹣1，2]，使得x2+mx﹣m﹣5≥0”是假命题，则m的取值范围是．12．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣3，+∞），则关于x的不等式ax2+bx＜0的解集为．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B＝∠C且7a2+b2+c2＝4，则△ABC 的面积的最大值为．四．解答题（共5小题）14．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且命题p、q均为真命题，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．15．已知函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．16．已知函数f（x）＝x2+ax+3，a∈R（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若当x∈[﹣2，2]时，函数有意义，求实数a的取值范围．（3）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣2）x+a，函数y＝g[g（x）]的最小值是5，求实数a的值．17．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．18．已知关于x的函数和．（1）若y1≥y2，求x的取值范围；（2）若关于x的不等式（其中0＜t≤2）的解集D＝[m，n]，求证：．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【解答】解：k＝0时，﹣＜0恒成立，故满足题意；k≠0时，，∴﹣3＜k＜0．∴实数k的取值范围是（﹣3，0]．故选：D．2．【解答】解：＝{x|x＝12k，k∈N*}，＝{x|x＝24k，k∈Z}，故A错误，C错误，当x＝﹣12时，，既不在集合M，也不在集合N，故B错误；当元素满足为24的正整数倍时，比满足为12的正整数倍，故M∩N＝，故D正确，故选：D．3．【解答】解：因为a＞b＞c，且a+b+c＝0，所以a＞0，c＜0，对于A，由于a＞c，而当b＝0时，ab2＝bc2，故A错误；对于B，当b＝0时，ab2＝b2c，故B错误；对于C，由于a＞0，b＞c，则b﹣c＞0，所以（ab﹣ac）（b﹣c）＝a（b﹣c）（b﹣c）＞0，故C正确；对于D，因为a＞b＞c，所以a﹣b＞0，a﹣c＞0，又c＜0，所以（ac﹣bc）（a﹣c）＝c（a﹣b）（a﹣c）＜0，故D错误．故选：C．4．【解答】解：因为正实数a，b满足2a+b＝a+a+b＝1，则＝＝＝＝5++＝9，当且仅当a+b＝2a且2a+b＝1，即a＝b＝时取等号．故选：B．二．多选题（共5小题）5．【解答】解：对于A，方程的解集为{（2，﹣2）}，故A错误；对于B，当a＞0，b＞0时，＝，当a＞0，b＜0时，＝，当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0，当a＜0，b＜0时，＝﹣1﹣1＝﹣2，故所确定的实数集合为{﹣2，0，2}，故B正确；对于C，3x+2y＝16，x∈N，y∈N，则或或，故集合{（x，y）|3x+2y＝16，x∈N，y∈N}可以化简为{（0，8），（2，5），（4，2）}，故C正确；对于D，A＝＝{﹣3，0，1，2}中含有4个元素，故D错误．故选：BC．6．【解答】解：对于A，因为a，b∈R+，2a+b＝1，所以，得，当且仅当时，取等号，所以ab的最大值为，所以A正确，对于B，因为a，b∈R+，2a+b＝1，所以0＜a＜1，b＝1﹣2a＞0，所以，所以，所以当时，a2+b2有最小值，所以B错误，对于C，因为a，b∈R+，2a+b＝1，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，所以C错误，对于D，因为2a+b＝1，所以，由选项B知，所以，所以，所以，所以，所以，所以D正确．故选：AD．7．【解答】解：由﹣2≤x+1≤2，解得﹣3≤x≤1，即函数f（x+1）的定义域为[﹣3，1]，故A正确；函数的定义域为[2，+∞），易知函数在[2，+∞）上单调递增，则函数的值域为[2，+∞），故B错误；若函数y＝x2+mx+4的两个零点x1，x2都在区间为（1，+∞）内，则x1＞1，x2＞1，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，且x1+x2＝﹣m，x1x2＝4，故即解得﹣5＜m ＜﹣4，故C正确，若f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]单调递增，则，若f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]单调递减，则，故实数m的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞），D正确．故选：ACD．8．【解答】解：根据题意，A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，若A∩B＝∅．则m+1≤﹣1≤﹣2，对于A，m≤﹣2为A∩B＝∅的充分必要条件，故A错，对于B，m＜﹣2为A∩B＝∅的一个充分不必要条件，故B正确，对于C，m＜2为A∩B＝∅的一个必要不充分条件，故C错，对于D，﹣4＜m＜﹣3为A∩B＝∅的一个充分不必要条件，故D正确，故选：BD．9．【解答】解：A选项：∵a＜0＜b，且a+b＞0，∴b＞﹣a＞0，可得，即，A正确；B选项，，B错误；C选项，a＜0＜b即|a|＝﹣a，|b|＝b，由a+b＞0可得|b|＞|a|，C正确；D选项，因为当，所以（a﹣1）（b﹣1）＞0，D错误．故选：AC．三．填空题（共4小题）10．【解答】解：∵，∴＝＝2+2+2+1＝7．故答案为：7．11．【解答】解；由题意原命题的否定“∀x∈[﹣1，2]，使得x2+mx﹣m﹣5＜0”是真命题，不妨设，其开口向上，对称轴方程为，则只需f（x）在[﹣1，2]上的最大值[f（x）]max＜0即可，我们分以下三种情形来讨论：情形一：当即m≥2时，f（x）在[﹣1，2]上单调递增，此时有[f（x）]max＝f（2）＝m﹣1＜0，解得m＜1，故此时满足题意的实数m不存在；情形二：当即﹣4＜m＜2时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，此时有[f（x）]max＝max{f（2）（﹣1）}＜0，只需，解不等式组得﹣2＜m＜1，故此时满足题意的实数m的范围为﹣2＜m＜1；情形三：当即m≤﹣4时，f（x）在[﹣1，2]上单调递减，此时有[f（x）]max＝f（﹣1）＝﹣2m﹣4＜0，解得m＞﹣2，故此时满足题意的实数m不存在；综上所述：m的取值范围是（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．12．【解答】解：∵关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣3，+∞），∴﹣＝﹣3且a＞0，∴b＝3a，∴不等式ax2+bx＜0，可化为ax2+3ax＜0，又∵a＞0，∴x2+3x＜0，解得﹣3＜x＜0，即原不等式的解集为（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．13．【解答】解：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2+b2+c2＝4得，7a2+2b2＝4，即2b2＝4﹣7a2，由余弦定理得，cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，则△ABC的面积S＝＝＝a＝＝×≤××＝＝，当且仅当15a2＝8﹣15a2取等号，此时a2＝，所以△ABC的面积的最大值为，故答案为：．四．解答题（共5小题）14．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a；当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3；由，得，解得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3；则p、q均为真命题时，实数x的取值范围是（2，3）；（2）由（1）知p：a＜x＜3a，a＞0，q：2＜x≤3；当q是p的充分不必要条件时，；解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]．15．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义域（﹣1，1）上的奇函数，则有f（0）＝＝0，则b＝0；此时f（x）＝，为奇函数，符合题意，故f（x）＝，（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝﹣又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，x1x2+1＞0，（﹣1）＜0，（﹣1）＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数；（3）根据题意，f（t﹣1）+f（t）＜0⇒f（t﹣1）＜﹣f（t）⇒f（t﹣1）＜f（﹣t）⇒，解可得：＜t＜1，即不等式的解集为（，1）．16．【解答】解：（1）若函数的定义域为R，则对任意的x∈R，x2+ax+3≠0，由于函数f（x）＝x2+ax+3为开口向上的二次函数，故只需要Δ＝a2﹣12＜0，解得，故a的范围为{a|}；（2）对x∈[﹣2，2]有意义，则对于x∈[﹣2，2]，f（x）﹣a＝x2+ax+3﹣a≥0恒成立，记h（x）＝x2+ax+3﹣a，对称轴为，当时，即a≥4，此时h（x）在x∈[﹣2，2]单调递增，故，与a≥4矛盾，舍去，当，即a≤﹣4，此时h（x）在x∈[﹣2，2]单调递减，故h（2）＝4+2a+3﹣a＝7+a≥0⇒a≥﹣7，故﹣7≤a≤﹣4，当，即﹣4＜a＜4，此时，解得﹣6≤a≤2，故﹣4＜a≤2，综上可得：{a|﹣7≤a≤2}；（3）g（x）＝f（x）﹣（a﹣2）x+a＝x2+2x+a+3＝（x+1）2+a+2≥a+2，令t＝g（x），则t≥a+2，y＝g[g（x）]＝g（t）＝（t+1）2+a+2，t≥a+2，则g（t）为开口向上，对称轴为t＝﹣1的二次函数，当a+2≤﹣1⇒a≤﹣3，此时g（t）min＝g（﹣1）＝a+2＝5⇒a＝3，不符合要求，舍去，当a+2＞﹣1⇒a＞﹣3，此时或a＝﹣6（舍去），故a＝﹣1．17．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣3，又x+y＝x+2+﹣3，0＜x＜30，所以由对勾函数的性质可得x+y＜30，所以8﹣3≤x+y＜30．18．【解答】解：（1）y1≥y2可得x2﹣2|x|≥4x2﹣16，即3x2+2|x|﹣16≤0，即（|x|﹣2）（3|x|+8）≤0，即，则﹣2≤x≤2，则实数x的取值范围是[﹣2，2]；证明：（2）因为，所以y1≥y2，由（1）知x∈[﹣2，2]，所以D＝[m，n]⊆[﹣2，2]；（i）0＜t＜1时，当x∈[0，2]时，，所以当x∈[0，2]时，恒成立，当x∈[﹣2，0）时，令＝x2+2x﹣（2t﹣2）x+t2＝x2+（4﹣2t）x+t2，y＝g（x）对称轴x＝t﹣2＜﹣1，故y＝g（x）在[﹣1，0）上为增函数，又g（﹣1）＝1+2t﹣4+t2＝（t+1）2﹣4＜0，g（0）＝t2＞0，所以存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＝0，故g（x）≥0的解集为[x0，0]，所以当x∈[﹣2，2]时，的解集为[x0，2]，其中x0∈（﹣1，0），所以D＝[m，n]⊆（﹣1，2]，则；（ii）当t＝1时，y1≥﹣1≥y2，因为，所以y1≥﹣1恒成立，由题意知﹣1≥y2的解集为D＝[m，n]，所以m，n是方程﹣1＝4x2﹣16的两根，所以，所以；（iii）当1＜t≤2时，当x∈[0，2]时，由（i）知，当x∈[﹣2，0）时，令，∴在[﹣2，2]恒成立，故只需要考虑（2t﹣2）x﹣t2≥y2在[﹣2，2]的解集即可，由（2t﹣2）x﹣t2≥y2，可得4x2﹣（2t﹣2）x+t2﹣16≤0，由题意m，n是4x2﹣（2t﹣2）x+t2﹣16＝0的两根，令φ（x）＝4x2﹣（2t﹣2）x+t2﹣16，其对称轴为，φ（2）＝16﹣2（2t﹣2）+t2﹣16＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2≥0，φ（﹣2）＝16+2（2t﹣2）+t2﹣16＝t2+4t﹣4＝（t+2）2﹣8＞0，所以m，n∈[﹣2，2]，，又h（t）＝﹣3t2﹣2t+65在1＜t≤2为单调减函数，∴h（t）＜h（1）＝60，∴，综上，．。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
甘肃省庆阳第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}N 4U x x *=∈≤，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2B ．{}1,2,3,4C ．{}3,4D ．{}2,3,42．命题“R x ∃∈，21x <”的否定是（）A ．R x ∀∈，21x ≥B ．R x ∀∈，21x <C ．x R ∃∈，21x ≥D ．R x ∃∈，21x >3．如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A ．()U AB ⋃ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U B A⋂ðD ．()U A B⋂ð4．已知集合{}|11A x x =-<<，{}2|20B x x x =--<，则（）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B=D ．A B =∅5．已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭6．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合{}{}1,1,2,41,2,4,16M N =-=，，给出下列四个对应法则：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②④7．关于x 的方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则a 的取值范围为（）A ．1a <-B ．18a <C ．1a <-或18a <D ．1a <-或18a ≤8．已知0x >，0y >，且30x y xy +-=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．][(),34,-∞-⋃+∞B ．()4,3-C ．()3,4-D ．][(),43,-∞-+∞ 二、多选题9．下列命题是真命题的为（）A ．若0a b c d >>>>，则ab cd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0ab <10．下列说法正确的是（）A ．至少有一个实数x ，使210x +=B ．“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C ．命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D ．“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件11．设正实数,x y 满足21x y +=，则（）A ．xy 的最大值是18B ．112x y+的最小值为4C ．224x y +最小值为12D ．212x y x+最小值为2三、填空题12．若集合{}1,1A =-，{}2B x mx ==，且B A ⊆，则实数m 的值是.13．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，则a b -=．14．当,m n ∈Z 时，定义运算⊗:当,0m n >时，m n m n Ä=+；当,0m n <时，m n m n Ä=×；当0,0m n ><或0,0m n <>时，||m n m n ⊗=⋅；当0m =时，m n n ⊗=；当0n =时，m n m ⊗=．在此定义下，若集合{(,)4}A m n m n =⊗=∣，则A 中元素的个数为．四、解答题15．已知集合{}220,{2,0}A xx ax a B =-+==-∣．(1)若1a =，求A B ;(2)若A B ⋂中只有一个元素，求a 的取值集合．16．（1）已知0ab ≠，求证：1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--17．求下列关于x 的不等式的解集：(1)4101x +≤-；(2)()222R ax x ax a ≥-∈-18．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，设广告牌的高为cm x ，宽为cm y .(1)试用x 表示y ，并求x 的取值范围；(2)用x 表示广告牌的面积S ；(3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积S 最小？19．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立.(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若p，q一真一假，求实数m的取值范围.参考答案：题号12345678910答案D ADADCABBCDBD题号11答案ABC1．D【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.【详解】由题意可知{}1,2,3,4U =，所以{}3,4U A =ð，所以(){}2,3,4U A B ⋃=ð，故选：D 2．A【分析】运用特称命题的否定知识，否定结论，特称变全称即可.【详解】运用特称命题的否定知识,命题“R x ∃∈，21x <”的否定是“R x ∀∈，21x ≥”.故选：A.3．D【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A ∉且x B ∈，即U x A ∈ð且x B ∈，所以，阴影部分可表示为()U A ðB ⋂.故选：D.4．A【分析】求出集合B ，可确定两个集合之间的关系.【详解】因为220x x --<⇒()()210x x -+<⇒12x -<<，所以{}|12B x x =-<<.所以A B ⊆.故选：A 5．D【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D 6．C【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可．【详解】对应关系若能构成从M 到N 的函数，须满足：对M 中的任意一个数，通过对应关系在N 中都有唯一的数与之对应，对于①，1y x=，当2x =时，12y N =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110y N =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当1x =-时，1y N =∈，当2x =时，2y N =∈，当4x =时，4y N =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =±时，1y N =∈，当2x =时，4y N =∈，当4x =时，16y N =∈，故④满足题意．故选：C.7．A【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.【详解】根据方程220++=x x a 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，可知2Δ1801120a a =->⎧⎨++<⎩，解得1a <-.故选：A 8．B【分析】将问题转化为2min (3)x y m m +>+，利用“1”的代换以及基本不等式求解min (3)x y +，从而得到212m m +<，求解不等式，即可得到答案．【详解】因为不等式23x y m m +>+恒成立，则2min (3)x y m m +>+，因为0x >，0y >，由30x y xy +-=可得311x y+=，所以3193(3)()62612y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当9y xx y=，即6x =，2y =时取等号，故min (3)12x y +=，所以212m m +<，即2120m m +-<，解得43m -<<，则实数m 的取值范围是(4,3)-．故选：B ．9．BCD【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确.【详解】对于A 项，取2a =，1b =，3c =-，4d =-，则2ab =，12cd =，所以ab cd <，故A 选项错误；对于B 选项，若22ac bc >，有20c >，则a b >，B 选项正确；对于C 选项，若0a b >>，则220a b >>，则2211a b <，又因为0c <，由不等式的性质可得22c c a b >，所以C 选项正确；对于D 选项，若a b >且11a b >，则110a b b a ab--=<，所以，0ab <，D 选项正确．故选：BCD ．10．BD【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.11．ABC【分析】直接利用基本不等式即可求解A ，利用乘“1”法即可求解B ，利用完全平方式的性质即可求解C ，将“1”代换，即可由基本不等式求解D.【详解】对于A，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y+=⎧⎨=⎩，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，41112()(2)212222y xx y x y x y x y+=++=++≥+，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，22214(2)4142x y x y xy xy +=+-=-≥，当且仅当14x =，12y =时等号成立，C 正确；对于D，21221132222x x x x y x y x y x y y +=+=+≥+++，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．12．2±或0【分析】分B =∅、{}1B =-和{}1B =分别计算即可.【详解】当B =∅时，0m =，符合题意；当{}1B =-时，2m =-；当{}1B =时，2m =，综上，m 的值为2±或0.故答案为：2±或0.13．-2【分析】将不等式解集问题转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理求出24,33a b =-=，得到答案.【详解】由题意得：-1,3为方程220ax bx ++=的两根，故213,13b a a -+=--⨯=，解得：24,33a b =-=，故24233a b --=-=-.故答案为：-214．14【分析】根据定义运算⊗，分成五类情况分别列举符合条件的元素，合并即得集合A .【详解】①当,0m n >时，4m n m n ⊗=+=，所以1,3m n =⎧⎨=⎩或3,1m n =⎧⎨=⎩或2,2,m n =⎧⎨=⎩；②当,0m n <时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=-⎩；③当0,0m n ><或0,0m n <>时，4m n m n ⊗=⋅=，所以1,4m n =-⎧⎨=⎩或4,1m n =⎧⎨=-⎩或1,4m n =⎧⎨=-⎩或4,1m n =-⎧⎨=⎩或2,2m n =⎧⎨=-⎩或2,2,m n =-⎧⎨=⎩；④当0m =时，4m n n ⊗==；⑤当0n =时，4m n m ⊗==．所以()()()()()()()()(){1,3,3,1,2,2,1,4,4,1,1,4,4,1,1,4,4,1A =--------，()()()()()2,2,2,2,2,2,0,4,4,0}----，共14个元素．故答案为：14.15．(1){}2,0A B =- (2){}1,0-【分析】（1）求出A =∅，根据并集概念求出答案；（2）分0A B ∈∩和2A B -∈ 两种情况，得到答案.【详解】（1）1a =时，{}220A x x x =-+=，因为Δ1870=-=-<，所以方程220x x -+=无实数根，所以A =∅．故{}2,0A B =- ．（2）当0A B ∈∩时，20a =，得0a =，此时{}{}0,0A A B == ；当2A B -∈ 时，4220a a ++=，得1a =-，此时{}{}2,1,2A A B =-=- ．故a 的取值集合为{}1,0-．16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）证明充要条件，可先证明充分性再证必要性；（2）利用作差法证明即可.【详解】（1）证明：∵3322()()a b a b a ab b +=+-+∴332222(1)()a a b ab a b b a ab b ++--=+--+.充分性证明即1a b +=⇒33220a b ab a b ++-=-.∵1a b +=，即10a b +-=，∴222233(1)()0a a b ab a b a b ab b +-++-+-=-=，充分性得证；必要性证明即33220a b ab a b ++-=-⇒1a b +=.又∵0ab ≠∴222213024a ab b a b b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∵33220a b ab a b ++-=-，∴22(1)()0a b a ab b +--+=，∴10a b +-=，即1a b +=，必要性得证.故1a b +=是33220a b ab a b ++-=-的充要条件.（2）证明：()()()()()()()()e b d a c e b a c d e e a c b d a c b d a c b d ----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=------，∵0a b >>，0c d <<，0e <，∴0,0,0,0a c b d b a c d ->->-<-<，∴()()0b a c d -+-<，∴()()()()0e b a c d a c b d -+-⎡⎤⎣⎦>--，即0e e a c b d ->--故e e a c b d>--.17．(1){|31}x x -≤<(2)答案见解析【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.【详解】（1）解：由不等式4101x +≤-，可得301x x +≤-，解得31x -≤<，即不等式4101x +≤-的解集为{|31}x x -≤<.（2）解：由不等式222ax x ax -≥-，可得化为2(2)20ax a x +--≥，若0a =，不等式可化为220x --≥，解得1x ≤-，即解集为{|1}x x -≤；若0a ≠，不等式可化为2(1)(0a x x a+-≥当0a >时，不等式即为2(1)(0x x a +-≥，解得1x ≤-或2x a≥，即不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a <时，不等式即为2(1)(0x x a+-≤，①当21a->时，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-，解集为2{|1}x x a ≤≤-；②当21a-=时，即2a =-时，解得1x =-，解集为{|1}x x =-；③当当21a -<时，即2a <-时，解得21x a -≤≤，解集为2{|1}x x a -≤≤综上，当0a >时，不等式的解集为{|1x x ≤-或2}x a≥；当0a =，不等式的解集为{|1}x x -≤；当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-；当2a =-时，不等式的解集为{|1}x x =-；当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.18．(1)1800025,2020y x x =+>-(2)1800025,2020x S x x x =+>-(3)140cm【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可；（2）矩形面积公式写函数表达式；（3）运用换元，结合基本不等式解题即可.【详解】（1）每栏的高和宽分别为()()120cm,25cm 2x y --，其中20,25x y >>两栏面积之和为：()25220180002y x --⋅=，整理得，1800025(20)20y x x =+>-.（2）18000180002525,202020x S xy x x x x x ⎛⎫==+=+> ⎪--⎝⎭；（3）令()20,0,t x t ∞=-∈+，则36000014400251850025185000S t t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭；1850024500≥+=∴当120t =时，S 取最小值为24500，此时140x =；答：当广告牌的高取140cm 时，可使广告的面积S 最小.19．(1)[1,3](2)(1)(23],,∞-⋃【分析】（1）p 为真命题时，任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立可转化为()2min 234x m m -≥-，求解即可（2）化简命题q ，由（1）结合条件列不等式即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为p 为真命题，所以对任意[0,1]x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，所以()2min 234x m m -≥-，其中[0,1]x ∈，所以234m m -≥-，解得13m ≤≤，所以m 的取值范围[1,3]；（2）若q 为真命题，即存在[1,1]x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立，则()2min 210x x m -+-≤，其中[1,1]x ∈-，而()2min212x x m m -+-=-+，所以20m -+≤，故2m ≤；因为,p q 一真一假，所以p 为真命题，q 为假命题或p 为假命题q 为真命题，若p 为真命题，q 为假命题，则132m m ≤≤⎧⎨>⎩，所以23m <≤；若p 为假命题，q 为真命题，则12m m <⎧⎨≤⎩或32m m >⎧⎨≤⎩，所以1m <.综上，1m <或23m <≤，所以m 的取值范围为(1)(23],,∞-⋃.。
辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)
东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间：120分钟 满分：150分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.已知集合，则中元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.62.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A.3B.4C.15D.163.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）A.B.C. D.4.设，则下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（ ）(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B.C.D.或二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是（ ）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U ､､A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合为全体实数集，或.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知全集，集合，集合.（1）若，求实数的取值集合；（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.17.（本小题15分）设，且.（1介于之间；（2）求；（3）你能设计一个比的吗？并说明理由.18.（本小题17分）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点：（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.（本小题17分）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解：在集合中，观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.故选C.2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，则集合的真子集有个，故选C.3.解：命题“，不等式”为假命题，则命题“，不等式”为真命题，所以，解得，所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A.4.解：A ：令，则，故错误；B ：令，则，故错误；C ：令，则，故错误；D ：因为，所以即，故正确；故选D.5.解：由题可知：.当时，显然不成立即，则满足；B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时，，由可得：；综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解：由，根据的定义可知：不等式的解集是.故选A.7.解：因为，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为故选B.8.当时，方程为有一个负实根，反之，时，则于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：9.解：因为，如下图所示，则，选项A 正确：，选项B 正确：，选项正确：，选项D 错误.故选ABC.10.解：分别取同正､同负和一正一负时，可以得到的值分别为，故A 正确；由得，12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为，故B 正确；由，可以得到符合条件的数对有，故C 正确；当时，；当时，，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合含有四个元素，故D 错误，故选ABC.11.解：由题意，，且方程的两根为和，所以，所以，所以A 正确；因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为B 正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C 错误；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D 正确.故选ABD.12.解：由，，{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得：或（舍去），或，即所求的解集为，故答案为.13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为.故答案为43.14.解：分情况讨论：当时，，解得；当时，，当且仅当解得或；当时，，当且仅当由，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为：.15.（本小题13分）5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解：（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，①当时，则，即时，此时满足；②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.（本小题15分）【答案】解：（1）若，则，解得，所以实数的取值集合为（2）集合，集合，则此时，则集合，当选择条件①时，是的充分不必要条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件②时，是的必要不充分条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件③时，，使得，有，则，解得，所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.（本小题15分）【答案】解：（1）证明：.之间.（2比.（3）令，则比.证明如下：由（2.故比18.（本小题17分）【答案】解：（1）由题意知：，，解得，所以，二次函数的不动点为和1.（2）依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a ､11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.19.（本小题17分）【答案】（1）解：对于集合，因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集；（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确；（3）证明：假设结论成立，设，若，矛盾，所以，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。
高一上学期第一次月考数学试卷(带有答案解析)
高一上学期第一次月考数学试卷(带有答案解析)班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={0,−1}，则−1与集合A的关系为．()A. −1⊆AB. −1⫋AC. −1∈AD. −1∉A2. 命题“∃x>1，x2−x>0”的否定是()A. ∃x≤1，x2−x>0B. ∀x>1，x2−x≤0C. ∃x>1，x2−x≤0D. ∀x≤1，x2−x>03. 已知全集U=R，集合A={−1,0,1,2}，B={y|y=2x}，图中阴影部分所表示的集合为()A. {−1,0}B. {1,2}C. {−1}D. {0,1,2}4. 已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|x<3或x>5}，则A∩B=()A. {x|−2<x<5}B. {x|x<4或x>5}C. {x|−2<x<3}D. {x|x<−2或x>5}5. “a>b”是“a2>b2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 不等式1+5x−6x2>0的解集为()A. {x|x>1或x<−16}B. {x|−16<x<1}C. {x|x>1或x<−3}D. {x|−3<x<2}7. 设x∈R，则“x>1”是“1x<1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设正实数x满足2+y=1，则8x+1+1y的最小为()A. 9B. 253C. 8D. 45二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题有多项符合题目要求）9. 与不等式x2−x+2>0的解集相同的不等式有()A. −x2+x−2<0B. 2x2−3x+2>0C. x2−x+3≥0D. x2+x−2>010. 已知集合A={2,a2+1,a2−4a}，B={0,a2−a−2}，5∈A，则a为()A. 2B. −2C. 5D. −111. 若x，y∈R，则使“x+y>1”成立的一个必要不充分条件是()A. ex+y>1B. x2+y2>1C. |x|+|y|>1D. 2x+2y>112. 下列说法正确的有()A. 若x<12，则2x+12x−1的最大值是−1B. 若x，y，z都是正数，且x+y+z=2，则4x+1+1y+z的最小值是3C. 若x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是2D. 若实数x，y满足xy>0，则xx+y+2yx+2y的最大值是4−22三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合M={−1,a}，N={0,a2−2a−4}，若M∪N={−1,0,a2−2a−4}，则a=______．14. 若关于x的一元二次不等式2x2−kx+38>0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为______．15. 已知正实数x，y满足1x+1y=1，则x+4y最小值为______．16. “a>b”是“ac2>bc2”的______条件．(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
2024-2025学年银川市唐徕中学高一数学上学期10月考试卷及答案解析
银川市唐徕中学2024～2025学年度第一学期10月月考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2,2,1,0,1,2,3A x x B =<=--，则R ()A B = ð（ ）A. {}2,1,0,1,2--B. {}0,1,2,3 C. {}1,2,3 D. {}2,3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，R {|2}A x x =≥ð，所以R (){2,3}A B = ð.故选：D2. 函数y =的定义域是（ ）A. []22-, B. ()2,2- C. [)(]2,00,2-U D. [)(]4,00,4-⋃【答案】C 【解析】【分析】由240x -≥且0x ≠可求得结果.【详解】由题意得2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得22x -≤≤且0x ≠，所以函数的定义域为[)(]2,00,2-U .故选：C 3. 不等式312x ≤+的解集为（ ）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}xx -<≤∣C. {2xx ≤-∣或1}x > D. {2xx <-∣或1}x ≥【答案】D 【解析】【分析】转化为求解()()12020x x x ⎧-++≤⎨+≠⎩即可.【详解】312x ≤+，即102x x -+≤+，即()()12020x x x ⎧-++≤⎨+≠⎩，解得1x ≥或2x <-.故选：D.4. 已知集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x a x a =-≤≤+，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当1a =时，{}12B x x =-≤≤，此时A B =，即1a =可以推出A B ⊆，若A B ⊆，所以112a a -≤⎧⎨+≥⎩，得到1a ≥，所以A B ⊆推不出1a =，即“1a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件，故选：A.5. 若a 、b 、c ∈R ，a b >，则下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 22a b > C.2211a bc c >++ D. ||||a cbc >【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的性质依次分析选项即可求解.【详解】对于A ，B ，取1a =，2b =-，则11a b >，22a b <，故A ，B 错误；对于C ，因为a b >，211c +>，所以2211a bc c >++，故C 正确；对于D ，取0c =，则a c b c =，故D 错误；故选：C6. 若0a >，0b >，412ab a b =++，则ab 的取值范围是（ ）A. {}018x x <≤ B. {}036x x <≤C. {}18x x ≥ D. {}36x x ≥【答案】D 【解析】【分析】根据题意利用基本不等式可得120ab --≥.【详解】因0a >，0b >，由基本不等式可得4121212ab a b =++≥=+，即120ab --≥6≥2≤-（舍去），即36ab ≥，当且仅当436b a ab =⎧⎨=⎩，即312a b =⎧⎨=⎩时，等号成立，故ab 的取值范围是{}36x x ≥．故选：D ．7. 已知集合2{|320}M x x x =-+=、集合2{|350}N x x ax a =-+-=，若M N M ⋃=，则实数a 的取值集合为（ ）.A. ∅ B. {}210，C. {|210}a a ≤<D. {|210}a a <≤【答案】C 【解析】【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.【详解】{}{|(1)(2)0}12M x x x =--==，，∵M N M ⋃=，∴N M ⊆，当N =∅时，有2Δ4(35)0a a =--<，解得210a <<，当{1}N =时，有2Δ4(35)01350a a a a ⎧=--=⎨-+-=⎩，解得2a =，当{2}N =时，有2Δ4(35)042350a a a a ⎧=--=⎨-+-=⎩，方程组无解，为当{}1,2N =时，有3352a a =⎧⎨-=⎩，方程组无解，综上所述，实数a 的取值集合为{|210}a a ≤<.故选：C.8. 已知{|12}A x x =≤≤，命题“x A ∃∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A. 0a ≥ B. 2a ≥ C. 0a ≤ D. 2a ≤【答案】B 【解析】【分析】先根据“x A ∃∈，20x a -≤”求a 的取值范围，再根据充分不必要条件的判定方法进行选择.【详解】因为“x A ∃∈，20x a -≤”， {|12}A x x =≤≤，所以()2mina x≥，所以1a ≥结合选项及充分不必要条件知“2a ≥”是“1a ≥”的充分不必要条件.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()f x x =和()g x =B. ()1f x x =+和()211x g x x -=+C. ()()1,01,0x xf xg x x x >⎧==⎨-<⎩和D. ()f x =和()g x =【答案】AC 【解析】【分析】根据相同函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项的函数解析式化简并求出定义域，即可确定正确答案.【详解】A：()||g x x ==与()f x x =定义域和对应法则都相同，为同一函数；.B ：()2111x g x x x -==-+定义域为{|1}x x ≠-，而()1f x x =+定义域为R ，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；C ：1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-<⎩与()g x 定义域和对应法则都相同，为同一函数；D ：()g x =={|1}x x ≥，而()f x =定义域为{|1x x ≥或1}x ≤-，它们定义域不同，不为同一函数.故选：AC10. 下列不等式恒成立的是（ ）A. 296a a+≥ B. 若0a ≠，则12a a+≥C. 若0ab >，则2b aa b+≥ D. 若,0a b >，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于ACD ，利用基本不等式分析判断，对于B ，举例判断.【详解】对于A ，222936a a a +=+≥，当且仅当3a =时取等号，所以A 正确.对于B ，若1a =-，则122a a +=-<，所以B 错误.对于C ，因0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，所以C 正确.对于D ，因为,0a b >，所以2a b+≥，当且仅当a b =时取等号，所以22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以D 正确.故选：ACD11. 下列命题中是真命题的是（ ）A. “1x >”是“21x >”的充分不必要条件B. 命题“0x ∀≥，都有210x -+≥”的否定是“00x ∃<，使得2010x -+<”为C. 不等式3021x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >D. 当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解【答案】ACD 【解析】【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可.【详解】解：对A ，“1x >”可以推出“21x >”，而“21x >”推出1x >或者1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故A 正确；对B ，命题“0x ∀≥，都有210x -+≥”的否定是“00x ∃≥，使得2010x -+<”，故B 错误；对C ，不等式3021x x -≥+成立，即3x ≥或12x <-，所以不等式3021x x -≥+成立的一个充分不必要条件是1x <-或4x >，故C 正确；对D ，当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩等价于32103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以方程组有无穷多解，故D 正确.故选：ACD.12. 已知集合(){}(){},0,,1P x y x y Q x y xy =-===∣∣，则（ ）A. P Q =RB. ()(){}1,1,1,1P Q ⋂=--C. (){},1,1P Q x y x y ⋂==±=±∣D. P Q ⋂有3个真子集【答案】BD 【解析】【分析】由集合的表示与运算逐一判断．【详解】由题意得集合P 表示直线y x =上所有的点，集合Q 表示1y x=上所有的点，P Q ⋃是点集，故A 错误，由1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故()(){}1,1,1,1P Q ⋂=--，故B 正确，C 错误，P Q ⋂有3个真子集，∅，{(1,1)},{(1,1)}--，D 正确，故选：BD三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是______，只参加田径一项比赛的人数是______.【答案】 ①. 9②. 2【解析】【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.【详解】如图所示：设U ={参加比赛的学生}，A ={参加游泳比赛的学生}，B ={参加田径比赛的学生}，C ={参加球类比赛的学生}，依题意，()()()()28,15,8,14n U n A n B n C ====，()()()3,3,0n A B n A C n A B C ⋂=⋂=⋂⋂=，于是()281581433n B C =++---⋂，解得()3n B C ⋂=，所以只参加游泳比赛的人数为()()()15339n A n A B n A C -⋂-⋂=--=，只参加田径比赛的人数()()()8332n B n A B B C -⋂-⋂=--=.故答案为：9，214. 已知a ，()0,1b ∈，记M ab =，1N a b =+-，则M 与N 的大小关系是________．【答案】M N >【解析】【分析】直接由作差法即可比较大小.【详解】因为()()111M N ab a b b a -=--+=--，且a ，()0,1b ∈，所以0M N M N ->⇒>．故答案为：M N >.15. 已知()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，若()1f x =，则x =______.【答案】1或1-【解析】【分析】分别令分段函数()f x 中的每一段解析式的函数值为1列方程，由此解得x 的值.【详解】由21,1x x +=≤-，得1x =-；由2121,x x =-<≤， 得1x =；由21,2x x =>，得12x =（舍）；综上1x =-或1x =.故答案为：1或1-.16. 若命题：“R x ∃∈，210ax x ++<”为假命题，则实数a 的取值范围为____________.【答案】1[,)4+∞【解析】【分析】分析可知命题“2R,10x ax x ∀∈++≥”为真命题，对实数a 的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，题“2R,10x ax x ∀∈++≥”为真命题，当0a =时，由10x +≥可得1x ≥-，不符合题意，当0a ≠时，根据题意知不等式恒成立则0Δ140a a >⎧⎨=-≤⎩，解之可得1a 4≥.故答案为：1[,)4+∞四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知集合{|51},{|125}A x x B x a x a =->=-<<+.（1）当1a =时，求R ,A A B ⋂ð；（2）若A B ≠∅ ，求a 的取值集合.【答案】（1）{|4}A x x =≥R ð，{|04}A B x x ⋂=<< （2）{|65}a a -<<【解析】【分析】（1）根据题意，求得{|4}A x x =<，结合补集的运算，求得A R ð，再结合集合交集的运算，即可求解.（2）由A B ≠∅ ，列出不等式组，即可求解实数a 的取值集合.【小问1详解】解：由不等式{|51}{|4}A x x x x =->=<，可得{|4}A x x =≥R ð，当1a =时，集合{|07}B x x =<<，则{|04}A B x x ⋂=<<.【小问2详解】解：由集合{|51},{|125}A x x B x a x a =->=-<<+，因为A B ≠∅ ，则满足12514a a a -<+⎧⎨-<⎩，解得65a -<<，所以实数a 的取值集合是{|65}a a -<<.18. 已知关于x 的不等式2120ax bx +-≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥．（1）求a b 、的值；（2）求关于x 的不等式260bx ax ++≥的解集．【答案】（1）1,1a b ==- （2）{}|23x x -≤≤【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；（2）代入参数，解一元二次不等式即可.【小问1详解】关于x 的不等式2120ax bx +-≥的解集为{3xx ≤-∣或4}x ≥，∴0a >，且3-和4是方程2120ax bx +-=的两实数根，由根与系数的关系知，341234b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得1,1a b ==-；【小问2详解】由（1）知，1,1a b ==-时，不等式260bx ax ++≥为260(2)(3)0x x x x -++≥⇒+-≤⇒23x -≤≤，∴不等式260bx ax ++≥的解集是{}|23x x -≤≤.19. 已知函数()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩（1）求()()()5ff f 的值；（2）画出函数()f x 的图象．【答案】（1）1- （2）图象见详解【解析】【分析】（1）利用函数()f x 的解析式由内到外可逐层计算出()()()5f f f 的值；（2）根据函数()f x 的解析式可画出该函数的图象.【小问1详解】因为()24,02,042,4x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩，则()5523f =-+=-，()()()53341f f f =-=-+=；所以()()()251211ff f =-⨯=-.【小问2详解】函数()f x 的图象如下图所示：20. 已知函数6()5(0)f x x x x=-->.（1）求函数()f x 的最大值；（2）求不等式()0xf x <的解集．【答案】（1）5-（2）{02x x <<或}3x >【解析】【分析】（1）借助基本不等式即可得；（2）解一元二次不等式即可得.【小问1详解】()665555f x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当6x x=，即x =时，等号成立，故函数()f x 的最大值为5-；【小问2详解】()()26()556230xf x x x x x x x x ⎛⎫=--=-+-=---< ⎪⎝⎭，0x >，即()()230x x -->，解得2x <或3x >，又0x >，故02x <<或3x >，即不等式()0xf x <的解集为{02x x <<或}3x >.21. （1）已知1260a <<，1536b <<，求2a b -的取值范围．（2）已知0x >，0y >且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【答案】（1）60230a b -<-<；（2）16m ≤【解析】【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可；（2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参.【详解】（1）因为1536b <<，所以72230b -<-<-．又1260a <<，所以127226030a b -<-<-，即60230a b -<-<．（2）由191x y+=，则()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭．当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16．若x y m +≥恒成立，则16m ≤．22. 已知二次函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x x +=++，（1）求函数()f x 的解析式；（2）求关于x 的不等式2()(2)0(R)f x m x m m +-->∈的解集．【答案】（1）()21122f x x x =+ （2）答案见解析【解析】【分析】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，根据所给条件求出c ，再由()()11f x f x x +=++得到方程组，求出a 、b ，即可得解；（2）依题意可得()()10x m x +->，分1m =-、1m <-、1m >-三种情况讨论，分别求出不等式的解集.小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()00f =，所以有0c =，即()()20f x ax bx a =+≠，又因为()()11f x f x x +=++，所以()()22111a x b x ax bx x +++=+++，【所以()()22211ax a b x a b ax b x ++++=+++，所以211a b b a b +=+⎧⎨+=⎩，解得12a b ==．所以()21122f x x x =+；小问2详解】不等式2(2)0(R)x x m x m m ++-->∈可化为()()10x m x +->．当1m =-时，不等式为()210x ->，解得1x ≠，此时不等式的解集为{}1x x ≠；当1m <-时，解得x m >-或1x <，此时不等式的解集为{1x x <或}x m >-；当1m >-时，解得x m <-或1x >，此时不等式的解集为{x x m <-或x >1}．综上可得：当1m =-时不等式的解集为{}1x x ≠；当1m <-时，不等式的解集为{1x x <或}x m >-；当1m >-时，不等式的解集为{x x m <-或x >1}．【。
辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列关系式，其中正确的是（ ）。
A 、∅∈0B 、}|{}0{2x x x =⊆C 、+⊆N }0{D 、}1352|){(}21{ =−=+⊆y x y x y x ，，【答案】B【解析】A 选项，∅是没有任何元素的集合，错，B 选项，∵}10{}|{2，==x x x ，∴}|{}0{2x x x =⊆，对，C 选项，+N 是正整数集合，错，D 选项，)}21{(}1352|){(，，= =−=+y x y x y x ，元素是点坐标，错，故选B 。
2．已知命题p ：)0[∞+∈∀，x ，112≥+x ，则命题p 的否定为（ ）。
A 、)0[∞+∉∃，x ，112<+xB 、)0[∞+∈∃，x ，112<+xC 、)0[∞+∉∀，x ，112<+xD 、)0[∞+∈∀，x ，112≤+x【答案】B【解析】命题p ：)0[∞+∈∀，x ，112≥+x 否定为)0[∞+∈∃，x ，112<+x ，故选B 。
3．已知R c b a ∈、、，则下列命题正确的是（ ）。
A 、若0≠ab 且b a <，则b a 11> B 、若10<<a ，则a a <3C 、若0<<b a ，则a ba b <++11D 、若a b c <<且0<ac ，则22ab cb <【答案】B【解析】A 选项，当b a <<0时，满足0≠ab 且b a <，但是不满足b a 11>，错，B 选项，10<<a ，∴12<a ，∴0)1(2<−⋅a a ，即03<−a a ，即a a <3，对，C 选项，当01<<−a 时，0)1(<+a a ，若a ba b <++11成立，则需)]1([11)]1([+⋅⋅>++⋅+⋅a a a ba b a a ，∴b ab a ab +>+，∴b a >与0<<b a 矛盾，错，D 选项，当0=b 时，若a b c <<且0<ac ，则22ab cb =不能得出22ab cb <，错，故选B 。
2024-2025学年福州市一中高一数学上学期10月考试卷及答案解析
2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=，则集合B =（ ）A. (],2∞- B. (),2∞- C. (]0,2 D. ()0,2【答案】C【解析】【分析】集合运算可得()=I U U B C A C B ，即可求出结果【详解】(0,4]A B = ，(2,4]=I U A C B 所以()(0,2]==I U U B C A C B 故选：C2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：150y x =-+，2210y x =-，当12y y =时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）A. 6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元【答案】C【解析】【分析】求出封城前平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x 为5021020x x x -+=-⇒=，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则11365014x x =-+⇒=，223621023x x =-⇒=，则补贴金额为23149-=.故选：C.3. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（ ）A. []x = |x|B. []xC. []x >-xD. []x > 1x -【答案】D 的【解析】【详解】分析：[]x 表示不超过x 最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设 1.5x =，[]1x =， 1.5x =1.5=，10.5x -=，排除A 、B ，设 1.5x =-，[]2x =-， 1.5x -=，排除C ．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．4. 已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数(())y f f x =的零点所在区间为（ ）A. (1,0)- B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】当0x …时，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，根据()f x 为增函数，且(3)0f =可得函数(())y f f x =的零点为3()2log 12x g x x =+-的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x …时，()430x f x =+>，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，293()2log 92log 9x x f x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =.令(())0(3)f f x f ==，得3()2log 93x f x x =+-=，即32log 120x x +-=，令3()2log 12x g x x =+-，则函数(())y f f x =的零点就是3()2log 12x g x x =+-的零点，因为()3332log 31230g =+-=-<，72377()2log 1222g =+-37log 1202=+->，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据的解析式判断函数的单调性，属于中档题.5. 设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A [)1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围；再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a …时函数()f x 在1x …的最小值，即可得到所求范围．【详解】解：函数2,1()1,1x a x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若1x >，可得()12f x x =+>，由()1f 是()f x 的最小值，由于||()2x a f x -=可得在x a >单调递增，在x a <单调递减，若1a <，1x …，则()f x 在x a =处取得最小值，不符题意；若1a …，1x …，则()f x 在1x =处取得最小值，且122a -…，解得12a ……，综上可得a 的范围是[1，2]．故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=，()11f -=，则（ ）A. ()00f = B. ()f x 为奇函数C. ()81f =- D. ()f x 的周期为3【答案】C【解析】【分析】令 0x y ==，则得(0)2f =，再令0x =即可得到奇偶性，再令1y =-则得到其周期性，最后根.据其周期性和奇偶性则得到()8f 的值.【详解】令 0x y ==， 得()()22000f f -=得 (0)0f = 或 (0)2f =，当 (0)0f = 时，令0y =得 ()0f x = 不合题意， 故 (0)2f =， 所以 A 错误 ；令 0x = 得 ()()f y f y =-， 且()f x 的定义域为R ，故 ()f x 为偶函数， 所以B 错误 ；令 1y =-， 得 (1)(1)()f x f x f x -++=， 所以 ()(2)(1)f x f x f x ++=+，所以 (2)(1)f x f x +=--， 则(3)()f x f x +=-，则()(6)(3)f x f x f x +=-+=，所以 ()f x 的周期为 6 ， 所以 D 错误 ；令 1x y ==， 得 2(2)(0)(1)f f f +=， 因为()()111f f -==所以 (2)1f =-，所以 ()(8)21f f ==-， 故C 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.7. 函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()4488f x g x g x f x +-=--=，，()g x 关于4x =对称，()48g =，则()1812m f m =∑的值为（ ）A. 24- B. 32- C. 34- D. 40-【答案】C【解析】【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44f xg x +-=①， ()()88g x f x --=②，对于②式有：()()88g x f x +-=③，由①+③有：()()8412g x g x ++-=，即()()1212g x g x +-=④，又()g x 关于4x =对称，所以()()8g x g x =-⑤，由④⑤有：()()81212g x g x -+-=，即()()81212g x g x +++=，()()4812g x g x +++=，两式相减得：()()1240g x g x +-+=，即()()124g x g x +=+，即()()8g x g x +=，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()g x 的周期为8，又()48g =，所以()()()412208g g g ==== ，由④式()()1212g x g x +-=有：()66g =，.所以()()()614226g g g ==== ，由()48g =，()()1212g x g x +-=有：()84g =，所以()()()816244g g g ==== ，由⑤式()()8g x g x =-有：()()266g g ==，又()()8g x g x +=，所以()()1026g g ==，由②式()()88g x f x --=有：()()88f x g x =+-，所以()()()()()()()18122436101244818m f m f f f g g g ==+++=+++-⨯∑ ()686446881834=+++⨯++-⨯=-，故A ，B ，D 错误.故选：C.8. 已知函数()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>，若有且仅有两个整数1x 、2x 使得()10f x >，()20f x >，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,2lg 3- B. (]2lg 3,2lg 2--C. (]2lg 2,2- D. (]2lg 3,2-【答案】A【解析】【分析】由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩以及0a >，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由()()lg 2240f x x a x a =+--+>，得()lg 224x a x a >-+-.由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示：由图象可知，由于()()()22422y a x a a x =-+-=--，该直线过定点()2,0.要使得函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩，即22lg 3a a <⎧⎨-≥⎩，解得2lg 3a ≤-，又0a >，所以，02lg 3a <≤-，因此，实数a 的取值范围是(]0,2lg 3-.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（ ）A. “1a >”是“21a >”的充分不必要条件B. “M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D. 设函数()f x 的导数为()f x '，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.10. 若函数()f x 的定义域为R ，且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(2)1f =-，则（ ）A. (0)0f =B. ()f x 为偶函数C. ()f x 的图象关于点(1)0，对称 D. 301()1i f i ==-∑【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，令2,0x y ==,可得(0)1f =；对于B ，令0,x y x ==，可得()()f x f x =-，即可判断；对于C ，令1x y ==得f (1)=0，再令1,x y x ==即可判断；对于D ，根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A ，令2,0x y ==，则()()()22220f f f =⋅，因为(2)1f =-，所以()220f -=-，则(0)1f =，故A 错误；对于B ，令0,x y x ==，则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==，则()()f x f x =-，故B 正确；对于C ，令1x y ==得，()()()220210f f f +==，所以f (1)=0，令1,x y x ==得，(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==，则()f x 的图象关于点(1)0，对称，故C 正确；对于D ，由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--，又()()f x f x =-，所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，()()24f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，则函数()f x 的周期为4，又f (1)=0，(2)1f =-，则()()()3310f f f =-==，()()401f f ==，则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑，故D 正确，故选：BCD.11. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A. (2)0f =B. 点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C. 函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D. 函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+，赋值2x =-，可得(4)()f x f x +=，故A 正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B 正确；作出函数图象，可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确.故选：AB【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.13. 422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-．故答案为：1-.14. 设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是 ．【答案】403m ≤≤【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ．因为2＞0，所以f （2）＝ ② ．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上最大值为1．综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1 B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③A.3B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0的⑤ A.1 B.3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ．【解析】【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3．又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且()11f =，所以()f x 在(0,+∞)上的最大值为1．综上，()f x 的最大值为3．16. 如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为ABC V ，花园为矩形DEFG ．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2倍．（1）设花园的面积为S （单位：2m ），AD 的长为x （单位：m ），写出S 关于x 的函数解析式；（2）当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）()()2303,010S x x x =-<<（2）当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .【解析】【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,AD x =则2CG GF x ==，302303GD x x x =--=-，所以()()2303,010S GD GF x x x =⋅=-<<【小问2详解】()()()233032223033303150332x x S x x x x +-⎡⎤=-=⋅-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3303x x =-，即5x =时等号成立，故当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：0x ≥时，21()21x x f x -=+.（1）求()f x 的表达式；（2）若关于x 的不等式()2(23)10f ax f ax ++->恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）21()21x x f x -=+ （2）(]4,0-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当0x <时的解析式，即可得到结果；（2）根据定义证明函数()f x 在R 上单调递增，然后再结合()f x 是定义在R 上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，21()21x x f x -=+，所以()21122112x xx xf x -----==++又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，即()()12211221x x x x f x f x --=--=-=++所以当0x <时，21()21x x f x -=+综上，()f x 的表达式为21()21x x f x -=+【小问2详解】由（1）可知，212()12121x x x f x -==-++，设在R 上任取两个自变量12,x x ，令12x x <则()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221212222221212121x x x x x x -=-=++++因为12x x <，则12220x x -<，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<所以函数()f x 在R 上单调递增.即()()22(23)10(23)1f ax f ax f ax f ax ++->⇒+>--，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()2211f ax f ax ---=即()21(23)f ax f ax >-+，由函数()f x 在R 上单调递增，可得22231240ax ax ax ax +>-⇒--<恒成立，当0a =时，即40-<，满足；当0a ≠时，即20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<综上，a 的取值范围为(]4,0-18. 已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．【答案】（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥,两边同时加a 可得cd a b a a+≥+,即可得证.【详解】解析:（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.所以2()0a c d a cd -++≥,即2()a cd c d a ++≥.因为0a b >≥,所以cd a c d a++≥,因为ab cd ≥,所以cd b a≥,所以cd a b a c d a +++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19. 对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意.【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<= ，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=，分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n M x ∴=，对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈，特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。
高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(解析版)
2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B 错误；对于C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；故选：A.2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤0【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.【解答过程】因为命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，所以¬pp：∃xx>2，xx2−1≤0.故选：C.3．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<1【解题思路】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.【解答过程】对于A，1<xx<3是xx<2的不充分不必要条件，A不是；对于B，xx<3是xx<2的一个必要不充分条件，B是；对于C，xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，C不是；对于D，0<xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，D不是.故选：B.4．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.【解答过程】对于①：因为0是{0}的元素，所以0∈{0}，故①正确；对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅ {0}，故②正确；对于③：因为集合{0,1}的元素为0，1，集合{(0,1)}的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以{0,1},{(0,1)}之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合{(aa,bb)}的元素为(aa,bb)，集合{(bb,aa)}的元素为(bb,aa)，两个集合的元素不一定相同，所以{(aa,bb)},{(bb,aa)}不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.5．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【解题思路】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.【解答过程】设zz=xx+2yy=mm(2xx+yy)+nn(xx−yy)，故2mm+nn=1且mm−nn=2，所以mm=1,nn=−1，故zz=xx+2yy=(2xx+yy)−(xx−yy)，由于3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，所以3+(−9)≤2xx+yy−(xx−yy)≤9+(−6)，−6≤xx+2yy≤3，故最小值为−6，此时xx=4,yy=−5，故选：B.6．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}【解题思路】先求出MM，∁UU NN，再求MM∩(∁UU NN)，【解答过程】因为UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU}，所以MM={5,7,9}，因为UU={1,3,5,7,9}，NN={3,7,9}，所以∁UU NN={1,5}，所以MM∩(∁UU NN)={5}．故选：B．7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}【解题思路】根据给定的解集求出aa,bb，再解一元二次不等式即得.【解答过程】由不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，得−2,−1是方程aaxx2+bbxx+2=0的两个根，且aa>0，因此−2+(−1)=−bb aa，且−2×(−1)=2aa，解得aa=1,bb=3，不等式2xx2+bbxx+aa<0化为：2xx2+3xx+1<0，解得−1<xx<−12，所以不等式2xx2+bbxx+aa<0为{xx|−1<xx<−12}.故选：C.8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6【解题思路】根据题意可知2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为aa>bb≥0，则aa+bb>0,aa−bb>0，且2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，则2aa+bb=�32(aa+bb)+12(aa−bb)��6aa+bb+2aa−bb�=10+3(aa−bb)aa+bb+3(aa+bb)aa−bb≥10+2�3(aa−bb)aa+bb⋅3(aa+bb)aa−bb=16，当且仅当3(aa−bb)aa+bb=3(aa+bb)aa−bb，即aa=8,bb=0时，等号成立，所以2aa+bb的最小值为16.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
河北衡水市安平中学2024-2025学年高一上学期9月第一次月考数学试卷(含解析)
安平中学2024-2025学年第一学期第一次月考高一年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．22．命题“”的否定是A ．B ．C ．D ．3．满足的集合的个数A ．4B ．8C ．15D ．164.已知，且，，，则取值不可能为A. B. C. D. 5．已知，，若，则A. 2 B. 1 C. D. 6．若则一定有A ．B ．C ．D ．7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是A ． B ． C ． D ．8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是A. 6B. 5C. 7D. 8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下面命题正确的是{}2,1,0,1,3M =--{}32N x x =-≤≤M N ⋂={}2,1,0,1--∅{}2,1,1--0x x x ∃∈+R ，＜0x x x ∃∈+R ，≤0x x x ∃∈+R ，≥0x x x ∀∈+R ，＜0x x x ∀∈+R ，≥{}{}11234A ⊆⊆，，，Z a ∈{(,)|3}A x y ax y =-≤(2,1)A ∈(1,4)A -∉a 1-012{}1,,A x y ={}21,,2B x y =A B =x y -=14230,0,a b c d >><<a b c d >a b c d <a b d c >a b d c<{}21≤≤∈∀x x x 20x a -≤4a ≥5a ≥4a ≤5a ≤A ．“”是“”的充分不必要条件B ．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件C ．“且”是“”的充要条件D ．设，则“”是“”的必要不充分条件10.下列四个命题中正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则11.已知集合，，且，，则下列判断正确的是A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
福建师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高一第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知集合{}0,1A =,{}1,2B =,则A B 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据并集定义求得A B ,即可求得答案. 【详解】 {}0,1A =,{}1,2B =∴{}{}{}0,11,20,1,2A B == ∴A B 中元素的个数为:3.故选:C.【点睛】本题主要考查了并集运算,解题关键是掌握并集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2. 设集合2{|0}M x x x =−≥，{|2}N x x =<，则M N = （ ） A. {|0}x x ≤ B. {|12}x x ≤< C. {|01}x x ≤≤ D. {|0x x ≤或12}x ≤<【答案】D 【解析】【分析】先解不等式得集合M ，再根据交集定义求结果. 【详解】2{|0}(,0][1,)M x x x −≥−∞+∞(,0][1,2)M N ∴−∞故选：D【点睛】本题考查集合交集、解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 函数()f x =的定义域为（ ）A. [)3,∞−+B. [)2,−+∞C. [)2,+∞D. [)4,+∞【答案】C【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x −≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞. 故选：C.4. 已知函数2()ln f x x ax ax =−+恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,0)−∞ B. (0,)+∞C. (0,1)(1,)∪+∞D. (,0){1}−∞【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为方程()ln 1xa x x =−恰有两解，进而设()ln xg x x=，研究函数性质，作出函数图像，数形结合求解即可.【详解】解：函数()f x 的定义域为()0,∞+,()f x 恰有两个零点,转化为2ln 0x ax ax −+=,即方程()ln 1xa x x=−恰有两解,设()ln x g x x =,则()g x ′= 当0e x <<时, ()0g x ′>,当e x >时, ()0g x ′<,所以()g x 在()0,e 上是增函数, 在()e,+∞上是减函数,且()10g =, 当e x >时,()0g x > , 所以，函数()ln xg x x=在1x =处的切线斜率为()11k g ′=, 作出函数()y g x =和函数()1y a x =−的图像如图所示, 由图可知,两个函数有两个交点的充要条件是01a <<或1a >. 故选：C.5. 偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f （0）·f （a ）<0，则函数在区间[－a,a]内零点的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0【答案】B 【解析】【详解】因为偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f （0）·f （a ）<0,所以f(x)在[][],0,0,a a −上各有一个零点，且零点非0.6. 已知函数()32log ,041,0x x f x x x x >= ++≤ ，函数()() F x f x b =−有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且满足:1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +−的取值范围是A. )+∞ B. 833,9C. [)3,+∞D. 839【答案】D 【解析】【分析】作出函数yy =ff (xx )的图象，可得出当直线y b =与函数yy =ff (xx )的图象有四个交点时b 的取值范围，根据图象得出124x x +=−，341x x =，并求出实数3x 的取值范围，将代数式221323432x x x x x x +−转化为关于3x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出221323432x x x x x x +−的取值范围. 【详解】作出函数yy =ff (xx )的图象如下图所示：由图象可知，当01b <≤时，直线y b =与函数yy =ff (xx )的图象有四个交点，由于二次函数241y x x =++的图象关于直线2x =−对称，则124x x +=−， 又4344log log x x =，由题意可知，301x <<，41x >，4344log log x x ∴−=，可得341x x =，431x x ∴=，由(]33log 0,1x b =∈，即330log 1x <−≤，解得3113x ≤<.222132343233122x x x x x x x x +∴−=+，令231,19x =∈，则12y t t =+，由基本不等式得12y t t =+≥=，当且仅当1,19t=时，等号成立， 当19t =时，283999y =+=，当1t =时，3y =，所以，18329t t ≤+≤，因此，221323432x x x x x x +−的取值范围是839，故选D.【点睛】本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.7. 定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =−，若[4,2]x ∈−−时，13()()18≥−f x t t恒成立，则实数t 的取值范围是( )A. (](],10,3−∞−B.((,−∞C. [)[)1,03,−+∞D.))+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意首先得得到函数具体表达式，由[]4,2x ∈−−，所以[]40,2x +∈，所以()2468f x x x +=++，再由()()()4329f x f x f x +=+=可得出f （x ）的表达式，在根据函数思维求出f （x ）最小值解不等式即可.【详解】因为[]4,2x ∈−−，所以[]40,2x +∈， 因为[]0,2x ∈时，()22f x x x =−，所以()()()22442468f x x x x x +=+−+=++,因为函数()f x 满足()() 23f x f x +=， 所以()()()4329f x f x f x +=+=， 所以()()()21146899f x f x x x =+=++，[]4,2x ∈−−， 又因为[]4,2x ∈−−，()1t 18f x≥−恒成立， 故()131t 189minf x t −≤=−， 解不等式可得t 3≥或1t 0−≤<. 【点睛】考查函数的解析求法，解本题关键就是要能合理的运用已知条件将变量的范围变化到已知表达式范围中，然后根据函数的最值思维即可得出结论.8. 设函数()f x 的定义域为R ，且()()113f x f x =+，当(]1,0x ∈−时，()()1f x x x =+，若对任意(],x m ∈−∞，都有()8116f x ≥−，则实数m 的取值范围是（ ） A. 7,3−∞B. 11,4−∞C. 9,4−∞D. (],3−∞【答案】C 【解析】的【分析】根据题设得到(,1]x k k ∈+且Z k ∈，1min13()()24k f x f k +=+=−，注意判断函数值的变化趋势，再求得min 81()16f x ≥−的最大k 值，此时结合二次函数性质确定(1,2]x k k ∈++上1(1)86f x −=对应x 值，即可得m 的范围.【详解】令01x <≤，则110x −<−≤，故(1)(1)f x x x −=−，而()3(1)fx f x =−， 所以1(())3f x x x −=且(0,1]x ∈，令21x −<≤−，则110x −<+≤，故(1)(1)(2)f x x x +=++，而1()(1)3f x f x =+， 所以1()(1)3(2)f x x x +=+且(2,1]x ∈−−， 结合已知：(,1]x k k ∈+且Z k ∈时1()[()3](1)k x k f x x k +−−+=，而130k +>， 对(,1]x k k ∈+且Z k ∈，1min13()()24k f x f k +=+=−，即随k 增大min ()f x 依次变小，要使对任意(],x m ∈−∞都有()8116f x ≥−，令1381416k +−≥−，则1k ≤且Z k ∈，则(1,2]x ∈上min 9()4f x =−>(2,3]x ∈上min 2781()416f x =−<−， 当(2,3]x ∈时，令81(2)(()31627)f x x x −−=−=，则3(2)(3)16x x −−=−，解得94x =或114x =， 综上，要使对任意(],x m ∈−∞都有()8116f x ≥−，只需94m ≤. 故选：C【点睛】关键点点睛：注意总结归纳(,1]x k k ∈+且Z k ∈，()f x 随k 的变化趋势，进而找到min 81()16f x ≥−的对应区间，再求出该区间右侧区间中1(1)86f x −=的自变量. 二、多选题（每小题6分，共18分）9. 已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A. 14ab ≥B. 2212a b +≥C. 22a b +≥D. ln 0a b +>【答案】BC【解析】【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A ，C ；利用二次函数性质判断B ；取特值判断D 作答. 【详解】因0a >，0b >，且1a b +=，则有21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取“=”，A 不正确；因0a >，0b >，且1a b +=，则1,01b a a =−<<，22222111(1)2()222a b a a a +=+−=−+≥， 当且仅当12a b ==时取“=”，B 正确；因0a >，0b >，且1a b +=，则22a b +≥12a b ==时取“=”，C 正确；因0a >，0b >，且1a b +=，则取1e b =，即有11e a =−，于是得111ln 1ln 0e e ea b +=−+=−<，D 不正确. 故选：BC10. 某数学课外兴趣小组对函数()()21lg 0,R +=≠∈x f x x x x的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数()f x 的图象关于y 轴对称B. 当0x >时，()f x 是增函数，当0x <时，()f x 是减函数C. 函数()f x 的最小值是lg2D. 函数()f x 与2x =有四个交点 【答案】AC 【解析】【分析】根据偶函数的概念判断A ，根据复合函数单调性的法则及偶函数的性质判断B ，根据复合函数最值的求法判断C ，根据函数的定义判断D.【详解】()()21lg 0,R +=≠∈x f x x x x 的定义域为()(),00,−∞+∞ ，关于原点对称， 且满足()()f x f x −=，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确； 当0x >时，()211lg lg x f x x x x + ==+，由1y x x =+的性质可知其在(]0,1上是减函数，在[)1,+∞上是增函数，所以由复合函数单调性可知，()f x 在(]0,1上是减函数， 在[)1,+∞上是增函数，又()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，故B 不正确； 当0x >时，12x x+≥（当且仅当1x =时取等号），又()f x 是偶函数， 所以函数()f x 的最小值是lg2，故C 正确；由函数定义可得，函数()f x 与2x =不可能有四个交点，故D 不正确. 故选：AC .11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()22024f x f x f ++=，且()21f x +是奇函数，则（ ） A. ()f x 的图象关于点()1,0对称 B. ()()04f f = C. ()21f =D. 若1122f = ，则1001102i ifi =−=∑ 【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，得到()()110f x f x −+++=，得到函数的对称中心；B 选项，由题意条件得到()()4f x f x +=，故B 正确；C 选项，由B 选项得到()f x 的周期为4，故()()()20f x f x f ++=，赋值法得到()20f =；D 选项，赋值法得到3122f=−，5122f=−，2721f = ，结合函数的周期得到答案.【详解】A 选项，由题意知，()()2121f x f x −+=−+，则()()110f x f x −+++=， 所以()f x 图象的对称中心为()1,0，A 正确．B 选项，()()()22024f x f x f ++=，()()()422024f x f x f +++=， 两式相减得()()4f x f x +=，所以()()40f f =，B 正确． C 选项，由B 选项可得，()f x 的周期为4，又20244506=×，故()()()()220240f x f x f f ++==，令0x =得，()()()200f f f +=，得()20f =，所以C 错误；D 选项，因为()()110f x f x −+++=，令1x =得，()()020f f +=， 又()20f =，故()00f =，()()110f x f x −+++=中，令12x =得，311222f f=−=−， 由()()20f x f x ++=，得511222f f=−=−，731222f f =−= ， 又()f x 的周期为4，则()()()()13574144244344442222n f n n f n n f n n f n+++++++++++()()()()1111414243442222n n n n=+×++×−++×−++×()()()()14142434402n n n n =×+−+−+++=， 所以1001102i if i =−=∑，D 正确． 故选：ABD【点睛】函数的对称性：若()()f x a f x b c ++−+=，则函数()f x 关于,22a b c +中心对称，若()()f x a f x b +=−+，则函数()f x 关于2a bx +=对称， 三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知集合{}A x x k =<，{}12B x x =<<，且A B B = ，则实数k 的取值范围是______.【答案】2k ≥ 【解析】【分析】根据交集运算得集合关系，从而列不等式求解即可.【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，又{}A x x k =<，{}12B x x =<<，所以2k ≥.故答案为：2k ≥13. 已知函数()1log 1ay ax −在[]0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】10,2【解析】【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于1t ax =−递减，因此1log a y t =必须递增，即有11a>，还要考虑函数定义域，即在[]0,2x ∈时，10ax −>恒成立． 【详解】∵0a >，∴1t ax =−是减函数，又()1log 1a y ax −在[]0,2上单调递减，所以11a>，且120a −>，∴102a <<． 故答案为：10,2．【点睛】关键点点睛：本题掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域． 14. 设正数a ，b 满足， 11316a b a b+++=，则a b b a +的最大值是________.【答案】18 【解析】【分析】变形已知1(3)(16a b a +++=，利用基本不等式构造a b b a+，由1316(3)()a b a b =+++≥化简可得解. 【详解】113()16a b a b+++= ，13(3)()16a b a b ∴+++=1316(3)()a b a b ∴=+++≥8∴≥3()54b a a b ∴+≤，18b a a b ∴+≤当且仅当133=8a b a b ++=即a b ==或a b = = .故答案为：18【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形; (2)代数式变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.四、解答题（共77分）15. 已知f (x )＝x 2＋2x －5，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式． 【答案】见解析 【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴和区间[t ，t ＋1]的位置关系即可得最值. 【详解】∵函数图象的对称轴为x ＝－1， (1)当t ＋1≤－1，即t ≤－2时，h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)－5＝t 2＋4t －2， 即h (t )＝t 2＋4t －2(t ≤－2)．(2)当t ≤－1<t ＋1，即－2<t ≤－1时， h (t )＝f (－1)＝－6.(3)当t ＞－1时，h (t )＝f (t )＝t 2＋2t －5.综上可得，h (t )＝2242,2{6,2125,1+−≤−−−<≤−+−t t t t t t t【点睛】本题主要考查了二次函数的轴定区间动的最值问题，属于基础题.16. 已知集合26112x x A x −−=<∣，{22}B x x a =||+−<∣，若A B =∅ ． （1）求实数a 的取值范围；（2）求2()23163a a y f a ==⋅−⋅的最值． 【答案】（1）[1,2]；（2）最小值32−，最大值18． 【解析】【分析】（1）利用指数函数的性质化简集合A ,利用绝对值不等式的解法化简集合B,根据交集的性质列不等式求解即可；（2）22()231632(34)32a a a y f a ==×−×=−−由（1）得[]1,2a ∈，则[]33,9a∈，利用二次函数的性质求解即可.【详解】（1）易知{}2621|1|60(,2)(3,)2x x A x x xx −−<−−>−∞−∪+∞的{||2|2}{|222}{|4}B x x a x x a x a x a =+−<=−<+−<=−<<−,243A B a a φ∩=−≥− ∴−≤ 解得12a ≤≤故所求的a 的取值范围是[1，2]（2）∵22()231632(34)32a a a y f a ==×−×=−− 由（1）得[]1,2a ∈，则[]33,9a∈∴当34a =时，即3log 4a =时，min 32y =−； 当39a =时，即2a =时，max 18y =故2()23163a a y f a ==×−×的最小值为32−；最大值为18【点睛】关键点点睛：根据集合的交集结果求参数，一般需要求出集合，根据结果建立不等式，即可求出参数的取值范围，属于中档题.17. 已知函数()x f x b a =⋅（,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,8)A ，(3,32)B （1）试求,a b 的值；（2）若不等式11()()0xxm a b+−≥在(,1]x ∈−∞时恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2,4a b ==；（2）3,4−∞【解析】【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值. （2）将原不等式分离常数m ，利用函数的单调性，求出m 的取值范围. 【详解】（1）由于函数()f x 图像经过(1,8)A ，(3,32)B ，所以3832a b a b ⋅=⋅=，解得2,4a b ==，所以()2422x x f x +=⋅=.（2）原不等式11()()0x x m a b +−≥为11024xxm +−≥ ，即1124xxm ≤+在(,1]x ∈−∞时恒成.立，而1124x x +在(,1]x ∈−∞时单调递减，故在1x =时1124x x + 有最小值为11113244 +=，故34m ≤.所以实数m 的取值范围是3,4−∞.【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.18. 已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠. （1）若()()43f a f a +≤，求实数a 取值范围；（2）设2a =，函数()()()()()232201g x f x m f x m m =−+−++<≤.（i ）若1,2m x ∈ ，证明：()103g x ≤； （ii ）若1,22x ∈，求()g x 的最大值()h m . 【答案】（1）01a <<或2a ≥（2）（i ）证明见解析（ii ）()214,021712,142m m h m m m m−<< =−+≤<【解析】【分析】（1）对底数a 分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；（2）（i ）若1,2mx ∈ ，则()[0,]f x m ∈，令()t f x =，则0t m ≤≤，所以223217224m y t m m − =−−+−+，0t m ≤≤，根据对称轴与区间[0,]m 的中点值之间的关系求出最大值，对最大值配方可证不等式成立；（ii ）若1,22x ∈，则()[1,1]f x ∈−，令()t f x =，则[1,1]t ∈−，所以()g x =223217()224m t t m m ϕ− =−−+−+，[1,1]t ∈−，分类讨论对称轴可得()t ϕ的最值,比较最值的绝对值与端点值的绝对值的大小可得结果.【详解】（1）当01a <<时，()f x 为递减函数，()()43f a f a +≤等价于0143a a a<<+≥ ，解得01a <<，的当1a >时，()f x 为递增函数，()()43f a f a +≤等价于143a a a > +≤，解得2a ≥，综上所述：01a <<或2a ≥.（2）因为2a =，所以2()log f x x =为增函数，（i ）若1,2mx ∈ ，则()[0,]f x m ∈，令()t f x =，则0t m ≤≤，所以223217224m y t m m − =−−+−+，0t m ≤≤， 当3202m m −≤≤，即314m ≤≤时，max y =21724m m −+213(1)4m =−+103<，当322m m −>，即304m <<时，当t m =时，2max 342y m m =−++2210103()333m =−−+≤， 所以()103g x ≤. （ii ）若1,22x ∈，则()[1,1]f x ∈−，令()t f x =，则[1,1]t ∈−，所以()g x =223217()224m t t m m ϕ− =−−+−+，[1,1]t ∈−， 因为01m <≤，所以1323222m −≤<， 当132122m−≤≤，即112m ≤≤时，(1=ϕ−）32m −1[,1]2∈−，|(1)|[0,1]ϕ−∈，(1)40m ϕ=−>，23217137()2[,]2442m m m ϕ−=−+∈，此时|()||()|g x t ϕ=的最大值为21724m m −+， 当3212m −>，即102m <<时，()t ϕ在[1,1]−上单调递增，min ()(1)32t m ϕϕ=−=−1(2,)2∈−−，min 1|()||(1)|(,2)2t ϕϕ=−∈，max 7()(1)4(,4)2t m ϕϕ==−∈，所以此时|()||()|g x t ϕ=的最大值为4m −，综上所述：()214,021712,142m m h m m m m −<< =−+≤<. 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了分类讨论求二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，正确分类并利用二次函数的图象是解题关键，属于难题. 19. 已知函数()()ln 1eaxf x bx =+−是偶函数，e 是自然对数的底数，e 2.71828≈（1; （2）当1b =时， （i ）令()()()11g x f x f x =−++，[]11x ∈−，，求()g x 的值域;（ii ）记121...nin i aa a a ==+++∑，已知12i x −≤≤，()1,2,...,1000i =，且100011000i i x ==∑，当()10001i i f x =∑取最大值时，求222121000...x x x +++的值．【答案】（1（2）（i ）()()242ln e 12,ln 2e 12 +−+−；（ii ）2998 【解析】【分析】（1）由函数是偶函数，得到2a b =，再代入所求式子，表示为b 的二次函数求最值；（2）（ⅰ）由条件可知，1,2b a ==，求函数()g x d 的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的值域；（ⅱ）利用反证法进行证明. 【小问1详解】 函数()()ln 1eaxf x bx =+−的定义域为R ，根据偶函数的定义：R x ∀∈，ff (−xx )=ff (xx )，即()()ln 1e ln 1e ax axbx bx −++=+−，即：()()2ln 1eln 1e axaxbx ax −=+−+=上式对任意R x ∈恒成立，这等价于2b a =．222222211214415415555a b a b b b b b b +−+=+−+=−+=−+≥，等号成立当且仅当25b =，45a =．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可得：2a =，由于()()()11g x f x f x =−++，[]11x ∈−，为偶函数，故只需考虑[]01x ∈，时，()g x 的值域，()()()()()()()()()212111ln 1e 1ln 1e 1x x g x f x f x x x −+=−++=+−−++−+，()()()()()()212121214ln 1e 1e 2ln 1e e e 2x x x x −++− =++−=+++− ， ()4222ln 1e e e e 2x x− =+++−令()[]22e e ,0,1xxx x ϕ−=+∈，()()222e e 0x x x ϕ−′=−≥，[]01x ∈，，∴()22ee xx x ϕ−=+，[]01x ∈，单调递增，∴()()()11g x f x f x =−++在[]01，上单调递增，()g x 的值域为()()01g g，，()()()4220ln e 2e 122ln e 12g =++−=+−，()()41ln2e 12g =+−． 故()g x 的值域为()()242ln e 12ln 2e 12 +−+−，． （ⅱ）对于常数c ，令()()()g x f c x f c x =−++，()g x 为偶函数．下面先证明一个结论：()g x 在[)0，+∞上单调递增． 证明：()()()()()()()()()()()2222ln 1eln 1e ln 1e 1e 2c x c xc xc xg x c x c x c −+−+=+−−++−+=++−()4222ln 1e e e e 2c c x xc − +++−． 由(2)可得：22e e x x y −=+偶函数，在[)0，+∞上单调递增，∴()g x 在[)0，+∞上单调递增， 证毕．对于12i x −≤≤，()1210i = ，，，，且100011000ii x==∑，先证明：当()10001ii f x =∑取最大值时，1x，2x，，1000x 中最多只有一个()12i x ∈−，，其余的数要么等于1−，要么等于2．用反证法，假如当()10001ii f x =∑取最大值时，1x，2x，，1000x 中存在两个数i x ，()12j x ∈−，，不妨设i j x x <，记{}0min 21j i t x x =−+，，则00t >，且02j x t +≤，01i x t −≥−． 记2i jx x c +=，则022j ij ix x x x t −−<+，根据()()()g x f c x f c x =−++的单调性可知()()002222j i j i j i j i i j x x x x x x x x f x f x f c f c f c t f c t−−−− +=−++<−++++，在()10001i i f x =∑中，将ix ，j x 分别替换成02j i x x c t −−+ ，02j i x x c t − ++， 为其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与()10001ii f x =∑取最大值相矛盾!∴：1x ，2x ， ，1000x 中最多只有一个()12i x ∈−，． 1x ①，2x ， ，1000x 中没有数字在区间()12−，时，1x ，2x ， ，1000x 中的每一个数，要么等于1−，要么等于2，记1x ，2x ， ，1000x 中等于2的元素个数为k ，()210001000k k −−=，20003k =，这与k 为整数矛盾!1x ②，2x ， ，1000x 中只有一个数字在区间()12−，时，不妨记为0x ，记等于2的数字个数为k ， 则等于1−的数字个数为999k −，则()029991000x k k +−−=． 即：031999x k +=，由于()012x ∈−，，199732000k <<， 又∵*N k ∈，∴666k =，01x =，∴这1000个数为1,1,1,...,1,1,2,2,2,...,2−−−−，其中有333个1−，666个2．222121000466613342998x x x +++=×+×= ．【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到2a b =，关键2是判断函数()g x 的单调性，关键3的利用反证法证明1x ，2x ， ，1000x 中最多只有一个()12i x ∈−，.。
2024学年兴安盟科尔沁右翼前旗二中高一数学上学期第一次月考卷及答案解析
科右前旗第二中学2024级高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,2,4}B =，则()UA B Èð=（ ）A. {2,4}B. {3,5}C. {1,2,4,6}D. {1,2,3,4,5}【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}A =，所以{}2,4,6U A =ð，又{1,2,4}B =，所以{}()1,2,4,6U A B È=ð.故选：C.2. 命题p : 2R,60x x x "Î-+<，则p Ø是（ ）.A. 2R,60x x x "Î-+³ B. 2R,60x x x "Î-+>C. 2R,60x x x $Î-+> D. 2R,60x x x $Î-+³【答案】D【解析】【分析】命题的否定条件不变，量词和结论发生改变，据此判断.【详解】Q p : 2R 60x x x "Î-+<，，p \Ø:2R 60x x x $Î-+³，,故选:D.3. 不等式2560x x -->的解集是（ ）A. {2x x <或}3x > B. {|23}x x <<C. {1x x <-或}6x > D. {|16}-<<x x 【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，代入计算，即可求解.【详解】因为不等式22560560x x x x -->Þ-+<，即()()230x x --<，解得23x <<，所以不等式的解集为{|23}x x <<.故选：B4. 已知01x <<，01y <<，记,1M xy N x y ==+-，则M 与N 大小关系是（ ）A. M N< B. M N > C. M N = D. M 与N 的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】利用作差法比较即可【详解】解：因为,1M xy N x y ==+-，所以1(1)(1)(1)(1)N M x y xy x y y y x -=+--=---=--，因为01x <<，01y <<，所以10,10x y -<->，所以(1)(1)0y x --<，所以0N M -<，即M N >，故选：B5. “a b >”是“1a b >+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件判断即可得结论.【详解】当1,02a b ==时，满足a b >，但1a b <+，若1a b >+，则1a b ->，可得a b >，所以“a b >”是“1a b >+”的必要不充分条件.故选：B .6. 已知全集Z U =，集合2{Z |30}M x x x =Î-£和{|21,Z}N x x k k ==+Î的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）的A. 无穷多个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】D【解析】【分析】解二次不等式化简集合M ，再由韦恩图的阴影部分为()U M N I ð，结合集合的交补运算即可得解.【详解】因为{}2{Z |30}Z |03{0,1,2,3}M x x x x x =Î-£=Σ£=，又{}{|21,Z},1,1,3,5,N x x k k ==+Î=-L L ，由韦恩图知：阴影部分为(){0,2}U M N =I ð，共有2个元素.故选：D.7. 已知0,0a b >>，24a b +=，则ab 的最大值是（ ）A. 4B. 14C. 2D. 12【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为0,0a b >>，24a b +=，得到4³£，当且仅当2a b =且24a b +=，即2,1a b ==时取等号，所以2ab £，故选：C.8. 数学里有一种证明方法叫Proofs without words ，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角ABC V 中，O 为斜边AB 的中点，D 是斜边AB 上异于A 、B 的一个动点，设AD a =，BD b =，则该图形可以完成的无字证明是（ ）A. 2a b +£B. 2ab a b £+C. 2a b +³D. 222a b +³【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得AC BC ==，2a b CO +=且CD CO ³，即可得答案.【详解】由题设AB a b =+，且2a b CO AO BO +===，其中||||||22a b a b OD AD AO a +-=-=-=，或||||||22a b b a OD BD BO b +-=-=-=，且CD ===由图知CD CO ³2a b +³.故选：A二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{}1,2,3,4,B a =，其中R a Î，则U B ð可以是（ ）A. {5,6}B. {5,7}C. {6,7}D. {}5,6,7【答案】ABC【解析】【分析】利用补集运算即可得解.【详解】由于{}1,2,3,4,{1,2,3,4,5,6,7}B a U =Í=，所以{}5,6,7a Î，所以U B ð可以是{5,6}、{5,7}、{6,7}，故ABC 正确，D 错误.的故选：ABC.10. 下列有关不等式的说法正确的有（ ）A. 若a b >，则22a b > B. 若a b >，则33a b >C. 若a b >，则11a b < D. 若a b >，则22a b >【答案】BD【解析】【分析】特殊值12a b =>=-判断A 、C ；根据3y x =的单调性及不等式性质判断B 、D.【详解】若12a b =>=-，有22a b <，11a b>，A 、C 错；B ：对于3y x =在R 上递增，故a b >，则有33a b >，对；D ：由不等式性质，易知22||||a b a b >Þ>，对.故选：BD11. 若使关于x 的不等式2(1)0x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围可以是（ ）A. 13m -<< B. 522m -<<- C. 3m =- D. 45m <<【答案】BCD【解析】【分析】先解一元二次不等式，进而确定m 的取值范围，从而求得正确答案.【详解】由于关于x 的不等式()()2(1)10x m x m x x m -++=--<的解集中恰有三个整数，所以1m ¹，A 选项错误.当1m <时，不等式的解集为{}|1x m x <<，则32m -£<-，BC 选项正确.当1m >时，不等式的解集为{}|1x x m <<，则45m <£，D 选项正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设集合2{1,,2}A a a =-，若2A Î，则实数a =______【答案】2-【解析】【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性即可求解.【详解】2{1,,2}A a a =-，2A Î，若2a =，222222a -=-=，此时{1,2,2}A =，不满足互异性，故2a ¹，所以222a -=，即24a =，解得2a =-或2（舍去），当2a =-时，{1,2,2}A =-，所以2a =-.故答案为：2-.13. 已知集合2{|20}A x x x =-->，{|}B x x a =>，若x A Î是x B Î的必要条件，则实数a 的取值范围是_______【答案】2a ³【解析】【分析】利用必要条件与集合关系，结合二次不等式化简集合A ，从而得解.【详解】因为x A Î是x B Î的必要条件，所以B A Í，又{}{2201A x x x x x =--=<-或x >2}，{|}B x x a =>，则2a ³.故答案为：2a ³.14. 已知0x >，0y >，且21xy x y =++，则x y +的最小值是_________1+##1【解析】【分析】借助基本不等式可将原等式化为与x y +有关不等式，解出即可得.【详解】由0x >，0y >，则22x y xy +æö£ç÷èø，当且仅当x y =时，等号成立，故22122x y xy x y +æö=++£×ç÷èø，即()()2220x y x y +-+-³，令0t x y =+>，即2220t t --³，则有1t ³+或1t £+（负值舍去），当且仅当x y ==x y +1+.的1.四、解答题：本题共5小题，共77分：第15题13分；第16、17题各15分；第18、19题各17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知集合{|25}=<<A x x ，{|37}B x x =££（1）求A B U ；（2）求()A B R I ð；（3）设集合{|M x x A B =ÎÇ且}*Nx Î，写出集合M 的所有子集.【答案】（1）{|27}A B x x È=<£（2）R {|23}()A B x x =<<ðI（3）{}{}{},3,4,3,4Æ【解析】【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解；（2）利用集合的补集运算与交集运算即可得解；（3）利用集合的交集运算，结合常用数集的定义求得集合M ，从而写出其所有子集，由此得解.【小问1详解】因为{|25}=<<A x x ，{|37}B x x =££，所以{|27}A B x x È=<£.【小问2详解】因为{|37}B x x =££，所以R {|3x x B =<ð或7}x >，又{|25}=<<A x x ，所以R {|23}()A B x x =<<ðI .【小问3详解】因为{|25}=<<A x x ，{|37}B x x =££，所以{|35}A B x x Ç=£<，故{|M x x A B =ÎÇ且}{}*N 3,4x Î=，所以M 的所有子集为{}{}{},3,4,3,4Æ.16. 设命题p ：2R,20x x x m "Î-+>；命题q ：2R,10x x mx $Î++=（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若q 为假命题，求实数m 的取值范围；（3）若p 、q 仅有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1,3æö-¥-ç÷èø（2）()2,2-（3）[)12,2,3¥æö--È+ç÷èø【解析】【分析】（1）由条件可得4120m ∆=+<，解之即可得解；（2）先求命题q 为真命题时m 的取值范围，从而得到其为假命题时m 的取值范围，从而得解；（3）利用（1）中结论，分类讨论p 、q 的真假性，得到关于m 的不等式组，解之即可得解；【小问1详解】因为命题p 为真命题，所以220x x m -+>在R 上恒成立，则4120m ∆=+<，解得13m <-，所以实数m 的取值范围是1,3¥æö--ç÷èø；【小问2详解】若命题q ：2R,10x x mx $Î++=为真命题，则240m ∆=-³，解得2m £-或2m ≥，因为命题q 为假命题，所以22m -<<，所以实数m 的取值范围是()2,2-；【小问3详解】因为p 、q 仅有一个真命题，当p 真q 假时，1322m m ì<-ïíï-<<î，解得123m -<<-；当p 假q 真时，1322m m m ì³-ïíï³£-î或，解得2m ≥；综上，123m -<<-或2m ≥，即实数m 的取值范围是[)12,2,3¥æö--È+ç÷èø.17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本y （万元）年产量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21204000.10y x x =-+已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨．（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．【答案】（1）年产量为200吨时，最低平均成本为20万元（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元【解析】【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得；（2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求.【小问1详解】由题意可得40002010y x x x=+-，[]150,250x Î，因为400020202010x x +-³-=，当且仅当400010x x=时，即200x =时等号成立，符合题意.所以当年产量为200吨时，平均成本最低为20万元．小问2详解】设利润为()W x ，则()22420400010x W x x x æö=--+ç÷èø21(220)84010x =--+，又150250x ££Q ，\当220x =时，()840max W x =．所以当年产量为220吨时，最大利润为840万元．18. 已知二次函数2(2)3y ax b x =+-+，R a Î且0a ¹，Rb Î【（1）若0a >，0b >，且点(1,2)在该二次函数的图像上，求91a b +的最小值；（2）若不等式0y >的解集为{|11}x x -<<①求实数a ，b 的值；②a x b "££，21202320252m m x -£-，求实数m 的最大值．【答案】（1）16（2）①3,2a b =-=； ② 2024【解析】【分析】（1）根据条件可得1a b +=，然后利用基本不等式即可得到最小值；（2）由不等式与方程的关系得到二次方程及其对应的解，从而求得参数值；不等式恒成立问题转化为小于最小值问题，解对应二次不等式即可得到最值.【小问1详解】∵点(1,2)在该二次函数的图象上，∴2(2)3a b =+-+，即1a b +=，∵0a >，0b >，∴()919191016b a a b a b a b a b æö+=++=++³ç÷èø，当且仅当34a =，14b =时，取“=”∴91a b +的最小值16；【小问2详解】由题意可知：121,1x x =-=是方程2(2)30ax b x +-+=的两根，∴15a b a b +=-ìí-=-î，解得32a b =-ìí=î，当32x -££时，21202320252m m x --£-恒成立，∵112x -³-，∴2202320251m m --£-，即()()202410m m -+£，∴12024m -££，∴m 的最大值为2024.19. 若集合A 中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即22{|,Z,Z}A x x m n m n ==+ÎÎ，则称集合A 为“弦方集”（1）分别判断5，15，25，169是否为弦方集中的元素；（2）已知集合A 为弦方集，且a A Î，正整数b 能表示为某个整数的平方，证明：ab A Î；（3）已知集合A 为弦方集，集合{|43,Z}B x x k k ==+Î，证明：A B =ÆI .【答案】（1）5,25,169是弦方集中元素，15不是弦方集中的元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据“弦方集”的元素的特征进行判断；（2）根据“弦方集”的定义证得结论成立；（3）利用反证法，先假设A B ¹ÆI ，根据“弦方集”的元素的特征以及整数的有关性质得出矛盾，从而证得A B =ÆI .【小问1详解】因为222222512,2534,169013=+=+=+，所以5,25,169是弦方集中的元素.不存在,m n ÎZ ，使得2215m n =+，所以15不是弦方集中的元素.【小问2详解】依题意，集合A 为弦方集，且a A Î，即存在,m n ÎZ ，使得22a m n =+，正整数b 能表示为某个整数的平方，即存在2Z,,0x b x b Î=>，所以()()()22222,,Z ab m n x mx nx mx nx =+=+Î，所以ab 是弦方集中的元素，即ab A Î.【小问3详解】假设A B ¹ÆI ，则存在,m n ÎZ ，043,Z x k k =+Î，使得2243k m n +=+，由于43k +是奇数，所以22m n +是奇数，所以,m n 一个是奇数，另一个是偶数，不妨设2,Z,21,Z m s s n t t =Î=+Î，则()()()22222222141m n s t s t t +=++=+++，而43k +除以4的余数为3，()2241s t t +++除以4的余数为1，所以2243k m n +¹+，与已知矛盾，所以A B =ÆI .的【点睛】方法点睛：解新定义题型的方法步骤：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况；（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
四川省内江市2024-2025学年高一(理科创新班)上学期第一次月考数学试卷含答案
内江2024-2025学年度（上）高2027届第一次月考数学【理科】试题（创新班）（答案在最后）考试时间：120分钟满分150分一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.已知命题:0p x ∃<，212x x +≤-，则p ⌝是（）A.0x ∀≥，212x x +>-B.0x ∃≥，212x x +≤C.0x ∀<，212x x +>-D.0x ∃<，212x x +≤【答案】C 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题:0p x ∃<，212x x +≤-是存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，即0x ∀<，212x x +>-，故选：C2.下列图象中，表示定义域和值域均为[0,1]的函数是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.【详解】选项A ：定义域为[0,1]，但是值域不是[0,1]故错误；选项B ：定义域不是[0,1]，值域为[0,1]，故错误；选项C ：定义域和值域均为[0,1]，故正确；选项D ：不满足函数的定义，故错误；故选：C.3.单位圆上一点()0,1P 绕坐标原点O 逆时针方向转动2023π3后，到达Q 点，则点Q 的坐标为（）A.,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.31,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ C.13,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先用三角函数表示点P 坐标，然后通过旋转可求出点Q 坐标，利用诱导公式计算即可.【详解】单位圆上一点()0,1P ，即ππcos ,sin 22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其绕坐标原点O 逆时针方向转动2023π3后，到达Q 点，则π2023ππ2023πcos ,sin 2323Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又π2023ππππππ3cos cos 674πcos sin 23232332⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，π2023ππππππ1sin sin 674πsin cos 23232332⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以31,22Q ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知,R a b ∈，则“22a b >”是“33a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可.【详解】由22a b >得a b >，由33a b >得a b >，当2a =-，1b =时，满足a b >，但不满足a b >；当2a =-，3b =-时，满足a b >，但不满足a b >；故“22a b >”是“33a b >”的既不充分也不必要条件，故选：D 5.已知25a=，则lg 2=（）A.11a + B.1a a - C.1a a + D.11a -【答案】A 【解析】【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可.【详解】由25a=得lg 2lg5a=，所以10lg 2lg 1lg 22a ==-，解得1lg 21a =+，故选：A.6.已知sin 0α>，cos 0α<，则3α的终边在（）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限【答案】D 【解析】【分析】先通过条件确定α的范围，再求出3α的范围，进而可得角所在象限.【详解】因为sin 0α>，cos 0α<，所以α为第二象限角，即π2ππ2π,Z 2k k k α+<<+∈，所以π2ππ2π,Z 63333k k k α+<<+∈，则3α的终边所在象限为ππ5π3π5π,,,π,,63623⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所在象限，即3α的终边在第一、二、四象限.故选：D .7.已知3a b ⋅=，2a = ，22a b -= ，则a ，b 的夹角为（）A.π3B.π6C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】由条件结合数量积的运算性质求b ，再由向量夹角公式求a ，b 的夹角.【详解】因为22a b -=，所以224a b -= ，故444a a a b b b ⋅-⋅+⋅=，又3a b ⋅=，2a = ，所以b，所以cos ,2a b a b a b ⋅===⋅，又[],0,πa b ∈ ，所以π6,a b = ，即a ，b 的夹角为π6，故选：B.8.已知函数1e x y +=和ln 1y x =-的图象与直线2y x =-交点的横坐标分别为a 、b ，则a b +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】作出函数图像，利用反函数的性质判断即可.【详解】设()1ex f x +=，()ln 1g x x =-，()q x x =，()2h x x =-，因为()1ex f x +=与()ln 1g x x =-互为反函数，图像关于()q x x =对称，设它们与()2h x x =-的交点坐标分别为()(),2,,2a a b b --，可知交点坐标也关于直线()q x x =对称，所以2a b =-，即2a b +=.故选：B二、多选题（本大题共3小题，共18分）9.若非空集合M ，N ，P 满足：M N N ⋂=，M P P = ，则（）A.⋃=N P PB.P M ⊆C.N P N=∩ D.()P N M =∅ð【答案】ACD 【解析】【分析】先根据交集、并集运算的结果得到,N M M P ⊆⊆，然后再逐项进行判断.【详解】因为M N N ⋂=，M P P = ，所以,N M M P ⊆⊆，所以N M P ⊆⊆，对于A ：因为N P ⊆，所以⋃=N P P ，故正确；对于B ：因为M P ⊆，所以P M ⊆不一定成立，故错误；对于C ：因为N P ⊆，所以N P N =∩，故正确；对于D ：因为N M ⊆，()P M M =∅ ð，所以()P N M =∅ ð，故正确；故选：ACD.10.已知()()()22,0211,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤⎪=⎨-+->⎪⎩是R 上的增函数，那么实数a 的值可以是（）A.32B.23C.43D.34【答案】AC 【解析】【分析】先分析各段函数在对应区间上单调递增，然后结合分段点处函数值大小关系确定出a 的可取值.【详解】当0x ≤时，()()22f x x a x =-+-，若单调递增，则202a-，解得2a ≤，当0x >时，()()211f x a x a =-+-，若单调递增，则210a ->，解得12a >，又()()20202101a a a -+-⨯≤-⨯+-，解得1a ≥，综上可知，12a ≤≤，可得AC 符合.故选：AC.11.已知函数()()22,R f x x mx m n m n =+-+∈，若非空集合(){}A x f x =≤，()(){}24B x f f x =+≤，且A B =，则下列说法中正确的是（）A.n 的取值与m 有关B.n 为定值C.0m ≤≤D.02m ≤≤【答案】BD 【解析】【分析】令()2f x m +=，从而化(()2)4f f x +£为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，可得{}2()2B x a f x b =-＃-|，由A B =≠∅，从而得2b =，且min ()2f x a ³-，化简(){}0A x f x =≤≠∅，解得0m ≥或8m ≤-，又(),a b a b £是方程()4f x =的两个根，利用韦达定理可得2a m =--，则2min8()424m m m f x f m 骣+琪=-=-³--琪桫，进而求得m 的取值范围.【详解】令()2f x m +=，则(()2)4f f x +£可化为()4f m £，不妨设()4f m £的解集为[],a b ，即a b m＃，()2a f x b \£+£，即2()2a f x b -＃-，故{}{}{}(()2)4()22()2B f f x x a f x b x a f x b =+-＃-||，又(){}0A x f x =≤ ，且A B =≠∅，20b ∴-=，且min ()2f x a ³-，2b ∴=，且min ()2f x a ³-，故()(2)4224f b f m m n ==+-+=，解得0n =，故选项A 错误，选项B 正确；()22f x x mx m =+-\，(){}0A x f x =≤≠∅ ，220x mx m +-£\有解，2+80m m \=³Δ，即0m ≥或8m ≤-，(),a b a b £ 是方程()4f x =的两个根，即(),22a a £是方程2240x mx m +--=的两个根，故224a m ×=--，即2a m =--，2min8()424m m mf x f m 骣+琪\=-=-³--琪桫解得：22m--＃，02m \＃，故选项C 错误，选项D 正确.故答案选：BD.【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题.三、填空题（本大题共3小题，共15分）12.对任意正实数,x y ，不等式4x y +≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,4]-∞【解析】m≥的最小值即可.【详解】对任意正实数,x y ，不等式4x y +≥m≥恒成立，4≥==即4x y =时取“＝”.所以4m ≤故答案为：(,4]-∞13.在ABC V 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，平面ABC 外一点P 满足PA PB PC ===锥P ABC -外接球的表面积是_________．【答案】9π【解析】【分析】因为PA PB PC ==，所以P 点在平面ABC 上的射影M 是ABC V 的外心，即为AC 中点，而三棱锥P ABC -的外接球球心O 一定在PM 上，由此计算出球半径后可得表面积．【详解】因为PA PB PC ==，所以P 点在平面ABC 上的射影M 是ABC V 的外心，又90ABC ∠=︒，所以M 是AC 中点，如图，由PM ⊥平面ABC ，AM⊂平面ABC ，得PM MA ⊥，三棱锥P ABC -的外接球球心O 在PM 上，AC ==2PM ===，设PO OA R ==，则由222OA OM AM =+得222(2)R R =-+，32R =，所以外接球表面积为2234492S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：9π．14.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π恰有2025个零点，则ω的一个可能取值是__________．【答案】2024．（答案不唯一）【解析】【分析】由题意可得2πω的范围，进而求出ω的范围，求出其中ω的一个可得值．【详解】令()cos 10(0)f x x ωω=-=>，可得cos 1x ω=，要使函数()f x 在区间[]0,2π恰有2025个零点，即cos 1x ω=有2025个根，因为[0x ∈,2π]，0ω>，所以[0x ω∈,2π]ω，则4048π2π4050πω≤<，可得20242025ω≤<．故答案为：2024．（答案不唯一）四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.设不等式13x -≤的解集为A ，不等式103x x -<+的解集为B ，集合{}22C x m x m =-≤≤+.（1）求A B ⋂，R B ð；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[2,1)A B ⋂=-；(,3][1,)B =-∞-⋃+∞R ð（2）2m ≤【解析】【分析】（1）先化简集合,A B ，再结合集合的交集和补集的运算即可；（2）由A C A ⋃=，得C A ⊆，再结合包含关系列出不等式组，即可解.【小问1详解】由13x -≤，得[2,4]A =-，由103x x -<+，得(3,1)B =-，则[2,1)A B ⋂=-，][()R ,31,B ∞∞=--⋃+ð；【小问2详解】若A C A ⋃=，则C A ⊆，当C =∅时，C A ⊆，此时22m m ->+，解得：0m <；当0m ≥时，C ≠∅，此时2224m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：2m ≤，则02m ≤≤，综上：2m ≤16.已知函数()()π204f x x ωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=->的周期为π．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）3π7ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2，最小值为1-.【解析】【分析】（1）由周期计算公式求出()f x 然后根据正弦函数单调递减区间可得答案；（2）由题可得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，后由正弦函数图象和性质可得答案.【小问1详解】因为函数()()π204f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的周期为π，所以πT =，2π2Tω=，即1ω=，所以()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π242k x k +≤-≤+，k ∈Z ，即3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，函数()f x 的单调递减区间为3π7ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】因为π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π24x ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，()f x在区间π3π,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最小值为1-.17.已知二次函数()f x 的最小值为9-，且1-是其一个零点，x ∀∈R 都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,m -上的最小值；（3）若关于x 的不等式()9f x mx -≤-在区间()1,3上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2()45f x x x =--（2）2min 45,(12)()9,(2)m m m f x m ⎧---<≤=⎨->⎩（3）[)0,+∞【解析】【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；（2）分12m -<≤和2m >讨论即可；（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出m 的范围.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有(2)(2)f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为2()(2)9(0)f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以2(1)(12)90f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为22()(2)945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以，当12m -<≤时，2min ()()45f x f m m m ==--，当2m >时，min ()(2)9f x f ==-，2min 45,(12)()9,(2)m m m f x m ⎧---<≤=⎨->⎩.【小问3详解】因为关于x 的不等式()9f x mx -≤-在区间(1,3)上有解，即不等式2(4)4m x x +≥+在(1,3)上有解，所以44m x x+≥+，记4()(13)g x x x x =+<<，因为44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以()g x 的最小值为4，所以44m +≥，即0m ≥，故存在实数m 符合题意，所求实数m 的取值范围为[)0,+∞.18.已知在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()cos 2cos b C a c B =-.（1）求B ；（2）如图，若a b =，在ABC V 外取点D .且3AD =，1CD =.求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）3π（2）23【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【小问1详解】∵()cos 2cos b C a c B =-，由正弦定理得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+，∴()2sin cos sin A B B C =+.根据三角形内角和定理A B C π++=得()2sin cos sin sin A B A A π=-=，∵0A π<<，∴sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=.【小问2详解】∵3B π=，且a b =，∴ABC V 为等边三角形.设ADC α∠=，则在ACD 中，由余弦定理得2223)1231cos 43b αα=+-⋅=-.∴213sin 3cos 232ABC S b πα=⋅⋅=△，1331sin sin 22ADC S αα=⋅=△.∴四边形ABCD的面积33πcos 2223S ααα⎛⎫=+=-≤ ⎪⎝⎭，∴当32ππα-=，即56πα=时，max S =.∴四边形ABCD的面积的最大值为19.已知函数()4lg 4x f x x -=+，()1212x x g x -=+，设()()()h x f x g x =+．（1）求()()22h h +-的值；（2）是否存在这样的负实数k ，使()()22cos cos 0h k h k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 的取值集合；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）(]2,1--【解析】【分析】（1）直接代值计算即可；（2）首先确定函数()h x 为奇函数，并观察出函数()h x 为单调减函数，然后利用单调性和奇偶性去掉""h ，将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【小问1详解】由已知()412lg 412xxx x h x +--+=+，所以()()222242124212lg lg 04212421222h h ----+-+=++-++-=++；【小问2详解】()412lg 412xx x x h x +--+=+，其定义域为()4,4-，又()()412412lg lg 412412x x x x h x x x x x h x ----++-=+--+++++44122lg 04412112x x x x x x x x -+-⎛⎫=⨯= ⎪+-+-+⎭++⎝，所以函数()h x 为奇函数，又()8lg 114221x h x x ⎛⎫-+- ⎪++⎝=⎭+，因为,8lg 11242xy y x ⎛⎝==⎫-+ ⎪++⎭均为定义域上的减函数，所以函数()h x 在()4,4-上单调递减，因为()()22cos cos 0h k h k θθ-+-≥恒成立，即()()()2222cos cos cos h k h k h k θθθ=--≥--，所以2222cos cos cos 4cos 4k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪->-⎪⎨-<⎪⎪<⎩即2222cos cos cos 4cos 4k k k k k θθθθ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<+⎪⎪<⎩对R θ∈恒成立，所以222340k k k k k ⎧-≤-⎪>-⎪⎨<⎪⎪<⎩，即21k -<≤-，故存在这样的负实数k ，使()()22cos cos 0h k h k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，且k 的取值集合为(]2,1--.【点睛】关键点点睛：针对一个复杂函数的不等式恒成立问题，要有意识有目的的去求函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质来解决不等式问题.。
河南省名校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
河南省名校联考2024-2025学年上期高一第一次月考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前两章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.下列关系式正确的是A.3∈QB.—1∈NC. Z⊆ND. Q⊆R2.关于命题q:∀a<b,|a|≤|b|,下列结论正确的是A. q是存在量词命题，是真命题B. q是存在量词命题，是假命题C. q是全称量词命题，是假命题D. q是全称量词命题，是真命题3.已知集合A={x∈Z|3x―1∈Z},则用列举法表示A=A.{—2,0,2,4}B.{—2,0,1,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}4.已知a>0,b>0,c>0,则“a+b>c”是“a,b,c可以构成三角形的三条边”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正数a，b满足1a +2b=1,则a+2b的最小值为A.9B.6C.4D.36.已知集合A={(x,y)|y=x²+ ax+1},B={(x,y)|y=2x-3},C=A∩B,若C恰有1|真子集，则实数a=A.2B.6C.2或6D.—2或67.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为A.25元B.20元C.15元D.10元【高一数学第1页(共4页)】 ·A18.学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有A.5名B.4名C.3名D.2名二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组对象能构成集合的有A.郑州大学 2024 级大一新生B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员C.体型庞大的海洋生物D.唐宋八大家10.已知a>b>0,则使得a+ca >b+cb成立的充分条件可以是A. c=-2B. c=-1C. c=1D. c=211.已知二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的部分图象如图所示，则A. a+b>0B. abc>0C.13a+b+2c>0D.不等式bx²―ax―c>0的解集为{x|-2<x<1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a=10―6,b=6―2,则a ▲ b.(填“◯”或“<”)13.已知a∈R,b∈R,集合{,则(a―b)³=.14.已知m<n<0,则8nm+n ―2mm―n的最大值为▲ .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|-2<x<3},B={x|a-1<x<2a}.(1)若a=2,求A∪B,C∪B;(2)若B⊆A,求a 的取值范围.【高一数学第2页(共4页)】 A116.(15分)给出下列两个结论：①关于x的方程.x²+mx―m+3=0无实数根；②存在0≤x≤2,使(m+1)x―3=0.(1)若结论①正确，求m 的取值范围；(2)若结论①，②中恰有一个正确，求m的取值范围.17.(15分)已知正数a,b,c 满足 abc=1.(1)若c=1,求2a +3b的最小值；(2)求a2+b2+2c2+8ac+bc的最小值.A11918.(17分)已知a∈R,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3.(1)当a=1时,函数y=ax²+(3a+2)x+2a+3的图象与x轴交于A(x₁,0),B(x₂,0)两点，求x31+x32;(2)求关于x的不等式y≥1的解集.19.(17分)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，c∈A，使得a-b=b-c，则称A 为“等差集”.(1)若集合A=1,3,5,9,B⊆A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；(2)若集合.A=1,m,m²―1是“等差集”，求m的值；(3)已知正整数n≥3,证明:{x,x²,x³,…,x"}不是“等差集”.【高一数学第4 页(共4 页)】 A1·数学参考答案1. D 3₃∉Q,-1∉N,N ⊆Z,Q ⊆R2. C 由-2<1,|-2|>|1|,知q 是假命题,且q 是全称量词命题.3. A 因为3=1×3=(--1)×(-3),所以A={-2,0,2,4}.4. B 取a=5,b=3,c=1,满足a+b>c,此时b+c<a,a,b,c 不可以构成三角形的三条边.由a,b,c 可以构成三角形的三条边,得a+b>c.故“a+b>c”是“a,b,c 可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.5. A 因为 1a +2b =1,所以 a +2b =(1a +2b)(a +2b )=5+2b a+2a b.又a>0,b>0,所以 2ba + 2ab ≥22b a⋅2ab =4,当且仅当a=b=3时，等号成立，故a+2b 的最小值为9.6. D 因为C 恰有1个真子集，所以C 中只有1个元素.联立方程组 {y =x 2+ax +1,y =2x ―3,整理得 x ²+(a ―2)x +4=0,则 (a ―2)²―16=0,解得a=-2或6.7. D 设每株多肉植物的售价降低x(x∈N)元，则这种多肉植物每天的总销售额为(30-x)(25+5x)元.由(30-x)(25+5x)≥1 250,得5≤x≤20,故每株这种多肉植物的最低售价为30-20=10元.8. B 如图，由题可知 {a +b +9m +x ―20,a +c +m +z ―21,b +c +m +s ―21,a +b +c +1>22,a +b +z ―12,x +9z +z =24,则 3m=63-2(a+b+c)-(x+y+z)=15,则m=5,从而3个兴趣小组都没参加的学生有45-(a+b+c)-(x+y+z)-m=4名.9. ABD 由题可知，A ，B ，D 中的对象具有确定性，可以构成集合，C 中的对象不具有确定性，不能构成集合.10. AB 由a +c a>b +c b,得 a +c a ―b +cb=b (a +c )―a (b +c )ab=c (b ―a )ab>0.因为a>b>0,所以c<0.11. BCD 由图可知a>0,二次函数 y =ax ²+bx +c 的图象与x 轴相交于(--1,0),(2,0)两点，则 {a ―b +c =0,4a +2b +c =0,整理得 {b =―a ,c =―2a ,则 a+b=0, abc>0,A 不正确,B 正确. 由【高一数学·参考答案 第 1页(共4 页)】 ·A1·{4a―2b+c>0,9a+3b+c>0,得13a+b+2c>0,C正确.因为{b=―a,c=―2a,所以bx²―ax―c=―ax²―ax+2a>0,即x²+x―2<0,,解得-2<x<1,D正确.12.<a―b=10+2―26,因为( 10+2)2=12+45,(26)2=24,45<12(所以(10+2)2<(26)2,则10+2<26,从而a<b.13.8 由a+b,a,2=a²,2,0,得a=0或a=a².若a=0,则a²=0,，不符合集合元素的互异性.若a=a²,则a=0(舍去)或a=1,所以a+b=0,即b=-1,从而((a―b)³=8.14.―18nm+n ―2mm―n―4(m+n)―4(m―n)m+n―(m+n)+(m―n)m―n=3―[4(m―n) m+n +m+nm―n].因为m<n<0,所以4(m―n)m+n >0,m+nm―n>0,则4(m―n)m+n+m+nm―n≥24(m―n)m+n⋅m+nm―n=4，当且仅当m=3n时，等号成立，故的最大值为-（1）由a=2,得B={x|1<x<4}, ... 1分 (1)则或x≥4}. ... 3分 (3)因为A={x|-2<x<3},所以A∪B={x|-2<x<4}................................................5分（2）若B=∅,则a-1≥2a,解得a≤-1,满足B⊆A (7)若B≠∅,则由B⊆A,得分 (9)解得 (11)综上所述，a的取值范围为 (13)16.解:（1）由结论①正确,得分 (3)解得-6<m<2 (5)故当结论①正确时，m的取值范围为{m|-6<m<2}....................................6分（2）若m=-1,则原方程转化为-3=0,恒不成立. ... 7分 (7)若m≠-1,则由（m+1）x-3=0,得分 (8)从而解得 (10)当结论①正确，结论②不正确时， (12)当结论②正确,结论①不正确时,m≥2 (14)综上所述，当结论①，②中恰有一个正确时，m的取值范围为或m≥2}..........15 17.解分 (1)则 (4)当且仅当时，等号成立，故的最小值为₆ (6)（2）因为, (8)当且仅当a=b=c=1时,等号成立,... 9分 (9)所以分 (10) (12)当且仅当 ac+ bc=2时,等号成立,此时a=b=c=1, ... 14分 (14)所以的最小值为8………………………………………………………………………………15分18.解:(1)当a=1时,y=x²+5x+5.由题可知x₁,x₂;是方程x²+5x+5=0的两个实数根， (2)由{x21+5x1+5=0, x22+5x2+5=0,得{x 31=―5x21―5x1,x32=―5x22―5x2, 4分则x i+x32=―5(x21+x22)―5(x1+x2)=―5[(x1+x2)2―2x1x2]+25=―75+25=―50.6分(2)由y≥1,得ax²+(3a+2)x+2a+2≥0.当a=0时，不等式整理为………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………7分当a≠0时,令ax²+(3a+2)x+2a+2=(x+1)( ax+2a+2)=0,得x=---1或x=...............................................................................................................9分当a>0时,则原不等式的解集为或3x≥-1} (11)当--2<a<0时,―1<―2a+2a,则原不等式的解集为{x|―1≤x≤―2a+2a};当a=-2时,则原不等式的解集为{-1}；...............................................................15分当a<-2时,则原不等式的解集为 (17)【高一数学·参考答案第3页(共4页)】 ·A1·…13分1,3,5或1,5,9,………………………………………………………………………… (1)故满足条件的B可能是{1,3,5},{1,5,9},{1,3,5,9}...........................................4分（2）解:由A 是“等差集”,得, ... 5 分 (5)且m≥2,则 (6)（舍去）或m=2 (8)当m=2时,A={1,2,3}是“等差集”,故m=2 (9)（3）证明:假设{x,x²,x³, (10)则存在1≤i<j<k≤n,其中i,j,k∈N*,使得 (11)即则分 (12)因为1≤i<j<k≤n,所以k-i>j-i,从而k-i≥j-i+1,... 13分 (13)则2xʲ⁻ⁱ=1+xᵏ⁻ⁱ≥1+xʲ⁻ⁱ⁺¹, ……………………14分则分 (15)因为x≥2，所以从而2-x>0,即x<2, (16)不是“等差集” (17)【高一数学·参考答案第 4 页(共4页)】。
高一上学期第一次月考数学试题(附答案解析)
高一上学期第一次月考数学试题（附答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知全集U=Z，集合A={−1,2,3}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=( )A. {4}B. {3}C. {1,2}D. ⌀2. 已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是( )A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若a>b，则ac2>bc2C. 若a>b>0，则(a−b)c>0D. 若a>b，则a−c>b−c3. 已知集合A={x|(x−2)(x+1)≤0}，B={−2,0,1}，则A∩B中元素的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知p：0<x<2，q：−1<x<3，则p是q的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 下列命题正确的是( )A. 若数列{a n}、{b n}的极限都存在，且c n=a n bn (b n≠0)，则数列{cn}的极限存在B. 若数列{a n}、{b n}的极限都不存在，则数列{a n+b n}的极限也不存在C. 若数列{a n+b n}、{a n−b n}的极限都存在，则数列{a n}、{b n}的极限也都存在D. 设S n=a1+a2+⋯+a n，若数列{a n}的极限存在，则数列{S n}的极限也存在6. 设全集U=R，集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|x−2≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {x|x≤−1或x≥3}B. {x|x<2或x≥3}C. {x|x≤2}D. {x|x≤−1}7. 设集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5}，全集U=A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 若集合A={−1,1}，B={x|mx=2}，且B⊆A，则实数m的值( )A. −2B. 2C. 2或−2D. 2或−2或09. 若P=√a+√a+7，Q=√a+3+√a+4(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )A. P>QB. P=QC. P<QD. 由a的取值确定10. 已知正实数a，b，满足a+2b=1，则1a +2b的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1111. 已知实数a，b，c，若a>b，则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. a2>b2C. ac2+1>bc2+1D. a|c|>b|c|12. 若集合A={−1,1}，B={x|x+m=0}，且A∪B=A，则m的值为( )A. 1B. −1C. 1或−1D. 1或−1或0第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）13. 已知集合A={x|0<x<4}，集合B={x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______．14. 已知x>1，函数y=x+4x−1的最小值为______．15. 已知集合A={−1,2,4}，B={0,2,6}，则A∩B=______ ．16. 已知集合A={m+2,2m2+m}，若3∈A，则m的值为______．17. 若集合{a,ba,1}={a2,a+b,0}，则a2021+b2021=______．18. 不等式的解集为。
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2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷一．选择题（每小题4分）
1．若{1，a，b
a
}={0，a2，a+b}，则a+b的值为（）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
2．（4分）已知集合A＝{x||x﹣1|≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，2}，则∁A B＝（）A．{﹣2，0，1}B．{﹣1，2}
C．{0，1，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
3．已知命题p：∀x∈R，（a+2）x2﹣2ax+1＜0，若命题p为假，则a的取值范围为（）A．R B．（﹣∞，﹣2）
C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
4．（4分）下列命题是假命题的是（）
A．若x∈A∪B，则x∈A或x∈B
B．对任意x∈{x|x＞1}，都有x2＞2x
C．“∀a∈Z，1﹣a2≤1”的否定是“∃a∈Z，1﹣a2＞1”
D．“x＝y”是“|x|＝|y|”的充分不必要条件
5．（4分）命题：“若|m﹣3|＞2则m＞5或m＜1”的否定形式是（）A．若|m﹣3|≤2则m＜5或m＞1B．若|m﹣3|≤2则m≤5或m≥1
C．若|m﹣3|＞2则1＜m＜5D．若|m﹣3|＞2则1≤m≤5
6．（4分）若A⊆B，A⊆C，B＝{0，1，2，3，4，5，6}，C＝{0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（）
A．4B．15C．16D．32
7．（4分）设集合A＝{x|x＞2}，则（）
A．3∉A B．√5∈A C．2∈A D．0∈A
8．（4分）有下列说法：
①很小的实数可以构成集合；
②若集合A，B满足A∪B＝B，则B⊆A；
③空集是任何集合的真子集；
④集合M＝{y|y＝x2+1，x∈R}，N＝{y|y＝﹣x2+1，x∈R}，则M∩N＝{（0，1）}．
其中正确的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共8小题，满分28分）
9．（4分）已知集合A＝{x∈R|x2＝1}，B＝{x∈R|ax+1＝0}，若B⊆A，则a＝．10．（4分）设集合M{y|y＝﹣x2+2x+2}，N＝{y|y＝2x2﹣1}，则M∩N＝．
11．（4分）若集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣2x＝0}，则A∪B＝．12．（4分）某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是．
13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a+b＝0；③a（a2+b2）＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：
（1）使a，b都为0的必要条件是；
（2）使a，b都不为0的充分条件是；
（3）使a，b至少有一个为0的充要条件是．
14．（4分）集合{a，b}的所有子集一共有个．
15．（4分）若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是．
16．（4分）已知命题p：对任意的x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，则￢p 为；若￢p为假命题，则m的取值范围是．
三．解答题（共4小题）
17．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．
（Ⅰ）求集合∁R A；
（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．。