初中数学 特殊的平行四边形菱形

∵四边形ABCDB是菱形
∴AB=AD,OD=OB 又∵ AO = AO
∴ △AOD ≌ △AOB
又∵ AC = AC
∴ ∠DOA=∠BOA
∴ △ADC ≌ △ABC
又∵ ∠DOA+∠BOA= 180°
∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA
∴ ∠DOA=∠BOA= 90° ∴ AC⊥BD
八年级 数学
直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
全等三角形有：
Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
如图，我家正在装修房门，想在菱形ABCD处安装一块玻璃，已知每平方分米的玻 璃价格为1元，请问需要得到哪些数据,便可知道要花多少钱？
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A
D
B
C
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一D 组对角。
已知:四边形ABCD是菱形
求证: ∠DAC=∠BAC
A
OC
∠DCA=∠BCA AC⊥BD
证明： ∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
A B OD
C
①
A
1.已知菱形的周长是12cm，那
D
么它的边长是__3_c_m__.
O
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则
C
B
∠BAC＝____6_0_度_.
D
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ） 3
C
A4 O
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的
让我们一同走进生活中的菱形
菱形就在我们身边
菱形就在我们身边
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有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
解： ∵ 四边形ABCD是菱形
D
∴ AC⊥BD
A
O
C
cm 1 1
∴ AO= AC= ×8=4 ，
22
cm， 1 1
1
BO2 = BD= ×6=3
B
2 1 ∴△AOB的面积= ×AO ×BO
2
2
=
×1 4×3=6
思考： ∴菱形ABCD的面积=4 ×6=24
2
若对角线AC的长度为m,BD的长度为n，则菱
对角线
AC⊥BD
菱形的两条对角线互相垂直平，
每一条对角线平分一组对角。
【菱形的面积公式】
A
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
菱形
面积公式计算菱形的面积吗?
B
O
D
E
C
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能 计算菱形的面积公式吗?
1
为 什 么
?
S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD=2 AC×BD
B
中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
B
D
E
F
C
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的
交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角
线BD的长。
D
解：∵四边形ABCD是菱形
A
4O
C
∴AC⊥BD
53
∴ OB2 AB2 OA2 52 42 9B
∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，那 么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置 关系？
A 菱形是轴对称图形
B1 3
D 4
2
提示:从对称性、边、角、对角线、 面积等方面来探讨
C
(2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由.
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形 的所有性质.
菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,对角线所 在的直线.
形ABCD的面积是多少？
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
你想知道什么样的四边形就是菱形吗？
矩形
菱形
四边形集合
平行四边形集合
菱形集合
矩形集合
谢谢！
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条 小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2 ）
解:∵花坛ABCD是菱形 1
∴AC⊥BD, ∠ABO= ∠2 ABC=300
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
已知四边形ABCD是菱形 相等的线段： AB=CD=AD=BC
A
12
D
7 8
OA=OC OB=OD
5 6
O
34源自文库
相等的角：∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
B
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
C
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD
C
1 ∠2 DCB 1∠ABC 2
D
边 菱形的两组对边平行且相等A
O
C
菱形的四条边相等
B 数学语言
菱形的两组对角分别相等∵四边形ABCD是菱形
角 菱形的邻角互补
菱形的 两条对角线互相平分
== ∴∴∴∴∴∠AO∴∠AAD∠DBA∠BDA∠∠=A=ADBOBBDACBA∥∥C+CCDCD=∠C=;=AB∠O=C∠A==∠BDDB∠∠A=CB=COBCBAD=CDDCA1AB80° ∠ABD=∠CBD
1
在Rt△OAB中 ,AO=AB= 2 ×20=10(m),
BO= AB2 AO2 =
∴花坛的两条小路长
202 102 ≈17.32(m).
B
AC=2AO=20(m),
BD=2BO ≈34.64(m). 花坛的面积
S菱形ABCD=4× S △OAB=AC×BD
≈346.40(m2).
A
O
D C
例2在菱形ABCD中，对角线AC=8cm,BD=6cm， 问菱形ABCD的面积是多少？
浙教版数学教材八年级下
特殊的平行四边形 -----菱形
情 前面我们学习了平行四边形和矩形，知 景道了如果平行四边形有一个角是直角时,成
为什么图形? (矩形,由角变化得到)
创 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让 设 它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什
么呢? (菱形)
两组对边 四边形 分别平行
平行 四边形
矩形
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考， 在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比， 稍一用力，便可将多层白纸划破，剑 身上整齐排列着黑色菱形暗花纹—— 越王勾践剑
学一学
第第第十十十第九九九十章章九章章四边四四形边四第形边边十形九形章
四
边
形
几何语言
D
∵四边形ABCD是菱形，
A
O
∴AD∥BC，AB∥CD，
AB=BC=CD=DA，
B
OA=OC，OB=OD，
AC⊥BD， ∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=
1∠DAB= 2 1∠ADC= 2