解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆

解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆

——山西大学附中 刘嘉信

一、概念与基本的推导

化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。那如何实现这一点呢？这里我们以中心在坐标系原点O 点，长轴在X 轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆（在本文中默认a>b>0）： 椭圆的标准方程为：

)1......(122

22=+b

y a x 将（1）式中左右两边同时乘以2

a 可得： )2......(22222

a y

b a x =+ 我们可以设y b

a z =，代入（2）式消去y 就有： )3......(222a z x =+

这时，我们可以发现，（3）式中的形式就是xoz 坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以a 为半径的一个圆。这时我们就把一个xoy 坐标系里面的椭圆成功的变成了一个xoz 坐标系里面的一个比较特殊的圆。

实际上，我们可以发现，这个方法的本质就是把y 轴人为地拉长为原来的y b a z =倍，变成xoz 坐标系。

二、应用

无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？

我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时，我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出21x x +或者是21x x ，较为繁琐，计算量较大，原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断。但是，在我们把椭圆变成圆以后，我们就可以利用远的一些性质来解决一些问题。

1、 判断直线与椭圆的位置关系。

比如我们已知一条直线L ：)1)......(0(0≠=++AB C By Ax

我们还知道一个椭圆C ：)2......(122

22=+b

y a x 我们可以用上面的方法，设y b

a z =，代入（1）、（2）式得到： )3......(0=++C z a

Bb Ax )4......(222a z x =+

这时候，我们就可以看出来：（3）式是xoz 坐标系里面的一条直线，而（4）式是xoz 坐标系里面的一个圆心为（0,0）、半径为a 的一个圆。这样我们就可以用点线距离和半径的关系来判断椭圆C 和直线L 的位置关系。

设d 为（0,0）到（3）表示的直线L ’的距离，则有：

2222a b

B A C

d +=既然知道了一个圆圆心与一条直线的距离和这个圆的半径，那么二者的

位置关系就十分好判断了。

2、 弦中点问题

弦中点问题是我起的一个名字。在椭圆中这类问题可以用化椭为圆的方法来解决。由于从xoy 坐标系变成xoz 坐标系以后，原来的弦的中点仍然是中点，所以我们就可以连接圆心（即坐标原点）和这个中点，制造出一个垂直（弦的垂直平分线）。下面我举个例子：

【例1】已知椭圆C 的标准方程为：14

162

2=+y x ，求该椭圆所有的斜率为2的弦的中点的轨迹方程。

【解析】我们用上面的方法就可以把椭圆变成：1622=+z x 。由于我们是要在xoz 坐标系里面做工作，所以必须把直线也变进来。设这些弦所在的直线的方程为：b x y +=2，把y 代换成z 就有：b x z 24+=。

我们知道，圆里面弦的中点与圆心（这里是坐标原点）的连线与这条弦所在直线垂直，所以，很明显就有这些中点一定分布在直线x z 41-=上面，即x y 8

1-=。因为弦的中点一定在椭圆内部，所以我们只需再加上范围即可。不必再用原来的代入消元求解的方法，十分简洁。 【例2】已知椭圆C 的标准方程为：14

162

2=+y x ，P 、Q 为椭圆C 上的两点，直线OP 、OQ 的斜率的乘积为4

1-。求|OP|+|OQ|。 【解析】设P ),(11y x ，Q ),(22y x

我们可以按照上面的方法把C 的方程变成1622=+z x ，于是在xoz 坐标系里面，有： 112y z =，222y z =。因为OP 、OQ 过原点，所以11x y k OP =，2

2x y k OQ =；变成xoz 坐标系后，因为112y z =、222y z =，所以1111'22x y x z k k OP OP ==

=、2222'22x y x z k k OQ OQ ===。又因为4

1-=⨯OQ OP k k ，所以有1''-=⨯OQ OP k k ，即在xoz 坐标系中，OP ⊥OQ ，所以||||21z x =。所以：

20

1244)(4

3)(41)(414

1412221222221212222212122

222121=++=+++++=+++

=+++x x z x z x z x z x y x y x

三、注意

对于这种方法，我们必须注意两点：

1、 对于大多数给定某一个角度的题目，这个方法并不适用，因为角经过对y 轴的拉伸之后

就变了，失去了原来的集合性质，不适合用这种方法。

2、 对于求某一段距离的长的问题，如果用这种方法，就需要求出两个点的坐标，因为距离

经过变换以后也可能变得不同。