解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆
“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
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“化椭为圆”解决椭圆中的面积问题
作者：王旭光
来源：《广东教学报·教育综合》2019年第46期
【摘要】在仿射变换下，图形的一些性质不会发生变化。
如，同素性、结合性、平行性、面积比等。
本文通过仿射变换“化椭为圆”来解决椭圆中的一些面积问题，在椭圆的教学和学习过程中，许多问题只能用解析幾何的方法来解决，计算量往往比较大，技巧也比较多。
而在解决圆的某些问题时，往往利用一些性质来处理，过程简明很多。
通过仿射变换正好可以“化椭为圆”，将椭圆中的面积问题转化到圆中来处理。
【关键词】仿射变换；椭圆；圆；面积
参考文献：
[1]吐尔洪艾尔米丁.仿射变换在椭圆面积中的应用[J].新疆师范大学大学学报（自然科学版），2009（1）：44.。
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索
化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2022年第04期[摘要] 橢圆与圆有很多相似之处，椭圆的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行题源探究，并揭示了问题的本质，从命题者的角度来思考、设计题目，更好地把握命题规律，有利于学生学科素养的提高.[关键词] 椭圆;圆;三角形;面积数学家波利亚（George Polya，1887—1985）曾说过，“类比是一个伟大的引路人”. 椭圆是解析几何的重要内容，它的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行了题源探究，并进一步对此类问题进行了命题研究. 通过化“椭”为“圆”，能够有效地降低题目难度，减少运算量，有助于学生系统掌握圆锥曲线问题，提高学科素养;教师通过命题的分析与研究，可以站在更高的视角看问题，提高课堂教学效果.[⇩] 伸缩变换在高中数学（人教A版选修4-4）中有伸缩变换的定义：设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′=λ·x（λ>0），y′=μ·y（μ>0）的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换[1].对于椭圆E：+=1（a>b>0）和直线l：y=kx+m，在变换φ：x′=·x，y′=·y的作用下，分别化为E′：x′2+y′2=1和l′：by′=kax′+m. 椭圆在变换φ的作用下，有以下性质[2]：性质1 比值关系不变性：若A，B，C三点共线，伸缩变换后A′，B′，C′仍旧三点共线，同时对应的线段长度比值不变，特别地，当点B为线段AC的中点时，点B′也为线段A′C′的中点.性质2 位置关系不变性：伸缩变换前直线与椭圆的位置关系（相切、相交、相离）在伸缩变换后保持不变.性质3 面积关系确定性：伸缩变换前图形面积S与伸缩变换后图形面积S′满足关系S=abS′.[⇩] 问题探究设直线l：y=kx+m不过原点O，且与椭圆E：+=1（a>b>0）有两个不同的交点A，B，则称△OAB为椭圆的中心三角形. 由伸缩变换的性质可知，求解椭圆中心三角形的面积，完全可以转化为求解对应圆的中心三角形的面积.在伸缩变换φ的作用下得到：l′：by′=kax′+m与E′：x′2+y′2=1的交点为A′，B′，∠A′OB′=α，则S△A′OB′=sinα，S△AOB就转化为了S△A′OB′. 显然当α=90°时，S△A′OB′的最大值为;由伸缩变换的性质3可知S△AOB的最大值为，此时直线l′与圆E′的位置关系如图1所示. S△AOB的最大值取决于直线l与椭圆E的位置关系，即在椭圆已知的情况下，需要研究k，m对S△AOB的影响，有如下三种情况：（1）k确定;（2）m确定;（3）k，m存在线性关系.（1）当k确定时，不妨设k=k，直线l为一族平行线，在伸缩变换φ的作用下，l′：by′=kax′+m，当圆心O到l′的距离d=（α=90°）时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，如图2所示. 此时d==，即m=±，直线l′与圆x′2+y′2=相切，直线l：y=kx±，同时S△AOB 无最小值.（2）当m确定或k，m存在线性关系时，直线l过定点，不失一般性. 设直线l过定点P （s，t），在伸缩变换φ的作用下，对应的l′过点P′，. 由平面几何知识可知：①当OP′=≥，即2+2≥时，存在直线l′使得α=90°时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，此时圆心O 到l′的距离d=，直线l′与圆x′2+y′2=相切，如图3所示.②当OP′=<，即2+2<时，不存在直线l′使得α=90°，此时圆心O到l′的距离d≤OP′<，所以α为钝角. 由S△A′OB′=sinα知，当α取最小值时，S△A′OB′有最大值，也就是当弦心距d取最大值时，α取最小值，即d=OP′，OP′⊥A′B′，如图4所示. 所以sin==，cos==d，所以S△A′OB′的最大值为·2d=d，S△AOB的最大值为abd.由以上讨论可知，不论是平行直线族还是直线过定点，S△AOB的最值都与圆x′2+y′2=椭圆+=有关：如果平行直线族或定点在此圆（椭圆）外，S△AOB的最大值为;如果定点在此圆（椭圆）内，当OP′⊥A′B′时，S△AOB的最大值为abd.[⇩] 应用举例例1 （2014年全国Ⅰ卷理科第20题）已知点A（0，-2），椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.（1）求E的方程;（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.解析：（1）+y2=1.（2）设直线l：y=kx-2，作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆E：+y2=1，直线l：y=kx-2，点A（0，-2）在φ的作用下，得到：E′：x′2+y′2=1，l′：y′=2kx′-2，A′（0，-2）. 根据上述分析可知，S△OP′Q′的最大值为，于是S△OPQ的最大值为×2×1=1，此时d==，解得k=±，所以直线l的方程为y=±x-2.例2 （2015年浙江卷理科第19题）如图5所示，已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称.（1）求实数m的取值范围;（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.解析：（1）略.（2）作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.椭圆+y2=1，直线y=mx+，k=-在φ的作用下，得到：x′2+y′2=1，y′=mx′+①，kA′B′=-. 设P为AB的中点，根据性质1可知，P′为A′B′的中点，于是kOP′=，OP′：y′=x′②，联立方程①②得P′-，-，当P′在x′2+y′2=上，即m2=2时，S△A′OB′有最大值，如图6，于是S△AOB的最大值为=.[⇩] 命题探索通过前面的题源分析及示例，笔者尝试命制如下题目.1. 利用弦过定点构造条件改编2018年全国Ⅰ卷理科第19题如下：命题1：已知椭圆E：+y2=1，点M的坐标为（2，0），过M的直线l与E相交于A，B 两点，点B关于x轴的对称点为C，设O为坐标原点，求△OAC面积的最大值.命题设计分析：可以证明直线AC过定点P（1，0），作伸缩变换φ：x′=·x，y′=y.点M，P对应的坐标分别为M′（，0），P′，0，显然P′在圆x′2+y′2=上，因此S△OA′C′的最大值为，S△OAC最大值为=.通过改变M的位置控制题目难度，M的位置改变使得定点P的位置也发生了改变，导致P′位于圆x′2+y′2=内或外，从而S△OAC的最大值也发生了变化. 一般地：结论1：对于椭圆E：+=1（a>b>0），设M的坐标为（x，0），通过计算可知直線l过定点P，0，所以P′的坐标为，0.①当M的横坐标满足0<x≤a时，P′位于圆x′2+y′2=外，S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为.②当M的横坐标满足x>a时，P′位于圆x′2+y′2=内，由前面的分析可知，当OP′⊥A′C′时，S△OA′C′有最大值. S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为ab.2. 利用特殊图形构造条件如椭圆内接平行四边形，相似题目有2015年全国Ⅱ卷理科第20题、2021年佛山市高二期末考试第22题，题目如下：命题2：已知椭圆E：+=1，O为坐标原点，在椭圆上是否存在点A，B，C，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值.命题设计分析：根据题意作伸缩变换φ：x′=·x，y′=·y.由伸缩变换的性质可知，平行四边形OACB所对应的四边形OA′C′B′是夹角为120°的菱形，因此SOA′C′B′=，于是S=×2×=3. 一般地：结论2：对于椭圆E：+=1（a>b>0），O为坐标原点，则在椭圆上存在A，B，C三点，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值ab.伸缩变换使椭圆问题回归到圆上进行解决，搭建了两者的桥梁，借助于圆的丰富性质来解决椭圆问题，避免了复杂的计算. 同时从命题者的角度来思考、设计题目，更好地抓住问题的本质，把握命题规律，让教学游刃有余.参考文献：[1] 人民教育出版社. 数学选修4-4的“坐标系与参数方程”[M]. 北京：人民教育出版社，2008.[2] 魏国兵. 让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用[J]. 数学教学，2014（05）：13-16.。
简介“圆化法”
教学方法课程教育研究145学法教法研究在椭圆的解题过程中，我们常常遇到一些麻烦，比如：求椭圆的切线，求椭圆的弦长，还有椭圆中一个图形的面积，解决这些问题时，我们往往会算出一个冗长的包含二次根、二项式和分数的式子，这会让我们接下来的运算举步维艰。
于是我们想，能不能先将椭圆转化为一个圆，再利用圆特殊的几何性质进行分析呢？圆化法，即将椭圆通过投影的方法转化为圆，从而达到减少运算量并且更直接快速地解决问题的方法。
那么，我们该如何投影呢？可以从一道简单的例题入手：例题1（2011湖北）如图，直角坐标系xoy 所在的平面为α，直角坐标系（其中y 与重合）所在平面为β，（1）已知平面β内有一点，则点在平面α内射影P 的坐标为________（2）已知平面内β内曲线的方程是，则曲线在平面α内的投影c 的方程是________________分析：（1）已知那么即，又（2）把 代入方程得：由该题给我们提供了这样一个灵感：建立一个与直角坐标系xoy 所在的平面交线为y 轴的新坐标系平面，使两坐标系成某固定角度θ。
可使原坐标系系中的椭圆在新坐标系中射影为圆。
在新坐标系中每点坐标直线满足：。
即将原椭圆纵坐标不变，横坐标进行伸缩变换（类似于必修四中三角函数图象伸缩变换）。
这一方法在刚刚过去的2015湖北高考数学中同样有所体现。
例题2.（2015湖北）一种作图工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可以绕O 转动，长杆MN 通过处铰链N 与ON 连接，MN 上的栓子可以沿AB 滑动，且DN=ON =1，MN =3。
当栓子D 在滑杆AB 内做往复运动时，带动N 饶O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立。
如图2所示的平面直角坐标系。
（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线和分别交于P ，Q 两点。
若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：ΔOPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。
谈椭圆化圆的方法、结论及运用
如 图１ ，在ｘ Ｏ ｙ 平 面 内设直 线 的斜 率为ｋ ， Ｐ （ ｓ ， ｔ ） ，
则ｐ（ 一 ｓ ， 一 ｔ ） ， Ｎ （ Ｏ ， ｔ ） ，
（ １ ） 若Ａ， Ｂ， ｃ 三点共线 ， 贝 ， Ｂ ， Ｃ 三点共线 ； 若Ａ ／ ／ Ｃ Ｄ， 则４ Ｂ ／ ／ Ｃ Ｄ ；
１
ｃ ： ＝ １ 通 过 矩 阵 ＝ ［ 【 ０ ２ 。 ］ Ｊ 变 化 得 到 椭 圆 ２ ＋ ４ ＝ １ ， 那
根据矩 阵知识 ，椭 圆Ｘ ２ ＋ ： １ 通 过矩 阵 的逆矩 阵 一 ：
得 。 ， Ｉ Ｙ Ｉ ＝ ｒ Ｅ ， ／ ｌ Ｙ 。 Ｉ ， 所以 。 ， ｌ ｙ ｏ Ｉ ＝ Ｉ Ｙ ｌ ， 将（ ｙ ｏ ） 代人
一 ） ，
如果简单看待这个 问题 ，也 就是用 求轨迹方程类 型 中的相关动 点法求 轨迹 而已 但换 个角 度看 这个 问题 ，
１ Ｄ Ｍｌ ＝ ｍＩ Ｄ Ａ ｌ 的几何意义就是 ： 若Ｏ ＜ ｍ ＜ ｌ ， 它是向礴由 方
向压缩 ， 即对于 轴上方的点 向下压缩 ， 对于确 下方 的点 向上压缩 ， 而 轴上 的点保持不变 ； 若ｍ ＞ ｌ ， 也就 是相应拉 伸 ，这不正 是矩阵 中伸压变换 的本质吗 ！无论Ｏ ＜ ｍ＜ ｌ 或 ｍ＞ ｌ ， 均将 圆转化 为了椭 圆． 那 自然联 想到 ， 类 似此方 法 ， 椭圆不是也 可以转 化为圆吗？
一
例１ （ ２ ０ １ ２ 年湖 北理 ２ 】 题） 设Ａ是 单位 圆 ＋ ＝ ｌ 上 的任 意一点 ， ｆ 是过点Ａ 与 轴垂直 的直线 ， Ｄ 是直线Ｚ 与 轴
点Ｐ （ ， Ｙ ） ，
的交点 ， 点 在直线ｚ 上， 且满足 ｌ Ｄ ＭＩ ＝ ｍ Ｉ Ｄ Ａ Ｉ （ ｍ ＞ Ｏ ， 且
椭圆化圆优化解题
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椭圆化圆优化解题
作者：徐才銮
来源：《理科考试研究·高中》2013年第10期
新课标数学选修4-4P4介绍了坐标的伸缩变换。
通过伸缩变换可以把曲线的方程化为简单形式，从而方便解题。
本文介绍用伸缩变换化椭圆为圆，来简化几类问题的求解。
一、最值问题
例1求椭圆x214+y2=1上的点到直线x+2y-4=0的最近距离和最远距离，并求出相应点的坐标。
解作伸缩变换x′=112x，
y′=y，则椭圆图1化为圆x′2+y′2=1，直线化为x′+y′-2=0。
如图1，过原点作与直线x′+y′-2=0垂直的直线y′=x′，交圆于A′和B′两点，可知点A′、B′到直线的距离分别最近、最远。
易得A′（212，212），B′（-212，212）。
那么由伸缩变换知原坐标系中，A（2，212），B（-2，-212）。
A、B两点到直线x+2y-4=0的距离dA=|2+2-4|15=2（2-2）15，dB=|-2-2-
4|15=2（2+2）15。
从而最近距离是2（2-2）15，最远距离是2（2+2）15，相应的两点分别是（2，212）和（-2，-212）。
点评本例的常规解法是设出与已知直线平行的椭圆的切线，代入椭圆方程，令判别式为零，解出参数，得到切线方程；再联立切线与椭圆的方程，解出切点；然后求出两个切点到直线的距离。
这种方法运算复杂。
而本文解法化为圆上两点到直线的距离问题，易得所求两点，回避了解复杂的方程（组），简捷获解。
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。
例1设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 ⑴若6=，求k 的值；⑵求四边形AEBF 面积的最大值。
分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’， 线段E ’F ’恰为圆的直径，根据性质1，D ’分线段E ’F ’的比与D 分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理．．．．．求得D ’点的坐标，再反求出D 点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。
解：依题设得椭圆的方程为1y 4x 22=+ 作仿射变换，令x ’=2x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1)⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=712 D ’F ’=72 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=2∴A ’D ’=724 D ’B ’=723或A ’D ’=723 D ’B ’=724 ∴''''B D 34D A =或''''D 43A = 由定比分点公式可得：D ’(7374,)或D ’(7473,) ∴D 点坐标为(7378,)或(7476,) ∴k=83或k=32 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ⋅⋅sin ''''B A F E 21=θsin 2≤2（当θ=2π时取“=”号，此时F ’ (2222,)）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π根据性质3有π=π'S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤22 当且仅当F 坐标为(22222,)，即k=21时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面积取到最大值。
三种思维巧突破,七招方法解椭圆--2019年全国卷Ⅲ第15题
x02 36
+
y02 20
蓸 蔀 =1，即 y02=20
1- x02 36
=20-
5 9
x02，MF2 的中点
N
的坐标为
蓸 蔀 x0+4 ，y0 22
.
由于 F（1 -4，0），F（2 4，0），由三角形性质知 F1N彝MF2，
y0
则有
kF1N·kMF2 =-1，即
2 x0+4
· y0 +4 x0-4
36 20
6，b=2 姨 5 ，则有 c= 姨a2-b2 =4.
由 于 M 为 C 上 一 点 且 在 第 一 象 限 ，所 以 在 等 腰
代入椭圆
C：x2 36
+
y2 20
=1，可得
y0=
姨15（由于
y0跃0，负值舍去）.
所以 M 的坐标为（3，姨15）.
答案：（3，姨15）. 方法 4院（直线垂直关系法）由椭圆 C：x2 + y2 =1，可
36 20
知 a=6，b=2 姨 5 ，则有 c= 姨a2-b2 =4.
设点
M
的坐标为
M（x0，y0）（x0跃0，y0跃0），则有
=-1，整 理 可 得
y02=
2
48 -x02-8x0，则 有
20 -
5 9
x02=48 -x02-8x0，解 得
x0=3（由 于
x0跃0，负值舍去）.
将
x0=3
代入椭圆
C：x2 36
+
y2 20
=1，可得
y0=
姨15（由于
y0跃0，负值舍去）.
所以 M 的坐标为（3，姨15）.
用坐标伸缩变换解决椭圆问题
解 得 一５一
所 以 当 ｍ ＞ １＋ 时， 椭 圆 ① 内含于椭 圆 ②．
评析 用两 圆的位 置关系来 代 替两椭 圆的位 置
所以当 一５一√１ ３ ＜ｍ ＜一５＋￣ ／ １ ３时已知直
线与椭 圆相交 ．
２ ２
关 系显 然 问题容 易解决 ， 而坐标 伸缩 变换恰 好 沟通 了 两者 之间 的关 系 ， 化繁为 简 ， 安全可靠．
相应的圆 ＋ Ｙ ＝１ 和直线 ２ ｋ ｘ 一 √ ｍｙ 一１ ： ０ ， 要
使 已知 的直线 与椭 圆有且仅 有一个 公 共 点 ， 只要相 应
的直 线与 圆相切． Ｐ（ ｍ， ） 变 为 相 应 的 圆 ， ＋ｙ ， ２：１和 定 点 Ｐ （ ，
解 令 ， ： ，ｙ 车， 则已 知椭圆 和定点
ｆ １ 的距 离小 于半 径 １ ， 即 ｌ ２×１—３×（ 一１ ）＋， ｎ ｌ ，，
、
、 ／ ／ （ １ —０ ） ＋（ 一１— ０ ） ＜ ｌ ， ｎ一１ ｌ （ ， ｎ＞０ ） ，
解得 ｍ ＞ １＋ ， 或 ｍ ＜ １一 （ 舍去） ，
恩
＜ ｍ ＜一５＋
ｎ Ｚ
椭 圆方 程变为
所 在 直线的 方 程为ｙ ， 一 旱＝ 一 （ ， 一 ） ．
所 以以 Ｐ （ ｍ， ｎ ）为 中点 的弦 所在 的直 线 方程 为
ｙ
一
＋ Ｙ ＝１ Ｄ Ｄ 即 ＋ 午 １ ＝ ２ ｂ ，
，
２
令 ， ＿ ， Ｙ √ ２ ｙ ，
７ ３ ０ ０ ７ ０
宋
波
解 得 一 了 １ ＜ ＜ ÷ ．
评析 以上 两例也可 以用一 元二 次方 程 的判别
解答题：利用“仿射变换”化椭为圆
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用一、仿射变换思想方法椭圆)0,0(1:2222>>=+b a b y a x C 中，令a x x ='，by y =',，则椭圆方程变为单位圆 1'22=+y x C ： ，该变换过程称为仿射变换。
相当于在xoy 与'''y o x 两个坐标系来研究问题，但圆中几何意义明显，便于计算。
但最后要还原到椭圆中去解决问题。
变化前后点的坐标对应变化：),()','(),(bya x y x y x =→ )','(),()','(by ax y x y x =→二、性质1、点线关系不变（1）同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线 （2）结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上 （3）原三点共线，后三点也共线；原直线平行，后直线也平行 2、原弦长||AB ,斜率k ，后弦长|''|B A ，22211||k k m AB ++=|''|B A （其中ba m =） 3. 直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）已知直线0:=++C Bx Ax l ，椭圆1:2222=+b y a x C ，讨论直线与椭圆的位置关系。
由a x x ='，byy =',仿射变换后，直线0:=++C Bx Ax l 变为0:'=++C Bbx Aax l 。
（此结论可以作为公式背下，提高平时做题的速度）椭圆变为1'22=+y x C ： ，由直线与圆的位置关系易得答案。
例1 已知直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x ，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C. 相离 D. 相切或相交解：由2'x x =，y y ='仿射变换后，直线03=-+y x ，椭圆1422=+y x 分别变为直线03''2=-+y x 、椭圆1''22=+y x ，而直线03''2=-+y x 到圆1''22=+y x 的距离15312|3|22>=+-=d ，所以直线和圆相离，由于仿射变换直线与圆锥曲线的位置关系不变，所以原直线和椭圆相离。
专题2、椭圆化圆
( x, y) ( x, y) (ax, by)
2、椭圆化圆的常见结论：
AB BC AB u BC （1）原三点共线，后也三点共线：
原直线平行，后也直线平行：AB // CD AB // CD （2）直线：原直线斜率 k ，后直线斜率 k
例3、椭圆
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
离心率为 23 ，过右焦点斜率为
k (k 0) 的直线与椭圆交于 A, B ，若 AF 3FB ，求 k
解：
3 b2 1 e 2 a 2 4b 2 , c 2 3b 2 2 a 4
椭圆为
x x 2b y y b
3、椭圆化圆的应用
x2 y2 例1、求过椭圆 2 2 1(a b 0) 上一点P( x0 , y0 ) 的切线方程。 a b
x x a 解：令 y y b
化椭圆为 x2 y2 1
x0 y0 x O y 在 坐标系中：P( x0 , y0 ) P ( , )
专题二、椭圆化圆
1、椭圆化圆的思想方法
椭圆
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
中，令
x x a y y b
则椭圆方程变为：
x2 y2 1 为单位圆。
相当于在 xoy 与 xoy 两个坐标系来研究问题，但圆 中几何意义明显，便于计算。但最后要还到椭圆中 去解决问题。 变化前后点的坐标对应变化：
y0 y1 y0 y2 k1 k2 1 1 在 xOy 坐标系中： x0 x1 x0 x2 y1 y2 y1 y0 y2 y0 y0 y0 k2 2 1 2 k1 x1 x0 x2 x0 2 x1 2 x0 2 x2 2 x0
圆均匀压缩或伸长变为椭圆反之椭圆变为圆
探求椭圆与圆的内在联系 拓深椭圆概念的理解应用摘 要 本文通过挖掘椭圆与圆的概念以及方程形式之间的区别与联系，从圆入手，运用类比联想和投影转化的方法，揭示了椭圆与圆之间的内在联系，进一步拓深了椭圆概念的理解和应用。
关键词 椭圆 圆 方程 平行投影椭圆与圆之间存在着许多相互联系之处，当我们在研究椭圆问题时，若能挖掘椭圆与圆之间的内在联系，对我们加深椭圆问题的理解无疑是有好处的，本文就此问题作些探讨，以供参考。
1、概念判别（1）定义在平面上，到一个定点O 的距离等于定长R 的点的轨迹是圆，O 是圆心，R 是半径。
在平面上，到两个定点1F 、2F 距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
（2）联系在平面上，取一条定长细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图1），这时画出的轨迹就是椭圆。
在讲解椭圆概念时，从学生比较熟悉的圆的概念出发，通过动态演示，对两点分离时所得图形的探究性学习，很自然地得出椭圆的概念，便于学生对概念的理解和掌握。
2、方程形式（1）标准方程圆方程：22020)()(R y y x x =-+-，其中),(00y x 为圆心，R 为半径。
椭圆方程：)0(1)()(220220>>=-+-b a by y ax x ，其中),(00y x 为椭圆中心，b a ,分别为椭圆的长短半轴长。
联系：在椭圆方程中，若取b a =，方程即为圆方程形式；两类方程都可转化为)0(022≠=++++AB E Dy Cx By Ax 的一般形式。
（2）参数方程圆方程：)2,0[,sin cos 00πααα∈⎩⎨⎧+=+=R y y R x x ，α为参数。
椭圆方程：)2,0[,sin cos 00πααα∈⎩⎨⎧+=+=b y y a x x ，α为参数。
椭圆变圆,避繁就简
椭圆变圆,避繁就简
柳华
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2007(000)010
【摘要】把圆看成椭圆的特殊形式是大家所熟知的，那么在特定条件下若将椭圆看成特殊的圆是否合理呢？答案是肯定的．本文将给予论证并加以应用。
【总页数】1页(P199)
【作者】柳华
【作者单位】临沂市中医药职工中专学校,山东,临沂,276005
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.齐差求辨出决策,避繁就简成判断——《决策心理:齐当别之道》读后 [J], 徐富明;李欧
2.伸缩变换椭圆变圆 [J], 朱东海
3.变圆心角增量等步长椭圆插补算法 [J], 方石银
4.数形结合避繁就简——借助函数的凸凹性巧解一类不等式的参数问题 [J], 龚敬辉
5.浅谈小学语文课堂如何返璞归真、避繁就简 [J], 张全
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化椭为圆 其妙无穷
化椭为圆其妙无穷作者：王海军来源：《理科考试研究·高中》2020年第04期摘;要：直线与圆锥曲线的位置关系问题是近年来解析几何问题中的一个高频考点，尤其是与圆锥曲线有关的相交弦问题，此类问题计算量偏大，属于难点.基于圆的特性及椭圆和圆的内在联系，可以利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”，使问题的运算量下降、难度降低.本文就“化椭为圆”法解决直线与椭圆相交问题举例说明.关键词：化椭为圆;转化与化歸;伸缩变换椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，经伸缩变换φ：x′=xa，y′=yb，得到x′2+y′2=1，有如下结论[1]：（1）伸缩变换前后，坐标成比例变换;（2）伸缩变换前后，直线斜率成比例变换：伸缩变换前，椭圆上任意两点AxA，yA，BxB，yB，连线的斜率（假定存在）k=yA-yBxA-xB，则伸缩变换后，k′=ab·k;（3）伸缩变换前后，直线与曲线的位置关系不变：设变换前直线与椭圆方程联立消去y 所得一元二次方程的判别式为Δ，则伸缩变换后Δ′=a2b2Δ;（4）伸缩变换前后，面积成比例变换：S′=1abS.题1;已知椭圆E：x236+y29=1和点P4，2，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点.当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.分析;此问题是直线与椭圆相交的中点弦问题，解决此问题的方法有：①借助根与系数的关系，采用设而不求的数学思想;②代点相减法（点差法）;③利用直线的参数方程法[2];④利用“化椭为圆”法.解析;利用伸缩变换φ：x′=x6，y′=y3，将椭圆E：x236+y29=1变换为圆E′：x′2+y′2=1，点P4，2变换为点P′23，23，所以kO′P′=1 .因为点P为直线与椭圆E相交弦AB的中点，所以P′23，23为圆E′的弦A′B′的中点.利用圆的性质可得kO′P′·kA′B′=-1.所以kA′B′=-1.即kA′B′=-1=2kAB.所以kAB=-12.所以直线的方程为y-2=-12（x-4）.即y=-12x+4.通过上述解答可以得到一般的结论：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1和点Px0，y0，直线l经过点P且与椭圆相交于A，B两点.当点P恰好为线段AB的中点时，直线l的斜率为k=-b2a2·x0y0.证明;利用伸缩变换φ：x′=xay′=yb将椭圆E：x2a2+y2b2=1变换为圆E′：x′2+y′2=1，点P （x0，y0）变换为点P′（x0a，y0b），所以kO′P′=y0bx0a=ay0bx0.因为点P为直线与椭圆E相交弦AB的中点，所以P′（x0a，y0b）为圆E′的弦A′B′的中点.利用圆的性质可得kO′P′·kA′B′=-1.所以kA′B′=-bx0ay0.所以kA′B′=-bx0ay0=abkAB .所以kAB=-b2a2·x0y0.评注;此解法采用伸缩变换“化椭为圆”的方法，基于圆的特性及椭圆和圆的内在联系，利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”，使问题的运算量下降，难度降低.题2;已知点A0，-2，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（1）求椭圆的方程;（2）设过点A的动直线l与椭圆相交于P，Q两点.当ΔOPQ的面积最大时，求l的方程.分析;第（2）问求当ΔOPQ的面积最大时l的方程，其常规解法是：设出直线的方程，利用韦达定理求出弦长以及点到直线的距离;再得出ΔOPQ面积的函数表达式;最后利用函数思想处理最值问题.虽然思路比较清晰，但是在这一过程中对数学运算的核心素养能力有较高的要求，同时还要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力.为了简便一些，下面就利用“化椭为圆”法求解此题.解析;（1）设Fc，0，直线AF的斜率为233，所以2c=233，解得c=3.又ca=32，所以a=2，b2=a2-c2=1.故椭圆的方程为x24+y2=1.（2）令φ：x′=x2，y′=y，则椭圆经过伸缩变换φ后得单位圆x′2+y′2=1.设θ为线段OP与OQ的夹角，则变换后△OPQ的面积S′=12sinθ≤12，当且仅当θ=π2时等号成立.此时，圆心到直线的距离为22.显然，当l⊥x轴时不符合题意.所以可设l′：y′=k′x′-2，则2k′2+1=22.则k′=±7=y′1-y′2x′1-x′2=y1-y2x12-x22=2（y1-y2）x1-x2=2k.所以k=±72.所以SΔOPQ=abS′=2×1×12=1.此时，直线l的方程为y=±72x-2.评注;此解法采用“椭圆化圆”法求解，与常规法相比“椭圆化圆”充分利用了“数形结合”的思想，降低了题目的思维难度，简化了运算的过程，充分体现了转化与化归思想的优越性，同时也培养了数学学科核心素养.题3;设A，B为椭圆x22+y2=1上满足ΔAOB的面积为64的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设OP=tOE，求实数t的值.分析;此题的常规解法是：设直线AB的方程y=kx+b，将其代入椭圆方程，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长AB;利用点到直线的距离公式求得ΔAOB的面积表达式;利用12AB·d=64得到k，b之间的关系;再由题设E为线段AB的中点，OP=tOE，点P在椭圆C 上，利用中点坐标公式即可得到点P的坐标;最后代入椭圆方程可得到k，b，t的关系式，再与上面得到的关系式联立即可得到t的值.很明显，常规解法涉及到的变量较多，运算量较大且不易求解，尤其是涉及k，b，t的关系，进而求t的值.下面利用“化椭为圆”法求解此题，以体现其优越性.解法1;令φ：x′=x2，y′=y，则椭圆经过伸缩变换φ后得单位圆x′2+y′2=1.SΔA′O′B′=12SΔAOB=12×64=34.即SΔA′O′B′=12·21-d2·d=34 .所以d2=14或34.即d=12或d=32 .所以t=OPOE=O′P′O′E′=1d .所以t=2或233.解法2;令φ：x′=x2，y′=y，则椭圆经过伸缩变换φ后得单位圆x′2+y′2=1.SΔA′O′B′=12SΔAOB=12×64=34 .所以∠A′O′B′=π3或2π3.所以d=OE=rsinπ6=12或d=OE=rsinπ3=32.所以t=OPOE=O′P′O′E′=1d=2或233.评注;此解法采用“化椭为圆”法求解，与常规法相比“化椭为圆”充分利用了“数形结合”的思想，降低了题目的思维难度，简化了运算的过程，其优越性不言而喻.椭圆与圆之间存在着许多内在联系，在学习和研究椭圆问题时，若能有意识地挖掘椭圆与圆之间的内在联系，利用伸缩变换将椭圆变换为单位圆，把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而实现“椭圆问题圆解决”.圆与椭圆的相互转化可以使我们领略知识之间并不是孤立的，这就促使我们在研究问题时，要善于转化，善于在知识之间建立合理的联系，善于将复杂问题合理地向简单问题转化，“化橢为圆”让学生多了一种选择，促进了学生数学思维的发展，有利于培养学生程序化思考问题的习惯，提升学生的数学运算能力，促使其形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.学生数学学科素养的形成和发展，是在教师的启发和引导之下，通过自己的独立思考悟出来的，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法.数学之美，在于发现，因此有效挖掘题中所给信息，不仅是解题的需要也是优化知识结构、训练思维、提高数学素养的需要.参考文献：[1]侯宝坤.伸缩变换——兼谈化椭圆为圆问题[J].中学数学研究，2004（04）：31-33.[2]王海军.聚焦“中点”多样解题[J].理科考试研究，2019，26（03），20-21.（收稿日期：2019-10-28）。
椭圆还圆法
题 目改 为 求 单 位 圆ｘ 产 ＋ ｙ ＝ ｌ ｖ ￣Ｐ （ ０２ ） 的直 线ｌ 交圆 ＝ ￣ ｉ ｚ ｉ
，
点Ａ ， Ｂ ， △Ａ Ｏ Ｂ 面积 最 大 时 直 线方 程 ．
Ｓ Ｚ Ｘ Ａ ， Ｏ Ｗ ＝１ Ｉ ＯＡ， ｌ ｌ ０Ｂ １． ｓ ｉ
一
．
在单 位 圆 中。 ・ ． ・ Ｏ Ｐ 上Ａ Ｂ ． Ｉ Ｏ Ａ
卜１ ０Ｂ ｌ ＿ Ｉ ＯＰ Ａ Ｂ Ｉ ＝ １ Ａ Ｂ Ｉ ．
ｒ —— —— — —— — —
２ Ｖ ２． （ Ｉ） 求该椭圆的标准方
程：
且ｌ Ａ Ｂ ｌ － ＶＩ Ｏ Ａ ｌ ‘ ＋ ｌ Ｏ Ｂ 广 ．
（ ２ ） 令
＝ ｘ ， 由 于仿 射 不 变 性 ， 可知Ｐ （ ０ ， ２ ） 变化为Ｐ
（ Ｏ ， ２ ） ．
４ ４
通 过 此 题 是 想 告 诉 我 们 出题 是 根 据 椭 圆 还 圆 法 。反 向转 化． 就 将 一 道 弱 智 的 题 变 成 一 道 巨难 的 解 析 几 何 难 题 ． 同 时 我 们也 可知 道 高 考命 题 的方 式 、 背景， 加 深 对考 题 真 题 的 认 识 ． 有 了对 椭 圆还 圆 法 全面 的认 识 ， 那 么 到 底 什 么 时候 用 ？归 纳 了 以下 几 种 ： １ ． 面 积 问题 ： ２ ． 线 段 成 比例 问题 ： ３ ． 斜 率 成 比例 问题 ： ４ ． 变 换 后 成 特 殊 几何 关 系 ． 此种方法确实存在风险 ， 但它能帮助我们快速获得结果 ， 便 于检查 ， 可 以用常规式子写 出过程 ， 用 此 法 得 出结 果 ． 优 秀 学 生参 加 自主 招 生 考 试 时 可 以随 意 使 用 ．
解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆
解决椭圆部分问题的新思路—-化椭为圆-—山西大学附中 刘嘉信一、概念与基本的推导化椭为圆，顾名思义,就是把椭圆变成圆.那如何实现这一点呢？这里我们以中心在坐标系原点O 点，长轴在X 轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆（在本文中默认a>b>0）： 椭圆的标准方程为：)1......(12222=+by a x 将（1)式中左右两边同时乘以2a 可得： )2......(22222a yb a x =+ 我们可以设y ba z =，代入（2）式消去y 就有： )3......(222a z x =+这时，我们可以发现,（3）式中的形式就是xoz 坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以a 为半径的一个圆。
这时我们就把一个xoy 坐标系里面的椭圆成功的变成了一个xoz 坐标系里面的一个比较特殊的圆。
实际上，我们可以发现，这个方法的本质就是把y 轴人为地拉长为原来的y b a z =倍，变成xoz 坐标系。
二、应用无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时，我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出21x x +或者是21x x ，较为繁琐，计算量较大，原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断.但是，在我们把椭圆变成圆以后,我们就可以利用远的一些性质来解决一些问题.1、 判断直线与椭圆的位置关系.比如我们已知一条直线L:)1)......(0(0≠=++AB C By Ax 我们还知道一个椭圆C:)2......(12222=+by a x 我们可以用上面的方法，设y ba z =，代入（1）、（2)式得到： )3......(0=++C z aBb Ax )4......(222a z x =+这时候,我们就可以看出来：(3)式是xoz 坐标系里面的一条直线，而（4）式是xoz 坐标系里面的一个圆心为（0,0)、半径为a 的一个圆.这样我们就可以用点线距离和半径的关系来判断椭圆C 和直线L 的位置关系。
三种思维巧突破,七招方法解椭圆——2019年全国卷Ⅲ第15题
三种思维巧突破,七招方法解椭圆——2019年全国卷Ⅲ第15题吴昊【期刊名称】《《中学数学》》【年(卷),期】2019(000)021【总页数】2页(P21-22)【作者】吴昊【作者单位】山东省鄄城县第二中学【正文语种】中文罗增儒教授在写给解题研究的同行们的共勉中提到：“谁也无法教会我们解所有的数学题，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种能解无限道题的数学素养.”通过一题多解，在呈现不同解法的同时，重在暴露思维过程：为什么会想到这样解，每一个解法的“念头”是什么，不同的解法都用到了哪些知识.多样的思维过程与解法，引人多思，是锻炼学生思维能力、提高综合运用数学知识能力的绝佳载体.2019 年高考全国卷Ⅲ文、理的第15 题是有关椭圆问题，是能够提供很好的锻炼思维、融合知识、提升能力的好场所.一、真题在线【高考真题】（2019 年全国卷Ⅲ文，理15）设F1，F2 为椭圆的两个焦点，M为C 上一点且在第一象限.若△MF1F2 为等腰三角形，则M 的坐标为______.本题给出已知椭圆的方程，以椭圆上的点与两个焦点所构造的三角形为等腰三角形为问题背景，利用求解椭圆上的点的坐标来达到目的.由于涉及解析几何问题，又有三角形背景，可以利用条件，通过三角函数、解析几何、平面几何等思维角度加以切入与破解.二、一题多解思维角度1.三角函数思维方法1：（三角函数定义法）由椭圆，可知，则有由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△M F1F2 中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.结合三角函数的定义可得，则有将代入椭圆，可得xM=3（由于M 在第一象限内，负值舍去）.所以M 的坐标为答案：方法2：（余弦定理法）由椭圆，可知a=，则有由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2 中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.由余弦定理可得，则有4+xM=|MF1|cos∠MF1F2=7，解得xM=3.将xM=3 代入椭圆，可得（由于M 在第一象限内，负值舍去）.所以M 的坐标为答案：思维角度2.解析几何思维方法3：（两点间距离转化法）由椭圆可知，则有由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2 中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有=1，即由于F1（-4，0），所以有，解得x0=3.将x0=3 代入椭圆，可得（由于y0＞0，负值舍去）.所以M 的坐标为.答案：.方法4：（直线垂直关系法）由椭圆，可知，则有设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有=1，即，MF2 的中点N 的坐标为由于F1（-4，0），F2（4，0），由三角形性质知F1N⊥MF2，则有kF1N·kMF2=-1，即=-1，整理可得y02=48-x02-8x0，则有，解得x0=3（由于x0＞0，负值舍去）.将x0=3 代入椭圆，可得（由于y0＞0，负值舍去）.所以M 的坐标为.答案：.方法5：（椭圆与圆的位置关系法）由椭圆=1，可知，则有由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2 中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.由于F1（-4，0），所以点M 在圆（x+4）2+y2=64 上.将y2=64-（x+4）2 代入椭圆，整理可得x2+18x-63=0，解得x=3（由于x＞0，负值舍去）.将x=3 代入椭圆，可得（由于y＞0，负值舍去）.所以M 的坐标为答案：思维角度3.平面几何思维方法6：（面积转化法）由椭圆，可知a=6，b=，则有由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2 中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有S△MF1F2=·|F1F2|·y0=4y0.而，则有，解得将代入椭圆，可得x0=3（由于x0＞0，负值舍去）.所以M 的坐标为（答案：（方法7：（相似三角形转化法）由椭圆，可知，则有由于M 为C 上一点且在第一象限，所以在等腰△MF1F2 中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.根据椭圆的定义可得|MF2|=2a-|MF1|=4.设点M 的坐标为M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），过点M 作ME⊥x 轴交x 轴于点E，取线段MF2 的中点N，则知Rt△MEF2∽Rt△F1NF2，所以，解得将y0=代入椭圆，可得x0=3（由于x0＞0，负值舍去）.所以M 的坐标为.答案：.三、解后反思美国著名的数学家哈尔莫斯曾说过：“问题是数学的心脏.”对学生来说，各类考试题无疑是最熟悉的一个“问题”，特别是高考真题.经过理论和教学实践，充分得以证明一题多解是提高数学解题能力的有效途径.通过典型问题呈现不同解法的同时，灵活应用数学知识，充分暴露思维过程，真正提升能力，培养数学素养.。
导数在解“椭圆化圆”中的应用
导数在解“椭圆化圆”中的应用张守平【期刊名称】《内江科技》【年(卷),期】2018(039)010【总页数】2页(P57,17)【作者】张守平【作者单位】湖北职业技术学院【正文语种】中文本文利用导数的知识，通过归纳，总结“椭圆化圆”的基本思想和常见结论，然后求解椭圆化圆的应用问题。
1 椭圆化圆的基本思想方法从表中可以看出：直角坐标系中的椭圆可以转化为直角坐标系中的单位圆进行研究。
相当于在两个坐标系研究问题。
但圆中几何意义明显，便于计算。
最后还要还到椭圆中去解决问题。
变化前后的坐标对应变化：2 椭圆化圆的常见结论（1）原三点共线，后三点也共线。
（2）原直线平行，后直线也平行。
（3）原直线斜率，后直线斜率。
（4）原弦长，斜率，后弦长。
（5）原封闭图形面积，后封闭图形面积。
3 椭圆化圆的应用例1 求过椭圆上一点的切线方程。
解：令则椭圆方程变为：在直角坐标系中：过的切线方程为：还原：将代入上上面的切线方程得：即为所求的切线方程。
例2 椭圆的离心率为，过右焦点斜率为的直线与椭圆交于，若，求。
图1图2解：由椭圆为直角坐标系中：令总之，导数在椭圆化圆中的应用很多，文章主要阐述了求椭圆的切线和求椭圆的割线的斜率两方面的应用。
只要我们不但的像这样总结教学知识的规律，就一定能提高我们的教学效果和学生的学习效率及知识的应用能力。
【参考文献】【相关文献】[1]陈森林.中学生数学解题词典[M].河南:河南教育出版社2001:306-332[2]同济大学数学系主编.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002:76-85[3]候风波.经济数学基础[M].北京:高等教育出版社,2003:71-75[4]关鹏辉.数学(复习教案)[M].湖北:崇文出版社,2016:288-301。
导数在解“椭圆化圆”中的应用
导数在解“椭圆化圆”中的应用
张守平
【期刊名称】《内江科技》
【年(卷),期】2018(039)010
【摘要】本文利用导数的知识,通过归纳,总结"椭圆化圆"的基本思想和常见结论,然后求解椭圆化圆的应用问题。
【总页数】2页(P57,17)
【作者】张守平
【作者单位】湖北职业技术学院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一维非散度椭圆方程解的二阶导数的高阶可积性 [J], 白晋彦
2.单位圆内二阶线性微分方程解的导数的不动点 [J], 陈玉;
3.圆与椭圆两个几何性质的类比——椭圆中两直线斜率乘积为定值的应用 [J], 陈伟斌;张启兆
4.缩圆法在解椭圆压轴题中的应用 [J], 胡腾戈;黄国稳
5.借助伸缩变换化圆解椭圆 [J], 温伙其
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解决椭圆部分问题的新思路——化椭为圆
——山西大学附中 刘嘉信
一、概念与基本的推导
化椭为圆，顾名思义，就是把椭圆变成圆。
那如何实现这一点呢?这里我们以中心在坐标系原点Ｏ点，长轴在Ｘ轴上的椭圆为例，看看如何将椭圆变成一个圆(在本文中默认a>b ＞0)： 椭圆的标准方程为:
)1......(122
22=+b
y a x 将（1)式中左右两边同时乘以2
a 可得： )2......(22222
a y
b a x =+ 我们可以设y b
a z =,代入（2）式消去ｙ就有: )3......(222a z x =+
这时,我们可以发现，(３）式中的形式就是xoz 坐标系里面的一个以坐标原点为圆心、以ａ为半径的一个圆。
这时我们就把一个xoy 坐标系里面的椭圆成功的变成了一个ｘoz 坐标系里面的一个比较特殊的圆。
实际上,我们可以发现,这个方法的本质就是把y 轴人为地拉长为原来的y b
a z =倍,变成ｘｏz 坐标系。
二、应用
无论什么理论，有实际的应用才有价值，那么那么这个方法到底有什么用处呢？
我们知道，一般情况下，解决椭圆与直线关系等的问题时,我们需要联立、求解或者用韦达定理求解出21x x +或者是21x x ,较为繁琐，计算量较大,原因就是椭圆的几何性质太少，没有办法直接作出判断。
但是，在我们把椭圆变成圆以后,我们就可以利用远的一些性质来解决一些问题。
1、 判断直线与椭圆的位置关系。
比如我们已知一条直线Ｌ：)1)......(0(0≠=++AB C By Ax
我们还知道一个椭圆C:)2......(122
22=+b
y a x 我们可以用上面的方法,设y b
a z =，代入（1）、（2)式得到: )3......(0=++C z a
Bb Ax )4......(222a z x =+
这时候，我们就可以看出来:(3)式是ｘoz 坐标系里面的一条直线,而（４)式是xoz 坐标系里面的一个圆心为(0,0)、半径为a 的一个圆。
这样我们就可以用点线距离和半径的关系来判断椭圆C 和直线L 的位置关系。
设d 为(0,0）到（3）表示的直线L ’的距离，则有:
2222a b
B A C
d +=既然知道了一个圆圆心与一条直线的距离和这个圆的半径,那么二者的
位置关系就十分好判断了。
2、 弦中点问题
弦中点问题是我起的一个名字。
在椭圆中这类问题可以用化椭为圆的方法来解决。
由于从x ｏｙ坐标系变成ｘoz 坐标系以后，原来的弦的中点仍然是中点,所以我们就可以连接圆心（即坐标原点)和这个中点,制造出一个垂直(弦的垂直平分线）。
下面我举个例子:
【例1】已知椭圆C 的标准方程为:14
162
2=+y x ，求该椭圆所有的斜率为2的弦的中点的轨迹方程。
【解析】我们用上面的方法就可以把椭圆变成：1622=+z x 。
由于我们是要在xo ｚ坐标系里面做工作，所以必须把直线也变进来。
设这些弦所在的直线的方程为：b x y +=2,把ｙ代换成z 就有：b x z 24+=。
我们知道,圆里面弦的中点与圆心(这里是坐标原点）的连线与这条弦所在直线垂直，所以,很明显就有这些中点一定分布在直线x z 41-=上面，即x y 8
1-=。
因为弦的中点一定在椭圆内部,所以我们只需再加上范围即可。
不必再用原来的代入消元求解的方法,十分简洁。
【例2】已知椭圆C 的标准方程为:14
162
2=+y x ，P 、Q 为椭圆C 上的两点,直线O Ｐ、OQ 的斜率的乘积为4
1-。
求|ＯP ｜+｜OQ|。
【解析】设P ),(11y x ，Q ),(22y x
我们可以按照上面的方法把C 的方程变成1622=+z x ,于是在xoz 坐标系里面,有： 112y z =,222y z =。
因为O Ｐ、OQ 过原点,所以11x y k OP =,2
2x y k OQ =；变成ｘｏz 坐标系后,因为112y z =、222y z =，所以1111'22x y x z k k OP OP ==
=、2222'22x y x z k k OQ OQ ===。
又因为4
1-=⨯OQ OP k k ，所以有1''-=⨯OQ OP k k ，即在x ｏz 坐标系中,OP ⊥O Ｑ,所以||||21z x =。
所以:
20
1244)(4
3)(41)(414
1412221222221212222212122
222121=++=+++++=+++
=+++x x z x z x z x z x y x y x
三、注意
对于这种方法，我们必须注意两点：
1、 对于大多数给定某一个角度的题目,这个方法并不适用，因为角经过对y 轴的拉伸之后就变了,失去了原来的集合性质，不适合用这种方法。
2、 对于求某一段距离的长的问题,如果用这种方法，就需要求出两个点的坐标，因为距离经过变换以后也可能变得不同。