高等数学-几种常见的二次曲面

母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
S : x2 z2 2 py
13
例3. 旋转抛物面
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
21
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
z
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y (c2
2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
22
2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
z 用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点o(0,0,0).
高等数学
第三讲
第三节
第八章
几种常见的二次曲面
一、曲面及其方程
二、柱面 三、旋转曲面 四、二次曲面
2
一、曲面及其方程
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z),则 AM 2 BM 2 , 即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点
6
二、柱面
引例. 分析方程
z
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
M
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 C
o
M1
y
平行 z 轴的直线L, 对任意 z , 点M (x, y, z) x
M (0, y, z)
y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
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例5 问方程: y a x2 z2 (a 0) 表示什么图形?
解: 其所表示的曲面可看成在 yoz平面上的直线
y az 绕 y 轴旋转成圆锥面的右半部分,也可看成
xoy平面上的直线 y ax
绕 y 轴旋转而成的圆锥面.
注意各自表示方法。
一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该
表示为：
F(x, y) z 0
0
而 F(x, y) 0 在空间坐标系中表示柱面。
例如：抛物柱面 z 1 x2
z
在xoz平面上的准线l3
l3
(0,0,1)
l3;
z 1 x2 y 0
x
y
10
三、旋转曲面
定义3. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴。
得到)
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作业
习题册 第七章第五节
曲线绕某坐标轴M旋1(0转, y，1, z则1) 该M坐(x标, y对, z应) 的变量不变，
M (x, y, z) , 则有
而写曲成线该方 变o程量中与另第一三变变y量量改平
z z1, x2 y2 y1
方和的正x 负平方根。
故旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0
12
z
同理：当曲线 C : f ( y, z) 0
x2 a2
z c
2 2
1
y12 b2
(实轴平行于x 轴；
y y1
虚轴平行于z 轴）
z y
25
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
x
y
z
x
y
26
(2) 双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
x
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
z
例6 求xoz平面上的直线 z 1 x
绕 z 轴旋转得旋转曲面:
o y
S : z 1 x2 y2
x
是以
z
轴为轴,顶点(0,0,1),
半顶角
4
的圆锥面.
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四、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
4
例1. 求到定点 方程.
解: 设轨迹上动点为
距离为 R 的动点轨迹 依题意
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
5
例2. 研究方程
表示怎样
的曲面.
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于
o
z 轴的平面.
(且 z 轴在平面上) x
y x
o y
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一般地,在三维空间曲面的图形方程中缺少一个变量,
此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴.
方程 F(x, y) 0 表示柱面, z
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
L
沿圆C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为
圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
7
定义2.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, L叫做母线.
•
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z S : x2 y2 2 pz z a(x2 y2 )
0
y
注:旋转曲面的重要特征是其两个变量的平方项系数相等.
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例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
相应地平面被称为一次曲面．
如 2x y 3z 0
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1. 椭球面
x2 a2y2 b2z2 c21( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
y x
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(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 z 2p 2q
( p , q 同号)
z
x
y
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3. 双曲面 (1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 满足此方程的点都在曲面 S 上,