泛函分析答案2.3

设 ek ={0, 0,1,0,0, }
(k = f (ek ).
1, 则
(k = f (ek )
ek =1
f ek = f
( = {(k}
,
且 ( f.又
%
n
n
* * fn, x
(k)k sup (k )k
k =1
1k n
k =1
sup (k x
1k n
fn
sup (k
1k n
( %
由习题2.3.7,
2.3.8 设 1 < p < % 并且
1 p
+
1 q
=
1
，如果序列
{ak }
，使得
15
x = {)k } p 保证 *ak)k 收敛， 求证 {ak } q . 又若 f : x *ak)k ，求证 f 作为 p
上的线性泛函，有
* f
%
=(
|
ak
|q
)1 q
.
k =1
证
x = {)k } p ,
令
p( ) = 0.
n%
( ) 下面证明 X, x 1 完备.
12
xn xm 1 0 完备, x
xn x.
' (0,1),
xn
xm
1
<
' 2
xn xm 0, X, s.t.
N N,
( n> N),
(X, x )
( ) p < xn xm
'
xn xm
2
( ) ( ) m % p
xn x xn x
lim p m %
=
,(k q 0
1
e
k i k n , k>n
H lder
f ,x = (,x
(q xp
f
k = arg(k
x(n)
p,
1 p
+
1 q
=
1,
一方面
* f , x(n) = n (k (k q 1 e i k
联合 ( q f f (q
f = ( q.
* = n (k q 1 (k ei k k =1
另一方面,
2.3.1 设 X 是Banach空间， X0 是 X 的闭子空间，映射
: X X / X0 ，定义为 : x [ x] x X ，其中 [ x] 表 示含 x 的 商类. 求证 是开映 射. 证法1 用开映射定理, 只需证明
满射. 事实上,
[ x] X X0, 任取 x [ x], 则有 x X, x = [ x].
{xn} 是基
本列.
xn x0 H yn = Axn Ax0 R( A) .
R( A) 是闭的. R( A) = R( A)
= H 即 A 是满射 . 所以根据Banach定理, A 1 L( H ).
2.3.4 设 X ,Y 是线性赋范空间，
4
D 是 X 的线性子空间，
A : D Y 是线性映射. 求证:
1
价范数定理,
与
等价,
1
即 M > 0, s.t.
f Mf 即
1
max f (t )
0t1
M
!
1 0
f (t ) dt
( f C [0,1]). 令
f (t) =
1
Mt
(0
1 M
(0
t
t
1)
)1
M
1
矛盾.
2.3.6 Gelfand引理. 设 X 是
Banach空间， p : X R1 满足
(1) p( x) 0 x X ;
(1) 如果 A 连续， D 是闭集，则
A 是闭算子;
(2) 如果 A 是连续且是闭算子，则
Y 完备蕴含 D 闭;
(3) 如果 A 是一一的闭算子，则
A 1 也是闭算子;
(4) 如果 X 完备， A 是一一的闭
算子， R( A) 在 Y 中稠密，并且
A 1 连续，那末 R( A) = Y .
(1) 如果A连续且D是闭的，则 A
x =1
x =1
( ) = ( sup p ei( x = ( sup p( x)
x =1
x =1
(x 1 = (
( ) x 1
( R1 .
注
x X, x = 1
11
( ) y=ei( x
y =1
p ei( x = p( y) sup p( y) = sup p( x)
y =1
x =1
( ) sup p ei( x sup p( x);
所以
xn D,
xn x
Axn Ax
6
x D, 且 Ax = Ax. (3) 如果A是单射的闭算子，则 A 1
也是闭算子.
设
yn R( A), yn y
xn = A 1 yn x
因为 A 是闭算子, 所以
xn D( A) , xn
yn = Axn y
x D( A), y = Ax
y R( A) , x = A 1 y. i.e.
m x 2 | ( Ax, x) | x Ax Ax m x
所以 A 是单射.
3
x ( R( A))? ,
0 = | ( Ax, x) | m x 2 x = ,
故有 ( R( A))? = { }.
所以 R( A) 是稠的. 设 { yn} 是 R( A) 中的基本列, 并设
Axn = yn , 则由 Ax m x
完备, x X, 使得
xn x.
' (0,1),
N N,
xn
xm
1
<
' 2
( n> N),
( ) ( ) ( ) p xn xm xn xm
< p m % ' 2
xn x xn x
lim p m %
xn xm xn xm
' 2
( n> N)
( ) sup p(( x) = sup p ( ei( x
x =1
x =1
( ) ( ) ( ) p
x
= p ei(
e i( x
y=e i( x
=p
ei( y
( ) y =1 sup p ei( y y =1
( ) sup p( x) sup p ei( x .
x =1
x =1
x0 & 0, 0
p( )
lim
p(
1 n
x0
)
n%
=
lim
1 n
p(
x0
)
=
0
证法2 不用开映射定理. 教材p94, 定理 2.3.8 的证明中的
(1)为了证 T 是开映射，必须且仅 须 > 0, s.t.
TB( ,1) U ( , ) . 取 = 1.
并设
B( ,1) X 中的开单位球;
1
U ( ,1) X X0 中的开单位球. 下面证明 U ( ,1) = B( ,1) .
(2)
p(" x) = " p( x) " > 0, x X ;
(3)
M
1 2M
=
9
p( x1 + x2 ) p( x1 ) + p( x2 ) x1, x2 X ;
(4) 当 xn x 时， p( xn ) p( x) . 求证: M > 0 ，使得
p( x) M x x X .
证明 令
$
x 1=
f
lim fn
n%
( %
( f. % f( %
f
=
(
%
= sup (k k1
.
19
2.3.10 用Gelfand引理证明共鸣定
理.
$
p( x) = sup Ax AW
p( x) M x Ax M x
A M ( A W ).
2.3.11 设 X ,Y 是Banach空间，
A L( X ,Y ) 是满射. 求证如果在
xn C yn ,
其中
C=2 A1 .
21
x yn 0 3 n
xn3 46 xn 57
, 且 Axn3 = A46 xn 57
定义 yn Axn3 ,
x
+ sup p( x), x =1
x 1 是 X 上的完备范数,然
后用等价范数定理.
所给的条件(4), 有两处发挥作用.
其一是证明 p( ) = 0 :
x0 & 0,
0
p( )
lim
p(
1 n
x0 )
=
lim
1 n
p(
n%
n%
( ) 其二是证明 X, x 1 完备时,
从
10
( ) xn xm 1 0 xn xm 0, X, x
14
证明 x X,
$
Ax
=
lim
n%
An
x
,
Y 中收敛,
中有界, 即
{An x} 在 {An x} 在 Y
sup An x < % n1
( x X)
由共鸣定理2.3.15, M > 0,
s.t. An M .( n 1) . 于是
Ax = lim An x lim An x M x A
n%
n%
L( X,Y), 并且 A lim An . n%
Ax3 Y
A x3
2 A [x] ,
推出 A 有界.由 Banach 逆算
子定理，
( A 1 L Y,X N ( A)). 不妨假
设 y0 = 0, 46 xn 57 = A 1 yn ,
46 xn 57 = A 1 yn
yn 0, 记 A 1 yn .
于是, 取 xn 46 xn 57, 使得
xn 2 46 xn 57 , 便有
x B( ,1) x < 1 [ x] x < 1
x = [ x] U ( ,1) B( ,1) U ( ,1)
反之,
[ x] U ( ,1) [ x] < 1
x [x],
使得
x < 1 x B( ,1),[ x] = x. U ( ,1) B( ,1)
2.3.2 设 X ,Y 是Banach空间.
设 U 1y = x, 则 1 = y = Ux m x = m U 1 y
U 1 = sup U 1 y 1/ m . y =1
2.3.3 设 H 是Hilbert空间， A L(H ) 并且 m > 0 ，使得
| ( Ax, x) | m x 2 , x H . 求证 A 1 L( H ) . 证明 由条件, x H ,
A 1 是闭算子.
(4) 如果 X 完备，A是单射的闭
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算子, R( A) 在 Y 中稠密,
并且 A 1 连续，那末
R( A) = Y.
(3)
A 是单射的闭算子
A1
也是闭算子.
XA 1 A1
( ) (2) R( A) = D A 1
x 闭. 最后 Y.RR(( AA))
R( A) = R( A) = Y.
U L( X ,Y ) ，设方程 Ux = y 对每 一个 y Y 有解 x X ， 并且
m > 0 ，使得 Ux m x , x X .
求证： U 有连续逆 U 1 ，并且
2
U 1 1/ m . 证明 由条件, U 是满射,且是单 射. 所以根据Banach定理,
U 1 L(Y , X ) , y Y , y = 1,
2
1
1
* f
/
n
(k
q
.p 0
* -
/
n
(k
q
.q 0
f
1 k=1
2
1 k=1
2
1
( ) ( ) fn 2
1 + = L 1, k , 且 lim n%
( = (fkn , x = f , x . 由习题2.3.7,
( ) f
1 +.
(q f .
下面证明 ( = {(k } % .
( q.
17
18
k $
Y 中 yn y0 ，则 c > 0 与 xn x0 使 Axn = yn ，且
xn c yn . 证明
设 N ( A) = {x X | Ax = 0}, 考
虑映
射
A:
X N ( A)
Y, [ x] X N ( A),
A[ x] = Ax, x [ x]. 证明 A
20
单射、满射.再由
A[ x] = Y
2.3.5 用等价范数定理证明
(C[0,1], 1) 不是Banach空间，其
中
f
=
!
1 0
|
f (t) | dt
f C[0,1] .
证明 用反证法. 假如
(C [0,1], 1 ) 是B空间,
f = max f ( t ) . 0t1
!
1 0
f (t ) dt
max f (t
0t1
7
8
是比
强的范数, 用等
注: 存在某个线性空间上的强、弱
两个范数，
使弱范数完备而强范数不完备．见
反例 p36, 12.
2.3.7 设 X ,Y 是Banach空间. An L( X ,Y ) (n = 1,2, ) . 又对
x X ， { An x} 在 Y 中收敛. 求证 A L( X ,Y ) ，使得 An 强 收敛到 A ，且 A lim An .
%
* f , x = (k)k;
k =1 n
* fn , x = (k)k
k =1
( ) ( ) fn
p + = L p ,K , 且 lim n%
fn , x = f , x . 由习题2.3.7,
( ) f
p +.
下面证明 ( = {(k } q .
n
N, 取 x(n) , 其坐标
16
为
又
xk( n )
xn xm xn xm
' 2
( n> N)
xn
xm
<
' 2
m%
xn x
' 2
(
n> N)
( ) xn
x 1 = xn
x + sup p xn xn x =1
x
13
( ) xn
x
+
' 2
xn
x
=
1
+
' 2
xn
x
<
3 2
' 2
<
'
( n> N).
根据等价范数定理, M > 0, 使
得 x 1 M x p(x) M x .
闭算子；
设 xn D( A) , xn x ,
Axn y
D x D( A)
A
, y = Ax
5
A 闭算子
(2) 如果 A 连续，又 Y 完 备, 那么根据定理 2.3.12 (B.L.T), A 能一地延拓到
D 上成为连续线性算子
A, A |D = A, A = A . 本题
还有一个条件 A 是闭算子, 下面证明 D 闭. 设 xn D, xn x. 则有 Axn = Axn Ax, 于是因为 A 是闭算子,
k =1
* e i k = n (k q ; k =1
2.3.9 证
x = {)k } 1,
%
* 令 f , x = (k)k;
k =1
f , x(n)
* ( n
q
k
k =1
且
1
n
* f
x(n)
=
f
/
n
(k
(q
1) p . p 0
(q
1) p=q
=
f
/
* fn ,.x = (k)k
0
k =1
1 k=1