牛顿迭代求平方根

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牛顿迭代法快速寻找平方根
下面这种方法可以很有效地求出根号a的近似值:首先随便猜一个近似值x,然后不断令x等于x和a/x的平均数,迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。

例如,我想求根号2等于多少。

假如我猜测的结果为4,虽然错的离谱,但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了:
( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
….
这种算法的原理很简单,我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。

根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根,这个函数的导数是2x。

也就是说,函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。

那么,x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。

代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x),也就是(x+a/x)/2。

同样的方法可以用在其它的近似值计算中。

Quake III的源码中有一段非常牛B的开方取倒函数。

求n的平方根,先假设一猜测值X0 = 1,然后根据以下公式求出X1,再将X1代入公式右边,继续求出X2…通过有效次迭代后即可求出n的平方根,Xk+1
x[k+1]=(x[k]+n/x[k])/2;
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int main()
{
double a ;
cin>>a ;
double x = 1 ;
while(x*x - a > 0.0000001 || x*x - a < -0.0000001)
{
x = (x + a/x)/2 ;
}
cout<< fabs(x) ;
return 0;
}。

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