三重积分练习题
7三重积分练习共51页文档
2a
yy2 f(x,y)d.x
2a
例3. 求
1
d
y1sinxd
x.
0 yx
解：由于
1 sinx dx
是“积不出”的，怎么办？
yx
要改换积分次序. 先画积分区域D的图形.
由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1
画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1. 如图：
故
原式 =
D
a 0
1 2b2(a 224aa42)8 1a2b2
ax
y 5x
例4 计算二重积分 (x6,y其)d中xdy
D
D是由三条线 y x ,y 所5 x 围,x 成 1 的区域.
yx
x 1
解 易知积分区域可表为
D :0 x 1 ,x y 5 x
于是
1 5x
(x6y)dxdy dx (x6y)dy
sinx x
dxdy
y
1
d
xsinx xd
y
1s inx xdx
0 0x
0x
y= x
1
s
inxdxcox1 s1co1s
0
0
0
D
x
例. 设D：a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)·f2(y)可积，
则
b
d
f(x ,y )daf1 (x )dx cf2 (y )d.y
3d
D
6
24ssiinnr2rdr15(2
3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解：积分区域如图
记 f (x, y) = | y – x | y–x, 当y x时,
= x–y, 当y < x时,
三重积分题
三重积分题一、计算三重积分∫∫∫_V (x2 + y2 + z2) dV，其中V是由x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1定义的圆柱体。
A. π/2B. πC. 3π/2D. 2π（答案：D）二、三重积分∫∫∫_V xyz dV，在区域V: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1内的值为？A. 0B. 1/2C. 1D. 3/2（答案：A）三、计算三重积分∫∫∫_V (x + y + z) dV，其中V是由0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1定义的立方体。
A. 0B. 1C. 3/2D. 2（答案：C）四、三重积分∫∫∫_V (sin(x)cos(y)z) dV，在区域V: 0 ≤ x ≤π, 0 ≤ y ≤π, 0 ≤ z ≤ 1内的值为？A. 0B. 1C. -1D. 2（答案：A）五、计算三重积分∫∫∫_V e(x+y+z) dV，其中V是由0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤z ≤ 1定义的立方体，并假设e的近似值为2.718。
A. e - 1B. e2 - 1C. e3 - 1D. e4 - 1（答案：C）注：此题需要用到e的幂次性质进行积分。
六、三重积分∫∫∫_V (x2y2z2) dV，在区域V: -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1, -1 ≤ z ≤ 1内的值为？A. 0B. 1/8C. 1/4D. 1（答案：A）七、计算三重积分∫∫∫_V (1/(1+x2+y2+z2)) dV，其中V是由x2 + y2 + z2 ≤ 1定义的球体。
A. π2/2B. π2C. 2π2D. 4π2（答案：A）注：此题需要用到球坐标变换进行积分。
八、三重积分∫∫∫_V (cos(x2+y2+z2)) dV，在区域V: 0 ≤ x ≤√π, 0 ≤ y ≤√π, 0 ≤ z ≤√π，且假设cos的近似值在积分中可直接使用，其值为？A. 0B. (π(3/2))/2 * (sin(π) - sin(0))C. π(3/2) * (cos(π) - cos(0))D. -π(3/2) * (sin(π) - sin(0))（答案：B）注：此题需要注意到cos函数的周期性，并正确计算积分上下限。
数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分5三重积分一、三重积分的概念引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ， 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i ni i i i T V f ∆∑=→10),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i ni i i i V f ∆∑=1),,(ζηξ.定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有J V f i ni iii-∆∑=1),,(ζηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z)在V 上的三重积分，记作J=⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(或J=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(，其中f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域.注：当f(x,y,z)=1时，⎰⎰⎰VdV 在几何上表示V 的体积.三积重分的条件与性质：1、有界闭域V 上的连续函数必可积；2、如界有界闭区域V 上的有界函数f(x,y,z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f(x,y,z)在V 上必可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D=[a,b]×[c,d], g(x,y)=⎰he dz z y xf ),,(存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x g ),(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ].设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意(ξi ,ηj )∈[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ], 有m ijk △z k ≤⎰-kk z z j i dz z f 1),,(ηξ≤M ijk △z k .现按下标k 相加，有∑⎰-kz z j i kk dz z f 1),,(ηξ=⎰he j i dz zf ),,(ηξ=g(ξi ,ηj )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤j i ji j i y x g ∆∆∑,),(ηξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴g(x,y)在D 上可积，且⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：若V={(x,y,z)|(x,y)∈D, z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y)} ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]时，其中D 为V 在Oxy 平面上的投影，z 1(x,y), z 2(x,y)是D 上的连续函数，函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D, G(x,y)=⎰),(),(21),,(y x z y x z dz z y x f 亦存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x G ),(存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰D dxdy y x G ),(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.证：记F(x,y,z)=⎩⎨⎧∈∈V V z y x ，Vz y x ，z y x f \),,(0),,(),,(0 , 其中V 0=[a,b]×[c,d]×[e,h].对F(x,y,z)应用定理21.15，(如图)则有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰0),,(V dxdydzz y x F=⎰⎰⎰⨯d][c,b][a,),,(hedz z y x F dxdy =⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.例1：计算⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22，其中V 为由平面x=1, x=2, z=0, y=x 与z=y 所围区域(如图).解：设V 在xy 平面上投影为D ，则 V={(x,y,z)|z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y),(x,y)∈D},其中D={(x,y)|0≤y ≤x,1≤x ≤2}, z 1(x,y)=0, z 2(x,y)=y, 于是⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22=⎰⎰⎰+D y y x dz dxdy 022=⎰⎰+D dxdy y x y 22=⎰⎰+21022x dy y x y dx=⎰212ln 21dx =2ln 21.例2：计算⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22，其中V 是由⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周而成的曲面与z=1所围的区域.解：V={(x,y,z)|22y x +≤z ≤1,(x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22=⎰⎰⎰+++Dyx dz z y x dxdy 12222)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+Ddxdy y x y x 2121)(2222=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ201022121rdrr r d=⎰πθ20407d =207π.定理21.16：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意x ∈[a,b], 二重积分I(x)=⎰⎰Ddydz z y x f ),,(存在，则积分⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 记D jk =[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界， 对任意ξi ∈[x i-1,x i ], 有m ijk △D jk ≤⎰⎰jkD i dydz z y f ),,(ξ≤M ijk △D jk .现按下标j,k 相加，有∑⎰⎰k j D i jkdydz z y f ,),,(ξ=⎰⎰Di dydz z y f ),,(ξ=I(ξi )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤i ii x I ∆∑)(ξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴I(x)在D 上可积，且⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：(如图)若V ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h], 函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意固定的z ∈[e,h], 积分φ(z)=⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(存在，其中D z是截面{(x,y)|(x,y,z)∈V}, 则⎰he dz z )(ϕ存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰h edz z )(ϕ=⎰⎰⎰heD zdxdy z y x f dz ),,(.证：证法与定理21.16证明过程同理.例3：计算I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222, 其中V 是椭球体222222c z b y a x ++≤1.解：I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222=⎰⎰⎰V dxdydz a x 22+⎰⎰⎰V dxdydz b y 22+⎰⎰⎰Vdxdydz c z 22.其中⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰⎰⎰-a a V xdydz dx a x 22,V x 表示椭圆面2222c z b y +≤1-22ax 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222222211a x c z a xb y ≤1. 它的面积为π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222211a x c a x b =πbc ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-221a x. ∴⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a dx a x a bcx 22221π=154πabc. 同理可得：⎰⎰⎰V dxdydz b y 22=⎰⎰⎰V dxdydz cz 22=154πabc.∴I=3(154πabc)=54πabc.三、三重积分换元法规则：设变换T ：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，把uvw 空间中的区域V ’一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V ’内连续且函数行列式J(u,v,w)=wz v z uz w yv y u yw x v x u x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠0, (u,v,w)∈V ’. 则当f(x,y,z)在V 上可积时，有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f |),,(|)),,(),,,(),,,((.常用变换公式： 1、柱面坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞<≤=z z ，z ，r y r ，r x πθθθ20sin 0cos , J(r,θ,z)=100cos sin 0sin cos θθθθr r -=r, 即有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ),sin , cos (.V ’为V 在柱面坐标变换下的原象.注：(1)虽然柱面坐标变换并非是一对一的，且当r=0时，J(r,θ,z)=0，但结论仍成立.(2)柱面坐标系中r=常数, θ=常数, z=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以z 轴为中心轴的圆柱面，θ=常数是过z 轴的半平面，z 的常数是垂直于z 轴的平面(如图).例4：计算⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, 其中V 是曲面2(x 2+y 2)=z 与z=4为界面的区域.解法一：V={(x,y,z)|2(x 2+y 2)≤z ≤4, (x,y)∈D}, D={(x,y)|x 2+y 2≤2}.⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22=⎰⎰⎰++4)(22222)(y x Ddzy x dxdy=⎰⎰+-+Ddxdy y x y x )](24)[(2222=⎰⎰-202220)24(rdrr r d πθ=⎰-2053)2(4dr r r π=⎰-2053)2(4dr r r π=38π.解法二：V 在xy 平面上的投影区域D=x 2+y 2≤2. 按柱坐标变换得 V ’={(r,θ,z)|2r 2≤z ≤4, 0≤r ≤2, 0≤θ≤2π}.∴⎰⎰⎰+V dxdydz y x )(22=⎰⎰⎰'V dz drd r θ2=⎰⎰⎰42320202r dz r dr d πθ=38π.2、球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=+∞<≤=πθϕπϕθϕθϕ20cos 0sin sin 0cos sin ，r z ，r y r ，r x ,J(r,φ,θ)=0sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕr co r r r r --=r 2sin φ≥0, 即有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕsin )cos ,sin sin , cos sin (2,V ’为V 在球坐标变换T 下的原象.注：(1)球坐标变换并不是一对一的，并且当r=0或φ=0或π时，J=0. 但结论仍成立.(2)球坐标系中r=常数, φ=常数, θ=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以原点为中心的球面， φ=常数是以原点为顶点, z 轴为中心轴的 圆锥面，θ=常数是过z 轴的半平面(如图).例5：求由圆锥体z ≥22y x +cot β和球体x 2+y 2+(z-a)2≤a 2所确定的立体体积，其中β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π和a(>0)为常数.解：球面方程x 2+y 2+(z-a)2=a 2可表示为r=2acos φ, 锥面方程z=22y x +cot β可表示为φ=β. ∴V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤2acos φ, 0≤φ≤β, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰VdV =⎰⎰⎰ϕβπϕϕθcos 202020sin a dr r d d =⎰βϕϕϕπ033sin cos 316d a =343a π(1-cos 4β).例6：求I=⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 为由222222c z b y a x ++≤1与z ≥0所围区域.解：作广义球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin cr z br y ar x , 则J=abcr 2sin φ. V 的原象为V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π} ∴⎰⎰⎰Vzdxdydz =⎰⎰⎰⋅1022020sin cos dr abcr cr d d ϕϕϕθππ=⎰2022sin 4πϕϕπd abc =42abc π.习题1、计算下列积分：(1)⎰⎰⎰+Vdxdydz z xy )(2, 其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1]；(2)⎰⎰⎰Vzdxdydz y x cos cos , 其中V=[0,1]×[0,2π]×[0,2π]；(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域； (4)⎰⎰⎰+Vdxdydz z x y )cos(, 其中V 由y=x , y=0, z=0及x+z=2π所围成.解：(1)⎰⎰⎰+VdV z xy )(2=⎰⎰⎰+--1023352)(dz z xy dy dx =⎰⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+335231dy xy dx =⎰-522dx =14.(2)⎰⎰⎰VzdV y x cos cos =⎰⎰⎰202010cos cos ππzdz ydy xdx =21.(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz 3)1(=⎰⎰⎰---+++y x x z y x dz dy dx 1031010)1(=⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x dy y x dx 1021041)1(121=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1041211121dx x x =1652ln 21-. (4)⎰⎰⎰+VdV z x y )cos(=⎰⎰⎰-+xxdz z x y dy dx 20020)cos(ππ=⎰⎰-xydydx x 020)sin 1(π=⎰-20)sin 1(21πdx x x =21162-π.2、试改变下列累次积分的顺序： (1)⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(；(2)⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dy dx .解：(1)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x+y, 0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1}； ∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1} ∴I=⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(=⎰⎰⎰+-yx ydz z y x f dx dy 01010),,(.∵V 在yz 平面上的投影区域D yz ={(y,z)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-yydx z y x f dz dy 10010),,(+⎰⎰⎰--yy z y dx z y x f dz dy 1110),,(=⎰⎰⎰--yy z zdx z y x f dy dz 1010),,(+⎰⎰⎰-yz dx z y x f dy dz 10110),,(.∵V 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,z)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-xxdy z y x f dz dx 10010),,(+⎰⎰⎰--xx z x dy z y x f dz dx 1110),,(=⎰⎰⎰--xx z zdy z y x f dx dz 1010),,(+⎰⎰⎰-xz dy z y x f dx dz 10110),,(.(2)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x 2+y 2, 0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤x ≤1}； 在yz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1+y 2}； 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1+x 2}； ∴I=⎰⎰⎰+2201010),,(y x dz z y x f dy dx =⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dx dy=⎰⎰⎰10010),,(2dx z y x f dz dy y +⎰⎰⎰-+1110222),,(y z y ydxz y x f dz dy=⎰⎰⎰10110),,(dx z y x f dy dz z +⎰⎰⎰--111212),,(yz z dx z y x f dy dz .=⎰⎰⎰10010),,(2dy z y x f dz dx x +⎰⎰⎰-+1110222),,(x z x x dyz y x f dz dx=⎰⎰⎰10110),,(dy z y x f dx dz z +⎰⎰⎰--111212),,(x z z dy z y x f dx dz .3、计算下列三重积分与累次积分：(1)⎰⎰⎰Vdxdydz z 2, 其中V 由x 2+y 2+z 2≤r 2和x 2+y 2+z 2≤2rz 所确定；(2)⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx .解：(1) 由x 2+y 2+z 2≤2rz, 得S: x 2+y 2≤2rz-z 2, 0≤z ≤2r , 又由x 2+y 2+z 2≤r 2, 得Q: x 2+y 2≤r 2-z 2,2r≤z ≤r ∴⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰⎰⎰Sr dxdy z dz 220+⎰⎰⎰Qrr dxdyz dz 22=⎰-2022)2(r dz z rz z π+⎰-rr dz z r z 2222)(π=480595r π. (2)应用柱坐标变换：V ’={(r,θ,z)|r ≤z ≤22r -, 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, ∴⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx =⎰⎰⎰-2221020r rdz z rdr d πθ=⎰---1322]2)2[(6dr r r r r π.=⎰---10322]2)2[(6dr r r r r π=)122(15-π.4、利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积. (1)z=x 2+y 2, z=2(x 2+y 2), y=x, y=x 2；(2)2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c z =1 (x ≥0, y ≥0, z ≥0, a>0, b>0, c>0). 解：(1)V={(x,y,z)|x 2+y 2≤z ≤2(x 2+y 2), (x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x 2≤y ≤x }. ∴⎰⎰⎰V dxdydz =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰+xx dyy x dx 2)(2210=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-1063223)()(dx x x x x x =353. (2)令x=arsin 2φcos θ, y=brcos 2φcos θ, z=crsin θ, 则J=0cos sin cos cos sin 2sin cos cos cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2222θθθϕϕθϕθϕθϕϕθϕθϕcr c br br b ar ar a ---=2abcr 2cos φsin φcos θ,又V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰Vdxdydz =⎰⎰⎰1022020sin cos cos 2dr r d d abc ππϕϕϕθθ=3abc.5、设球体x 2+y 2+z 2≤2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.解：依题意，球体的质量M=⎰⎰⎰≤++++xz y x dV z y x 2222222,应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)|-2π≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤2sin φcos θ}. ∴M=⎰⎰⎰-θϕπππϕϕθcos sin 203022sin dr r d d =⎰⎰-πππϕϕθθ05224sin cos 4d d =58π.6、证明定理21.16及其推论. 证：证明过程见定理21.16及其推论.7、设V=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(222222c z b y a x z y x , 计算下列积分：(1)⎰⎰⎰---Vdxdydz c z b y a x 2222221；(2)⎰⎰⎰++Vc z by ax dxdydz e 222222.解：应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)| 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤1}. (1)⎰⎰⎰---VdV cz b y a x 2222221=⎰⎰⎰-10220201sin dr r abcr d d ϕϕθππ =42πabc . (2)⎰⎰⎰++Vc z b y ax dV e222222=⎰⎰⎰12020sin dr e abcr d d r ϕϕθππ=)2(4-e abc π.。
考研数学三重积分练习
习题9 三重积分一、填空题1、若{}22(,,)|1,01x y z x y z Ω=+≤≤≤，则d z v Ω⎰⎰⎰= 。
2、d z v Ω⎰⎰⎰＝ ，其中222{(,,)|1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥3、曲面z =被1z =截下部分的面积为 。
4、曲面22z x y =+被1z =截下部分的体积为 。
5、锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积为 。
二、解答题1、I=d x v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=与三个坐标平面所围的闭区域。
2、()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰ 其中Ω：由平面1x y z ++=及三坐标面所围成的区域。
3、I=22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由2222x y z z ++= 所围成的闭区域。
4、I＝⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，其中Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。
5、⎰⎰⎰Ω++dvzyx)(222，Ω＝｛2224,0x y z z++≤≥｝。
6、⎰⎰⎰Ω+•dvyxz)(22，Ω是由球面222yxz--=与圆锥面22yxz+=所围成的闭区域。
7、⎰⎰⎰Ω++dvzyx222，Ω是由球面zzyx2222=++所围成的闭区域。
8、求函数22y x z +=在区域D ：x 4y x x 222≤+≤上与z=0所围成的体积。
9、求由平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的几何体的体积。
10、在由椭圆1422≤+y x 绕其长轴旋转一周而成的椭球体上，沿长轴方向打一穿过中心的圆孔，并使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径。
练习题6三重积分练习题
第九章练习题6：三重积分 王克金三重积分的性质 1.(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰存在的充分条件是（ ）A（A ）(),,f x y z 在有界闭区域Ω上连续 （B ）(),,f x y z 在有界闭区域Ω上有界 （C ）(),,f x y z 在区域Ω上连续 （D ）(),,f x y z 在区域Ω上有界答案：（A ）解 B 、D 有界不一定可积，C 区域无界，连续不一定可积，故只有A2. 有界闭区域Ω由平面10,20x y z x y z +++=+++=及三个坐标面围成，设[]()3212ln(3),I x y z dxdydz I x y z dxdydz ΩΩ=+++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，则利用三重积分性质知12,I I 的关系为（ ）A（A ）12I I ≤ （B ）12,I I 的大小不具体计算无法比较（C ）12I I ≥ （D ）12,I I 的值计算不出来，故无法比较它们的大小 答案：（A ）解 被积函数均可视为x y z ++的函数，在积分区域内，21x y z -≤++≤-，[]32ln(3)ln 21()x y z x y z +++≤<≤++，故A 成立3.有界闭区域Ω由平面10,2x y z x y z +++=+++=及三个坐标面围成，设[]()3212ln(3),I x y z dxdydz I x y z dxdydz ΩΩ=+++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，则利用三重积分性质知12,I I 的关系为__________答案：12I I ≤解 在Ω内，[]330ln(3)(ln2)1x y z ≤+++≤≤，()214x y z ≤++≤，故12I I ≤三重积分的奇偶性1.设Ω为3R 中关于xy 面的对称区域，(,,)f x y z 为Ω上的连续函数，1Ω为Ω在xy 面上方部分，则当(,,)f x y z 为关于_____的奇函数时，(,,)0;f x y z dv Ω=⎰⎰⎰则当(,,)f x y z 为关于_____的偶函数时，1(,,)___(,,)f x y z dv f x y z dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
三重积分习题
931 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分其中积分区域分别是(1)由双曲抛物面xy z 及平面x y 10 z 0所围成的闭区域解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y 1x 0x 1} 于是 ⎰⎰⎰-=xyx dzz y x f dy dx I 01010),,((2)由曲面z x 2y 2及平面z 1所围成的闭区域解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx I(3)由曲面z x 22y 2及z 2x 2所围成的闭区域解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I提示 曲面z x 22y 2与z 2x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1(4)由曲面cz xy (c 0) 12222=+by a x z 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a ab yc xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω于是 ⎰⎰⎰-=c xy x a a b adz z y x f dy dx I 000),,(22提示 区域的上边界曲面为曲面c z xy 下边界曲面为平面z 02 设有一物体 占有空间闭区域{(x y z )|0x 1 0y 1 0z 1} 在点(x y z )处的密度为(x y z )x y z 计算该物体的质量解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x3如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (xy z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积 即f (x y z ) f 1(x )f 2(y )f 3(z ) 积分区域{(x y z )|a x b c y d l z m } 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmldcbadzz f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321证明 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f ba dcml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f b a d c m l]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=m ldcb adx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d cmlb adzz f dy y f dx x f )()()(3214计算⎰⎰⎰Ωdxdydzz xy 32 其中是由曲面z xy 与平面y x x 1和z 0所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxy dy z y xdx 004210]4[⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x5 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz 其中为平面x 0 y 0 z 0x y z 1所围成的四面体 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z 1x y 0y 1x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=xdy y x dx 1021]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(ln 21-=提示⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 101021])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=101]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=6计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz其中为球面x 2y 2z 21及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是 ⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x xyzdz dy dx⎰⎰---=2102210)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=7计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz其中是由平面z 0 z y y 1以及抛物柱面y x 2所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z y x 2y 1 1x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx zdz dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx)1(61116=-=⎰-dx x x8计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz其中是由锥面22y x Rh z +=与平面zh (R 0h 0)所围成的闭区域解 当0z h 时 过(0 0 z )作平行于xOy 面的平面 截得立体的截面为圆D z 222)(z h R y x =+ 故D z 的半径为z h R 面积为222z h R π 于是⎰⎰⎰Ωzdxdydz⎰⎰⎰zD hdxdy zdz 0⎰==h h R dz z hR 0223224ππ9 利用柱面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωzdv其中是由曲面222y x z --=及z x 2y 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 021222ρρ-≤≤z于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθzdz d d ⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d(2)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面x 2y 22z 及平面z 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为02 02222≤≤z ρ于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=22123202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d10 利用球面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ω++dvz y x )(222 其中是由球面x 2y 2z 21所围成的闭区域 解 在球面坐标下积分区域可表示为 02 00r 1于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd drd r sin 4⎰⎰⎰=104020sin dr r d d ππϕϕθπ54=(2)⎰⎰⎰Ωzdv其中闭区域由不等式x 2y 2(z a )2a 2 x 2y 2z 2 所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)cos 2(41cos sin 2πϕϕϕϕπd a4405467cos sin 8a d a πϕϕϕππ==⎰11 选用适当的坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωxydv其中为柱面x 2y 21及平面z 1 z 0 x 0 y 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ于是 ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos⎰⎰⎰==101032081cos sin dz d d ρρθθθπ别解 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x ydy xdx ⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x (2)⎰⎰⎰Ω++dvz y x 222 其中是由球面x 2y 2z 2z 所围成的闭区域解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθcos 022020sin dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d(3)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面4z 225(x 2y 2)及平面z 5所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=⎰d(4)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中闭区域由不等式Az y x a ≤++≤<2220 z所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为Ar a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22θϕϕθϕϕϕd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ12 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)z 6x 2y 2及22y x z +=解 在柱面坐标下积分区域可表示为0 2 02 z 62于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd(2)x 2y 2z 22az (a 0)及x 2y 2z 2(含有z 轴的部分)解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθcos 2024020sin a dr r d d34033sin cos 382a d a πϕϕϕππ==⎰(3)22y x z +=及zx 2y 2解 在柱面坐标下积分区域可表示为 02 01 2z于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V(4)225y x z --=及x 2y 24z解 在柱面坐标下积分区域可表示为 22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z于是 ⎰⎰⎰-=22541220ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd13 球心在原点、半径为R 的球体 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比 求这球体的质量 解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ 在球面坐标下积分区域可表示为02r R于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 2224220sin R k dr r kr d d R πϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰。
练习105(三重积分的计算(投影法))- 答案
练习册 103 三重积分的计算（投影法）（答案）1、化三重积分()⎰⎰⎰Ωdv z y x f ,,为三次积分，其中积分区域Ω是由曲面22y x z +=和平面1=z 围成的闭区域。
解：画出积分区域Ω（如右图所示），（方法1）因为(){}1 ,10,20 ,,2≤≤≤≤≤≤=Ωz r r z r πθθ， 所以，()()dz z r r f rdr d dv z y x f r ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω110202,sin ,cos ,,θθθπ。
（方法2）因为(){}1 ,11,11 ,,2222≤≤+-≤≤--≤≤-=Ωz y x x y x x z y x ， 所以，()()dz z y x f dy dx dv z y x f y x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----Ω=111112222,,,,。
2、将三重积分()⎰⎰⎰Ω+dv z y x f ,22化成柱面坐标下三次积分，其中积分区域Ω是由()0 2222>≤++R Rz z y x 所确定的立体。
解： 2222Rz z y x ≤++ ， () 2222R R z y x ≤-++∴。
画出积分区域Ω（如右图所示），因为(){}2222 ,0,20 ,,r R R z r R R R r z r -+≤≤--≤≤≤≤=Ωπθθ， 所以，()()dz z r f rdr d dv z y x f r R R r R R R ⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω=2222 ,,,2020πθ。
3、计算⎰⎰⎰Ωdv z xy 32，其中积分区域Ω是由曲面xy z =与平面x y =，1=x 和0=z 围成的闭区域。
解：画出积分区域Ω（如右图所示），(){}xy z x y x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω0 ,0,10 ,, ，dz z xy dy dx dv z xy xyx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴Ω0320103236411312817141414107506510004210=⋅=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx dy z xy dx x x xy。
高等数学三重积分例题
高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。
1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。
锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。
由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。
2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。
先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。
再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。
最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。
所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。
二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。
1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。
则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。
2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。
精品课件-三重积分习题
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z dz
0 Dz
0
h2
R 2
h2
h z3dz 1 R 2 h2
0
4
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下
:hzh ,0R ,02 R
故有
zdxdydz
2
d
0
R
d
0
R hhzdz20R1 2(h2R h222)d
三重积分习题
2. 锥面
3. 椭球面
4. 双曲面
5. 抛物面
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
:zx与 y xy1,z0所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.
解: (1) 求 （如图）在平面 xo上y 的投影区域为 D xy
D x: y 0yx ,0x1
(2) 确定上顶曲面 1及下顶曲面 。2 因为当(x, y)Dx时y 满足 x ，0 y , 0 zxy0 。因此 1 :zxy 2 :z 0
z
x2 y2 a2 b2 1
1(4)题
y
cz=xy
b
o
.
a
x
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
及z0所围成的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的
7三重积分练习
r 常数
球面
常数 常数
半平面 锥面 M (r, ,)
rM O y
x
r sin z r cos
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 z
d v r 2 sind rd d
d d r
因此有
r d
f (x, y, z)dxdydz
O
y
F(r, ,) r2 sin d r d d x d
D : 0 x a, 0 y b
1
x2 a2
因此
y
xydxdy
a
dx
b
1
x2 a2
xydy
0
0
b
D
a 0
1b2 2
(1
x2 a2
)
xdx
o
1 b2( x2 22
x4 4a2
)
a 0
1 2
b2 ( a2 2
a4 4a2
)
1 8
a2b2
ax
y 5x
例4 计算二重积分 (x 6,y其)d中xdy
改变积分
1
dy
2y
f ( x, y)dx
3
dy
3 y f ( x, y)dx 的
0
0
1
0
积分次序.
解：积分区域如图
y 3
x 3 y
0 y 1,0 x 2 y 1
1 y 3,0 x 3 y
0 x 2, 1 x y 3 x 2
o
2
3 x
原式
dx
0
1x
2
f ( x, y)dy
2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
三重积分习题1
9-31. 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是 ⎰⎰⎰-=xyx dz z y x f dy dx I 01010),,(.(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx I .(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I .提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2-x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0), 12222=+by a x , z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a b y c xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω,于是 ⎰⎰⎰-=c xy x a a b adz z y x f dy dx I 000),,(22.提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z =xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x .3. 如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x , y , z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )⋅f 2(y )⋅f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmld cb adz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321.证明⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f b a d c ml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f b a d c m l]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=m ldcb adx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d cmlb adz z f dy y f dx x f )()()(321.4. 计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32, 其中Ω是由曲面z =xy , 与平面y =x , x =1和z =0所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 于是⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxy dy z y xdx 004210]4[ ⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x .5. 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz, 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的四面体.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1},于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=xdy y x dx 1021]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(l n 21-=.提示: ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 101021])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=101]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=.6. 计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz , 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x x y z d zdy dx ⎰⎰---=2102210)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=.7. 计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz , 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1},于是⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx z d z dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx 0)1(61116=-=⎰-dx x x . 8. 计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz , 其中Ω是由锥面22y x R h z +=与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z : 222)(z h R y x =+, 故D z 的半径为z h R , 面积为222z h R π, 于是⎰⎰⎰Ωz d x d y d z =⎰⎰⎰zD hdxdy zdz 0⎰==hh R dz z h R 0223224ππ. 9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ωzdv , 其中Ω是由曲面222y x z --=及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ-≤≤z , 于是⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθz d z d d ⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d .(2)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域.解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 222≤≤z ρ, 于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=221203202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d .10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1, 于是⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd d r d r s i n 4 ⎰⎰⎰=104020s i n dr r d d ππϕϕθπ54=.(2)⎰⎰⎰Ωzdv , 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z -a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2 所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)c o s 2(41c o s s i n 2πϕϕϕϕπd a 4405467c o s s i n 8a d a πϕϕϕππ==⎰. 11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ωxydv , 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ,于是⎰⎰⎰Ωx y d v ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos ⎰⎰⎰==101032081c o s s i n dz d d ρρθθθπ. 别解: 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωx y d v ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x y d y x d x⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x . (2)⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域;解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθc o s 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r ,于是⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθc o s22020s i n dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d .(3)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ,于是⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=⎰d .(4)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 A r a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ,于是⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22θϕϕθϕϕϕd d r d r r r s i n )s i n s i n c o s s i n(2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6-x 2-y 2及22y x z +=;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6-ρ2, 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd .(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为ϕπϕπθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd d r d r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθc o s2024020s i na dr r d d34033s i n c o s382a d a πϕϕϕππ==⎰. (3)22y x z +=及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V .(4)225y x z --=及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z ,于是 ⎰⎰⎰-=225412020ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd .13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ. 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 222400220s i n R k dr r kr d d Rπϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰.。
二,三重积分练习题解答
f ( x 2 y 2 )dxdy t4 lim
t 0
2
0
d 0 f ( 2 ) d t4
t
t 0
lim
t 0
2 0t f ( 2 ) d
t
4
lim
t 0
0 0
2f ( t 2 )t
4t 3
2 t 0
lim
f (t 2 ) t2
2 t 0
lim
f ( t 2 ) f ( 0) t2
2
f 0
9. f ( x )在a , b上连续 , 利用 f x f ( y ) 的二重积分证明
2
( f ( x )dx ) b a f 2 ( x )dx
2
a a
b
b
证
设 D是矩形a x b; a y b
D
5.求由闭曲线( x 2 y 2 )2 xy所围图形的面积 .
6. f ( u)连续， 求积分I x1 yf ( x 2 y 2 )d
D 由 y x 3 , x 1, y 1 围成.
D
7. 区域D : x 2 y 2 y , x 0. f x , y 在D上连续 , 且 8 2 2 f ( x , y ) 1 x y f ( x , y )d . 求函数 f ( x , y )
b b
2b a a f
b
b
2
x dx 2( f x dx )2
b a
b a
0
b a f 2 ( x )dx ( f ( x )dx )2
2,3重积分练习题及思考题(含解答)
u
1
1 1 1
o
v
思考题 计算 x[1 yf ( x 2 y 2 )]dxdy , 其中D是由
y x , y 1, x 1所围成的区域, f是连续函数.
3
D
解 由于被积函数含有抽象函数, 故无法直接积出. 因此要采用
z
法二
( x
2
0
2
y )dv
2
8
2
d d 2
0 2
4
8
1024 dz 3
O
x
y
如此题改为：
这个旋转曲面与平面 2, z 8所围区域 z .
9、练习：被积函数改为e^z, 下题作为思考题！
思考题 计算
2 2
e
2
z2 2
x y
b
x
思考题 设函数f (u)连续,证明 1 f ( x y )dxdy f (u)du
x y 1 1
y o
1 1
证 法一
x y 1
f ( x y )dxdy
f ( x y )dy dx
0 1 1 x x 1
1
x
1
dx
1
0
1
1 2
y x
y y
e dx .
y x
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
y x2
1
x
2
x
e dy
y x
1
三重积分习题1
三重积分习题19-31. 化三重积分Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域; 解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是 ??-=xyx dz z y x f dy dx I 01010),,(.(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x , 于是 ??+----=111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx I .(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域; 解曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x , 于是 ??-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I .提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2-x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0), 12222=+by a x , z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a b y c xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω,于是 ?-=c xy x a a b adz z y x f dy dx I 000),,(22.提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z =xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ??++=1010)21(dy y x dx+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x .3. 如果三重积分Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x , y , z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )?f 2(y )?f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即=Ωmld cb adz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321.证明Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f b a d c ml]))()()(([321=dx dy dz z f y f x f b a d c m l]))()()(([321==m ldcb adx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123==d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123=d cmlb adz z f dy y f dx x f )()()(321.4. 计算Ωdxdydz z xy 32, 其中Ω是由曲面z =xy , 与平面y =x , x =1和z =0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 于是Ωdxdydz z xy 32=xyxdz z dy y xdx 030210?=xxy dy z y xdx 004210]4[ ??=x dy y dx x 051054136412811012==?dx x .5. 计算Ω+++3)1(z y x dxdydz, 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的四面体.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1},于是Ω+++3)1(z y x dxdydz ---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ?--++=xdy y x dx 1021]81)1(21[dx x x ?+-+=10]8183)1(21[ )852(l n 21-=.提示: Ω+++3)1(z y x dxdydz ---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ?---+++-=xyx dy z y x dx 101021])1(21[--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-?-++-=101]81)1(21[dx x x ?+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=.6. 计算Ωxyzdxdydz , 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是Ωxyzdxdydz ??---=222101010x y x x y z d zdy dx ?---=2102210)1(21x dy y x xy dx ?-=1022)1(81dx x x 481=.7. 计算Ωxzdxdydz , 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1},于是Ωxzdxdydz -=yx z d z dy xdx 01112??-=1211221x dy y xdx 0)1(61116=-=?-dx x x . 8. 计算Ωzdxdydz , 其中Ω是由锥面22y x R h z +=与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z : 222)(z h R y x =+, 故D z 的半径为z h R , 面积为222z h R π, 于是Ωz d x d y d z =zD hdxdy zdz 0?==hh R dz z h R 0223224ππ. 9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)Ωzdv , 其中Ω是由曲面222y x z --=及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ-≤≤z , 于是Ωzdv ??-=1022022ρρπρρθz d z d d ?--=112ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=?d .(2)Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域.解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 222≤≤z ρ, 于是dv y x )(22+Ωdz d d θρρρ?=Ω2=221203202ρπρρθdz d d-=205320)212(ρρρθπd d ?==ππθ2031638d .10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)Ω++dv z y x )(222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤?≤π, 0≤r ≤1, 于是Ω++dv z y x )(2=θ??d d r d r s i n 4 =104020s i n dr r d d ππ??θπ54=.(2)Ωzdv , 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z -a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2 所确定.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为?π?πθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是ΩΩ=θd drd r r zdv sin cos 2=404)c o s 2(41c o s s i n 2ππd a 4405467c o s s i n 8a d a πππ==?. 11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)Ωxydv , 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ,于是Ωx y d v Ω=dz d d θρρθρθρsin cos ==101032081c o s s i n dz d d ρρθθθπ. 别解: 用直角坐标计算Ωx y d v -=1010102dz ydy xdx x ??-=21010x y d y x d x-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x . (2)Ω++dv z y x 222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域;解在球面坐标下积分区域Ω可表示为?π?πθc o s 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r ,于是Ω++dv z y x 222?=?ππθc o s22020s i n dr r r d d10cos 41sin 2204πππ=?=?d .(3)Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ,于是Ω+dv y x )(22=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=?d .(4)Ω+dv y x )(22, 其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220, z ≥0所确定.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为 A r a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20π?πθ,于是Ω+dv y x )(22θ??θd d r d r r r s i n )s i n s i n c o s s i n(2222222Ω)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==π??θππ.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6-x 2-y 2及22y x z +=;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6-ρ2, 于是ΩΩ==dz d d dv V θρρ?-=262020ρρπρρθdz d d=--=2032332)6(2πρρρρπd .(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解在球面坐标下积分区域Ω可表示为π?πθc o s 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是ΩΩ==θ??d d r d r dv V sin 2=?ππθc o s2024020a dr r d d34033s i n c o s382a d a πππ==?. (3)22y x z +=及z =x 2+y 2;解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===Ωd dz d d dv V .(4)225y x z --=及x 2+y 2=4z .解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z ,于是 -=225412020ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=?πρρρρπd .13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ. 在球面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤?≤π, 0≤r ≤R ,于是Ω++=dv z y x k M 222400220s i n R k dr r kr d d Rπ??θππ=?=.。
练习106(三重积分的计算(截面法和求体积))- 答案
练习册 106 三重积分的计算（截面法和求体积）（答案）1、计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中积分区域Ω是由平面()0>=h h z 和锥面()0,022>>+=h R y x Rhz 围成的闭区域。
解：画出积分区域Ω（如右图所示），()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=∈≤≤=Ω222 ,,,0 ,,z h R y x y x D y x h z z y x z ，22042202220414h R z h R dz z h R z dxdy zdz zdv hh D h zπππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω。
2、计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中积分区域Ω是由曲面4222=++z y x 和z y x 322=+围成的闭区域。
解：联立方程4222=++z y x 和z y x 322=+，求解得1=z 。
画出积分区域Ω，并用平面1=z 把Ω分成两部分1Ω和2Ω（如右图所示），()()(){}{}222114 ,,,21 ,,z y x y x D y x z z y x z -=+=∈≤≤=Ω ， ()()(){}{}z y x y x D y x z z y x z 3 ,,,10 ,,2222=+=∈≤≤=Ω，()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-⋅+⋅=+=∴Ω2121021104312dz z z dz z z dxdy zdz dxdy zdz zdv zzD D ππ[]πππ413422142103=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+⋅=z z z 。
3、计算由曲面22y x z +=和z y x =+22所围立体的体积。
解：联立方程4222=++z y x 和z y x 322=+，求解得0=z 和1=z 。
（方法1：利用定积分）因为当10≤≤z 时，截面面积2z z S ⋅-⋅=ππ，所以，立体的体积()()6121πππ=⋅-⋅==⎰⎰dz z z dz z S V 。
第九讲：三重积分(7题)
⇒ ∫∫∫ xµdV = ∫∫∫ yµdV = 0
Ω Ω
又 ξ 2 +η2 = d 2 , ∫∫∫ µdV = M 代人上式有
Ω
Il = ∫∫∫( x2 + y)2 µdV + (ξ 2 +η2 )∫∫∫ µdV
Ω Ω
= Il0 + Md 2
其中 Ω : x2 + y2 ≤ z ≤ 1+ 1− x2 − y2 解 利用球面坐标系
z = x + y →ϕ =
2 2
π
4
z = 1+ 1− x2 − y2 → r = 2cosϕ
x2 + y2 1 1 1 + ]dV ∫∫∫ 2 2 2 [ 2 2 arctan z z Ω x + y +z x +y
0 y+z
练习十一/一 例2 (练习十一 一(2)) 设 Ω : x ≤1 , y ≤1, z ≤1 , 练习十一 计算: 计算 解
( xyz −1)2dV ∫∫∫
Ω
( xyz −1)2dV = ∫∫∫[( xyz)2 − 2xyz +1]dV ∫∫∫
Ω Ω
= ∫∫∫ x2 y2z2dV − 2∫∫∫ xyzdV + ∫∫∫dV
第九讲 三重积分
三重积分的计算方法 : (1) 直角坐标系下化为三次积分 (2) 利用柱面坐标计算 (3) 利用球面坐标计算 (4) 利用对称性 , 奇偶性 (5) 利用积分与变量名称无关性
练习十一/一 例1 (练习十一 一(1)) 设 f (x , y , z) 连续 , 将 练习十一
1 0 x 0 x− y 0
1
∫ dx∫ dy∫ f ( x) f ( y) f (z)dz = ∫ dx∫ f ( x) f ( y)dy∫ f (z)dz
三重积分习题
0
1Байду номын сангаас
1 z4 1 (z2 1 z4) 2
4
0
41
2
第26页/共28页
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 : z 2 2 , 0 1, 0 2
故有
2
1
22
zdxdydz 0 d 0 d zdz
2 1 1 (2 2 2 )d
02
(2 1 4)1 202
2. 锥面
第1页/共28页
3. 椭球面
第2页/共28页
4. 双曲面
第3页/共28页
第4页/共28页
第5页/共28页
5. 抛物面
第6页/共28页
第7页/共28页
第8页/共28页
第9页/共28页
第10页/共28页
习题10-3 第1(1)题
计算 I f ( x, y, z)dxdydz
a
y x
y
xy
I dxdyc f (x, y, z)dz
D
a
b ax
xy
dx a
dy c f ( x, y, z)dz
b
Dx
y
0
x
a
第19页/共28页
4. 计算三重积分 xy 2 z 3dxdydz 。其中 是由曲面z xy
与平面
y
x
，x
1
及z 0
所围成的闭区域。
分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.
坐标方法进行计算。
z
2
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 {(x, y, z) | (x, y)Dz, 0 z 2}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三重积分练习题
1． 计算cos()I y x z dxdydz Ω
=
+⎰⎰⎰，Ω由抛物柱面y =平面0,0,2
y z x z π
==+=
所围区域。
（
28
16
π-）
2． 计算I z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰
，Ω由z =与223x y z +=围成。
（134
π
）
3． 计算I Ω
=⎰⎰⎰
，Ω为由2221x y z ++≤和z ≥所围区域。
（
20
π
）
4． 已知()f x 连续，222
()[()]F t z f x y dxdydz Ω
=++⎰⎰⎰，222:0,z h x y t Ω≤≤+≤，求：
()F t '和2
0()
lim t F t t
+
→。
5． 设Ω为平面1(0,0,0)x y z
a b c a b c
++=>>>与三个坐标平面围成的四面体区域，求
(,,)I a b c z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰；
若又设a b c h ++=为定值，问,,a b c 怎样取值时，(,,)I a b c 最大，并求此最大值。
（24
,241536
a b c h ） 6． 将22()I f x y dxdydz Ω
=
+⎰⎰⎰
化为球坐标下的三次积分，其中222:1,x y z Ω++≤
0,0x y ≥≥。
7． 设()f u 具有连续导数，求2222
4
01lim
t x y z t f dxdydz t π→++≤⎰⎰⎰。
（(0)f '，若(0)0f =；∞，若(0)0f ≠）
8． 计算22
()I x y dxdydz Ω
=+⎰⎰⎰，其中Ω为平面曲线
{
2
20
y z x ==绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域。
（10243
π
）
9． 计算I Ω
=
⎰⎰⎰，其中Ω为22,1,1y x z y =+==之间。
10．设2
2
2
{(,,)|1,0}x y z x y z x y z Ω=++≤++≥，计算三重积分：
（1）22233323x y z I dxdydz x y z Ω+-=++⎰⎰⎰； （2）333
333
6233x y z I dxdydz x y z Ω
+++=+++⎰⎰⎰ 11．求2
22(),,0I x y z dv x
y z z h Ω
=
++Ω+≤≤≤⎰⎰⎰由所围立体。
12．计算下列三重积分
（1）222222
ln(1)1z x y z I dxdydz x y z Ω
+++=+++⎰⎰⎰，其中222
1x y z Ω++≤为。
（2）2
22()
222(),4,0,0,0x
y z I x z e dv x y z x y z -++Ω
=+Ω≤++≤≥≥≥⎰⎰⎰由1所围
（3）222
,:1x
I e dv x y z Ω
=Ω++≤⎰⎰⎰。
10．解：分析 本题中被积函数比较复杂，而积分区域具有关于,,x y z 轮换不变性，所以可以利用积分值与积分变量名称无关这一特点进行计算。
（1） 因为222
333333333
x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ
==++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以
原式=222
333333333
230x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ
+-=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2） 因为333
333333333
111333x y z dV dV dV x y z x y z x y z
ΩΩΩ+++==+++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以
原式=333
333333333
11123333x y z dV dV dV x y z x y z x y z
ΩΩΩ++++++++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =333333333333
1112[]333x y z dV dV dV x y z x y z x y z ΩΩΩ++++++++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =333333
(1)(1)(1)42233x y z dV V x y z πΩ
+++++==+++⎰⎰⎰ 12．解：
（1）22
2
cos ln (1)sin 1r r I r drd d r
ϕϕθϕΩ
+=
+⎰⎰⎰
=
32212
ln (1)
sin cos 0(sin cos 0)1r r d d dr d r
πππϕϕϕθϕϕϕ+==+⎰
⎰⎰
⎰
（2）
2
2
2222
2333
1
(sin cos cos )sin (sin cos sin cos )(25)
4r r I r e r drd d d d e r dr e e
ππ
ϕθϕϕϕθ
π
ϕθϕθϕϕ-Ω
-=+⋅=+⋅=
-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（3）由对称性，知 2
22221
cos 20
1(0)
2
2sin 2z
r x y z z I e dv d d e r dr π
πϕϕθϕπ++≤≥===-⎰⎰⎰⎰⎰
⎰。