三重积分习题ppt课件
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重积分三重积分的应用课件.ppt
解 立体的图形为 设1为 在第一卦限内
的部分, 利用对称性得
z 1
M 4M1 4 ( x, y, z)dv
1
o
y
4( x y )dv 柱坐标变换 x
1
1
1
4 2 d rdr r(cos sin )dz
0
0
r2
4
2 (cos sin )d
1
r
2
(1
r
2
)dr
0
0
16。 15
13
设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y)
处具有连续面密度
=(x,y)，下面利用元素
y
•d
D
法求该平面薄片对两坐
标轴的转动惯量。
O
x
x
先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一
个部分d，它的质量元素为
dm ( x, y)d
这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯
量元素为
dIx y2( x, y)d dI y x2( x, y)d
F
x, y, a 一致。
F0
x r
,
y,a rr
o x
x
y
• P(x,y,0) y
cos,cos ,cos , (r x2 y2 a2 )
dF {dFx , dFy , dFz }
{| d F | cos,| d F | cos ,| d F | cos },
( x, y)xd ( x, y) yd a( x, y)d
14
y
以这些元素为被积表达 式，在闭区域D上积分， 可得
y
•d
D
Ix y2( x, y)d ,OD源自I y x2( x, y)d
《scut三重积分》课件
估值定理
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积 分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇 函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的 对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球 状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化 为球坐标的r、θ、φ的积分。通过 确定各变量的积分上下限，利用 微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积 函数与球坐标的对应关系，以及 不同变量间的几何意义。同时， 还需考虑球坐标系中各变量的取 值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何 形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利 用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累 次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二 重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积 分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇 函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的 对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球 状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化 为球坐标的r、θ、φ的积分。通过 确定各变量的积分上下限，利用 微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积 函数与球坐标的对应关系，以及 不同变量间的几何意义。同时， 还需考虑球坐标系中各变量的取 值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何 形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利 用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累 次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二 重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。
[理学]三重积分习题课ppt课件
![[理学]三重积分习题课ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4ee4da0b856a561253d36fa0.png)
2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于 在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体 的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：
63三重积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
时与 投影
• 若平行于坐标轴直线穿过区域 时与它边
界曲面S相交多于两点,可把
分成若干部分,
再求和.
第7页
例1. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成闭区域 .
解 ( x, y, z) | 0 z 1 x 2 y,( x, y) Dxy
{( x, y, z) | x2 +y2 +z2 R2 ,x2 +y2 +(z-R)2 R2 }.
解法一：利用柱面坐标
解法二：利用球面坐标.
把的边界曲面方程化为球面坐标方程
r=R,r=2Rcos
第24页
它们的交线为圆
因此的边界曲面由
r=R
=
3
r=R
(0
3
)与 r=2Rcos
组成，于是
(
3
2
例3.5计算I zdv，其中由曲面z= 4－x2－y2
与x2 y2 3z所围成。
第19页
（2） 利用球面坐标计算三重积分(注意此处两个角与书上表示
符号刚好相反.)
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r, ZOM , 则(r, , ) 就称为点M 球坐标. z
第12页
三、三重积分变量替换
定理: 设f ( x, y, z)在闭域 上连续 , 作变换:
满足
x x(u, v, w)
T
:
y
y(u, v,
w)
z z(u, v, w)
(u, v, w) (*)
(1) x(u, v, w) , y(u, v, w), z(u, v, w) 在 上具有连续的偏导数；
三重积分习题ppt课件
z
2
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 0 z 2}
oD
y
由于当 0 z 1 时， Dz : x 2 y 2 z 2；
x
而当 1 z 2 时， Dz : x2 y2 2 z2 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
故需用平面 z 1 将积分区域 划分为两部分： 1 2
h
所以本题也可采用柱面坐标计算
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 {( x, y, z) | ( x, y) Dz , 0 z ，h}
o R x
Dz
R
y
其中 Dz : x 2 y 2 Rh22z，2 故
zdxdydz
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z
dz
0 Dz
0
h2
R 2
注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
26/37
9(2). 计算三重积分 zdxdydz , 其中 是由圆锥面 z x2 y2 与上半球面 z 2 x2 y2 所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面
坐标方法进行计算。
D
a
b ax
xy
Dxy
dx a
dy c f ( x, y, z)dz 0
a
20/37
y x
x
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4. 计算三重积分 xy2z 3dxdydz。其中 是由曲面 z xy
与平面
y
x，x
1
及
三重积分 ppt课件
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
ppt课件
10
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
ppt课件
14
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
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10
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
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因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
三重积分习题课优质课件
r=2a cos
M
r
例8
1
Dxy
1
0
x
z
y
【例9】
【解Ⅰ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅱ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅲ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅳ】
【补充：利用对称性化简三重积分计算】
使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的
奇偶性．
一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z
(1) 交换积分顺序的方法
(2) 利用对称性简化计算
(3) 消去被积函数绝对值符号
(4)被积函数为1时巧用其几何意义
【例1 】计算
【解】
由对称性知
（球面坐标）
作业题
一、关于三重积分性质和应用的题类
【例2】
设
比较M,N,P的大小.
【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称性直接作出比较呢?
问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
多少小时? (2001考研)
【例17】——机动备用
［提示］
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
(用极坐标)
由题意知
令
得
(小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
小时.
【例5】
1
x+ y=1
y
o
z
x
1
M
r
例8
1
Dxy
1
0
x
z
y
【例9】
【解Ⅰ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅱ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅲ】
1
Dxy
1
0
x
z
y
【解Ⅳ】
【补充：利用对称性化简三重积分计算】
使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的
奇偶性．
一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z
(1) 交换积分顺序的方法
(2) 利用对称性简化计算
(3) 消去被积函数绝对值符号
(4)被积函数为1时巧用其几何意义
【例1 】计算
【解】
由对称性知
（球面坐标）
作业题
一、关于三重积分性质和应用的题类
【例2】
设
比较M,N,P的大小.
【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称性直接作出比较呢?
问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要
多少小时? (2001考研)
【例17】——机动备用
［提示］
记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则
(用极坐标)
由题意知
令
得
(小时)
因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100
小时.
【例5】
1
x+ y=1
y
o
z
x
1
三重积分 ppt课件
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
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(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
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e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
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18
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例4 解
19
例5
解
z
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o
y
x
20
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第
z
x2 y2 1
1(4)题
a2 b2
y
cz=xy
b
o
.
a
x
计算
I
f ( x, y, z)dxdydz
: cz
xy
(c
x2 0) , a2
y2 b2
1
及 z 0所围成的在第一卦限的区域。习题10-3
第
z
x2 y2 1
1(4)题
a2 b2
y
cz=xy
b
o z=0
a
.
x
计算
I
f ( x, y, z)dxdydz
z
2
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 0 z 2}
oD
y
由于当 0 z 1 时， Dz : x 2 y 2 z 2；
x
而当 1 z 2 时， Dz : x2 y2 2 z2 。
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故需用平面 z 1 将积分区域 划分为两部分： 1 2
分析 由于被积函数 f (x, y, z) z 只与变量 z有关, 且积分区域
被竖坐标为 z的平面所截的平面闭区域为圆域
Dz :
x2 y2 R2z2 h2
故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法计算比较简便；
考虑到积分区域 在xoy坐标 面上的投影区域为圆域
z
Dxy : x2 y2 R2
其中
1 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 0 z 1}
2 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 1 z 2}
于是，得
zdxdydz zdxdydz zdxdydz
1
2
1
2
0 zdz dxdy 1 zdz dxdy
Dz
Dz
1 z z2dz 2 z (2 z2 )dz
0
1
1 z4 1 (z2 1 z4) 2
4
0
41
2
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 : z 2 2 , 0 1, 0 2
故有
2
1
22
zdxdydz 0 d 0 d zdz
2 1 1 (2 2 2 )d 02
(2 1 4)1
202
注意：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
: cz
xy
(c
x2 0) , a2
y2 b2
1
及 z 0所围成的在第一卦限的区域。习题10-3
第
1(4)题
z
cz=xy
.
b
o
a
y x
z
用哪种坐标？ 直角坐标 cz=xy
是曲顶柱体,由
xy
上顶： z c
.
下底： z = 0
Dxy:
x ,
y ,
x2 a
y b
1
围成
b
o
a
y
xy
b
I dxdyc f (x, y, z)dz
1 x
xy
I dxdy0
f ( x , y , z)dz
dx
0
0
dy f ( x , y , z)dz 0
D
习题10-3
第
1(2)题
z
1
Dxy 0
y
1
x
习题10-3
第
1(3)题
计算
I
f ( x, y, z)dxdydz
: cz
xy
(c
x2 0) , a2
y2 b2
1
及 z 0所围成的在第一卦限的区域。习题10-3
D
a
b ax
xy
Dxy
dx a
dy c f ( x, y, z)dz 0
a
20/37
y x
x
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4. 计算三重积分 xy2z 3dxdydz。其中 是由曲面 z xy
与平面
y
x，x
1
及
z
0
所围成的闭区域。
分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.
常见的二次曲面
1. 柱面
2. 锥面
3. 椭球面
4. 双曲面
5. 抛物面
习题10-3 第1(1)题
计算 I f ( x, y, z)dxdydz
: z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计算 I f ( x, y, z)dxdydz
: z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计算 I f ( x, y, z)dxdydz
: z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域 。
。
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
Байду номын сангаасxy
1
注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
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9(2). 计算三重积分 zdxdydz , 其中 是由圆锥面 z x2 y2 与上半球面 z 2 x2 y2 所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面
坐标方法进行计算。
y yx
x
xy2 z 3dxdydz dxdy xy xy 2 z 3dz 0
Dxy
1 x5 y6dxdy 1
4 Dxy
4
1
dx
0
x x 5 y 6dy 1
0
364
习题10-3
第7
题
8.
计算三重积分 zdxdydz. 其中 是由锥面
z h x2 y2 R
与平面 z h (R 0, h 0) 所围成的闭区域。
h z 3dz 1 R2h2
h2 0
4
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 : h z h, 0 R, 0 2
R
故有
zdxdydz
2
R
d d
0
0
h
h zdz 2 R
R 1 (h2 02
h2 2 )d R2
( 1 2
h22
h2 4R2
4 ) R 0
1 4
R 2h2
解: (1) 求 （如图）在平面 xoy上的投影区域为 Dxy
Dxy : 0 y x, 0 x 1
(2) 确定上顶曲面1及下顶曲面 。2 因为当( x, y) Dx时y 满足 x ，0 y ,0 z xy 0 。因此 1 : z xy 2: z 0
z z xy
o
(3) 转化为先对 z后对 x, y的三次积分计算：
h
所以本题也可采用柱面坐标计算
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 {( x, y, z) | ( x, y) Dz , 0 z ，h}
o R x
Dz
R
y
其中 Dz : x 2 y 2 Rh22z，2 故
zdxdydz
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z
dz
0 Dz
0
h2
R 2