三重积分习题ppt课件

: z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计算 I f ( x, y, z)dxdydz
: z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域 。
。
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
xy
1
D
a
b ax
xy
Dxy
dx a
dy c f ( x, y, z)dz 0
a
20/37
y x
x
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4. 计算三重积分 xy2z 3dxdydz。其中 是由曲面 z xy
与平面
y
x，x
1
及
z
0
所围成的闭区域。
分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.
分析 由于被积函数 f (x, y, z) z 只与变量 z有关, 且积分区域
被竖坐标为 z的平面所截的平面闭区域为圆域
Dz :
x2 y2 R2z2 h2
故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法计算比较简便；
考虑到积分区域 在xoy坐标 面上的投影区域为圆域
z
Dxy : x2 y2 R2
第
z
x2 y2 1
1(4)题
a2 b2
y
cz=xy
b
o
.
a
x
计算
I
f ( x, y, z)dxdydz
: cz
xy
(c
x2 0) , a2
y2 b2
1
及 z 0所围成的在第一卦限的区域。习题10-3
第
z
x2 y2 1
1(4)题
a2 b2
y
cz=xy
b
o z=0
a
.
x
计算
I
f ( x, y, z)dxdydz
常见的二次曲面
1. 柱面
2. 锥面
3. 椭球面
4. 双曲面
5. 抛物面
习题10-3 第1(1)题
计算 I f ( x, y, z)dxdydz
: z xy 与 x y 1, z 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计算 I f ( x, y, z)dxdydz
y yx
x
xy2 z 3dxdydz dxdy xy xy 2 z 3dz 0
ห้องสมุดไป่ตู้Dxy
1 x5 y6dxdy 1
4 Dxy
4
1
dx
0
x x 5 y 6dy 1
0
364
习题10-3
第7
题
8.
计算三重积分 zdxdydz. 其中 是由锥面
z h x2 y2 R
与平面 z h (R 0, h 0) 所围成的闭区域。
h z 3dz 1 R2h2
h2 0
4
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 : h z h, 0 R, 0 2
R
故有
zdxdydz
2
R
d d
0
0
h
h zdz 2 R
R 1 (h2 02
h2 2 )d R2
( 1 2
h22
h2 4R2
4 ) R 0
1 4
R 2h2
0
1
1 z4 1 (z2 1 z4) 2
4
0
41
2
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 : z 2 2 , 0 1, 0 2
故有
2
1
22
zdxdydz 0 d 0 d zdz
2 1 1 (2 2 2 )d 02
(2 1 4)1
202
注意：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
1 x
xy
I dxdy0
f ( x , y , z)dz
dx
0
0
dy f ( x , y , z)dz 0
D
习题10-3
第
1(2)题
z
1
Dxy 0
y
1
x
习题10-3
第
1(3)题
计算
I
f ( x, y, z)dxdydz
: cz
xy
(c
x2 0) , a2
y2 b2
1
及 z 0所围成的在第一卦限的区域。习题10-3
注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
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9(2). 计算三重积分 zdxdydz , 其中 是由圆锥面 z x2 y2 与上半球面 z 2 x2 y2 所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面
坐标方法进行计算。
: cz
xy
(c
x2 0) , a2
y2 b2
1
及 z 0所围成的在第一卦限的区域。习题10-3
第
1(4)题
z
cz=xy
.
b
o
a
y x
z
用哪种坐标？ 直角坐标 cz=xy
是曲顶柱体,由
xy
上顶： z c
.
下底： z = 0
Dxy:
x ,
y ,
x2 a
y b
1
围成
b
o
a
y
xy
b
I dxdyc f (x, y, z)dz
解: (1) 求 （如图）在平面 xoy上的投影区域为 Dxy
Dxy : 0 y x, 0 x 1
(2) 确定上顶曲面1及下顶曲面 。2 因为当( x, y) Dx时y 满足 x ，0 y ,0 z xy 0 。因此 1 : z xy 2: z 0
z z xy
o
(3) 转化为先对 z后对 x, y的三次积分计算：
其中
1 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 0 z 1}
2 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 1 z 2}
于是，得
zdxdydz zdxdydz zdxdydz
1
2
1
2
0 zdz dxdy 1 zdz dxdy
Dz
Dz
1 z z2dz 2 z (2 z2 )dz
z
2
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 0 z 2}
oD
y
由于当 0 z 1 时， Dz : x 2 y 2 z 2；
x
而当 1 z 2 时， Dz : x2 y2 2 z2 。
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故需用平面 z 1 将积分区域 划分为两部分： 1 2
h
所以本题也可采用柱面坐标计算
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 {( x, y, z) | ( x, y) Dz , 0 z ，h}
o R x
Dz
R
y
其中 Dz : x 2 y 2 Rh22z，2 故
zdxdydz
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z
dz
0 Dz
0
h2
R 2