三重积分及其计算

三重积分计算

三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。

在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。

一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。

设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。

则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。

可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。

三重积分对应的结果是一个数值。

二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。

三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。

1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。

先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。

然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。

第三节三重积分的概念与计算

过 z轴且平行 xoy平面的平面去截，得截面
Dz ，则三重积分的计算可化为先对
z
x，y 求二重积分，再对 z 求定积分， b
即
Dz
f(x, y,z)dxdydz
b
a
dz f(x,y,z)dxdy
第八章重积分第三节三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出：设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )，求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为 V i
x
zz2(x,y)
z2 S2
z1 S1
zz1(x,y)
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
先x将 ,y看作定 f(x,值 y,z)只，看 z的将作函数，则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
再计F算 (x,y)在闭区 Dx间 y上的二重积分
f(x ,y ,z )d vF (x ,y )d[z 2 (x ,y )f(x ,y ,z )d ] d z.
VVdxdydz
例 3 求由曲面 z x2 2 y2及z 2 x2所围成的闭区域的体积.
解由zzx222x2y2,
得交线投影区域 x2y21,
故 {x (,y,z)|x22y2z2x2,(x,y) D x}y 其D x 中 y {x (,y)|x2y21 }
的体积 1dxdydz
Dxy
Dxy
1
1x
xdx2 (1x2y)dy

三重积分的概念和计算方法

三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。

本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。

1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。

在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。

2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。

3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。

3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。

对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。

3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。

常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。

3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。

对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。

3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。

对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。

根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。

4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。

常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。

5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。

三重积分的概念与计算

x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称

z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz

0.
例计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分，从小到大，从边界到边界。
例6.求的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为的锥面围成，如图.
解：球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,

由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,

则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性

三重积分的概念与计算

方法1. “先一后二”
方法2. “先二后一”
方法3. “三次积分”
具体计算时应根据
三种方法(包含12种形式)各有特点,
被积函数及积分域的特点灵活选择.
例1.化为三次积分, 由曲面
及平面围成.
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
的密度函数 ,
方法:
方法1. 投影法 (“先一后二” ) ；
记作
方法2. 截面法 (“先二后一”)
为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
面密度≈
记作
投影法
方法3. 三次积分法；
设区域
利用投影法结果 ,
把二重积分化成二次积分即得:
小结: 三重积分的计算方法
被积函数形式简洁, 或
坐标系体积元素适用情况
直角坐标系
柱面坐标系
球面坐标系
* 说明:
三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:
对应雅可比行列式为
变量可分离.
围成 ;
1. 将
用三次积分表示,
其中由
所
提示:
思考与练习；
六个平面
围成 ,
2. 设
存在,
称为体积元素,
若对作任意分割: 重积分.
在直角坐标系下常写作
下列“乘
积和式” 极限；
记作
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
例如:当时, 为立体的体积。
感谢您的观看
第三节…
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
…
三重积分的概念与计算；
第九章
一、三重积分的概念
类似二重积分解决问题的思想, 采用
引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的

三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。

它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。

三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，$\Delta V_i$表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。

二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。

1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。

将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。

2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。

即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。

常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。

具体的变换公式可参考相关数学教材。

三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用。

1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。

三重积分的计算及重积分的应用

三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。

它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。

本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。

一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。

常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。

选择合适的坐标系可以简化计算过程。

被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。

在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。

元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。

根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。

具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。

以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。

其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。

对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。

常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。

根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。

计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。

三重积分在许多领域都有广泛的应用。

以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。

1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。

通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。

例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。

首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。

然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。

最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。

三重积分的计算及重积分的应用

三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。

在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。

一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。

以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。

则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。

2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。

例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。

然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。

1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。

通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。

2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。

设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。

三重积分的概念与计算

三重积分的概念与计算在数学分析学科中，积分是一个重要的概念，它用于计算曲线、曲面或空间体所围成的面积、体积以及其他相关量。

而三重积分则是积分的一种特殊形式，用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

本文将介绍三重积分的概念，并探讨其计算方法。

一、三重积分的概念三重积分是对三维空间上的函数进行积分运算。

在直角坐标系下，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。

其中，f(x,y,z)是被积函数，而dxdydz则表示积分元素。

三重积分的结果是一个标量。

三重积分可以理解为对一个三维区域进行分割，并将每个小区域的体积乘以被积函数的值后相加。

当区域较为规则时，可以采用基本几何体（如长方体、球体等）的体积公式进行计算。

但对于复杂的区域，通常需要采用变量代换或切割方法进行计算。

二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分计算在直角坐标系下，三重积分的计算可以按照先x后y再z的顺序进行。

具体计算方法如下：首先，确定积分区域。

三重积分的区域可以是一个立体体积，可以被一个或多个不等式所限定。

通过对区域的划分，可以将其分解为若干个可计算的部分。

制条件是根据区域的形状和约束条件确定的。

最后，进行计算。

根据上述确定的区域和限制，将被积函数f(x,y,z)代入积分式中，进行积分运算。

2. 极坐标系下的三重积分计算在某些情况下，采用极坐标系可以简化三重积分的计算。

极坐标系下，积分元素可以表示为rdrdθdz。

基于极坐标系的计算方法如下：首先，确定极坐标下的积分区域。

通常需要借助于图形的对称性来确定合适的极坐标范围。

其次，确定积分限。

根据极坐标下的区域范围，确定积分的上下限。

最后，进行计算。

将被积函数f(r,θ,z)代入积分式中，并按照r,θ,z的顺序进行积分运算。

三、举例说明下面通过一个具体例子来说明三重积分的应用。

例：计算函数f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2在半径为2的球体内的体积。

解：在直角坐标系下，球体的方程为x^2 + y^2 + z^2 = 4。

三重积分的概念与计算

例：设物体占有空间闭区域，在点( x , y , z ) 处的密度为 ( x , y , z ) ，假定 ( x , y , z ) 在上连续，则该物体的质量为
z
z z2 ( x , y )
z2 S 2

z1
S1
z z1 ( x , y )
M ( x , y, z )dv .
z e dv 2 e dv 2 [ dxdy ] e dz
z
z
1

上
2
0
D( z )
2 (1 z )e dz 2.
z 0
1
总结： f ( z )dxdydz c f ( z )dz dxdy

d
Dz
属于第二型， Dz的面积易求。
所围成的空间闭区域.
如图，
z
解
2
: 0 z x2 y2 ,
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .
x
y
为三个例 3 计算三重积分 zdxdydz ，其中
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
D d c Dz
(1) : z x 2 y 2与z 2所围。
(2) : z x 2 y 2与z 2所围。
( 3) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z R (4) : x 2 y 2 z 2 R 2 ,0 z a
截面法的一般步骤： z 轴）投影，得 (1) 把积分区域向某轴（例如投影区间[c , d ] ； z 轴且平行xoy 平面的平面去 (2) 对 z [c , d ]用过截，得截面Dz ;

三重积分的积分性质和计算规则

三重积分的积分性质和计算规则三重积分是数学中的一个重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域被广泛应用。

三重积分的计算需要掌握一些性质和规则，本文将详细介绍三重积分的积分性质和计算规则，以帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、三重积分的定义三重积分是指对三维空间内的一个体积区域进行积分运算，其数学表达式为：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$V$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$\mathrm{d}V$ 表示体积元素。

二、三重积分的积分性质1. 可积性若$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上连续，则其在 $V$ 上可积。

2. 线性性设$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，$k$为常数，则有：$$\iiint\limits_{V}(kf(x,y,z)+g(x,y,z))\mathrm{d}V=k\iiint\limits_ {V}f(x,y,z)\mathrm{d}V+\iiint\limits_{V}g(x,y,z)\mathrm{d}V$$3. 保号性设$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V\geq0$$当且仅当 $f(x,y,z)$在 $V$ 上恒为 $0$ 时，等号成立。

4. 区域可加性设积分区域 $V$ 可以分成若干个不相交的子区域$V_1,V_2,\cdots,V_n$，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\sum_{i=1}^{n}\iiint\limi ts_{V_i}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$三、三重积分的计算规则1. 直角坐标系下的计算在直角坐标系下，我们可以将积分区域先按照 $x,y,z$ 的顺序分解，将三重积分化为三重定积分，然后按照积分顺序先计算$z$ 再计算 $y$ 最后计算 $x$。

三重积分概念及其计算

三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。

一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。

它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。

三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。

二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。

具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。

设积分区域为V，边界为S。

根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。

假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。

2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。

具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。

设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。

根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。

积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。

三重积分的积分方法和积分公式

三重积分的积分方法和积分公式积分是数学中重要的一部分，它有许多不同的形式和方法。

三重积分作为三维空间上积分的一种形式，也有其独特的积分方法和积分公式。

一、 Cartesian 坐标系下的三重积分在 Cartesian 坐标系下，三重积分可以写作：$$ \iiint\limits_D f(x,y,z) dV $$其中 $D$ 是一个三维空间上的区域，$f(x,y,z)$ 是一个定义在$D$ 上的实函数，$dV$ 表示一个体积元素。

三重积分可以通过积分区域的划分来实现，比如将 $D$ 划分为小立方体，并在每个立方体中选取一个点作为积分点。

这样，三重积分可以近似计算为：$$ \iiint\limits_D f(x,y,z) dV \approx \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i, z_i)\Delta V_i $$其中 $n$ 是被划分的立方体数量，$(x_i, y_i, z_i)$ 是第 $i$ 个立方体中的积分点，$\Delta V_i$ 是第 $i$ 个立方体的体积。

当立方体数量趋近于无限大时，上式将会趋近于真实值。

然而，这种方法的计算量非常大，而且精确度也不高。

因此，我们需要寻求更加高效和准确的计算方法。

二、柱坐标系下的三重积分柱坐标系下的三重积分可以写作：$$ \iiint\limits_D f(r,\theta,z) r dz dr d\theta $$其中 $D$ 是一个柱形体，$f(r,\theta,z)$ 是一个定义在 $D$ 上的实函数，$r$、$\theta$ 和 $z$ 分别表示极径、极角和高度。

柱坐标系下的三重积分可以通过区域的分割和替换坐标系来计算。

具体来说，我们将 $D$ 划分为小柱形体，并在每个柱形体中选择一个点作为积分点。

然后，使用下列公式来计算三重积分：$$ \iiint\limits_D f(r,\theta,z) r dz dr d\theta \approx \sum_{i=1}^nf(r_i, \theta_i, z_i) r_i \Delta r_i \Delta \theta_i \Delta z_i $$其中 $n$ 是被划分的柱形体数量，$(r_i, \theta_i, z_i)$ 是第$i$ 个柱形体中的积分点，$\Delta r_i$、$\Delta \theta_i$ 和 $\Delta z_i$ 分别是第 $i$ 个柱形体的半径、极角和高度。

三重积分及其计算法

三重积分及其计算法二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。

三重积分的概念设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n 个子域(△V 1),(△V 2),(△V 3),…,(△V n ),它们的体积分别记作△V k (k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点，并作和数如果不论△V k 怎样划分，点怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数在域(V)上的三重积分,记作：即：如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。

对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。

直角坐标系中三重积分的计算方法这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。

直角坐标系中三重积分的计算公式为：此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。

例题：求，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域.解答：把I 化为先对z 积分，再对y 和x 积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy 平面上,求出投影域(σ),它就是平面x+y+z=1与xOy 平面的交线和x 轴、y 轴所围成的三角区域.我们为了确定出对z 积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z 的直线,它与(V)上下边界的交点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示：再把(σ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：柱面坐标系中三重积分的计算法我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。

平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，θ=常数：通过z轴的半平面族，z=常数：与z轴垂直的平面族.因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。

三重积分的概念及其计算

三重积分的概念及其计算三重积分是对于具有三个独立变量的函数在三维空间内的积分。

它对于解决和分析各种物理、几何和工程问题起着重要的作用。

在本文中，我们将讨论三重积分的概念、计算方法以及一些应用。

首先，让我们来讨论三重积分的定义和概念。

三重积分是对于一个三维实值函数，在一个三维有界区域内的体积进行积分。

三重积分的符号表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，表示在(x,y,z)处函数的值；dV表示积分元素，用于表示积分的区域体积。

为了计算三重积分，我们需要确定被积函数的积分区域。

这个区域可以是一个有界的立体，也可以是由不同的条件限定的多个区域的并集。

一旦确定了积分区域，我们可以通过将该区域划分成较小的体积元素，并对每个体积元素进行积分来逼近整个区域的积分值。

接下来，我们将讨论三种常用的计算三重积分的方法。

第一种方法是直角坐标系下的三重积分计算。

在直角坐标系下，我们可以将积分区域划分为一系列的长方体或平行六面体，每个体积元素的体积可以表示为ΔV=ΔxΔyΔz，其中Δx、Δy和Δz分别是划分的长方体或平行六面体边长的增量。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第二种方法是柱面坐标系下的三重积分计算。

在柱面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ和距离原点的距离ρ来简化积分计算。

积分区域可以通过极坐标变换转换为适合柱面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

第三种方法是球面坐标系下的三重积分计算。

在球面坐标系下，我们可以通过引入新的变量，如极角θ、方位角φ和距离原点的距离r来简化积分计算。

积分区域可以通过球坐标变换转换为适合球面坐标的形式。

然后，我们可以对每个体积元素进行积分，并将所有体积元素的积分值相加，得到最终的三重积分值。

除了上述的计算方法，我们也可以使用数值方法来计算三重积分。

三重积分的概念与计算复习过程

作业
115页 3, 4, 6, 12, 13
第三节
第九章
三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念二、三重积分的计算
一、三重积分的概念
引例: 设在空间有界闭区域内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x,y,z) C ,求分布在内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
被积函数是 z的奇函数,球面
关于xoy面对称
zlx n2x 2 ( y2y 2 z2z 21 1)dxdy0.dz
例计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭区域.
解 (xyz)2
x 2 y 2 z 2 2 (x y z z)x
f(x, y,z)dv
21 f
(x,
y,z)dv，f关于x(z,
y)为偶函数 .
0，f关于x(z, y)为奇函数
例利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解积分域关于三个坐标面都对称，
b2(1c z2 2)
ab(1
z2 c2
),
原式
0cab(1cz22 )zdz
1 abc2 .
4
例. 计算三重积分
cz Dz z
解: :
c z c Dz:ax22by221cz22
a
by
x
用“先二后一 ”
z2dxdydzccz 2 d z Dz dxdy
ccz2ab(1cz22)dz
4
15

三重积分概念及部分计算方法

D
D z1 ( x, y)
4
z
若在 xoy 平面上的投影区域记为Dxy，则有
f ( x, y, z)dv dxdy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz

Dxy
z1 ( x, y)
o
a
投影区域Dxy用不等式表示:
b x
1(x) y 2(x)，a x b
dy
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz

a
1 ( x)
z1( x,y)
5
f ( x, y, z)
b
dy
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz

a
1 ( x)
z1( x,y)
公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。
y
则将二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式：
S2 : z z2(x, y) z2

z1 S1 : z z1( x, y)
D (x, y)
y y1( x)
y
y y2(x)
y 2(x)
Dxy y 1(x)
oa
bx
f ( x, y, z)
b
－∞< z < +∞
o

②三组坐标面分别为
x
y
r ＝常数，即以z 轴为轴的圆柱面；
M (r, , z)
• M(x,y,z)
z
r
y
x
•P(r, ,0)
＝常数，即过z 轴的半平面；