三重积分及其计算

x
D
在 xy 平面上的投影
z1 ( x, y) z2 ( x, y) ( x, y) D 。
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i

y z z1 ( x, y)
则
f ( x, y, z) d x d y d z d y d z
D
x2 ( y , z ) x1 ( y , z )
f ( x, y , z ) d x 。
确定三重积分限的方法
或其它坐标面上
首先将区域 投影到 xy 平面上，得到投影区域 D：
D {(x, y) | a x b , y1 ( x) y y2 ( x)}。
n
以及点(i ,i , i ) 的选择无关。此极限存 在与否取决于函数在
上是否可积。
（ 2 ）在直角坐标系中，通常 用平行于坐标轴的网格 线划分区域
，故直角坐标系下积分 元素 (几何体体积元素 )
d v d x d y d z。 相应地，直角坐标系下 ，三重积分写为
f ( x, y, z ) d x d y d z 。
(i) 将分成 n 个小立体 1, 2,…, n ,
记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, …, n.
由于 (x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在 i 上 (x , y , z) 的变化不大.可近似 看作不变.
(ii) 取 ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i )作为 i
1 2
性质 3
若 f ( x, y, z ) 0 ( x, y, z ) ，则
f ( x, y, z ) d x d y d z 0 。
性质 4
| f ( x, y, z ) d x d y d z | | f ( x, y, z ) | d x d y d z 。
[
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y , z ) d z ] d x d y
三重积分可以归结为一 个定积分与一个二重积 分来计算 。
1. 若区域 在 xy 平面上的投影区域为 D ， 且
{(x, y, z) | z1 ( x, y) z z2 ( x, y) , ( x, y) D } ,
例
设有一质量非均匀分布 的物体，其质量体密度为
( x, y, z )，求该物体的质量 m 。
采用分划—代替—求和— 取极限的方法，可知
m lim ( i ,i , i ) Δ vi ,
0
i 1 n
解
即
m ( x, y, z ) d x d y d z 。
f ( x, y, z ) d x d y d z f (u, v, w) d u d v d w
3. 三重积分的性质
假设以下出现的 三重积分均存在
性质 1
[ f ( x, y, z ) g ( x, y, z )] d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z

该式也是直角坐标系下 计算物体质量的一般公 式。
二. 直角坐标系下三重积分的计算
z
z z2 ( x, y)
设有界闭区域 是由曲面
z z1 ( x, y) 和 z z2 ( x, y) ，以

及母线平行于z 轴的柱面围成。
在 xy 平面上的投影为平面
O
y 区域 D 。 z z1 ( x, y) z1 ( x, y)，z2 ( x, y) C( D) 且
然后，在D内任取一点，作平行于 z 轴的直线，该直线
穿过 且与 相交于 z1 ( x, y ) 和 z 2 ( x, y ) ， 则
{(x, y, z) | a x b , y1 ( x) y y2 ( x) , z1 ( x, y) z z2 ( x, y)} ,
(3) 有界闭区域上的连续函 数可积。 (4) 若函数 f ( x, y, z ) 在区域 上有界，且仅在 内有限条 曲线或有限张曲面 (体积为零 ) 上不连续 , 则 f ( x, y, z ) 在
上可积。
(5) 三重积分是一个数，它 取决于被积函数和积分 区域，
而与积分变量的记号（ 字母）无关：
则 f ( x, y, z ) d x d y d z d x d y
D z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y , z ) d z 。
2. 若区域 在 xz 平面上的投影区域为 D， 且 {( x, y, z) | y1 ( x, z) y y2 ( x, z) , ( x, z) D } ,
a b d c
( y) d y ( z) d z 。
e
h
例
求
2 2 2 xyz d x d y dz ，其中 为球面 x y z 1 与

三个坐标面所围成的第 一卦限中的区域。
解
在 xy 平面上的投影区域为
z
z
1 x2 y 2
lim f ( i ,i , i ) Δ vi
0
i 1
n
存在，则称该极限值为 函数 f ( x, y, z ) 在区域 上的三重积分，
其中， max d( i ), d( i ) 为 i 的直径。
1i n
此时称函数 f ( x, y, z ) 在区域 上可积，记为 f ( x, y, z ) R( )。
的体密度. 从而, i的质量
mi ( i , i , i) V i (iii) 因此, 的质量 M (i ,i , i )Vi
i 1 n
(iv) 若记 max { 的直径 }, 则 i
M lim (i ,i , i )Vi .
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
x
Di
D
在 xy 平面上的投影

将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z z 2 ( xi , yi )
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
z zk
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。

g ( x, y, z ) d x d y d z。
性质 2
若 1 2 (1与 2除边界点外无公共部分 )，则
f ( x, y, z ) d x d y d z
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z 。
三重积分记为：
f ( x, y, z ) d v lim f ( , , ) Δ v ,
0 i 1 i i i i n
式中： f ( x, y, z ) — — 被积函数；

— — 三重积分号；
—— 积分区域；
d v — — 积分元素 ( 或几何体体积元素 ) ;
0
i 1
1i n n
2. 三重积分的定义
设 f ( x, y, z ) 是定义在有界闭区域 wk.baidu.comR 3 的有界函数。
将 任意分割为 n 个无公共内点的小区域 i ( i 1, 2,, n ) ，
n
则 ＝ i ，并记 i 的体积为Δ vi。
i 1
若 ( i ,i , i ) i，极限
五. 三重积分的简单应用
一、三重积分的概念及性质
1. 非均匀分布立体的质量
设有空间立体, 当的质量是均匀分布 时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述 方式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密 度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.
Di
( xi , yi )

z z1 ( xi , yi )
( xi , yi ) Di，利用平行截面面积为 已知的几何体体积的计
算方法来计算 i 的质量 mi : 如图所示，任作截平面 z zk，得到
微分元素 d m ( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z，从而，小柱体 i 的质量为
则
f ( x, y, z) d x d y d z d x d z
D
y2 ( x , z ) y1 ( x , z )
f ( x, y , z ) d y 。
3. 若区域 在 yz 平面上的投影区域为 D ， 且
{( x, y, z) | x1 ( y, z) x x2 ( y, z) , ( y, z) D } ,
第三章 多元函数积分学
第二节 三重积分
本节教学要求： 正确理解三重积分的概念。 熟悉直角坐标系下三重积分的计算方法。 熟悉三重积分的换元法。


熟悉柱面坐标系和球面坐标系下三重积分的计算。
能运用三重积分求解简单的应用问题。
第三节 三重积分
一. 三重积分的定义
二. 三重积分的性质 三. 三重积分的计算（直角坐标系） 四. 三重积分的换元法
mi
z 2 ( xi , yi ) z1 ( xi , yi )
( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i

于是，三重积分化为累 次积分
f ( x, y, z ) d x d y dz
b a
d x
y2 ( x ) y1 ( x )
d y
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y , z ) d z 。
1. 三重积分也有一个积分 顺序问题，选择什么样 的积分
顺序，要根据具体问题 进行分析确定。
2. 若 f ( x, y, z ) ( x) ( y ) ( z ) ,
{( x, y, z) | a x b , c y d , e z h } ,
则 f ( x, y, z ) d x d y dz ( x) d x
x，y，z — — 积分变量；
f ( , , ) Δ v
i 1 i i i
n
i
— — 积分和 ( 黎曼和 ) 。
三 重 积 分 定 义 的 几 点 说 明
(1) 极限 lim f ( i ,i , i ) Δ vi 存在与否 , 与对区域 的分割方式
0
i 1

性质 5
d xd yd z | |,
| | 为区域 对应的体积。
（这就是 f ( x, y, z ) 1 , ( x, y, z ) 的情形 。 ）
性质 5
(估值定理)
设 M max f ( x, y, z )，m min f ( x, y, z )，则
y z z1 ( x, y)
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
小柱体 i 的质量为 mi
x
Di
D
在 xy 平面上的投影
z 2 ( xi , yi ) z1 ( xi , yi )
( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z
从而，整个柱体的质量 为

m | | f ( x, y, z ) d x d y d z M | | 。

性质 6
(中值定理 )
设 R 3 为有界闭区域， f ( x, y, z ) C ( )，则至少存在
一点 ( , , ) ，使得
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( , , ) | | 。