三重积分 PPT课件

z1
o
1
x
y
1 2
例3将三重积分
z
化为三次积分 D xy
o
x
y
1
z
D xy
o
y
x
y
D xz
o
x
z
2、截面法
其中Dz是垂直z轴的平面截所得到的一个平面闭区域 则
例4 解
例5
解
z
o
y
x
（二）柱面坐标
设M(x y z)为空间内一点
M在xOy面上的投影点P 的极坐标为( ) 则、 、z称为点M的柱面坐标 规定、 、z的变化范围为
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx

Dyz
x1 ( y,z )
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy

Dxz
y1 ( x,z )
例2 解 Ω在xoy面的投影区域 ：
3
二、三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
z z1( x, y) (x, y)
(1)1dv 的体积
(2)对称性
设关于xoy面对称，分成1与
两部分
2
0
f (x, y,z) f (x, y, z)
f ( x, y, z)dv

2 f ( x, y, z)dv f (x, y,z) f (x, y, z)
1
例1 (e y2 sin x3 yz2 3)dv, : x2 y2 (z 1)2 1
Dxy
z1 ( x, y )
4、
f (x, y, z)dv
b
dx
2
(
x
)
dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
1 ( x)
z1 ( x, y )
(2)Ω：平行于 x 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv


3 4 4
当 0时， 和总趋于确定的极限 I ，
则称此极限I 为函数 f (x,y,z)在区域Ω上的三重积分.
被积函数
n
记为
f ( x, 来自百度文库, z)dv
lim 0 i1
f ( xi , yi , zi )vi
积分区域 积分变量
体积元素
注：1、被积函数 f (x,y,z) 在有界闭区域Ω上连续， 则 f (x,y,z) 在Ω上三重积分存在. 2、三重积分与二重积分有类似的性质.
第三节 三重积分 一、三重积分的概念与性质
二、三重积分的计算 1、直角坐标（投影法、截面法） 2、柱面坐标 3、球面坐标
一、三重积分的概念与性质
讨论密度分布不均匀的物体的质量：
(1)一根细棒 ：
密度为
a i b
n
M

lim
0
i 1
f (i ) xi
b
f ( x)dx a
(2)平面薄片： 密度为
z z1( x, y) (x, y)
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
(x, y)
dxdy z2(x,y) f ( x, y, z)dz
柱面坐标与直角坐标的关系：
柱面坐标系下 以z轴为轴的圆柱面 过z轴的半平面 垂直z轴的平面
用以上三组曲面分割Ω，得
体积元素为
柱面坐标系下三重积分为
如何化为三次积分？ ——投影法 1、求Ω在xoy面的投影区域 ; 2、将 化为极坐标：
3、过 确定
做平行与z轴的射线 ，
4、
例6
解 Ω在xoy面的投影区域 ：
（2）近似 ( xi , yi , zi ) vi (i 1,2, , n)
（3）求和 （4）取极限
作乘积 f ( xi , yi , zi )vi
n
f ( xi , yi , zi )vi
i 1
令为n个小区域中直径最大者，
若对Ω的任意分法， 及点( xi , yi , zi ) 的任意取法
化为极坐标：
z
o
y
x
例6将三重积分 解
化为柱面坐标下三次积分
z
o
y
x
（二）球面坐标
设M(x y z)为空间内一点 M在xOy面上的投影点为P，
则点M可以用一组数
确定
其中
球面坐标与直角坐标的关系： 显然：
球面坐标系下 以原点为球心的球面 以原点为顶点以z轴 为轴的圆锥面 过z轴的半平面
(3)空间立体：
密度为
M
n
lim
( xi , yi , zi )
0
i 1
f ( xi , yi , zi ) vi
f ( x, y, z)dv
定义 设函数 f (x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，
（1）分割 将Ω为 n 个区域 v1, v2 , , vn
y
D
(i ,i )
n
M lim 0
f (i ,i ) i
i 1
f ( x, y)dxdy
x
D
(3)空间立体：
密度为 M
( xi , yi , zi )
n
lim
0
i 1
f ( xi , yi , zi )vi
f ( x, y, z)dv
用以上三组曲面分割Ω，得
体积元素为
球面坐标系下三重积分为
如何化为三次积分？ 一般的，先确定Ω的 ，再 ，最后 积分时，先积 ，再积 ，最后积
例7将三重积分 解
化为球面坐标下三次积分
z
z
y
y
x
x
z
o
y
x
例6
解
z
o
y
x