2020 中考数学压轴题破解策略专题训练 专题13《“Y”形模型》(02)

所以 PB＝5 A
Q P
B
C
图4
【答案】解：（1）如图 4，将△APC 绕点 A 顺时针旋转 60°，得到△AQB，连结 PQ． 易证△PAQ 是等边三角形． 从而在△PQB 中，有∠PQB＝90°，PQ＝3，BQ＝4， 所以 PB＝5
A
Q P
B
C
图4
（2）如图 2，若 AB＝AC，点 P 在△ABC 外，且 PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC 的度数； P
即△DEC 为等边三角形．
F
A
D
E
B
C
进阶训练
1．（1）如图 1，在正方形 ABCD 内有一点 P，PA＝ 5 ，PB＝ 2 ，PC＝1，则∠BPC 的度数
为________；
A
D
P
B
C
图1
【答案】1．（1）135°； 【提示】如图，将△BPC 旋转至△BP'A，连结 PP'，证△AP'P 是直角三角形即可．
A
B
【答案】
（3）如图 6，作△AQC，使得 AQ＝ 1 AP，CQ＝ 1 BP，连结 PQ．
2
2
易证△ACB∽△AQP．
从而在△QPC 中，有∠QPC＝90°，PQ＝ 3 ，QC＝ 5 ，
2
2
∴PC＝2
A
Q P
B
C
图6
P
C 图3
例 2 如图，正方形 ABCD 外有一点 E，满足 ED＝EC，且∠DEA＝15°，求证：△DEC 为等边三 角形．
A
D
E
B
C
证明如图，过点 D 作 DF⊥DE，且 DF＝DE，连结 CF 交 AE 于点 G，连结 EF．
易证△ADE≌△CDF，
所以∠DFC＝∠DEA＝15°，
从而∠FGE＝∠FDE＝90°，∠GFE＝30°．
所以 GE＝ 1 EF＝ 2 DF＝ 2 CE，
2
2
2
所以∠GEC＝45°，∠DEC＝60°，
A
D
P' P
B
C
（2）如图 2，在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，PA＝2 13 ，PB＝4，PC＝2，则∠BPC 的度数
为________，正六边形 ABCDEF 的边长为________．
F
E
A
D
P
B
C
图2
【答案】（2）120°； 2 7
F
E
A G
P'
B
D P
C
2．（1）如图 1，在等边△ABC 中，AC＝7，点 P 在△ABC 内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°， 求△APC 的面积； （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，AE⊥BC，垂足为点 E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5， AD＝k·AB（k 为常数），求 BD 的长（用含 k 的式子表示）
Q
A
P B
Q
A
C
B
E
C
F D
A
B
C
图2
【答案】（2）如图 5，将△APC 绕点 A 顺时针旋转 60°，得到△AQB，连结 PQ． 易证△PAQ 是等边三角形． 从而在△PQB 中，有 PQ＝3，BQ＝4，PB＝5， 所以∠PQB＝90°，从而∠APC＝∠AQB＝30°．
P
A
Q
B
C
图5
（3）如图 3，若 AB＝2AC，点 P 在△ABC 内，且 PA＝ 3 ，PB＝5，∠APC＝120°，求 PC 的 长；
A
D
P P'
B
C
这类题目中不提旋转，而是通过旋转添加辅助线，从而解决问题．
例题讲解 例 1 已知：在△ABC 中，∠BAC＝60°． （1）如图 1，若 AB＝AC，点 P 在△ABC 内，且 PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求 PB 的长；
A
P
B
C
图1
【答案】解：（1）如图 4，将△APC 绕点 A 顺时针旋转 60°，得到△AQB，连结 PQ． 易证△PAQ 是等边三角形． 从而在△PQB 中，有∠PQB＝90°，PQ＝3，BQ＝4，
D
A A
P
B
C
B
E
C
图1
百度文库图2
（1）△APC 的面积为 7 3 ；
（2）BD＝ 16k 2 25 【提示】（1）如图，将△ABP 绕点 B 顺时针旋转 60°至△CBQ，连结 PQ．易证△PQC 为含 30 °的直角三角形．令 BP＝m，则 PQ＝m，从而 AP＝CQ＝ 3 m，PC＝2m，然后解 Rt△APC 即可． （2）如图，连结 AC，显然 AC＝AB，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转∠BAC 的度数至△ACQ，连接 DQ，则△ABC∽△ADQ，从而 DQ＝k·BC＝4k．作 AF⊥DQ 于点 F，则∠DAF＝∠BAE＝∠ADC， 所以 AF∥CD，即∠CDQ＝90°． 在 Rt△CDQ 中，由勾股定理可得 BD＝CQ＝ 16k 2 25
专题 13《“Y”形模型》
破解策略 当图形具有邻边相等的这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位
置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题． 因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换． （1）如图，等边△ABC 内有一点 P，连结 AP，BP，CP，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得
到△BP'A，则△BPP'是等边三角形；△APP'的形状由 AP，BP，CP 的长度决定．
A
P' P
B
C
（2）如图，正方形 ABCD 内有一点 P，连结 AP，BP，CP，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°得 到△BP'A，则△BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形状由 AP，BP，CP 的长度决定．