正弦、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
三角函数的正弦和余弦关系
三角函数的正弦和余弦关系三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理、工程等领域中都具有广泛的应用。
其中，正弦函数和余弦函数是最常见和基础的三角函数，它们之间存在着紧密的关系。
一、正弦和余弦的定义和性质正弦函数和余弦函数是定义在单位圆上的函数。
在单位圆上，以原点为中心作一个半径为1的圆，对于任意一点P(x,y)，该点到x轴的距离为x，到y轴的距离为y，这时角OPx的弧度就是点P的角度。
定义:对于单位圆上的任意一个点P(x, y)，它的角度为θ，则点P的正弦和余弦值分别定义为：sinθ = ycosθ = x性质:1. 在单位圆上，正弦值的取值范围在[-1, 1]之间，而余弦值的取值范围也在[-1, 1]之间。
2. 当角θ为0或2π的整数倍时，正弦值为0，余弦值为1。
当角θ为π的奇数倍时，正弦值为-1，余弦值为0。
3. 对于任意的角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1，这一关系被称为三角恒等式。
二、正弦和余弦的图像特点正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形图，其周期为2π。
正弦函数的图像是一条上下振荡的曲线，而余弦函数的图像则是一条左右偏移的曲线。
1. 正弦函数图像特点：正弦函数图像在θ = 0, π, 2π 等处过零点，即sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0。
在θ = π/2, 3π/2 等处达到最大值1，即sin(π/2) = 1, sin(3π/2) = 1。
在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即sin(π) = -1, sin(2π) = -1。
2. 余弦函数图像特点：余弦函数图像在θ = 0, 2π 等处达到最大值1，即cos(0) = 1, cos(2π) = 1。
在θ = π/2, 3π/2 等处过零点，即cos(π/2) = 0, cos(3π/2) = 0。
在θ = π, 2π 等处达到最小值-1，即cos(π) = -1, cos(2π) = -1。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦和余弦的图像和性质
y sin x, x [0, 2 ]的图象 作法: (1) 等分
(2) 作正弦线
问题：如何作出比较精确的正弦函数图象？ (3) 平移
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
(4) 连线
y
B
1
用光滑曲线将这些正弦线 的终点连结起来!
A
O1
O 2 5 7 4 3 5 11 22
2
(
,1)
(
2 ,1)
(
2
,1)
(
2
,1)
( 2( ,21),1) ( 2 ,1)
,0) 3
(
2
( ,0) 2
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32),1(33,)(212(3(323)2,21-,1,-),-1)-11)))
2 ,0) x
2 ,0)
解： x
3
0
2
2
2
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
y
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1
2
3
2
x
2
典型例题：
例1（2） 画出函数y= -cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx
1
0
-1 0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
y
1
y=-cosx，x[0, 2]
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中的基础函数，也是三角函数中最常见的函数之一。
这两个函数有许多重要的性质，其中包括它们的单调性。
正弦函数是以π/2为周期的函数，表示为y=sin x。
在每个周期内，正弦函数分别在
x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2等点上取得最大值1，同时在x=π/2、x=3π/2、x=5π/2、
x=7π/2等点上取得最小值-1。
在每个周期内，正弦函数是一个奇函数，即满足
sin(-x)=-sin(x)。
因为正弦函数在每个周期内都是周期性的，并且在一个周期内单调递增，所以可以得
到以下结论：
当0<x<π/2时，sin x单调递增。
综合以上结论，可以得到在[2kπ,2(k+1)π]区间内，当k是奇数时，sin x单调递减；当k是偶数时，sin x单调递增。
总结
正弦函数和余弦函数的单调性是学习三角函数的初学者必须掌握的基础知识。
在计算中，可以通过掌握正弦函数和余弦函数的单调性来简化计算，提高计算效率。
在实际应用中，也有很多场合需要用到正弦函数和余弦函数的单调性，比如在信号处理、音频处理、
图像处理等领域中。
因此，正确理解和运用正弦函数和余弦函数的单调性具有十分重要的
意义。
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
新知探究 ：
1、正弦函数的单调性 y
1
y
1
2
o
2
o
-1
-1
3
2
2
x x
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
新知探究：
1、正弦函数的单调性
y
-4 -3
-2
- 2
1
o
-1
2
2
3
4
5 6 x
x
2
…
0
…
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
y
正弦 函数 y=sinx的 图象
1-
-
-
-
o - 1-
2
4
6
x
对称中心：无数个
（kπ，0）,k∈Z
y
余 弦函 数 y =co sx的 图象
1-
-
-
-
o
复习回顾
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质【知识点分析】一、周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.知识点分析：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．三、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．知识点分析：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()x k k z πωϕπ+=±∈解出．知识点分析：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心． 【例题及练习】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数y =例2.求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域例3．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x（2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）cos 2cos 1x y x -=-．例4.求y=cos 2x+4sin x ―2的值域．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例5．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3f x a x b π=++（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间；（2）当[0,]4x π∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．例6。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是我们在高中数学中常见的两个三角函数，它们具有很多有趣的性质。
在这里，我们来讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
1. 正弦函数的单调性：
正弦函数表示为y = sin(x)，其中x是角度，y是对应的正弦值。
这个函数的定义域是所有实数，因此我们可以讨论它的单调性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当给定角度x时，sin(x)等于sin(x+2π)、
sin(x+4π)、sin(x+6π)等等。
这意味着对于任何给定的y值，我们可以找到无限个对应的角度x，使得sin(x)等于y。
所以，正弦函数是一种周期函数，它不具有单调性。
我们可以将正弦函数的定义域限制在一个周期内，例如[0, 2π]。
在这个区间上，正弦函数的单调性是可讨论的。
这个区间上，正弦函数是先增后减的，也就是说，当x在[0,π/2]时，sin(x)递增；当x在[π/2,π]时，sin(x)递减；当x在[π,3π/2]时，
sin(x)递增；当x在[3π/2,2π]时，sin(x)递减。
所以，在一个周期内，正弦函数是两个相邻极值点之间的区间里递增或递减的。
正弦函数和余弦函数分别在一个周期内具有先增后减和先减后增的单调性。
由于它们是周期函数，所以在整个定义域上它们并没有单调性。
高中数学 必修四 正弦函数、余弦函数的性质
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
3
B.x
C.x
2
12
y
D.x 0
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
解：经验证，当
x
12
时
2x
32
x
为对称轴
12
例题
▪ 求 y sin(2x ) 函数的对称轴和对称中心
3
解（1）令 z 2x
则
y sin(2x ) sin z
3
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
3
3
5
3
4k , 11
3
4k
,k
Z
增
▪ 求函数的单调增区间
为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来
y
sin
1 2
x
3
增
y
sin
1 2
x
3
增
sin( ) sin cos( ) cos
y sin z 增
y sin z 减
为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来
▪ 求函数的单调增区间
正弦函数的图象
正弦函数和余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。
正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。
正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。
2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。
3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。
2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。
正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。
2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。
3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。
就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。
正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。
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2k ,2 2k k Z 递增
2k , 2k k Z 递减
x 2k , k Z
x 2k , k Z
ymax 1
ymin 1
奇函数
偶函数
对称中心:k ,0, k Z
x k , k Z
对称轴：
2
对称中心:
k
2
,0 ,
k
Z
x k , k Z
对称轴：
课堂小结
2、新课程导学P66 3,4
,k
Z
函数y
3sin
2x最大值是-3.
因为有负 号，结论 要相反呀！
求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合， 并写出最大值、最小值各是多少。
（教材P39页例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
(1) sin( )与sin( )
18
10
(2) cos( 23 )与cos( 17 )
下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出它们取最大值、 最小值的自变量的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？
(1) y cosx 1, x R;
(2) y 2sin 3x, x R;
解：(1)使函数y cos x 1, x R取得最大值的x的集合， 就是使函数y cos x, x R
2
最小值：当x 2k , k Z时，有最小值y 1.
2
知识点二、余弦函数的对称性与奇偶性
y
y cos x的图像
1
3 5
2
2 3
2
2
O 1
2
3 2
2
5 3
2
x
单调性：
在区间 [ 2k , 2k ], k Z 上是增函数
在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数 最大值：当x 2k , k Z时，有最大值 y 1; 最小值：当x 2k , k Z时,有最小值y 1.
45
cos
4
cos
3 5
,即cos
17 4
cos
23 5
.
方法总结：利用三角函数的单调性比较两个
同名三角函数值的大小，先用诱导公式将已
知角化为同一单调区间内的角，再比较大小。
利用三角函数的单调性，比较下列各组数的的大小.
（教材P39页例5）
求函数
y
sin
1 2
x
3
,x的单2调 ,区2间 Nhomakorabea5
4
解：(1)Q - <- <- 0，
2 10 18
正弦函数y
sin
x在区间
-
2
,
0
上增函数，sin(
)
18
sin
10
.
(2)
cos
23 5
cos
23 5
cos 3 5
,
cos
17 4
cos
17 4
cos 4
,
Q 0 3 ,函数y cos x, x 0, 是减函数，
z
z
2
2k , k
Z .
由2x z 2k , k Z得x k , k Z
2
4
因此使得函数y 3sin 2x, x R取得最大值的x的集合
是
x
x
4
k ,
k
Z
函数y
3sin
2x最大值是3;
同理：函数y 3sin 2x, x R取得最小值的x的集合
是
x
x
4
k
知识点一、正弦函数的单调性与最值
y
y sin x的图像
1
3 5
2
2 3
2
2
O 1
2
3 2
2
5 3
2
x
单调性：在区间[ 2k , 2k ], k Z上是增函数；
2
2
在区间 [ 2k , 3 2k ], k Z上是减函数。
2
2
最大值： 当x 2k , k Z时，有最大值y 1;
(一)性质；
你的收获
......?
正、余函数的奇偶性、对称性、单调 性、最大值和最小值及简单应用。
(二)方法：
利用单调性比较大小；判断奇偶性的 方法；求与三角函数复合的函数的最 值与对称中心，对成轴．
(三)意识：
数形结合思想的意识,整体代换思想 的意识培养。
1、教材P46 习题 1.4 A组 4题、5题
1.4.2正弦函数余弦函数的性质（2） ----单调性、最值
函数 图像 定义域
y sin x
yy 1
0
1
2 xx
xR
y cosx
y
y 1
0
1
2 xx
x
xR
域值
y 1,1
y 1,1
奇偶性 对称性
奇函数
对称中心:k ,0, k Z
偶函数
对称中心:
k
2
,0 ,
k
Z
对称轴：x
k
2
,
k
Z
对称轴x： k , k Z
求函数
y
3sin
2的x 单4调 区间
函数 图像
单调性
最值 奇偶性 对称性
y sin x
yy 1
0
1
2 xx
y cosx
y
y 1
0
1
2 xx
x
2
2k
,
3 2
2k k Z
递减
2
2k
,
2
2k
k
Z
递增
x 2k , k Z
2 x 2k , k Z
2
ymax 1
ymin 1
取得最大值的x的集合x x 2k , k Z;
函数y cos x 1, x R的最大值是11 2；
取得最小值的x的集合 x x 2k +1 , k Z ，
函数y cos x 1, x R的最小值是-11 0.
(2) y 3sin 2x, x R;
(2)令Z 2x，使函数y 3sin z, z R取得最大值的z的集合是