23.1.3锐角三角函数课件
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锐角三角函数课件
$sin 30^circ = frac{1}{2}$
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
23.1.3+一般锐角的三角函数值课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
C )
A. cos 43°＞ cos 16°＞ sin 30°
B. cos 16°＞ sin 30°＞ cos 43°
C. cos 16°＞ cos 43°＞ sin 30°
D. cos 43°＞ sin 30°＞ cos 16°
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(填“＞”“＜”或
在Rt△ BCH 中，tan B ＝
°
＝
≈3.382，
−°
∴∠ B ≈73°32'.
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16. [2024·合肥长丰模拟]如图，已知∠ ABC 和射线 BD 上一
点 P (点 P 与点 B 不重合，且 PE ⊥ AB 于点 E ， PF ⊥ BC
( D
)
A. AB 和 CD
B. AB 和 EF
C. CD 和 GH
D. EF 和 GH
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锐角大小与三角函数值的大小之间的关系
8. 当角度在0°到90°之间变化时，其函数值随着角度的增大而
23.一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
B C = C D 4 .2 5 .9 (千 米 )， sin C BA sin 45
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直 角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔 尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡 顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组 算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF BF
50 2x 2x
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
归纳总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到 与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中 没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直 角三角形．
巩固练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
∠A=38°51′57″ ∠B=38°8″
B C = C D 4 .2 5 .9 (千 米 )， sin C BA sin 45
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直 角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔 尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡 顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组 算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF BF
50 2x 2x
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
归纳总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到 与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中 没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直 角三角形．
巩固练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
∠A=38°51′57″ ∠B=38°8″
《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
单击此处添加副标题内容
《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性，周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动，通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1，表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线，呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
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锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算，通常转化为同角三角函数的除法运算，再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算，注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质，如取值范围、增减性等，以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下，一些特殊角的三角函数值，如0°、30°、45°、60°、90°等，以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02
沪科版数学九年级上册 23.1 锐角三角函数 课件(共13张PPT)
(6) tan30°·tan60°＋ cos230°
本节课学习了什么内容？
三角函数 sina cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
拓展探究
求已知锐角的三角函数值：
21..求求csoint7603゜゜4552′′的41值″的.（值精. 确（到精0确.0到0001.）0001） 在先角用度如单下位方状法态将为角“度度单” 位的状情态况设下定:屏为幕“显度示”出
显示
按再下按列下列顺顺序序依依次次按按键键
由锐角三角函数值求锐角:
已知tan x=0.7410,求锐角 x.（精确到1′） 在角度单位状态为“度” 的情况下（屏幕显示 出 ），按下列顺序 依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：
24.2锐角三角函数值
自学检测：
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数.用刻度
尺量出你所用的含30°的三角尺中，30°所对的
直角边与斜边的长，与同桌交流，看看这个常数
是什么.
B
sin30°=
对边 ＝1 Βιβλιοθήκη 边 2理由：30在直角三角形中，如果A一个锐角等于30°，C
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
若 tan 1 则α＝______3_0_°____；
3
若 cos 1 ,则α＝______4_5_°____．
2
2.根据下列条件，求出相应的锐角A：
(1) sin A 2 ; (2) cos A 3 0;
2
2
(3) tan(A 20) 1.
基础练习：
初中数学九年级上册23.1锐角的三角函数(第2课时) 30 45 60 角的三角函数值 课件
课堂 小结
• 本节课你有什么收获？
w 1、特殊角30°、45°、60°角的三个三 角函数值；
w 2、注意30°、60°角的函数值的区别； w 3、任意一个锐角的正（余）弦值，等于
它的余角的余（正）弦值。
独立 作业
布置作业
教材P122页习题第1题、第5题； 同步练习。
结束寄语
下课了!
• 在数学领域中,重视学习的过程比重视学习的结 果更为重要.
(2)已知sinB=√3/2,则锐角B=____;
(3)已知∠ A为锐角，cosA=1/2,则∠A=____；
4 2si2n 300 co 26s00 2co 24s0.5
2
w老师期望:只要勇敢地走向黑板来展示自己,就是 英雄!
回顾与思考
互余两角之间的三角函数关系
w直角三角形两锐角互余:∠A+∠B=900.
w(4)sin450,sin600等于多少?
w(5)cos450,cos600等于多少? w(6)tan450,tan600等于多少?
30022ຫໍສະໝຸດ 45013
450 ┌ 600 ┌
w老师期望:
1
1
w你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的
功能来个重新认识和评价.
w根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
w一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦
B
(或一个锐角的余弦等于它的余角的正弦);
c
sin A a , cos A b ,
c
c
A
sin B b , cos B a ,
c
c
a
┌
b
C
回顾与思考
互余两角之间的三角函数关系
沪科版九年级数学上册课件：23.1.1.3一般锐角的三角函数值
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 13．求锐角 45°的正切值，先按键 tan ，再依次按键 4 ， 5 ， D·M′S ，再按键 ＝ ，就可得到值为___1_． 14．cos27°51′≈__0_._8_8_4__2__；tan56°17′35″≈__1_.4__9_9_0__； sin75°31′12″≈___0_.9_6_8__2__．
(1)sin42.6°； 解：0.6769
(2)cos25°18′； 解：0.9041
(3)2tan46°23′；
(4)sin15°＋cos49°.
解：2.0990
解：0.9149
17．(6 分)利用计算器求出下列各式中的锐角∠A.(精确到秒) (1)sinA＝0.964 0; (2)cosA＝0.291 0.
B．sin28°<cos28°<tan28°
C．cos28°<tan28°<sin28°
D．cos28°<sin28°<tan28°
12．已知 tanα＝6.866，用计算器求锐角α(精确到 1″)，按键顺 序正确的是( D )
A. tan 6 · 8 6 6 ＝ 2ndF B. 2ndF tan 6 ·8 6 6 ＝ 2ndF D·M′S C. tan 2ndF 6 ·8 6 6 ＝ D. 2ndF tan－1 6 · 8 6 6 ＝ 2ndF D·M′S
4．(4分)用计算器计算sin28°36′的值(保留四个有效数字)是( )A A．0.478 7 B．0.478 6 C．0.469 6 D．0.469 5
用计算器求锐角的度数 5．(4 分)已知 tanθ＝0.3249，则锐角θ约为___1_8_°__． (精确到度) 6．(4 分)已知 tanA＝0.5234，求锐角 A 的度数时按键顺序正确的 是( C ) A. tan－1 0 · 5 2 3 4 ＝ B. 0 ·5 2 3 4 ＝ 2ndf tan－1 C. 2ndf tan－1 0 ·5 2 3 4 ＝ D. tan－1 2ndf · 5 2 3 4
沪科版九年级数学 23.1 锐角的三角函数(学习、上课课件)
感悟新知
知2－练
2-1.河堤横断面如图，堤高 BC ＝ 6 米， 迎水坡 AB 的坡比为 1 ∶ 3，则 AB 的长为( D )
A.12 米
B.4 3米
C.5 3米 D.6 10米
感悟新知
知识点 3 正弦、余弦
知3－讲
名称
定义
数学语言
在Rt△ABC 中，我 在Rt△ABC
们把锐角A的对边与 中，∠C＝
感悟新知
(1)试比较斜坡AB和CD哪个更陡； 解：如图23.1-3，过点C作CF⊥AD，垂足为F， 则CF＝4 m. 在Rt△CFD中，根据勾股定理，得 FD＝ CD2－CF2＝ 52－42＝3(m)，
知2－练
∴ tan D＝FCDF＝43. ∵ tan A＝13， ∴ tan D ＞ tan A. ∴斜坡CD更陡.
感悟新知
知1－练
1-1. [ 期末·安庆潜山市 ] 如图，在边长为1 个单位的 正方形网格中， 若连接格点 AB，CD， AB 与 CD 交于点O，则 tan ∠ AOD 的值为( D )
A.1
B. 5
C. 3
D.2
感悟新知
知识点 2 坡度(坡比)与坡角
知2－讲
名称
定义
表示方法 关系
距离
坡面的铅直高度h
知3－练
解：设a＝5x，b＝12x，则c＝ a2＋b2＝13x， ∴ cos B＝ac＝153．
感悟新知
知3－练
3-1. [ 期末·合肥庐阳区 ] 如图， △ ABC的顶点都在正 3 10
方形网格纸的格点上， 则sin C= ____1_0____.
感悟新知
知识点 4 锐角三Байду номын сангаас函数
《锐角三角函数》ppt课件
28.1锐角三角函数
学习目标
1.进一步巩固一个锐角的正弦、余弦和正 切等三角函数的定义；
2.掌握30°、45°、60°角的各种三角函 数的值； 3.学会用计算器求一角的三角函数值；
4.感受数学与客观世界的联系，体验合作 交流探索数学的乐趣.
学前热身
定义
在Rt△ABC中
A的对边 a sinA 斜边 c A的邻边 b cosA 斜边 c A的对边 a tanA A的邻边 b
6 3
2 且 sin 45° 2
A
C
∠A 45°
应用举例
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半 径OB的 3 倍,求α.
AO 3 OB 解： tan 3 OB OB
A
且 tan 60° 3
60°
O
B
巩固训练
1.在Rt△ABC中,∠C＝90°, BC 7 , AC 21
A C
CD 1 1 且 sin A CD AC sin A 2 3 3 AC 2 2 AD 3 3 cos A AD AC cos A 2 3 3 AC 2 2 CD 3 2 CD 3 BD = 3 2 tan B tan B BD 2 3 3 AB AD BD 3 2 5 2
求∠A、∠B的度数．
BC 解： tan A AC
3 且 tan 30° 3 ∴ A=30°
B
7 3 3 21
7பைடு நூலகம்
A C
21
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
2. 如图，在△ABC中，∠A=30°， 巩固训练
学习目标
1.进一步巩固一个锐角的正弦、余弦和正 切等三角函数的定义；
2.掌握30°、45°、60°角的各种三角函 数的值； 3.学会用计算器求一角的三角函数值；
4.感受数学与客观世界的联系，体验合作 交流探索数学的乐趣.
学前热身
定义
在Rt△ABC中
A的对边 a sinA 斜边 c A的邻边 b cosA 斜边 c A的对边 a tanA A的邻边 b
6 3
2 且 sin 45° 2
A
C
∠A 45°
应用举例
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半 径OB的 3 倍,求α.
AO 3 OB 解： tan 3 OB OB
A
且 tan 60° 3
60°
O
B
巩固训练
1.在Rt△ABC中,∠C＝90°, BC 7 , AC 21
A C
CD 1 1 且 sin A CD AC sin A 2 3 3 AC 2 2 AD 3 3 cos A AD AC cos A 2 3 3 AC 2 2 CD 3 2 CD 3 BD = 3 2 tan B tan B BD 2 3 3 AB AD BD 3 2 5 2
求∠A、∠B的度数．
BC 解： tan A AC
3 且 tan 30° 3 ∴ A=30°
B
7 3 3 21
7பைடு நூலகம்
A C
21
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
2. 如图，在△ABC中，∠A=30°， 巩固训练
沪科版初中九年级数学上册23-1-3一般锐角的三角函数值课件
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.3 一般锐角的三角函数值
基础过关全练
知识点1 用计算器求一般锐角的三角函数值
1.求cos 9°的值,以下按键顺序正确的是 ( A )
A.cos 9 =
B.cos 2ndF 9 =
C.9 cos =
D.9 cos 2ndF =
解析 计算cos 9°时,先按cos,再按9,最后按=.故选A.
AB 5.5
∵60°<66.4°<75°,∴此时人能够安全使用这架梯子.
素养探究全练
13.(创新意识)(教材变式·P123T4) (1)用计算器计算并比较sin 25°+sin 46°与sin 71°之间的大小 关系; (2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sin α+sin β与sin(α+β)的大小关 系; (3)请借助如图所示的图形证明上述猜想.
知识点2 已知锐角的三角函数值求锐角的度数 7.已知cos A=0.559 2,运用科学计算器在开机状态下求锐角A 时,按下的第一个键是(M9123003)( A ) A.2ndF B.cos C.ab/c D.D·M'S
解析 根据锐角三角函数值求角度时,应先按2ndF键,故选A.
8.已知sin A=0.56,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确 的是(M9123003)( A ) A.2ndF sin-1 0 ·5 6 = B.2ndF 0 ·5 6 sin-1 = C.sin-1 2ndF 0 ·5 6 = D.sin-1 0 ·5 6 2ndF =
6.(1)猜想下列两组数值的关系. 2sin 30°·cos 30°与sin 60°; 2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°; (2)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是 否成立. (3)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.
23.1 锐角的三角函数
23.1.3 一般锐角的三角函数值
基础过关全练
知识点1 用计算器求一般锐角的三角函数值
1.求cos 9°的值,以下按键顺序正确的是 ( A )
A.cos 9 =
B.cos 2ndF 9 =
C.9 cos =
D.9 cos 2ndF =
解析 计算cos 9°时,先按cos,再按9,最后按=.故选A.
AB 5.5
∵60°<66.4°<75°,∴此时人能够安全使用这架梯子.
素养探究全练
13.(创新意识)(教材变式·P123T4) (1)用计算器计算并比较sin 25°+sin 46°与sin 71°之间的大小 关系; (2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sin α+sin β与sin(α+β)的大小关 系; (3)请借助如图所示的图形证明上述猜想.
知识点2 已知锐角的三角函数值求锐角的度数 7.已知cos A=0.559 2,运用科学计算器在开机状态下求锐角A 时,按下的第一个键是(M9123003)( A ) A.2ndF B.cos C.ab/c D.D·M'S
解析 根据锐角三角函数值求角度时,应先按2ndF键,故选A.
8.已知sin A=0.56,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确 的是(M9123003)( A ) A.2ndF sin-1 0 ·5 6 = B.2ndF 0 ·5 6 sin-1 = C.sin-1 2ndF 0 ·5 6 = D.sin-1 0 ·5 6 2ndF =
6.(1)猜想下列两组数值的关系. 2sin 30°·cos 30°与sin 60°; 2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°; (2)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是 否成立. (3)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.
《锐角三角函数》PPT教学课件(第2课时)
1
∠ 的对边 ＝
＝ .
2
斜边
A
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管.
C
知识讲解
1.正弦
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比
A
BC
AB
，你能得出什么结论？
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，不管这个直角三角形的大小如何，这
数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦
、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且在直角
三角形中sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角
切比3，分子根号别忘添.
30°，45°，60°角的正切值可以看成是 3， 9 ， 27.
当A、B为锐角时，
若A≠B，则
sinA≠sinB，
cosA≠cosB，
tanA≠tanB.
知识讲解
注意
1.从函数角度理解∠A的锐角三角函数：把∠A看成自
变量，其取值范围是0°<∠A<90°，sinA，cosA，
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,
那么∠ A 的对边与斜边的比、邻
边与斜边的比都是一个定值.
B
斜
边
A
∠A的邻边
∠A的对边
┌
C
知识讲解
归纳：
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜
边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
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a 3 3a 3
3a 3 sin 60 2a 2
cos 60
tan 60
a 1 2a 2
3a 3 a
60°
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
a sin 45 2a a cos 45 2a
2 2 2 2
45°
a tan 45 1 a
cos60 1 （ 3） 1 sin 60 tan30
解： （1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
1 3 1 2 2 2 3 1 2
3 3 3 1 2 3 2
3 1 3
2 3 1
cos 60o 1 (3) o 1 sin 60 tan 30o
活 动 1
两块三角尺中有几个不同的锐 角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值． 60° 30° 45° 45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝
2a
2
a 2 3a
a 1 2a 2
30°
sin 30
cos30
tan 30
3a 3 2a 2
例2 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
cos45 tan 45 （ 2） sin 45
解： （1） cos260°＋sin260°
3 1 2 2
2
2
cos45 tan 45 （ 2） sin 45 2 2 1 2 2
A 45
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的3 倍，求 a ．
解： （2）在图中，
A
O
B
AO 3OB tan a 3 OB OB
a 60
练习
1. 求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
(1)2sin30°－ 3cos60 °
(2)cos² 45°+tan60°· cos60° (3)
cos30°sin45°+tan45°· cos60° 1 4 化简： 3 2 sin 45 2
1 2005 0 5 计算： 2 sin 45 cos 60 （ 1 ） （ 1 2） 2
1 3 3 1 2 3
1 2
2 3 3
2
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC
求∠A、∠B的度数．
7 , 定理 A C
AB AC BC
2 2
21 7
2
21
2
28 2 7
sin A
BC 7 1 AB 2 7 2
复习：1.锐角三角函数的定义
B c A b a C
在 Rt ABC 中， C 90
∠A的正弦： s inA
A的 对 边 BC a 斜边 AB c A的 邻 边 AC b c os A ∠A的余弦 : 斜边 AB c
A的 正 切 ：tanA
A的 对 边 BC a A的 邻 边 AC b
O
●
2.5
将实际问 题数学化.
B ┌C D A
小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这 几类特殊角的三角函数值．
利用上述规律可以比较同名三角函数值的大小 例5 填空：比较大小
(1) tan3517
（2） cos 9
tan 1735
cos 10
sin 68 ° （3）
sin 82
例6 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度 为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600, 且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与 其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01m).
∴ A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
课外思考:
三角函数的单调性 : 观察特殊角的三角函数表，发现规律：
(1)当 0 90 时,α 的正弦值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小; (2)当 0 90 时, α的余弦值随着角度的增大而减小， 随着角度的减小而增大; (3)当 0 90 时,α 的正切值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小;
＝0
＝1
解简单的三角方程 例3.求适合下列各式的锐角α
3 ( 1) tanα 3
( 2) 2s inα1 0
2 co sα 1 (3 ) 1 2
例4 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB 6, BC 3
求∠A的度数．
，
6
A
B
3
C
解： （1）在图中，
BC 3 2 sin A AB 2 6
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 30° 三角函数 sin a cos a tan a
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
60°
3 2
2 2
1 2
1
3
老师提示: 利用特殊的三角函数值进行计算: 例1.计算:
Sin2600表示 (sin600)2,
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.
3a 3 sin 60 2a 2
cos 60
tan 60
a 1 2a 2
3a 3 a
60°
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
a sin 45 2a a cos 45 2a
2 2 2 2
45°
a tan 45 1 a
cos60 1 （ 3） 1 sin 60 tan30
解： （1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
1 3 1 2 2 2 3 1 2
3 3 3 1 2 3 2
3 1 3
2 3 1
cos 60o 1 (3) o 1 sin 60 tan 30o
活 动 1
两块三角尺中有几个不同的锐 角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值． 60° 30° 45° 45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝
2a
2
a 2 3a
a 1 2a 2
30°
sin 30
cos30
tan 30
3a 3 2a 2
例2 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
cos45 tan 45 （ 2） sin 45
解： （1） cos260°＋sin260°
3 1 2 2
2
2
cos45 tan 45 （ 2） sin 45 2 2 1 2 2
A 45
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的3 倍，求 a ．
解： （2）在图中，
A
O
B
AO 3OB tan a 3 OB OB
a 60
练习
1. 求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
(1)2sin30°－ 3cos60 °
(2)cos² 45°+tan60°· cos60° (3)
cos30°sin45°+tan45°· cos60° 1 4 化简： 3 2 sin 45 2
1 2005 0 5 计算： 2 sin 45 cos 60 （ 1 ） （ 1 2） 2
1 3 3 1 2 3
1 2
2 3 3
2
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC
求∠A、∠B的度数．
7 , 定理 A C
AB AC BC
2 2
21 7
2
21
2
28 2 7
sin A
BC 7 1 AB 2 7 2
复习：1.锐角三角函数的定义
B c A b a C
在 Rt ABC 中， C 90
∠A的正弦： s inA
A的 对 边 BC a 斜边 AB c A的 邻 边 AC b c os A ∠A的余弦 : 斜边 AB c
A的 正 切 ：tanA
A的 对 边 BC a A的 邻 边 AC b
O
●
2.5
将实际问 题数学化.
B ┌C D A
小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这 几类特殊角的三角函数值．
利用上述规律可以比较同名三角函数值的大小 例5 填空：比较大小
(1) tan3517
（2） cos 9
tan 1735
cos 10
sin 68 ° （3）
sin 82
例6 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度 为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600, 且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与 其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01m).
∴ A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
课外思考:
三角函数的单调性 : 观察特殊角的三角函数表，发现规律：
(1)当 0 90 时,α 的正弦值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小; (2)当 0 90 时, α的余弦值随着角度的增大而减小， 随着角度的减小而增大; (3)当 0 90 时,α 的正切值随着角度的增大而增大， 随着角度的减小而减小;
＝0
＝1
解简单的三角方程 例3.求适合下列各式的锐角α
3 ( 1) tanα 3
( 2) 2s inα1 0
2 co sα 1 (3 ) 1 2
例4 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB 6, BC 3
求∠A的度数．
，
6
A
B
3
C
解： （1）在图中，
BC 3 2 sin A AB 2 6
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 30° 三角函数 sin a cos a tan a
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
60°
3 2
2 2
1 2
1
3
老师提示: 利用特殊的三角函数值进行计算: 例1.计算:
Sin2600表示 (sin600)2,
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.