第10章 线性回归模型的自相关问题

O
dL
dU
4-dU 4-dL 4
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
Durbin-Watson d检验：判定规则
零假设 无正自相关 无正自相关 无正或负自相关 无负自相关 无负自相关
判断 拒绝 无法判断 接受 无法判断 拒绝
如果（条件）
0<d<dL dL<=d<=dU dU<d<4-dU 4-dU<=d<=4-dL 4-dL<d<4
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10.4 自相关的诊断－图形法
例10.1 美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)
E1=et, E11=et-1
e1=0.872613*e11 se=(0.071014)
t=(12.26511) p=(0.0000) R2 = 0.781227
回归模型存在着明显的 自相关性。
4. t检验和F检验不是可信的。
5. 计算得到的误差方差σ2＝RSS/d.f.（残差平方和/自由度） 是真实σ2的有偏估计量，并且很可能低估了真实的σ2。
6. 计算的R2也不能真实的反映实际R2。
7. 计算的预测方差和标准误差通常是无效的。
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10.4 自相关的诊断
如何知道回归方程存在自相关？ 由于无法知道误差方差σ2的真实值，因为真实的
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
Durbin-Watson d统计量可以用来诊断回归模型的自相关
n
(et et 1 )2
d t2 n
et2
t 1
(10.3)
即逐次残差的平方和与残差平方和的比值。D统计量的 样本容量为n－1。
注意：Durbin-Watson d检验量是诊断自相关常用的检验 工具，必须掌握。
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10.4 自相关的诊断－图形法
例10.1 美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)
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10.4 自相关的诊断－图形法
例10.1 美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)
从图形可以看 出残差具有明 显的系统特征， 即明显的变化 规律。
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dL
dU
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
例10.1 美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)
从回归模型的Durbin－Watson d检验量可得d＝0.213684， 根据D－W表，n＝44，k＝1，在5％显著性水平下，dL ＝1.475和dU＝1.566。由于d＝0.213684远低于下临界值 dL＝1.475。根据D－W判定规则，在工资－生产率回归 模型的残差中存在正的自相关。此与图形法得到的结论 一致。
是不适用的：
Yt B1 B2 * X t B3 *Yt 1 ut (10.7)
(10.7)中Yt－1是因变量Y的一期滞后值。形如(10.7)的回归方程 称为自回归模型(autoregressive models)——变量对其滞后一 期值的回归。
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
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10.6 自相关问题的解决－广义最小二乘法
Yt B1 B2 X t ut
(10.8)
ut * ut1 vt ,1 1
(10.6)
Yt 1 B1 B2 X t 1 ut 1
Yt 1 B1 B2 X t 1 ut 1
(10.9) (10.10)
Yt*
B* 1
B2
X
*
t
vt
其中，Yt* Yt Yt 1
X
* t
Xt
X t 1
B1* B1 (1 )
(10.12)
(10.12)式值得注意的是： （1）ρ相当于前期值的倍数。 （2）第一个观察值不存在前期值，因而失去一个观察值。为 了避免丢失这个观察值，可对第一个观察值做下列变换：
Y1* 1 2 (Y1)
3. 蛛网现象(the cobweb phenomenon)。一个变量对另一个变 量的反映不是同步的，时滞一定的时间。商品供给对价格 的反映：
St ＝ B1 ＋ B2*Pt-1 ＋ ut
(10.2)
4. 数据处理。在做季节因素的调整时，经常要做移动平均。 移动平均的处理可以消除季节波动的影响，但带来新的问 题则是产生了自相关。
尽管d检验应用的非常广泛，但是它具有一定的缺陷， 因为d落入某个范围，存在无法判断的情况。
Durbin-Watson d检验：判定规则
零假设
判断
如果（条件）
无正自相关 无正自相关 无负自相关 无负自相关 无正或负自相关
拒绝 无法判断
拒绝 无法判断
接受
0<d<dL dL<=d<=dU 4-dL<d<4 4-dU<=d<=4-dL dU<d<4-dU
判断 拒绝 无法判断 接受 无法判断 拒绝
如果（条件）
0<d<dL dL<=d<=dU dU<d<4-dU 4-dU<=d<=4-dL 4-dL<d<4
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
Durbin-Watson d检验：判定规则
Wages = 29.575+ 0.7006*Product se =(1.460515)(0.017122) t = (20.24968) (40.91818) p=(0.00000) (0.00000) F=1674.298 (0.00000) R2 = 0.975529
(10.2)
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120
110
100
WAGES
90
80
70
60
50 40
50
60
70 80 90 100 110 120 130 P ROD UC T
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10.4 自相关的诊断－图形法
将残差对时间作时序图（time-sequence plot）。 例10.1 美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)
－1和1之间。(10.6)称为马尔可夫一阶自回归过程(Markov
first-order autoregressive scheme),通常记为AR(1)过程。
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
d 统计量诊断自相关需要一定的假设条件，不是任意可用的： 4. 解释变量中不包含因变量的滞后值。该检验对下面的模型
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10.3 自相关产生的后果
1. 最小二乘估计量仍然是线性的和无偏的。
2. 最小二乘估计量不是有效的，即OLS估计量的方差不是最小 的，估计量不是最优线性无偏估计量(BLUE)。
3. OLS估计量的方差是有偏的。用来计算方差和OLS估计量标 准误的公式会严重的低估真实的方差和标准误，从而导致t值 变大，使得某个系数表面上显著不为零，但事实却相反。
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
Durbin-Watson d检验：判定规则
零假设 无正自相关 无正自相关 无正或负自相关 无负自相关 无负自相关
判断 拒绝 无法判断 接受 无法判断 拒绝
如果（条件）
0<d<dL dL<=d<=dU dU<d<4-dU 4-dU<=d<=4-dL 4-dL<d<4
点的回归模型的自相关问题。 2. 变量X是非随机变量，即在重复抽样中变量X的值是固定不
变的。 3. 扰动项ui的生成机制是：
ut * ut1 vt ,1 1
(10.6)
(10.6)表明t期的扰动项或误差项与t－1期值和一个纯随机项vt 有关。ρ度量了对前期值的依赖程度，称为自相关系数，介于
Yt Yt1 B1(1 ) B2 ( X t X t1) vt (10.11)
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10.6 自相关问题的解决－广义最小二乘法
ut * ut1 vt ,1 1
(10.6)
Yt*
B* 1
B2
X
*
t
vt
其中，Yt* Yt Yt 1
X
* t
Xt
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
n
(et et 1 )2
d t2 n
et2
t 1
d 2(1 ˆ ),0 d 4
Durbin-Watson d检验：判定规则
零假设 无正自相关 无正自相关 无正或负自相关 无负自相关 无负自相关
判断 拒绝 无法判断 接受 无法判断 拒绝
如果（条件）
0<d<dL dL<=d<=dU dU<d<4-dU 4-dU<=d<=4-dL 4-dL<d<4
O
dL
dU
4-dU 4-dL 4
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uj
不相关
无自相关的含义：意味着任一观察值的扰动项不受其它观 察值扰动项的影响。
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10.2 自相关产生的原因
1. 经济时间序列的惯性(inertia)或迟缓性(sluggishness)特征。
2. 模型适定误差。有些自相关并不是由于连续观察值之间相 关产生的，而是因为回归模型不是适定性的“好”模型。 “不好模型”有多种原因。
零假设 无正自相关 无正自相关 无正或负自相关 无负自相关 无负自相关
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0<d<dL dL<=d<=dU dU<d<4-dU 4-dU<=d<=4-dL 4-dL<d<4
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注意：下临界值dL与上临界值dU与观察值个数n和解释变量 的个数k有关。Durbin-Watson给出了1％和5％显著水平下 的D－W表。k最大可达20。
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零假设 无正自相关 无正自相关 无正或负自相关 无负自相关 无负自相关
X t 1
B1* B1 (1 )
(10.12)
对变换后的变量Y*和X*使用OLS法，得到的估计量具有BLUE 性质。对变化后的模型使用OLS得到的估计量称为广义最小二 乘（ GLS）。表达式(10.12)称为广义差分方程。
24源自文库
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10.6 自相关问题的解决－广义最小二乘法
(10.3) (10.4)
n
et et 1
ˆ
t2 n
,1 ˆ 1 (10.5)
et2
t 1
如果d接近0，则存在正相关；d接近4，则存在负相关；d
接近2，表示不存在相关。
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10.5 自相关的诊断－Durbin-Watson d检验法
d 统计量诊断自相关需要一定的假设条件，不是任意可用的： 1. 回归模型包括一个截距项。因此，d统计量无法判断通过原
X
* 1
1 2 (X1)
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(10.13)
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10.6 自相关问题的解决－广义最小二乘法
值得注意的是： （1）双变量模型可以推广到多变量模型。 （2）一阶自回归AR(1)可以推广到多阶自回归，例如 AR(2)和AR(3)等。方法一样，但计算量很大。 （3）广义最小二乘法的核心是估计乘子ρ的大小。
ui无法观察到的，与异方差一样，仅仅知道残差ei。
需要根据从OLS方法得到的ei判断是否存在自相关。 方法1：图形法 方法2：Dubin-Watson d检验法
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线性回归模型的自相关问题
程建华 2021年4月14日
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10.1 一元线性回归分析－回归的假定条件(无自相关)
假定5 无自相关假定，即两个误差项之间不相关。
Cov（ui,uj） = 0
(10.1)
ui
ui
ui
uj
正相关
uj
负相关