导数及其应用综合测试

导数及其应用综合测试

一、单选题

1．若函数在(0,1)内有极小值，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．（0,1）

【答案】A

【解析】∵函数在(0,1)内有极小值

∴在(0,1)内有零点，且，

∴，即

故选A

点睛：函数有极值等价于导函数有“变号零点”，即导函数有零点，且导函数在零点附近的值正负相反.

2．如果圆柱轴截面的周长为1，则体积的最大值为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设圆柱的底面半径为r，高为h．可得4r+2h=1，可得．圆柱体积

，再利用导数即可得出．

【详解】

设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则，

∴，，

则．

令，得或．

又，

∴是其唯一的极值点．

∴当时，V取得最大值，最大值为．

【点睛】

本题考查了圆柱的轴截面性质、体积计算公式、利用导数求函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．

设曲线在点P处的切线斜率为e，则点P的坐标为（）

A、(e,1)

B、(1,e)

C、(0,1)

D、

【答案】B

【解析】

4．已知函数为偶函数，当时，.若直线与曲线至少有两个交点，则实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】当时，，化为，当与，有两个公共点时，合题意，与相切时，

，合题意，当时，只需有根，与有交点，相切时，合题意，故的取值范围是，故答案为. 5．设函数,若,则的值为( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为函数,且，而

所以，所以，故选D。

6．已知函数f(x)是偶函数，在上导数>0恒成立，则下列不等式成立的是( ).

A.f(-3)

B.f(-1)

C.f(2)

D.f(2)

【答案】B

【解析】

试题分析：因为函数在上，所以函数在上为增函数；又因为为偶函数，所以，，所以，即.

考点：函数的奇偶性.

7．设函数是定义在R上周期为2的可导函数，若，且，则曲

线在点处切线方程是()

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为函数是定义在上周期为的可导函数，是定义在上周期为的函数，所以，，所以切点坐标为，切点斜率为，可得切线方程为，故选B.

8．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】试题分析：由可得即

令则当时,有,即在上单调递减.所以

.即不等式等价为

因为在上单调递减所以由,即得

,解得

考点：函数单调性和导数之间的关系,利用条件构造函数,解不等式．

9．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于( )

A．cos α＋sin x B．2sin α＋cos x

C．sin x D．cos x

【答案】C

【解析】

【分析】

由于sin α为常数，按照加法求导法则运算即可。

【详解】

函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．

所以f′(x)= sin x

故选C

【点睛】

本题主要考察导数运算法则，属于基础题。

10．由曲线和直线所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

试题分析：与的交点，第一部分面积为，第二部分面积为，所以面积，求导得

，得，结合单调性得时面积最小为

考点：定积分的几何意义计算及函数导数求最值

点评：定积分的几何意义：定积分的值等于围成的图

形的面积（图形在x轴上方）

11．在的切线中，斜率最小的切线方程为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，则当时，；因此曲线在处的切线斜率最小，又，则曲线在处的切线方程为，即，这就是在曲线

的切线中，斜率最小的切线方程．故选D．

12．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由定积分的几何意义知，区域内的曲线与轴的面积的代数和为

.

故选D.

二、填空题

13．若函数在处有极大值，则实数

【答案】6

【解析】略

14．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【解析】f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.

∴f(x)在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．∴要使

f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.

15．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最大，则其高应为____________.

【答案】

【解析】设圆锥底面半径为r，高为，则，，圆锥体积一天，令得，当时，；时，

时，V最大，当应填

16．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．

【答案】(－1,11)

【解析】f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)＜0，得－1＜x＜11，所以单调减区间为(－1,11)．

三、解答题

17．已知函数，其导函数为，且.

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程