2019-2020学年山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二下学期期中数学(文)试题(解析版)

【详解】
由题,利用反证法,则需假设“自然数 都不是偶数”,即“自然数 都是奇数”
故选：A
【点睛】
本题考查反证法的应用,属于基础题
7．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的 .”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )
【答案】①②
【解析】试题分析：①由函数 的导函数 的图像知，函数 的极大值点为 ， ，所以①正确；
②因为在 上的导函数为负，所以函数 在 上是减函数，所以②正确；
③由表中数据可得当 或 时，函数取最大值2，若 时，函数 的最大值是2，那么 ，故 的最大值为5，即③错误；
④由 知，因为极小值 未知，所以无法判断函数 有几个零点，故④不正确.
2．设复数z满足 ，则 =
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由 得 ，所以 ，故选C.
【考点】复数的运算，共轭复数
【名师点睛】复数 的共轭复数是 ，据此先化简再计算即可.
3．极坐标系中，圆 上的点到直线 的距离最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 ，即可求出最大值.
20．椭圆 过点 ，离心率为 ，左右焦点分别为 ，过点 的直线 交椭圆于 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）当 的面积为 时，求直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）由已知条件推导出 ，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知F1（-1，0），①当l的倾斜角是 时， ,不合题意；当l的倾斜角不是 时，设l的方程为 ，由 消去y得： ，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．
（2）假设服药和患病没有关系，则 的观测值应该很小，
而
由独立性检验临界值表可以得出，由97.5%的把握药物有效；
点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式 计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
【详解】
已知双曲线 的右焦点为 ，
若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，
，离心率 ，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
10．已知函数 满足 ，且 的导函数 ，则 的解集为（ ）
A． B． 或
C． D．
【详解】
如图所示，过点 作 准线 ，垂足为 ，
则 ，
当且仅当 、 、 三点共线时，
取得最小值 .
故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.
12．函数 在点 处的切线斜率为 ，则 的最小值是（）
A．10B．9C．8D．
【答案】B
【解析】对函数求导可得， 根据导数的几何意义， ，即
14．函数 的单调减区间为___________.
【答案】
【解析】首先求出函数的定义域为 ，再求出 ，令 ，解不等式即可求解.
【详解】
函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，即 ，解不等式可得 ，
所以函数的单调递减区间为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.
【解析】先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解.
【详解】
由题得
故答案为C.
【点睛】
(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求点的极坐标一般用公式 ,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式 求解.（3）本题容易漏掉 .
（1）根据所给样本数据完成 列联表中的数据；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
(参考公式： 独立性检验临界值表
概率
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
患病
不患病
合计
A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元
【答案】B
【解析】【详解】试题分析： ，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程 中的 为9.4，
∴42=9．4×3．5+a，
∴ =9．1，
∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，
∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5
【答案】D
【解析】设 ，则函数的 的导数 的导函数 ，则函数 单调递减， ，则不等式 ，等价为 ，即 ，则 ，即 的解集 ，故选D.
11．已知定点 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，则 的最小值为( )
A．5B．4.5C．3.5D．不能确定
【答案】C
【解析】过点 作 准线 ，垂足为 ，根据抛物线的定义可知 ，当且仅当 、 、 三点共线时， 的最小值为 .
【详解】
（1）将直线 代入抛物线的方程 ，消去 可得：
，
设 ， ，则 ， ，
，
即有 ，则 ， .
（2）当 时，，由（1）可得： ， ，
代入直线方程可得： ， ， ， ，
， ，
.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到垂直关系的证明、三角形面积的求解问题；证明垂直关系的常用方法是将问题转化为平面向量数量积的运算，结合韦达定理推导出结果.
9．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）
A． B．(1,2),C． D．
【答案】A
【解析】若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
综上所述，正确命题的个数为2.
【考点】利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用.
三、解答题
17．在直角坐标系 中，圆 的方程为 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 与圆 交于点 ，求线段 的长.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】试题分析：（1）由 ，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程 代入，得到 ，所以 .
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的 ．
证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4× S•r= •S•h，r= h．
（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）
【答案】A
【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行 ，第二次运行 ，第三次运行 ，第四次运行 ，输出 ，所以判断框内为 ，故选C.
【考点】程序框图.
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用 （万元）
4
2
3
5
销售额 （万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
22．已知函数 .
（1）求函数 的的单调区间；
（2）若 恒成立，试确定实数 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 单调递增区间是 ，当 时， 单调递增是 ，单调递减区间是 ；（2） ．
【解析】
（1）函数 的定义域为 ，分 和 两种情况分类讨论，即可求解函数的单调性；
（2）由（1）知 时， 不成立，故 ，又由（1）知 的最大值为 ，只需 即可，即可求解 .
试题解析：
（1） 可化为 ，
故其极坐标方程为 .
（2）将 代入 ，
得 ，
∴ ， ，∴ .
18．在直角坐标系 中，直线 ，圆 ,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积．
【答案】(1) , ；(2) ．
【解析】试题分析：（1）将 代入 的直角坐标方程，化简得 ， ；（2）将 代入 ，得 得 ，所以 ，进而求得面积为 .
2019-2020学年山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二下学期期中数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先求出集合 ，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】
由 ， ，
则 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.
【详解】
（1）椭圆 过点
离心率为
又 ,解 得
椭圆C的方程 .
（2）由（1）知 ，①当l的倾斜角是 时，l的方程为 ，
交点 ，此时 ,不合题意；
②当l的倾斜角不是 时，设l的斜率为k,则其直线方程为 ，
由 消去y得： ，
设 ，则 ，
，
又已知 ,
解得 ，
故直线l的方程为 ，
即 或 ．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．
服药
没服药
合计
【答案】(1)
患病
不患病
合计
服药
10
45
55
没服药
20
30
50
合计
30
75
105
(2)97.5%.
【解析】分析：(1)由所给数据可得服药但没有病的 人，没有服药且患病的 ，从而可得到 联表；（2）利用公式 求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.
详解：(1)解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列 联表
= =( )· )= +5≥2 +5=4+5=9，当且仅当 即 时，取等号.所以 的最小值是9.
故百度文库B.
点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件
二、填空题
13．若复数 是纯虚数，则实数 的值为___________
【答案】1
【解析】∵复数 是纯虚数，则 ，解得 ，故答案为 .
15．已知 是双曲线 两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积为__________．
【答案】
【解析】根据双曲线焦点三角形面积公式可知， .
点睛：双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点 与两焦点距离的绝对值 （其中 ）与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形的问题.灵活运用双曲线定义进行解题，注意知识点间的联系，考查学生的综合运用能力.
试题解析：
（1）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，
的极坐标方程为
（2）将 代入
得 得 ，所以
因为 的半径为1，则 的面积为
【考点】坐标系与参数方程.
19．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了 105 个样本，统计结果为：服药的共有 55 个样本，服药但患病的仍有 10 个样本，没有服药且未患病的有 30个样本.
21．已知顶点为 的抛物线 与直线 相交于不同的 ， 两点.
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，通过验证 可证得结论；
（2）根据（1）中韦达定理的结论可计算求得 坐标，进而得到 ，根据三角形面积公式可计算求得结果.
【详解】
与 化为普通方程：
， ，
圆心 到直线 的距离 ，
因此圆 上的点到直线 的距离最大值为 .
故选：B
【点睛】
本题考查了极坐标化为普通方程、点到直线的距离、圆上的点到直线距离的最值问题，属于基础题.
4．
某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为
A．k＞4?B．k＞5?
C．k＞6?D．k＞7?
【考点】线性回归方程
6．用反证法证明命题时，对结论：“自然数 ， ， 中至少有一个是偶数”正确的假设为（ ）
A． ， ， 都是奇数B． ， ， 都是偶数
C． ， ， 中至少有两个偶数D． ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】A
【解析】反证法需假设原命题不成立,即自然数 都不是偶数,即可判断选项
16．已知函数 的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表， 的导函数 的图象如图所示，下列关于 的命题：
-1
0
4
5
1
2
2
1
①函数 的极大值点为0,4；
②函数 在[0,2]上是减函数；
③如果当 时， 的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1<a<2时，函数 有4个零点.
其中正确命题的序号是__________．
故选B．
点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的 ，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）．
8．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1
【答案】C