2014汤家凤线性代数辅导讲义

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文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义

主讲:汤家凤

第一讲 行列式

一、基本概念

定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数,若j i >,则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列,该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数,记为)(21n i i i τ,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nn

n n n

n

a a a a a a a a a D 21

2222111211

=

称为n 阶行列式,规定

n n

n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)

()1(∑-=

τ

定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn

n n n

n

a a a a a a a a a D 21

22221112

11

=

中元素ij a 所在的i 行元

素和j 列元素去掉,剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式,称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称ij j

i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式

1、对角行列式—形如

n

a a a

000

0021

称为对角行列式,

n n a a a a a a 2121

00

00

0=。

2、上(下)三角行列式—称

nn

n n a a a a a a 00

022211211及

nn

n n a a a a a a

21

222111

0为上(下)三角行

列式,

nn nn

n

n a a a a a a a a a

221122211211

00

0=,

nn nn

n n a a a a a a a a a

221121222111

0=。

3、

||||B A B

O O A ⋅=,

||||B A B

O C A ⋅=,

||||B A B

C

O A ⋅=。

4、范得蒙行列式—形如1121

121211

11

),,,(---=

n n

n n n

n a a a a a a a a a V

称为n 阶范得蒙行列式,且

n

i j j i n n

n n n

n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==

11121

12

121)(1

11

),,,(。 【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。 三、行列式的计算性质

(一)把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等,即T

D D =。 2、对调两行(或列)行列式改变符号。

3、行列式某行(或列)有公因子可以提取到行列式的外面。 推论1行列式某行(或列)元素全为零,则该行列式为零。 推论2行列式某两行(或列)相同,行列式为零。

推论3行列式某两行(或列)元素对应成比例,行列式为零。

4、行列式的某行(或列)的每个元素皆为两数之和时,行列式可分解为两个行列式,即

nn

n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a

2

121112112

121112

11212

21

111211

+=+++。

5、行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列),行列式不变,即

nn

n n jn j j jn

in j i j i n nn

n n jn j j in

i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a

2

1

21

221

11121121212111211+++=,其中k 为任意常数。

【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ,

21|,3,,|||321==γγγβB ,求||B A +。

【例题2】用行列式性质1~5计算842321

123

-。

【例题3】计算行列式2

1

6

4

7

2954

1732

1

5

2

-----=D 。

【例题4】计算n

n a a a a D ++++=11

111111

11

111

111321 ,其中)1(0n i a i ≤≤≠。 (二)行列式降阶的性质

6、行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和,即

),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=, ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。

7、行列式的某行(或列)元素与另一行(或列)元素的代数余子式之积的和为零。

【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算8

42321

1

23

-。

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