2014汤家凤线性代数辅导讲义
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文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义
主讲:汤家凤
第一讲 行列式
一、基本概念
定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数,若j i >,则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列,该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数,记为)(21n i i i τ,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nn
n n n
n
a a a a a a a a a D 21
2222111211
=
称为n 阶行列式,规定
n n
n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)
()1(∑-=
τ
。
定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D 21
22221112
11
=
中元素ij a 所在的i 行元
素和j 列元素去掉,剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式,称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称ij j
i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式
1、对角行列式—形如
n
a a a
000
0021
称为对角行列式,
n n a a a a a a 2121
00
00
0=。
2、上(下)三角行列式—称
nn
n n a a a a a a 00
022211211及
nn
n n a a a a a a
21
222111
0为上(下)三角行
列式,
nn nn
n
n a a a a a a a a a
221122211211
00
0=,
nn nn
n n a a a a a a a a a
221121222111
0=。
3、
||||B A B
O O A ⋅=,
||||B A B
O C A ⋅=,
||||B A B
C
O A ⋅=。
4、范得蒙行列式—形如1121
121211
11
),,,(---=
n n
n n n
n a a a a a a a a a V
称为n 阶范得蒙行列式,且
n
i j j i n n
n n n
n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==
11121
12
121)(1
11
),,,(。 【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。 三、行列式的计算性质
(一)把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等,即T
D D =。 2、对调两行(或列)行列式改变符号。
3、行列式某行(或列)有公因子可以提取到行列式的外面。 推论1行列式某行(或列)元素全为零,则该行列式为零。 推论2行列式某两行(或列)相同,行列式为零。
推论3行列式某两行(或列)元素对应成比例,行列式为零。
4、行列式的某行(或列)的每个元素皆为两数之和时,行列式可分解为两个行列式,即
nn
n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a
2
121112112
121112
11212
21
111211
+=+++。
5、行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列),行列式不变,即
nn
n n jn j j jn
in j i j i n nn
n n jn j j in
i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a
2
1
21
221
11121121212111211+++=,其中k 为任意常数。
【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ,
21|,3,,|||321==γγγβB ,求||B A +。
【例题2】用行列式性质1~5计算842321
123
-。
【例题3】计算行列式2
1
6
4
7
2954
1732
1
5
2
-----=D 。
【例题4】计算n
n a a a a D ++++=11
111111
11
111
111321 ,其中)1(0n i a i ≤≤≠。 (二)行列式降阶的性质
6、行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和,即
),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=, ),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。
7、行列式的某行(或列)元素与另一行(或列)元素的代数余子式之积的和为零。
【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算8
42321
1
23
-。