寻根溯源理解乘法分配律本质

寻根溯源 理解乘法分配律本质

内容摘要: "乘法分配律"历来是教学难点，学生理解困难，教师教学也苦于方法单一，许多老师都在教法上下很大功夫，但收效似乎并不理想。究其原因，还是停留在表面形式上，而没有从根本上理解乘法分配律。我认为乘法分配律的核心本质是乘法的意义，教师只有让学生从乘法意义的角度理解乘法分配律，这样才能避免形式上的机械模仿而形成思维定势，养成计算时既要观察数字特点，考虑运算技巧，又要理解算理，充分考虑计算的合理性，合理灵活的进行计算。

主 题 词：乘法分配律 本质 乘法意义

正文：
乘法分配律历来是教学难点，学生理解困难，教师教学也苦于方法单一，许多老师都在教法上下很大功夫，但收效并不理想，老师想尽各种办法，但学生仍然错误百出，有些当时记忆深刻，照猫画虎。但过后忘记，做题还是有困难，究其原因，还是停留在表面形式上，而没有从根本上理解乘法分配律，遇到形式不同的题目就不知如何下手了。乘法分配律究其本质还是理解乘法意义，从理解乘法意义上理解乘法分配律还可以避免形式上的机械模仿而形成思维定势，在进行不同题目，不同形式的综合练习时，能凸显"计算有法，但无定法，有理可循"的数学思想，理解算法多样化的内涵，把优化计算策略进行计算变成自己的计算习惯，成为一种自觉行为，养成计算时既要观察数字特点，考虑运算技巧，又要理解算理，充分考虑计算的合理性，灵活巧妙的进行计算。
基于这种情况，我决定在我所教的班级先进行一次教学前测，了解学生在学习乘法分配律之前的知识经验。然后根据学生前测情况，上一节前测分析课，重点从乘法意义上理解算式意义，对乘法分配律有一个前期渗透，然后再上乘法分配律这节课，系统学习乘法分配律，最后检查学习效果。
一、前期测查，掌握学生已有知识经验
前测题，我首先设计三道从不同角度解决问题的应用题，目的是实现解题方法的渗透，为学生解决下面的计算题做铺垫。接着在设计几道特殊数据的计算题，考查学生的前期情况。
附：前测题
（一）用两种方法解答下面各题：
1、运动衫每件15元，运动裤每条12元。学校买运动衫裤5套，一共要多少元？
2、一共有25个小组参加植树活动,每组里4人负责挖坑、种树,2人负责抬水、浇树。参加植树活动的一共有多少人?
3、每件夹克衫38元，每条裤子22元。买5件夹克衫比5条裤子贵多少元？
（二）计算：
104×25 99×32 125×88
25×41 75

×98+75 ×2 27×18－27×8
14×99+14 55×21-55 （40＋4）×25
前测分析：
（一）应用题两种方法问题不大，学生基本能正确解答。
（二）计算题问题较大。
1、直接计算的学生居多，大部分学生用竖式或脱式计算。
2、有一部分孩子受结合律影响，104×25=26×（4×25）=26×100=2600、99×32=11×（9×32）
3、上过数学兴趣班的学生会用乘法分配律计算，并能说明道理。
25×41 99×32
14×99+14 55×21-55，
但上面两组题目学生对于下式比上式理解的要好。
4、只有个别学生能发现题目特点，从乘法意义上考虑问题，如：14×99+14=14×100=1400，能说明99个14加1个14是100个14，是1400。
5、还有一部分学生不善思考，没有道理，方法错误。
前测后思考：学生用两种方法解决实际问题没有什么困难，但并没有把计算方法迁移到下边要做的计算题中，学生还是就题论题，而且在计算时并没有关注到题目数据的特点，自觉地想到乘法意义进行计算，还是根据已有经验，运用竖式或脱式进行计算，说明学生的已有知识经验和认知水平与老师的想法有很大差距，在学习乘法分配律之前有必要把要学习的新知识和理解新知识的关键--乘法意义进行沟通，帮助学生更好的突破乘法分配律这个难点。因此我上了一节前测分析课。
二、对比教学，把握学生现实状况
乘法分配律前测分析课片断：
由题引入：
1、75×98+75 ×2 2、25×41 3、14×99+14 4、104×25
5、27×18－27×8 6、55×21-55 7、（40＋4）×25
观察这几道题，你除了能用常规的方法计算外，仔细观察每个算式数据的特点，你有什么想法？
学生没有反应。可能是没明白老师是什么意思。
我又进一步启发：对哪道题有想法都可以说。任意选择一道你喜欢的题目，根据乘法的意义说说你对这道题的理解。一个平时学习有困难的学生"肖"在下边小声嘟哝一句:要是25×40就好算了。我立刻抓住这句话，让这个同学说一说想法。他有些胆怯的说："要是25×40就好算了，可它多了1。"我立刻抓住他这句话："多一个什么？是1吗？"学生说："应该是一个25，因为25×40是40个25，乘41应该是41个25。"那怎么办呢？学生很容易想到40个25是1000，再加一个25就得1025。我抓住这个好的开始，及时鼓励学生："肖给大家开了个好头，他能根据乘法的意义理解25×41，口算出正确答案，他非常会思考，大家向他学习。"学生情绪高涨，又有许多学生跃跃欲试。纷纷根据乘法的意义理解每个算式的意义，说出了简便计算的方法。我又

出示了99×32这道题，"你怎样理解这道题？"和55×21-55比较，学生基本能理解100个32减1个32。
接着出示125×88，有几种方法解决？并说说你的根据。生：我以前会用竖式计算这道题，还会用乘法结合律计算这道题，（125×8）×11=1000×11=11000.现在我又多会了一种方法：88个125就等于125×80＋125×8=10000＋1000=11000。我借机让这个学生把竖式板书出来，和乘法分配律比较，沟通了用竖式计算和用乘法分配律之间的关系，加深了学生对乘法分配律算理的理解。
1 2 5
× 8 8
1 0 0 0 125×8
1 0 0 0 125×80
1 1 0 0 0 125×80＋125×8
对于（40＋4）×25你是怎样理解的？学生比较容易地说出（40+4）个25就等于40个25加4个25。你认为这道题和40＋4×25有什么区别？学生基本能说出40个25和40的区别。为后续学习打下了基础。还有的学生写成44×25运用乘法结合律解决了这个问题。
这些都是前测试卷上的题目，做前测题时很少有学生想到这些方法，通过大家交流，教师适时点拨，学生就能根据乘法意义理解算理，再让学生重新做这些题目只有极个别学生有问题，大部分学生都能正确简算。
整节课我没有出现乘法分配律这个概念，但学生却能够通过对乘法意义的理解，比较深刻的理解了乘法分配律的本质，而且是从我们平时学习乘法分配律最容易出错的题目入手，如25×41、14×99+14、104×25这些题目。有了这些基础，我再按常规的方法上了一节乘法分配律的课，由实际问题发现规律，总结定律，专项和变式巩固定律，那些还有些困惑的学生就有了茅塞顿开的感觉，前测分析课帮助他们理解乘法分配律的道理起了很大的推动作用。
对于64×64+64×36=(64+36)×64这样一题判断是否运用乘法分配律，上完前测分析课后判断这道题时大部分孩子都能坚决肯定，理由是： 64个64加36个64是100个64，也就是（64+36）个64，他们能自觉地从乘法意义上理解这个算式的意义，说明学生从根本上理解了乘法分配律的含义，并能加以运用。还有一部分孩子不敢肯定对错，但是他们发现右边用乘法分配律分别相乘再相加正好得到左边算式。说明这些孩子能够反向思维，由右边推到左边，但还是停留在外在形式上。
实践证明，把乘法分配律的学习还原到乘法意义这个最本质、最基础的知识当中，非常有利于学生对所学新知识的本质的理解，能提高学生分析问题和解决问题的能力。
单就乘法分配律这一单一知识点来说这样上课效果明显，但加法和乘法运算定律混合练习就错误百出，我认为是学生思维定势的干扰。如，25×（11×4）

和25×11×25×4这两道题，一部分学生认为相等，一部分学生不敢肯定，有些疑惑，还有一部分学生认为不相等。我在课上充分让学生对比分析，说理由，虽然学生说得头头是道，从形式上和道理上都一致认为后式是前式的25倍，不能相等，但实际练习时仍有一部分学生写等号，和25×（11+4）和25×11+25×4混淆，学生对于形式上相似而实质不同的算式分辨不清，这和小学生的年龄特点有直接关系，需要教师反复引导辨析，需要学生有细致辨别能力，教师要抓住学生错误不放，有针对性训练，往纵深发展，让他自己反省，教师只有准确把握错因，才能对"错"下药。在比较、辨析中理解乘法分配律和结合律，并能正确熟练应用。
三、训练跟进，在辨析中理解、把握本质。
根据学生出现的问题，我接着上了一节辨析练习课：
第一组：
25×11×4=（25×4）×11 乘法交换、结合律
25×（11×4）=（25×4）×11
25×（11＋4）=25×11+25×4 乘法分配律
意义辨析：25×（11×4）=25×44 44个25
25×（11＋4）=25×15 15个25
第二组：
35×201
35×200+35
35×（200+1）
这几道题形式不同。
意义比较：本质都一样，都是201个35；
过程比较：过程都是35×200+35×1；
结果比较：结果都一样。
和35×200＋1比较，体现本质的不同。
第三组：
265×105-265×5
265×105-265×4-265
265×105-265×8+265×3
265×（105-5）
重点是意义比较，本质相同，都是多少个265，从而理解乘法分配律的本质。
第四组：
125×81
125×79
抓住乘法意义，从熟悉的125×80入手，125×81=125×80+125×1=10000+125=10125；和125×80+1比较，两式相差多少？
125×79=125×80-125×1=10000-125=9875，和125×80-1比较。两式相差多少？
抓住学生的易错点，通过算式的意义比较、辨析，理解算理，正确计算。
第五组：
10×55＋10×55 10个55加10个55
20×55
20×50＋20×5 50个20加5个20
(5＋5)×75 5个75加5个75
75×5＋75×5
75×5×2 2个75×5
从不同角度理解算式意义，可以有不同的算法。
四、总结反思，达到师生双赢。
通过这样的教学，学生充分认识到运用乘法运算定律可以使计算简便，但要从乘法意义上去真正理解这些运算定律的道理所在，不能盲目追求表面形式。
通过教学乘法分配律，我的学生观发生了很大变化，更加认识到研究学生的重要性，不能凭自己的主观想象进行教学，而要从学生的角度考虑问题，从学

生的问题出发，真正走进学生的内心世界，把握学生思维的脉络，把教学落到学生的困难处，帮助学生理解数学知识的本质。
刘加霞教授曾说过"把握数学的本质是一切教学法的根"。通过乘法分配律的教学，我对这句话有了更深刻的理解。只有教师理解并把握了数学的本质，才能重新审视自己的课堂教学，真正提高自己的教学水平。
　
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