《两直线夹角》(课件)

们把l1按逆时针旋 转到与l2重合时所
l1
转过的角叫做l1到
l2
l2的角.
θ1是l1到l2的角, θ2是l2到l1的角.
1
2
l1 l2
(θ1 0, θ2 0, θ1 θ2 π)
我们把其中不大于直角的角叫做这 两条直线所成的角(两直线的夹角).
l1到l2所成的角公式：
tan θ k2 k1 (0 θ π) 1 k1k2
l1与l2夹角公式：
tan k2 k1
1 k1k2
(0 )
2
特别地, 当两直线垂直时,
即 k1k2
1 时,
θ
π 2
.
四、展示定理应用、形成技能技巧： 1.顺水推舟，直接应用：
[例1] 求直线 l1：y 2x 3,
l2 :
y x 3 的夹角， 2
l1 到 l2 的角，l2 到 l1 的角.
解：设 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ,
如图，设 l3 到 l2 的角为2，l2 到 l1
的角为1，则1 2，
y
且
1，
2
( 0，
2
)
,
-2
2 o 1
l1 x
而
tan1
k1 k2 1 k1k2
,
l3
l2
tan 2
k2 1
k3 k2k3
,
1 2
且
1
,
2
(0，
2.直线l过原点且与直线 3x y 4 0 的夹角为π ,试求直线l的方程.
6
2. 纵横联系，综合应用：
[例3] 等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x 2 y 2 0, 底边所在直线 l2 的方程是 x y 1 0 , 点 (2，0) 在 另一腰上, 求这条腰所在直 线 l3 的方程 .
解：设夹角为，l1 到 l2 的角为1， l2 到 l1 的角为2 . 则由已知 k1 2,
k2
1,
tan
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k2 k1 1 k1k2
1 2 12
3，
arctan 3
tan1
k2 1
k1 k1k2
3
1
arctan
3
tan 2
k1 k2 1 k1k2
3
2
arctan
3
.
[例2]1.求直线 3x 3y 6 0 和 3x y 2 0 的夹角.
一、复习旧知，以旧悟新： 1. 两条直线平行的充要条件？ 2. 两条直线垂直的充要条件？
二、设问置疑，导入课题：
我们已经研究过两条直线特殊的位 置关系：平行与垂直，那么两条直线在 一般相交的情况又是怎样的呢?
三、动手操作，探测公式：
如图, 两直线l1与l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角, 为了区别这些角, 我
[练习] 光线从 A(-3,4) 射出，到 x 轴 上 B 点后，反射到 y 轴上点 C，再次反射，这时反射光线 恰好经过点D(-1，6)，求 BC 所在直线方程。
2
),
tan1 tan2
y
-2
2 o 1
l1 x
l3
l2
即 k1 k2 k2 k3 1 k1k2 1 k2k3
得：k3 2
y
-2
2 o 1
l1 x
l3
l2
又 l3 过点(2，0)，斜率为2，
l3 的方程为：2x y 4 0 .
[例4] 两直线 l1 : ax 2 y 2 0, 与 l2 : 2x 6 y c 0 交于 点 ( 1, m). 且 l1 到 l2 的角为 45o. 求a, c, m.