两个共点力的合力的大小

两个共点力的合力的大小变化情况分析
两个共点力F 1与F 2的方向一定，夹角θ不变时，使两力增大，它们的合力是否增大？下面试运用初等几何关系对这一问题进行简要的讨论：
（1）若θ角为锐角 根据平行四边形法则可知，合力的大小一定随分力的增大而增大，合力的方向则可能改变，也可能不变，如图1所示。

（2）若θ角为钝角
当两个分力增大时，合力的方向可能改变，也可能不变，如图2所示。

①假定F 1不变，只增大F 2，根据平行四边形法则，可以作出如图3所示的示意图，其中F 1与F 2
的合力为F ；当F 2增大为F 2’时，合力为F ’； 当F 2增大为F 2’’时，合力为F ’’。

由图可知，合力F 的最小值应为F 与F 2垂直的时候（这时O 点到直线MN 的距离最短）。

显然，当F 1与F 2所成的角大于90︒时，随着F 2的逐渐增大，合力F 先逐渐减小，至F ’为最小，然后再逐渐增大，当F 1与F 2所成的角小于90︒时，随着F 2的逐渐增大，合力F 一定增大。

②假定F 2不变，只改变F 1，结论与上述分析完全相同。

③假定F 1、F 2同时增大时，只要合力F 与一个分力的夹角大于90︒，则合力仍然可能增大，也可能减小。

如图4所示，设F 1、F 2的合力为F 。

根据平行
四边形法则，得▱OACB 。

现以O 为圆心，以表示合力的线段OC 为半径，作一圆弧交AC 的延长线于D 点，得到一弓形，如图中画斜线部分。

如果F 1、F 2都增大，从图中可看出，只要以F 1、F 2为邻边所作的平行四边形与O 点相对的另一顶点位于弓形之中，对角线的长将小于OC ，则F 1、F 2虽同时增大，但合力F
却减小。

若以F 1、F 2为邻边所作的平行四边形与O 点相对的另一顶点位于弓形之外，则对角线的长将大于OC ，说明合力随两分力的增大而增大。

如果由O 点作CD 弦的垂线，交CD 弦于P 点，交CD 弧于E 点。

然后过E 点作CD 的平行线交OA 的延长线于G 点；过D 点作BC 的平行线交OB 的延长线于H 点。

设AG 表示∆ F 1，BH 表示∆ F 2，由几何关系可得：
AG ＝OG －OA ＝OE sin （180︒－θ） －OA ＝OC sin （180︒－θ）
－OA ， 即∆ F 1＝F sin （180︒－θ） －F 1＝F 12＋F 22＋2F 1F 2 cos （180︒－θ） F sin （180︒－θ）
－F 1。

BH ＝CD ＝2CP ＝2（AP －AC ）＝2[OA cos （180︒－θ）－OB ] ，
即∆ F 2＝2[F 1 cos （180︒－θ）－F 2] 。

’ 1111 图1
F
F 11’ 11’
图2
F
H 11 图4
显然，F1的增量∆ F1和F2的增量∆ F2只要不超过上面两式所确定的值，则F1与F2的合力便可能减小；∆ F1或∆ F2中有一个量或两个量同时超过上面两式之值，则合力就一定会增大了。

（3）若θ角为180︒时
两个力中较小的力不变，较大的力增大时，合力一定增大，较大的力不变，较小的力增大时，合力将减小，至二力大小相等时，合力减为零，两个力都增大时，合力可能增大，也可能减小，读者可自行证明。