概率论习题

概率论例题

例1.设某班车起点站上车人数X 服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p )1p 0(<<,且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数。试求（1）（X,Y ）的联合概率分布律；（2）求Y 的分布律（列）。

解：X 可能的取值是0，1，2，…..，k ，…，n ，... P{X =k }=

!

k e k λ

λ-

Y 可能的取值是0，1，2，…，r ，…，k

P{x =k, y =r }=P{x=k}P{y=r/x=k}=

!

k e k λ

λ-r k r r k q p C - r=0,1,2,…,k

当r>k 时，P{x=k, y=r}=0, Y 的边缘分布

P{Y = r }=

∑+∞

===0

},{k r y k x P =∑+∞

====0

}/{}{k k x r y P k x P =∑+∞

=--

r

k r k r r

k

k

q p C

e k λλ!

=∑+∞

=--+--r k r k r

q r r k k k k p e

)(!)

1()1(!

1)

(λλλ

=∑+∞=---r k r

k r

rq r k r p e )()!

(1!1)(λλ

=rq r e r p e --!1)(λλ=rp r e r p -!)(λ r = 0, 1, 2, … , 验证Y 的分布律

∑+∞

==0

}{r r y P = 1 ？

例2. 解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时，

2

()()

()

F y P y P y ηηξ=<=<

=

当

0y >时

2

()()())

F y P y P y y y ηηξξ=<=<=<

2

2

2

2

12()t t t dt e dt dt ξ--===

2

20

u u y

y

e

-

-=

=⎰

所以

20

,0()0,0u y y F y y η-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰

1

2

2,0()0,0y y y y y ηϕ--⎧>=≤⎩

例 3. 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N 个人的血,可以用两种方法进行.(i) 将每个人的血分别去验,这就需验N 次.(ii)按k 个人一组进行分组,把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k 个人的血都呈阴性反应,这样,k 个人的血就只需验一次.若呈阳性,则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样, k 个人

的血总共要化验是1k

+次.假设每个人化验呈阳性的概率为p ,且这些人的试验反应是相互

独立的.试说明当p 较小时,选取适当的k ,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k 取什

么值时最适宜.

解 各人的血呈阴性反应的概率为1q p =-

.因而k 个人的混合血呈阴性反应的概

率为k

q ,k 个人的混合血呈阳性反应的概率为1-k

q .

设以k 个人为一组时,组内每人化验的次数为X ,则X 是一个随机变量,其分布律为

11

(), ()1.k k k P X q P X q k k

+====-

X 的数学期望为

111

()(1)(1)1.k k k E X q q q k k k

=

++-=-+ N 个人平均需化验的次数为

1(1)k N q k -+. 由此可知，只要选择k 使 111k q k

-+<,

则N 个人平均需化验的次数N <

.当p 固定时,我们选取k 使得1

1k L q k

=-+

小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.

例如,0.1p =,则0.9q =,当4k =时, 1

1k

L q k

=-+

取到最小值. 此时得到最好的分组方法.若1000N =,此时以4k =分组,则按第二方案平均只需化验

41

1000(10.9 )594()4

-+=次.

这样平均来说,可以减少40%的工作量.

例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立. 其规律为

一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望. 解 设旅客的候车时间为X （以分计）. X 的分布律为

在上表中，例如

13

{70}()()(),66

P X P AB P A P B ====⨯

其中A 为事件“第一班车在8：10到站”，B 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为

32132

()10+30+ 50+ 70+ 90=27.2266363636

E X =⨯⨯⨯⨯⨯（分）.

例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X （以年计），规定：

1X ≤， 一台付款1500元； 12X <≤ ,一台付款2000元；

23X <≤,一台付款2500元；3X >，一台付款3000元.

设寿命X 服从指数分布，概率密度为

10

1, 0 ()100 , 0x

e x

f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩

≤

试求该商店对上述家电收费（Y 元）的数学期望.

解 先求出寿命X 落在各个时间区间的概率，即有

1

/10

0.10

1{1}d 10.0952,10x P X e x e --==-=⎰

≤ 2

0.20.310

1

1{12}d 0.086110

x P X e x e e ---<==-=⎰

≤,