2020届江西省南昌三中高三考前第二次适应性检测数学(理)测试试题(解析版)

2020届江西省南昌三中高三考前第二次适应性检测数学（理）测试试题一、单选题1．已知复数()1i 2z +=（i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z z ⋅等于（ ） A ．1B ．2C ．2D ．2 【答案】B【解析】根据复数运算求得z ，再求其共轭复数，再利用复数乘法运算即可求得结果.【详解】可得21i 1iz ==-+，则1i z =+，那么2z z ⋅=. 故选：B .【点睛】本题考查复数的乘法和除法运算，涉及共轭复数，属综合基础题.2．如果全集U =R ，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,5【答案】D 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为()A B C A B ⋃⋂，再求交并补运算，即可求得结果.【详解】图中的阴影部分为()A B C A B ⋃⋂，又{}{}1,2,3,4,5,3,4A B A B ⋃=⋂=故()A B C A B ⋃⋂={}1,2,5.故选：D .【点睛】本题考查集合的交并补运算，属基础题.3．732x ⎛ ⎝的展开式中常数项是（ ） A ．14B ．14-C ．42D ．42- 【答案】A【解析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.【详解】展开式的通项为()()7217372177C 2C 21rr r r r r r r T x x ---+⎛==- ⎝， 由72102r -=，得6r =，那么展开式中常数项是()66767C 2114--=. 故选：A .【点睛】本题考查由二项式定理的通项公式求指定项，属基础题.4．等差数列{}n a 满足3553a a =，记{}n a 的n 前项和为n S ，则79S S 的值为（ ） A ．2827 B ．3527 C ．53 D ．43【答案】A【解析】利用基本量转化已知条件和目标式，即可容易求得结果.【详解】设{}n a 的公差为d ，由3553a a =，则3535a a =， 那么()()113254a d a d +=+，可得17a d =-， 那么7191721492128936633627S a d d d S a d d d +-+===+-+. 故选：A .【点睛】本题考查利用基本量表示等差数列的通项公式和前n 项和，属基础题.5．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是（ ）A ．45B ．60C ．75D ．90【答案】D 【解析】根据频率分布直方图求得小于100克，大于或等于98克并且小于104克的频率，列出等式，即可求得结果.【详解】小于100克的的频率为()0.050.120.3+⨯=，大于或等于98克并且小于104克的频率为()0.10.150.12520.75++⨯=， 由0.30.7536x=，可得90x =. 故选：D .【点睛】 本题考查由频率分布直方图计算频率和频数，属基础题.6．函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为3-负数，可排除B ，故选A ． 7．已知变量x ，y 满足的约束条件为42302200,0x y x y x y x y +≤⎧⎪--≤⎪⎨-+≥⎪⎪≥≥⎩，目标函数32z x y =+，则z 的最大值和最小值分别为（ ）A ．10，0B ．313，0C ．313，1-D ．10，1-【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得最值.【详解】画出不等式表示的平面区域如图，目标函数32z x y =+，可转化为322z y x =-+与直线32y x =-平行， 数形结合可知当且仅当目标函数过点()0,0取得最小值，故min 0z =；目标函数过点75,33⎛⎫⎪⎝⎭时，目标函数取得最大值，故max 753132333z =⨯+⨯=. 故选：B .【点睛】 本题考查简单线性规划问题的求解，属基础题；注意数形结合即可.8．已知实数x ，y 满足1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有（ ） A ．最大值eB eC ．最小值eD e 【答案】C【解析】试题分析：因为1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，所以可得111ln ?ln ,ln ?ln ,ln ln ln 2ln ?ln 1,4164x y x y xy x y x y xy e =∴=∴=+≥=≥，xy 有最小值e ，故选C.【考点】1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.9．一个多面体的直观图和三视图如图，则此多面体外接球的表面积是（ ）A ．3πB ．43πC ．12πD ．48π【答案】C 【解析】根据三视图求得棱柱的棱长，再求棱柱外接球半径以及球体表面积即可.【详解】取CF 的中点为M 、DE 的中点为N ，连结MN ，知MN 的中点O 即为此多面体外接球的球心，因为22221111,222222OM BM CF BC BF ===+=+= 可得()22123OB =+=那么外接球的表面积是24312ππ⨯=.故选：C .【点睛】 本题考查由三视图求原几何体的棱长，涉及棱柱外接球半径的求解，球体体积的求解，属综合中档题.10．曲线()00d cos d x xt f x e t t t =⋅⎰⎰在4πx =-处的切线的斜率为（ ） A ．22 B ．22- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】根据微积分基本定理求得()f x ，再利用导数几何意义即可求得结果.【详解】()()()()0000d cos d sin 1sin x x tt x x x f x e t t t e t e x =⎰⋅⎰=⋅=-，则()()()sin 1cos sin cos cos x x x f x e x e x e x x x '=+-=+-，则242f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故()f x 在4πx =-处的切线的斜率为22-. 故选：B .【点睛】本题考查微积分基本定理，以及导数的几何意义，属综合基础题.11．设方程3ln x x -=的两个根分别为1x ，2x ，则（ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．1201x x << 【答案】D【解析】根据3x y -=与ln y x =的图象，初步判断12,x x 的范围，再根据对数运算即可容易判断.【详解】不妨设12x x <，画3x y -=与ln y x =的图象，数形结合可知121x x <<，则1113ln ln x x x -==-，2223ln ln x x x -==，那么()211212ln ln ln 330x x x x x x --+==-<，则1201x x <<.故选：D .【点睛】 本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属综合中档题.12．抛物线22y px = 顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MO MF 的最大值为（ ）A．BCD ．不存在【答案】B【解析】设出点M 的坐标，利用两点之间的距离公式，求得2MO MF ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用函数思想，即可容易求得结果.【详解】 设抛物线方程可得,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(),M x y ，则22222222242MO x y x px p MF p x px x y ⎛⎫++== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭++-+ ⎪⎝⎭， 设22224x px t p x px +=++，则22224p x px x t tpx t +=++， 即()()221204p t x p tp x t -+--=， 当1t =时，则4p x =； 当1t ≠时，则()()2224104p p tp t t ∆=-+-⋅⋅≥， 解得43t ≤，当x p =时等号成立，综上，当x p =时，max 43t =， 所以MO MF 的最大值为23. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，属综合中档题.二、填空题13．如图所示为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出y 的值为23，那么应输入x 的值为______.【答案】27或15-【解析】根据程序框图，求得函数解析式，再由函数值求自变量的值.【详解】由程序框图可知，该程序框图是求()4,66,268,2x x f x x x x ->⎧⎪=<≤⎨⎪-≤⎩的函数值.当6x >时，由234x =-，则27x =；当26x <≤时，不符合要求；当2x ≤时，由238x =-，得15x =-.故答案为：27或15-.【点睛】本题考查由程序框图的输出结果，求输入结果，属基础题.14．已知向量()1,2a =r ，()2,3b =r ，若()()a b a b λ+⊥-r r r r ，则λ=______.【答案】53- 【解析】根据向量垂直的坐标运算，即可容易求得参数值. 【详解】 ()2,23a b λλλ+=++r r ，()1,1a b -=--r r ，由已知()()0a b a b λ+⋅-=r r r r ，则()()2,231,12230λλλλ++⋅--=----=， 则53λ=-. 故答案为：53-. 【点睛】 本题考查向量垂直的坐标公式，属基础题.15．双曲线2213y x -=的右焦点为F ，点P 是渐近线上的点，且2OP =，则PF =_______.【答案】2或23【解析】根据双曲线方程求得渐近线方程以及夹角，结合余弦定理即可求得PF .【详解】知2OF c ==，渐近线方程为3y x =±，故两条渐近线的倾斜角为60,120︒︒； 点P 有如图的两种位置情况.当为1P 位置情况时，160POF ∠=︒，则1OPF n 为等边三角形，则2PF =； 当为2P 位置情况时，2120P OF ∠=︒，由余弦定理可得2222120PF OF OP OF OP cos =+-⨯⨯⨯︒，则23PF =故答案为：2或23【点睛】本题考查由双曲线方程求焦点坐标和渐近线方程，涉及余弦定理，属综合基础题. 16．每人最多投篮5次，若连续两次投篮不中则停止投篮，否则继续投篮，直到投满5次，每次投篮投中的概率是0.5，则投中3次的概率为______. 【答案】732 【解析】求得满足题意的投篮可能性，根据已知概率即可容易求得结果. 【详解】 从5次中选3次，有35C 种选法，而其中1与2连续没投中、2与3连续没投中、3与4连续没投中，不满足要求， 则投中3次的概率为()53517C 3232⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：732. 【点睛】本题考查n 次独立重复试验的概率求解，属基础题.三、解答题 17．本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且 22sin sin()?sin()? sin 33A B B B ππ=+-+． (Ⅰ)求角A 的值； (Ⅱ)若·12,27AB AC a ==u u u r u u u r ，求,b c （其中b c <）． 【答案】【解析】试题分析：(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得3sin 2A =±，又A 为锐角，所以3A π=；(2)由12AB AC ⋅=u u u r u u u r 可得cos 12cb A =，即24cb =，然后利用余弦定理2222cos a c b cb A =+-得的另一个关系，从而解出. 试题解析：(1)因为223131sin cos sin cos sin sin 2222A B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =222313cos sin sin 444B B B -+=， 所以3sin 2A =±，又A 为锐角，所以3A π=.(2)由12AB AC ⋅=u u u r u u u r可得cos 12cb A =①由（1）知3A π=，所以24cb =②由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，将a =①代入，得2252c b +=③③+②×2，得()2100c b +=，所以10c b +=因此，,c b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根. 解此方程并由c b >知6,4c b ==.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，X 表示经销一件该商品的利润.（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求X 的分布列及期望EX . 【答案】（1）0.784（2）见解析，240元【解析】（1）先求得事件A 的对立事件的概率，即可求得事件A 的概率； （2）根据题意，求得X 的取值，根据题意，求得分布列和数学期望. 【详解】（1）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”， 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，()()310.40.216P A =-=，则()()110.2160.784P A P A =-=-=.（2）X 的可能取值为200元，250元，300元，()()20010.4P X P ξ====，()()()250230.20.20.4P X P P ξξ===+==+=， ()()()30012002500.2P X P X P X ==-=-==，则X 的分布列为 X 200 250 300 P 0.40.40.22000.42500.43000.2240EX =⨯+⨯+⨯=元.【点睛】本题考查对立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，属综合中档题. 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，122AA =，90ACB ∠=︒，M 是1AA 的中点，N 是1BC 中点.（1）求证：MN ∥平面111A B C ；（2）求直线1BC 与平面BCM 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量和平面111A B C 的法向量，由向量法即可求证；（2）求得直线1BC 的方向向量和平面BCM 的法向量，由向量法求解线面角. 【详解】（1）由题可知1,,CB CA CC 两两垂直，故以点C 为坐标原点，以CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴， 1CC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.取11B C 中点D ，连结1A D ，由已知得(10,2,22A ，(10,0,22C ，(0,2M ，(2N ，(1,0,22D ，所以()1,2,0MN =-u u u u r ，()11,2,0A D =-u u u u r，所以1MN A D =u u u u r u u u u r，所以MN //1A D ， 又MN ⊄平面111ABC ，1AD ⊂平面111A B C ，所以MN ∥平面111A B C .（2）又()0,0,0C ，()2,0,0B ，则(2BM =-u u u u r ，(2CM =u u u u r，设平面BCM 的法向量为(),,1n a b =r ，则0n BM ⋅=r u u u u r，0n CM ⋅=u u u u r r ， 所以2220220a b b ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，解得0a =，2b =，所以20,2n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ， 又(12,0,22BC =-u u u u r ，所以1,? cos BC n u u u u r r 1123n BC n BC ⋅==⋅r uuu rr uuu r ， 则直线1BC 与平面BCM 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题考查利用向量法证明线面平行，以及用向量法求线面角，属综合中档题.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为,,A B 且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,C D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP u u u u v u u u vg 为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y += ；（Ⅱ）证明见解析【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出,a b ，为此要列出关于,,a b c 的两个等式，由椭圆的性质及，四边形12F AF B 是边长为2的正方形，知,2b c a ==；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设0(2,)M y ，写出直线CM 方程，再代入椭圆方程求得P 点坐标11(,)x y ，然后直接计算OP OM ⋅u u u r u u u u r ，可得定值．试题解析：（1）2,a b c ==，222a b c =+，∴22b =，∴椭圆方程为22142x y +=．（2）(2,0)C -，(2,0)D ，设0(2,)M y ，11(,)P x y ，则11(,)OP x y =u u u r ，0(2,)OM y =u u u u r，直线002:4y y x CM y --=，即00142y y x y =+， 代入椭圆2224x y +=得222200011(1)40822y x y x y +++-=，∵201204(8)(2)8y x y --=+，∴201202(8)8y x y -=-+，012088y y y =+， ∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++u u u r ， ∴2220002220004(8)84324888y y y OP OM y y y -+⋅=-+==+++u u u r u u u u r （定值） 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a ，b 的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1 （m>0，n>0，且m≠n ）．2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出OP OM ⋅u u u r u u u u r ，它的最终结果与参数无关，是定值． 21．已知ln()()ln()()[0)x f x ax x g x x e x-=--=-∈-，，，． （1）讨论1a =-时，()f x 的单调性、极值； （2）求证：在(1)的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在， 请说明理由．【答案】(1) 当1e x -≤<-时()f x 单调递减；当10x -<<时，此时()f x 单调递增；()f x 的极小值为(1)1f -=；(2) 证明过程见详解；(3)存在实数2a e =-，使得当[)0x e ∈-，时，()f x 有最小值3． 【解析】(1) 先对函数求导，得到∵11'()1x f x x x+=--=-，利用导数的方法研究函数单调性，进而可求出极值；(2) 先由（1）求出min |()|1f x =；再令1ln()1()()22x h x g x x -=+=-+，用导数方法研究()h x 单调性，求出()h x 的最大值，进而可证明结论成立；(3) 先假设存在实数a ，使()ln()f x ax x =--有最小值3，用分类讨论的思想，分别讨论 1a e ≥-，1a e<-两种情况，结合导数的方法，即可得出结果. 【详解】(1) ∵11()ln()'()1x f x x x f x x x+=---=--=-， ∴ 当1e x -≤<-时，'()0f x <()f x ，此时单调递减； 当10x -<<时，'()0f x >，此时()f x 单调递增； ∴()f x 的极小值为(1)1f -=；(2) 因为()f x 的极小值即()f x 在[0)e -，上的最小值为1， 所以min |()|1f x =；令1ln()1()()22x h x g x x -=+=-+ 又∵2ln()1'()x h x x --=∴ 当0e x -≤<时，'()0h x ≤；∴()[0)h x e -在，上单调递减； ∴max min1111()()1()222h x h e f x e =-=+<+==∴ 当[0)x e ∈-，时，1()()2f xg x >+； (3) 假设存在实数a ，使()ln()f x ax x =--有最小值3，1[0)'()x e f x a x∈-=-，， ①当1a e ≥-时，由于[0)x e ∈-，，则1'()0f x a x=-≥； ∴ 函数()ln()f x ax x =--是[0)e -，上的增函数， ∴min ()()13f x f e ae =-=--=，41a e e=-<-解得（舍去） ②当1a e <-时，则当1e x a -≤<时，1'()0f x a x=-<，此时()ln()f x ax x =--是增函数；当10x a <<，1'()0f x a x=->，此时()ln()f x ax x =--是增函数； ∴min 11()()1ln()3f x f a a==--=，解得2a e =-；由①、②知，存在实数2a e =-，使得当[)0x e ∈-，时，()f x 有最小值3． 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性、极值、证明不等式等问题，属于常考题型.22．在极坐标系中，已知点A 到直线:sin (0)4l m m πρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭的距离为3. （1）求实数m 的值；（2）设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足||||1OP OQ ⋅=，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.【答案】（1）2；（2）22116x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭，点Q的轨迹是以,88⎛- ⎝⎭为圆心，14为半径的圆【解析】（1）把:sin (0)4l m m πρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭化成直角坐标方程为0x y -=，再根据点到直线的距离公式即可算出m . （2）首先根据由直线l 极坐标方程sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设()00,,(,)P Q ρθρθ，找出,P Q 两点之间的关系，把点Q 代入直线方程即可.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则点A的直角坐标为0)，直线l的直角坐标方程为0x y -+=，由点A 到直线l的距离为13,2d m m ==+=∴=. （2）由（1）得直线l 的方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 设()00,,(,)P Q ρθρθ，则000011ρρρρθθθθ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩，① 因为点()00,P ρθ在直线l 上，所以00sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，② 将①代入②，得1sin 24πθρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 则点Q 的轨迹方程为1sin 24πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化为直角坐标方程为22116x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭， 则点Q的轨迹是以,88⎛-⎝⎭为圆心，14为半径的圆 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标之间的互化,以及轨迹问题,属于中等题.23．已知f (x )=x |x-a |-2(1)当a =1时，解不等式f (x )<|x-2| (2)当x ∈(0,1]时，21()12f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(,2)-∞（2）12⎛- ⎝【解析】（1）根据绝对值定义分类讨论，最后求并集，（2）利用变量分离法转化为求对应函数最值，即得结果. 【详解】（1）()2122x x x x ≥⎧⎨--<-⎩或()12122x x x x ≤<⎧⎨--<-⎩或()1122x x x x <⎧⎨--<-⎩解得(),2x ∈-∞ （2）(]()221111310,11212222x f x x x x a x x a x x x∈∴<-⇒--<-⇒-<<+Q()()()11131112222g x x g h x x a x x ⎛=-≤=-=+=∈- ⎝Q ，… 【点睛】本题考查含绝对值解法以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.。