222事件的相互独立性一精讲
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高一下学期数学人教A版必修第二册10.2事件的相互独立性课件
1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，
事件的相互独立性 课件
A，B互斥
P(A)＋P(B)
0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A)＋P(B)
1
A，B相互独立
1－P(－A )P(－B )
P(A)P(B)
P(－A )P(－B ) P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)
1－P(A)·P(B)
又A B 与 A B互斥，
所以P[(A
B
)∪(
ABBiblioteka ]＝P(AB)＋P(
A
B)＝P(A)P(
B
)＋P(
A
)P(B)＝
1 3
×1－14＋1－13×14＝152. (4)“至多一人能破译”为事件(A B )∪( A B)∪( A B )，而A B 、 A B、 A
B 互斥，故P[(A B )∪( A B)∪( A B )]＝P(A B )＋P( A B)＋P( A B )＝P(A)P( B )
事件的相互独立性与互斥性
[探究问题] 1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙 击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件 A B与 A B 呢？
[提示] 事件A与B， A 与B，A与 B 均是相互独立事件，而 A B与A B 是 互斥事件．
2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙 二人恰有一人击中目标的概率？
[思路探究] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个 球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还 是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义判断．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中
选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
事件的相互独立性(课件)高一数学(人教版2019必修第二册)
已知诸葛亮想出计谋的概率为0.85，三个臭皮匠甲、 乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.4.问这三个臭 皮匠能胜过诸葛亮吗？
学生的解法可能为: 设事件A:“臭皮匠老大”猜出谜语; 事件B:“臭皮匠老二”猜出谜语; 事件C:“臭皮匠老三”猜出谜语. 则谜语被猜出的概率P=P(A)+P(B)+P(C) =0.6+0.5+0.4 =1.5
VS 去把老三叫来,我就
不信合咱三人之力, 赢不了诸葛亮!
老大
老二 老三
诸葛亮
臭皮匠联队
比规赛则假 4亮：0%吗如,团臭？那各队位皮么中选匠臭只手老皮要独三匠有立解联一解出队人题的解能，出把胜不即握过得为商只诸获量有葛胜
20
引例的解决
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大 解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且 每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人 解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB ) P( A)P(B) 则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
J10
J15
2.公式P(AUB)=P(A)+P(B),运用的前提 是：A 、B互斥。
敌机被击中的概率为 P(C) P( A B) P( A) P(B)
学生的解法可能为: 设事件A:“臭皮匠老大”猜出谜语; 事件B:“臭皮匠老二”猜出谜语; 事件C:“臭皮匠老三”猜出谜语. 则谜语被猜出的概率P=P(A)+P(B)+P(C) =0.6+0.5+0.4 =1.5
VS 去把老三叫来,我就
不信合咱三人之力, 赢不了诸葛亮!
老大
老二 老三
诸葛亮
臭皮匠联队
比规赛则假 4亮：0%吗如,团臭？那各队位皮么中选匠臭只手老皮要独三匠有立解联一解出队人题的解能，出把胜不即握过得为商只诸获量有葛胜
20
引例的解决
明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大 解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且 每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人 解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB ) P( A)P(B) 则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
J10
J15
2.公式P(AUB)=P(A)+P(B),运用的前提 是：A 、B互斥。
敌机被击中的概率为 P(C) P( A B) P( A) P(B)
10.2事件的相互独立性课件高一下学期数学人教A版必修第二册
P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先
高一数学(人教A版)-事件的相互独立性课件
(1,1)
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
根据独立性假定，得
P( A1)
3 4
1 4
+
1 4
3 4
3 8
分析：设 A2 表示甲两轮猜对2个成语的事件，
甲
根据独立性假定，得
(0,0)
(0,1)
P( A2 )
3 4
3 4
9 16
(1,0)
(1,1)
33 44
设 B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
P( B1 )
2 3
因为A C ，且 A C ，所以
事件 A 与事件 C互为
．
2.如果事件 A 与事件 B 互斥，和事件 A B的概率与事件 A ， B 的概率之间的关系是
P( A B) P( A) P(B).
3.设 A ，B 是一个随机实验的两个事件，和事件 A B 的概 率与事件 A ，B 的概率之间的关系是
事件的相互独立性
高一年级 数学
1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球 （标号为1和2 ），1个绿色球（标号为3 ），1个黄色球 （标号为4 ），从袋中随机摸出1个球．设事件A “摸到
红球”，B “摸到绿球”，C “摸到绿球或黄球”．
样本空间为 {1,2,3,4}
A {1,2} B {3} C {3,4} 因为A B ，所以事件 A 与事件 B ；
AB={(1,2),(2,1)} ，n( AB) 2 ．
所以
P( A)
n( A)
n( )
1 2
，P(B)
n(B)
n( )
1 2
，
P( AB)
n( AB)
n( )
1 6
．
此时 P( AB) P( A) P(B) ，
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
最新2.2.2事件的相互独立性教学讲义PPT课件
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例
例1、假使在即将到来的2016年奥运会上，我国 乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断 开拓创新，在团体比赛项目中，我们的中国女队 夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那 么男女两队双双夺冠的概率是多少?
解：设事件A：中国女队夺冠; 事件B：中国男队夺冠．
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P( 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(A
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时， 条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时 事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响，比如
依次抛掷两枚硬币，抛掷第一枚硬币的结果（事件A）对抛掷 第二枚硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相 等吗？
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P (A)B P (A )P (B )
则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
例题解析
（3）“至少有一次抽到某一指定号码”；
解：“两次至少有一次抽到中奖号码（AB）∪（AB ） ∪（AB）可以用表示。由于事件ＡＢ、ＡＢ、ＡＢ两 两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义， 所求的概率为：
例题举例
例1、假使在即将到来的2016年奥运会上，我国 乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断 开拓创新，在团体比赛项目中，我们的中国女队 夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那 么男女两队双双夺冠的概率是多少?
解：设事件A：中国女队夺冠; 事件B：中国男队夺冠．
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P( 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(A
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影响时， 条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的，但有时 事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影响，比如
依次抛掷两枚硬币，抛掷第一枚硬币的结果（事件A）对抛掷 第二枚硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相 等吗？
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P (A)B P (A )P (B )
则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
例题解析
（3）“至少有一次抽到某一指定号码”；
解：“两次至少有一次抽到中奖号码（AB）∪（AB ） ∪（AB）可以用表示。由于事件ＡＢ、ＡＢ、ＡＢ两 两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义， 所求的概率为：
高中数学人教a版选修23之222事件相互独立性一
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高中数学人教a版选修23之222事 件相互独立性一
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
相互独立事件A,B同时发生，将它记作A•B
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P(A)+P(Ā)=1
相互独立事件及其同时发生的概率
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的
概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
2.2.2事件的相互独立性
例题举例
（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；
解: “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码” 可以用(AB)(AB) 表示。由于事件 A B 与 AB 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的 定义，所求的概率为：
P(AB) P(AB) P(A)P( B) P(A)P(B) 0.05(1 0.05)(1 0.05) 0.05 0.095
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) P( B)
又 P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A) P( B)
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB) P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立。
注意: (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)
解设 A={ 甲击中敌机 }, B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 }
则 C A B. 依题设, P ( A) 0.6, P ( B) 0.5 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性，所以 A与B独立,进而 A 与 B 独立.
C A B A B P (C ) 1 P (C )
相互独立事件同时发生的概率公式
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A· P(A)· B)= P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件A 1，A 2 ，…A n 相互独立，那 么这n个事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·2·…·An)= P(A1)· 2)·…·P(An) A P(A
事件的相互独立性-PPT课件
8
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
2.2.2事件的相互独立性
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.
2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的 3.寻找所求事件与已知事件之间的关系. 概率. “所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
6
( 互斥事件)
求 较 复 杂 事 件 概 率
分类
正向 分步
P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· P(A) ·P (B) B)=
( 互独事件)
反向 B) P( A) P( B). 反之，不成立。 4
②在事件A与B相互独立的定义中，A与B地位对称的：在条件
概率P(B|A)中， A与B的地位不是对称的，这里要求P(A)>0.
③如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是相互
独立的。
④一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个
事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1· 2……An）=P（A1）· A P（A2）……P（An）
⑤不可能事件与任何一个事件相互独立。 必然事件与任何一个事件也是相互独立事件。
5
小结
Ⅰ.设A，B为两个事件，如果
P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事
件B相互独立。
Ⅱ.解题步骤：
2.2.2 事件的相互独立性
1
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
事件的相互独立性课件-高一下学期数学人教A版
典例精析
题型三：相互独立事件概率的实际应用
跟踪练习
2.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内， 它们正常工作的概率分别为，，， 则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为
解 1-.选B.
3.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是，，， 则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________.
典例精析
题型二：相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计， 某地车主购买甲种保险的概率为，购买乙种保险的概率为，购买
ห้องสมุดไป่ตู้
甲、乙两种保险相互独立， 各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
例3 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点 到达的概率分别为，，，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响. 求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率. (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
新知探索
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B， 如果P(AB)=P(A)P(B)成立， 则称事件A与事件B相互独立， 简称为独立.
对于n个事件A1，A2，…，An， 如果其中任何一个事件发生的概率 不受其他事件是否发生的影响， 则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
新知探索
独立事件的概率公式
互斥事件 不可能同时发生的两个 事件 互斥事件A，B中有一个 发生，记作A∪B(或A＋ B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
新知探索
相互独立事件与互斥事件的区别
典例精析
题型一：相互独立事件的判断 例1 判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件. (1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”. (2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”.
事件的相互独立性 课件
问题 3 互斥事件与相互独立事件有什么区别？ 答 两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两 个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的 发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
问题 4 若 A 与 B 是相互独立事件，则 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也相互独立，如何证明？ 答 若 A 与 B 是相互独立事件，则 P(AB)＝P(A)P(B)． 因为 A＝AB＋A B ，B＝B A ＋BA， 所以 P(A B )＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B)) ＝P(A)P( B )； P( A B)＝P(B)－P(AB) ＝P(B)－P(A)P(B)＝(1 －P(A))P(B)＝ P( A )P(B)；
件B
( ห้องสมุดไป่ตู้)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥 解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影
响的，所以事件 A 与 B 相互独立； 对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说
事件 A 与 B 可能同时发生，所以事件 A 与 B 不是互斥事件．
P( A B )＝P( A )－P( A B)＝P( A )－P( A )P(B)＝P( A )(1－P(B)) ＝P( A )P( B )． 即 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立．
例 1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件 A：“甲
击中目标”，事件 B：“乙击中目标”，则事件 A 与事
探究点二 相互独立事件同时发生的概率 例 2 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以
获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次 抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都 是 0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码． 解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A，“第二次 抽奖抽到某一指定号码”为事件 B，则“两次抽奖都抽到某一 指定号码”就是事件 AB.
课件8：2.2.2 事件的相互独立性
变式 本题中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概 率是多少？ 解：解法一：记 E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中 的一种”，则事件 E 包括－A B，A－B ，AB，且它们彼此为 互斥事件． 所以 P(E)＝P(－A B＋A－B ＋AB)＝P(－A B)＋P(A－B )＋P(AB) ＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
由于 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝23， 故 P(C)＝P(A1A2A3 A4 ∪ A1 A2A3A4) ＝P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 )＋P( A1 )P(A2)P(A3)P(A4) ＝233×13＋13×233＝1861.
(3)记事件 Bi 表示“乙第 i 次射击击中目标”(其中 i＝ 1,2,3,4)，并记事件 D 表示“乙在第 4 次射击后终止射击”， 则 D＝B1B2 B3 B4 ∪ B1 B2 B3 B4 ，且 B1B2 B3 B4 与 B1 B2 B3 B4 是互斥事件． 由于 B1，B2，B3，B4 之间相互独立， 所以 Bi 与 Bj (i，j＝1,2,3,4，且 i≠j)之间也相互独立． 由于 P(Bi)＝43(i＝1,2,3,4)，
(4)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为 58，若前一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发 生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发 生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互 独立事件，也不是互斥事件．
【解析】 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目 标是互不影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目 标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事 件 A 与 B 可能同时发生，所以事件 A 与 B 不是互斥事件． 【答案】 A
2.2.2事件的相互独立性
P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
1、 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
=0.095
某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号 码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动. 如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求概率 (3)两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码
AB AB AB
P AB P AB P AB =0.0975
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独 立性（一）
南极数学
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
1、 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
=0.095
某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号 码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动. 如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求概率 (3)两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码
AB AB AB
P AB P AB P AB =0.0975
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独 立性（一）
南极数学
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是 什么？ P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
例2 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这 段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
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(3)P(A ? B ? C) ? P(A ? B ? C) ? P(A ? B ? C)
? P ( A ? B ? C ) ? P ( D ) ①事件的概率 因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛不亮可了能！ 大于 1
你认同以上的观点吗？
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件 ？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件必有一个发生，这样的两个互斥事件叫对立事件 .
高二数学 选修2-3
8.2.3事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮匠抵个诸葛 亮”。
我们是如何来理解这句话的？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
亮吗？
设事件A：老大解出问题；事件 B：老二解出问题； ②公事式件CP：(A老? B三?解C)出?问P(题A)；? P事(B件) ? DP(：C)诸葛亮运解用出问题
(1)A发生且B发生且C发生
P(A? B ?C)
(2)A不发生且B不发生且C不发生
P(A? B ? C)
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
注意 : (1)互斥事件 : 两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件 :两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法 :P(A∩B)=P(A)P(B) 2.经验判断 :A 发生与否不影响 B发生的概率
B发生与否不影响 A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
则的P前( A提)：? 事0.件5, AP、( BB、) ?C彼0.此45互, P斥(C. ) ? 0.4 , P ( D ) ? 0.8
那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P (B ) ? P (C ) ? 0.5 ? 0.45 ? 0.4 ? 1.35
（1）“都抽到中奖号码”；
（2）“恰有一次抽到中奖号码”；
（3）“至少有一次抽到中奖号码”。 解: 记“第一次抽奖抽到中奖号码”为事件 A， “第二次抽奖抽到中奖号码”为事件 B，
变式 :“至多有一次抽到中奖号码”。
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) ? n( A ?B) ? P( A ?B)
n( A)
P( A)
P( A ?B) ? P( A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”。
B表示事件“最后一名同学中奖”.
答：事件 A的发生不会影响事件 B发生的概率。
P(B | A) ? P(B)
又? P( AB) ? P( A)P(B | A)
? P( AB) ? P( A)P(B)
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB) ? P( A)P(B)
则称事件A与事件B相互独立。
②两个互斥事件 A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+P(B)
③若A与A为对立事件，则 P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(ā)=1
复习回顾
(4).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0, 在已知事件 A发 生的条件下事件 B发生的概率，叫做 条件概率 。 记作P(B |A).
甲
坛事子件里A是有指2个__从白__甲球_坛_,_子2_个_里_黑_摸_出球__1,_个_设_球_从_,得_甲_到_坛;黑子球里
摸事出件一B是个指球_,_从得__乙出_坛_白_子_球_里_叫_摸_做出__事1_个_件_球__A,得_,_从到_;黑乙球坛子
里A与摸B出是1_个__球相__互,_得_独_到立__白__球_ 事叫件做；事件如B果, 事件A与B相互乙独立,
B表示事件“最后一名 同学中奖”
答:事件A的发生会影响事件 B发生的概率
n( AB) P( AB) 1
P(B A) ?
?
?
n( A) P( A) 2
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”。
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) ? 0.6,P(B) ? 0.6,P( AB) ? 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
格”与“乙的成绩优秀”
相互独立
A与B是相互独立事件 .
[填思空考：2]：甲坛子里有 3个白球,2个黑球,乙
A与B是__相__互__独__立_____ 事件； 那么A与B, A与B, A与B
A与B是___相__互__独__立___ __事件. 也都相互独立源自相互独立事件同时发生的概率公式
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件 A1，A2，…An相互独立 ，那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例 例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都为 0.05，求两次抽奖中 以下事件的概率：
? P ( A ? B ? C ) ? P ( D ) ①事件的概率 因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛不亮可了能！ 大于 1
你认同以上的观点吗？
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件 ？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件必有一个发生，这样的两个互斥事件叫对立事件 .
高二数学 选修2-3
8.2.3事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮匠抵个诸葛 亮”。
我们是如何来理解这句话的？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
亮吗？
设事件A：老大解出问题；事件 B：老二解出问题； ②公事式件CP：(A老? B三?解C)出?问P(题A)；? P事(B件) ? DP(：C)诸葛亮运解用出问题
(1)A发生且B发生且C发生
P(A? B ?C)
(2)A不发生且B不发生且C不发生
P(A? B ? C)
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
注意 : (1)互斥事件 : 两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件 :两个事件的发生彼此互不影响 判断两个事件相互独立的方法 1.定义法 :P(A∩B)=P(A)P(B) 2.经验判断 :A 发生与否不影响 B发生的概率
B发生与否不影响 A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
则的P前( A提)：? 事0.件5, AP、( BB、) ?C彼0.此45互, P斥(C. ) ? 0.4 , P ( D ) ? 0.8
那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P (B ) ? P (C ) ? 0.5 ? 0.45 ? 0.4 ? 1.35
（1）“都抽到中奖号码”；
（2）“恰有一次抽到中奖号码”；
（3）“至少有一次抽到中奖号码”。 解: 记“第一次抽奖抽到中奖号码”为事件 A， “第二次抽奖抽到中奖号码”为事件 B，
变式 :“至多有一次抽到中奖号码”。
练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) ? n( A ?B) ? P( A ?B)
n( A)
P( A)
P( A ?B) ? P( A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
名同学依次无放回地抽取，问：最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”。
B表示事件“最后一名同学中奖”.
答：事件 A的发生不会影响事件 B发生的概率。
P(B | A) ? P(B)
又? P( AB) ? P( A)P(B | A)
? P( AB) ? P( A)P(B)
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P( AB) ? P( A)P(B)
则称事件A与事件B相互独立。
②两个互斥事件 A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+P(B)
③若A与A为对立事件，则 P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(ā)=1
复习回顾
(4).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0, 在已知事件 A发 生的条件下事件 B发生的概率，叫做 条件概率 。 记作P(B |A).
甲
坛事子件里A是有指2个__从白__甲球_坛_,_子2_个_里_黑_摸_出球__1,_个_设_球_从_,得_甲_到_坛;黑子球里
摸事出件一B是个指球_,_从得__乙出_坛_白_子_球_里_叫_摸_做出__事1_个_件_球__A,得_,_从到_;黑乙球坛子
里A与摸B出是1_个__球相__互,_得_独_到立__白__球_ 事叫件做；事件如B果, 事件A与B相互乙独立,
B表示事件“最后一名 同学中奖”
答:事件A的发生会影响事件 B发生的概率
n( AB) P( AB) 1
P(B A) ?
?
?
n( A) P( A) 2
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去
抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”。
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) ? 0.6,P(B) ? 0.6,P( AB) ? 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
格”与“乙的成绩优秀”
相互独立
A与B是相互独立事件 .
[填思空考：2]：甲坛子里有 3个白球,2个黑球,乙
A与B是__相__互__独__立_____ 事件； 那么A与B, A与B, A与B
A与B是___相__互__独__立___ __事件. 也都相互独立源自相互独立事件同时发生的概率公式
1.若A、B是相互独立事件，则有P(A·B)= P(A)·P(B) 即两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积。
2.推广：如果事件 A1，A2，…An相互独立 ，那 么这n个事件同时发生的概率
等于每个事件发生的概率的积.即： P(A1·A2·…·An)= P(A1)·P(A2)·…·P(An)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例 例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码， 可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果 两次兑奖活动的中奖概率都为 0.05，求两次抽奖中 以下事件的概率：