222事件的独立性精讲
2.2.2事件的独立性课件人教新课标B版
解：P(A)=0.5,P(B)=0.5，P(C)=0.5 P(AB)=0.25，P(BC)=0.25，P(AC)=0.25 则P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)， P(AC)=P(A)P(C). ∴事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与 C相互以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可 以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的 概率：（1）都抽到某一指定号码；
求 较
正向
(互斥事件)
复 杂
分步 P(A·B)= P(A) ·P (B)
事
(相互独立事件)
件
概
反向 对峙事件的概率
率
课后作业
• P55,2 • P59A组1-3
鸣谢 中心备课组成员：
课件制作： 摄像及后期：信息技术科组
摄制时间：202X年4月
解: “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以
用(AB)(AB)(AB)表示。由于事件 AB,AB与 AB
两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所
求的概率为：P(AB) P(AB) P(AB) 0.0025 0.095 另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为 0.0975
1 P(AB) 1 (1 0.05)(1 0.05) 0.0975
人教B版 高中数学 选修2-3 第二单元 2.2.2
条件概率与事件的独立性
事件的相互独立性
题目的解决
实际问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大 解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且 每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人 解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在概率与统计的广袤世界中，“事件的独立性”是一个至关重要的概念。
它不仅在理论研究中具有深刻的意义，而且在实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。
要理解事件的独立性，首先得清楚什么是事件。
简单来说，事件就是在一定条件下可能出现也可能不出现的情况。
比如说掷骰子掷出一个“6”，明天会下雨，这些都是事件。
那么，什么又是事件的独立性呢？我们说两个事件 A 和 B 是相互独立的，如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，同时事件B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 5 个白球。
从盒子中先后取出两个球，第一次取出红球记为事件 A，第二次取出红球记为事件 B。
如果我们在取出第一个球后，将其放回盒子中再取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的。
因为第一次取出红球后放回，盒子里球的情况没有改变，第二次取出红球的概率依然是5/10。
但如果我们在取出第一个球后，不再放回盒子中就取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就不是相互独立的。
因为第一次取出红球后，盒子里球的组成发生了变化，第二次取出红球的概率会受到影响。
独立性的概念在很多实际问题中都有体现。
比如说，一个学生在数学考试中取得好成绩和在语文考试中取得好成绩，在一定程度上可以看作是两个独立事件。
因为学生在数学上的表现不一定能决定其在语文上的表现。
再比如，一个人早上选择吃面包还是吃油条和晚上选择看电影还是看书，这也可以近似地认为是两个独立事件。
因为早上的饮食选择通常不会影响晚上的娱乐活动选择。
那么，如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到数学公式了。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么它们的概率满足 P(AB) ＝P(A)P(B) 。
其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
我们通过一个具体的例子来看看如何运用这个公式判断事件的独立性。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到对事件发生可能性的探讨。
而其中一个重要的概念就是事件的独立性。
理解事件的独立性对于我们准确地分析和预测各种情况都具有关键意义。
首先，我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，同时事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6 记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的。
因为抛硬币的结果不会影响抛骰子出现 6 点的概率，反之亦然。
那么如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到概率的计算。
如果 P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
再深入一些，对于多个事件的独立性，情况会稍微复杂一些。
如果对于三个事件 A、B、C，如果它们两两独立，并且 P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)，那么这三个事件相互独立。
事件的独立性在实际应用中有很多例子。
比如在抽奖活动中，每次抽奖的结果通常是相互独立的。
不管前面的人是否中奖，后面的人中奖的概率都不会受到影响。
在统计学和概率论的研究中，事件的独立性也是一个基础且重要的概念。
通过判断事件的独立性，我们可以简化概率的计算，更准确地分析数据和预测结果。
另外，在一些复杂的系统中，例如通信系统、金融市场等，事件的独立性假设可以帮助我们建立模型和进行分析。
但需要注意的是，在实际情况中，完全独立的事件并不总是普遍存在的。
很多时候，事件之间可能存在着某种隐藏的关联或者相互影响。
例如，在股市中，一只股票的价格变动可能会受到宏观经济形势、行业发展、公司内部管理等多种因素的影响。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们日常生活和数学、统计学的学习研究中，“事件的独立性”是一个非常重要的概念。
理解事件的独立性，对于我们准确分析和预测各种情况有着关键的作用。
那什么是事件的独立性呢？简单来说，如果事件 A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，并且事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚均匀的硬币两次。
第一次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 A。
第二次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 B。
由于每次抛硬币的结果都是相互独立的，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。
所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
我们再来看一个稍微复杂一点的例子。
从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件 A 是抽到红桃牌，事件 B 是抽到 A 牌。
这两个事件就不是独立的。
因为如果抽到了红桃 A，那么事件 A 和事件 B 就同时发生了。
所以事件 A 的发生会影响事件 B 的发生概率。
那如何判断两个事件是否独立呢？我们有一个重要的公式：如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B)。
其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
比如说，一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，从中随机取出一个球，事件 A 是取出红球，事件 B 是取出偶数号球。
事件 A 的概率 P(A) ＝5/10 ＝ 1/2，事件 B 的概率 P(B) ＝ 5/10 ＝ 1/2。
而事件 A 和事件 B 同时发生，也就是取出既是红球又是偶数号球的概率P(A ∩ B) ＝ 2/10 ＝1/5。
因为 1/5 ＝ 1/2 × 1/2，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
理解了事件的独立性，对于解决很多实际问题都有帮助。
2.2.2事件的相互独立性【公开课教学PPT课件】
皮匠中至少有一人解出的概率与诸
葛亮解出的概率比较，谁大？
分析:1 P(ABC) 1 0.9握 不能大过诸葛亮!
这种情况下至少有 几个臭皮匠才能顶
个诸葛亮呢？
小结反思
互斥事件
相互独立事件
概
不可能同时发生的
如果事件A（或B）是否发生对事 件B（或A）发生的概率没有影响，
B发生与否不影响A发生的概率
想一想 判断下列各对事件的关系
（1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环；互斥
（2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与
乙射中8环；
相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P(B) 0.6, P( AB) 0.24
则事件A与B
相互独立
（4）在一次地理会考中，“甲的成绩合
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互 独立性（一）
俗话说：“三个臭皮 匠抵个诸葛亮”。
那我们从数学中 概率的角度来看，如 何理解这句话呢？
明确问题： 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,
臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老 二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独 立解题，问三个臭皮匠能抵一个诸葛
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(AB) P(A)P(B | A)
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
事件的相互独立性(共21张PPT)
（2）“至少有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
（3）“至多有一次中靶” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
0.3 60.4 80.84 即 A·B + A·B+ A·B.
篮球比赛 “罚球二次” . 事件的概率乘法公式，所求的概率是
解法2：两人都未击中的概率是 ③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
（1）甲、乙两地都下雨的概率； 即 A·B + A·B+ A·B.
P(A• B) P(A) • P(B) 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
事件的概率乘法公式，所求的概率是
（3）其中至少有一方下雨的概率.
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:
(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. 又∵A与B是互斥事件.
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
高中数学2-2-2事件的独立性课件新人教A版选修
• 1．了解两个事件相互独立的概念，掌握相 互独立事件的概率公式，并能利用公式解 决简单的问题． • 2．通过本节的学习，体会相互独立事件的 概率在实际生活中的应用．
• 本节重点：相互独立事件的含义． • 本节难点：相互独立事件概率的计算．
• 1．相互独立事件定义的理解：如果事件 A 的发生不会影响事件 B 发生的概率，或事 件B的发生不会影响事件A发生的概率，则 事 件 A 与 B 相 互 独 立 ， 即 P(B|A) ＝ P(B) ， P(A|B)＝P(A)，从而P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝ P(B)·P(A) 或 P(AB) ＝ P(A|B)·P(B) ＝ P(A)·P(B)． • 2．判定相互独立事件的方法 • (1)由定义，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A、B 独立．即如果A、B同时成立时的概率等于 事件A的概率与事件B的概率的积，则可得 出事件A、B为相互独立事件．
• (3) 由于把取出的苹果又放回筐内，故对 “从中任意取出 1 个，取出的是梨”的概 率没有影响，所以二者是相互独立事件． • [点评 ] 相互独立事件的特点是： (1)对两 个事件而言；(2)其中一个事件的发生与否 对另一个事件发生的概率没有影响．
• 下面所给出的两个事件A与B相互独立吗？ • ①抛掷一枚骰子，事件A＝“出现1点”， 事件B＝“出现2点”； • ②先后抛掷两枚均匀硬币，事件 A ＝“第 一枚出现正面”，事件 B ＝“第二枚出现 反面”； • ③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口 袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋 中，事件 A ＝“第一次取到绿球”， B ＝ “第二发生，对“从乙组选出1名女生”这 一事件发生的概率没有影响，所以它们是 相互独立事件．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概 5 率为 ，若这一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取 8 4 出 1 个，取出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没有发 7 5 生， 则后一事件发生的概率为 ， 可见， 前一事件是否发生， 7 对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事 件．
《2.3.2 事件的独立性》课件-优质公开课-苏教选修2-3精品
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
演示结束
SJ ·数学 选修2-3
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教
易
学
错
教 法
课前自主导学
易 误
堂
师
互
动 辩论，教师完善总结，并加以推广．
备 课
探
资
究
源
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教
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错
教
易
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误
分
辨
析
析
教
学
当
方
堂
案
双
设 计
基
教法上，师生合作探究，充分发挥学生能动性，展现学 达
标
课 前
生的思辨过程，提高学生的探究能力、合作能力及认识水平． 课
自
时
主
作
导
业
学
课
教
堂
师
互
备
动
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P ?A B ? （2） P（B︱A）? P ?A ? ， P(A) ＞0
问题：
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋， 2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两 次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下， 第二次取到红皮蛋的概率？
析：设A=“第一次取到红皮蛋”， B=“第二次取到红皮蛋”
1? P(A?B ?C) ? 1? 0.027 ? 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973
变式题1：在图中添加第四个开关 JD 与其它三个开 关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是
0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 .
JA
JB
JD
JC
??1 ? P( A ?B ?C)???P(D) ? 0.973 ? 0.7 ? 0.6811
2.2.2事件的独立性
复习回顾 1、等可能事件及等可能事件的概
率求法，
2、互斥事件及概率求解方法，
3、对立事件及概率求法。
4、条件概率的概念
一般地，若有两个事件A和B，在已知 事件A已发生的条件下事件B发生的概率， 称为在A已发生的条件下B发生的条件概率， 记作：P（B︱A）。
5、条件概率的计算
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
JA
P( A?B ?C) ? P( A) ?P(B) ?P(C)
JB
? ?1? P(A)??1? P(B)??1? P(C)?
JC
? (1? 0.7)(1 ? 0.7)(1 ? 0.7) ? 0.027
∴这段时间内至少有 1个开关能够闭合，从 而使线路能正常工作的概率是
则A∩B=“两次都取到红皮蛋”，由于是有放回的抽取， 所以：
P?A?? 3，P?B?? 3，P?A B?? 3? 3 ? 9
5
5
5? 5 25
P?B︱A??
P?A B?
?
P?A?
3 5
因此：P（B|A ）=P（B）
新课 一、相互独立事件的定义
若事件A是否发生对事件 B发生的概率没有影响，
即
P ?B︱A ?? P, 则 ?B称? 两个事件 A、B相互独
并且上式中任意多个事件Ａ ｉ换成其对立事件后 等式仍成立。
二、应用举例
例１、甲、乙二射击运动员分别对一目标射 击1次，甲射中的概率为0.8 ，乙射中的概率 为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？
P( A?B) ? P( A) ?P(B) ? (1? 0.8)(1? 0.9) ? 0.02
∴“两人至少有 1人击中目标”的概率为
P ? 1? P( A ?B) ? 1? 0.02 ? 0.98
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包 括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
P ? P(A ?B) ? P( A?B) ? P( A?B)
立，这两个事件叫做 相互独立事件 。
判断 A 、B 是否为相互独立事件？
1、抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 记A=“第一次出现正面”， B =“第二次出现正面”
2、甲坛子里有 3个白球，2个黑球，乙坛子里有 2个白 球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出 1个球。 事件A：从甲坛子里摸出 1个球，得到白球； 事件B：从乙坛子里摸出 1个球，得到白球
∴２人中恰有 1人射中目标的概率是 0.26 。
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人 都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概 率为． P ? P( A?B) ? [P( A?B) ? P( A ?B)] ? 0.72 ? 0.26 ? 0.98
（法2）：“2人至少有一个击中”与“ 2人都未 击中”为对立事件， 2个都未击中目标的概率是，
推广：
１、对于ｎ个事件Ａ １，Ａ２，．．．Ａｎ，如果其中任 一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影 响，则称ｎ个事件Ａ １，Ａ２，．．．Ａｎ相互独立。
２、如果事件Ａ １，Ａ２，．．．Ａｎ相互独立，那么这 ｎ个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概 率的积，即
P?A1 A2 ... An?? P?A1?? P?A2??...? P?An?
解：记“甲射击１次，击中目标”为事件Ａ，“乙 射击１次，击中目标”为事件Ｂ，则 A与B，A与B，A与B，A与B 为相互独立事件，
（1）2人都射中的概率为：
P(A?B) ? P(A)?P(B) ? 0.8? 0.9 ? 0.72
∴２人都射中目标的概率是 0.72
（2）“２人各射击１次，恰有１人射中目标”包
说明:
当A，B相互独立时，由于：
? ? P A
? P（B︱A）
B
=P(B)
P?A?
所以：
P?A B?=P?A?? P?B?
思考：
若A与B相互独立，则
A与 B， A与 B， A与 B
是否相互独立？
两个相互独立事件都发生的概率公式
P?A B?=P?A??P?B?
1、如何求三个相互独立事件同时发生的概率呢 ? 2、如何求有 n个相互独立事件同时发生概率呢？
括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事A件?B
发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A?B 发生）根据题意，事件A ?B 与A ?B 互斥，根 据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概 率乘法公式，所求的概率为：
P(A?B) ? P(A?B) ? P(A)?P(B) ? P(A)?P(B)
? 0.8 ? (1? 0.9) ? (1? 0.8) ? 0.9 ? 0.08 ? 0.18 ? 0.26
? P( A) ?P(B) ? P( A) ?P(B) ? P( A) ?P(B)
? 0.02? 0.08? 0.18? 0.28
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事 件是“2人都击中目标”，
故所求概率为
P ? 1? P(A?B) ? 1? P(A)?P(B) ? 1? 0.72? 0.28
例 ２.在一段线路中并联着 3个独立自动控制的常
开开关，只要其中有 1个开关能够闭合，线路就能
正常工作 .假定在某段时间内每个开关能够闭合的
概率都是 0.7 ，计算在这段时间内线路正常工作的
概率。
解：分别记这段时间内开
JA
关 J A ， JB ，JC 能够闭合为事件
JB
Ａ，Ｂ，Ｃ． 由题闭合相互之间没有影
响．
根据相互独立事件的概率乘法公式，这