222事件的独立性精讲

（1）用概率的古典定义。
P ?A B ? （2） P（B︱A）? P ?A ? ， P(A) ＞0
问题：
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋， 2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两 次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下， 第二次取到红皮蛋的概率？
析：设A=“第一次取到红皮蛋”， B=“第二次取到红皮蛋”
1? P(A?B ?C) ? 1? 0.027 ? 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973
变式题1：在图中添加第四个开关 JD 与其它三个开 关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是
0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 .
JA
JB
JD
JC
??1 ? P( A ?B ?C)???P(D) ? 0.973 ? 0.7 ? 0.6811
2.2.2事件的独立性
复习回顾 1、等可能事件及等可能事件的概
率求法，
2、互斥事件及概率求解方法，
3、对立事件及概率求法。
4、条件概率的概念
一般地，若有两个事件A和B，在已知 事件A已发生的条件下事件B发生的概率， 称为在A已发生的条件下B发生的条件概率， 记作：P（B︱A）。
5、条件概率的计算
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
JA
P( A?B ?C) ? P( A) ?P(B) ?P(C)
JB
? ?1? P(A)??1? P(B)??1? P(C)?
JC
? (1? 0.7)(1 ? 0.7)(1 ? 0.7) ? 0.027
∴这段时间内至少有 1个开关能够闭合，从 而使线路能正常工作的概率是
则A∩B=“两次都取到红皮蛋”，由于是有放回的抽取， 所以：
P?A?? 3，P?B?? 3，P?A B?? 3? 3 ? 9
5
5
5? 5 25
P?B︱A??
P?A B?
?
P?A?
3 5
因此：P（B|A ）=P（B）
新课 一、相互独立事件的定义
若事件A是否发生对事件 B发生的概率没有影响，
即
P ?B︱A ?? P, 则 ?B称? 两个事件 A、B相互独
并且上式中任意多个事件Ａ ｉ换成其对立事件后 等式仍成立。
二、应用举例
例１、甲、乙二射击运动员分别对一目标射 击1次，甲射中的概率为0.8 ，乙射中的概率 为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？
P( A?B) ? P( A) ?P(B) ? (1? 0.8)(1? 0.9) ? 0.02
∴“两人至少有 1人击中目标”的概率为
P ? 1? P( A ?B) ? 1? 0.02 ? 0.98
（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包 括“有1人击中”和“2人都未击中”，
故所求概率为：
P ? P(A ?B) ? P( A?B) ? P( A?B)
立，这两个事件叫做 相互独立事件 。
判断 A 、B 是否为相互独立事件？
1、抛掷一枚质地均匀的硬币两次。 记A=“第一次出现正面”， B =“第二次出现正面”
2、甲坛子里有 3个白球，2个黑球，乙坛子里有 2个白 球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出 1个球。 事件A：从甲坛子里摸出 1个球，得到白球； 事件B：从乙坛子里摸出 1个球，得到白球
∴２人中恰有 1人射中目标的概率是 0.26 。
（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人 都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概 率为． P ? P( A?B) ? [P( A?B) ? P( A ?B)] ? 0.72 ? 0.26 ? 0.98
（法2）：“2人至少有一个击中”与“ 2人都未 击中”为对立事件， 2个都未击中目标的概率是，
推广：
１、对于ｎ个事件Ａ １，Ａ２，．．．Ａｎ，如果其中任 一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影 响，则称ｎ个事件Ａ １，Ａ２，．．．Ａｎ相互独立。
２、如果事件Ａ １，Ａ２，．．．Ａｎ相互独立，那么这 ｎ个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概 率的积，即
P?A1 A2 ... An?? P?A1?? P?A2??...? P?An?
解：记“甲射击１次，击中目标”为事件Ａ，“乙 射击１次，击中目标”为事件Ｂ，则 A与B，A与B，A与B，A与B 为相互独立事件，
（1）2人都射中的概率为：
P(A?B) ? P(A)?P(B) ? 0.8? 0.9 ? 0.72
∴２人都射中目标的概率是 0.72
（2）“２人各射击１次，恰有１人射中目标”包
说明:
当A，B相互独立时，由于：
? ? P A
? P（B︱A）
B
=P(B)
P?A?
所以：
P?A B?=P?A?? P?B?
思考：
若A与B相互独立，则
A与 B， A与 B， A与 B
是否相互独立？
两个相互独立事件都发生的概率公式
P?A B?=P?A??P?B?
1、如何求三个相互独立事件同时发生的概率呢 ? 2、如何求有 n个相互独立事件同时发生概率呢？
括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事A件?B
发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A?B 发生）根据题意，事件A ?B 与A ?B 互斥，根 据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概 率乘法公式，所求的概率为：
P(A?B) ? P(A?B) ? P(A)?P(B) ? P(A)?P(B)
? 0.8 ? (1? 0.9) ? (1? 0.8) ? 0.9 ? 0.08 ? 0.18 ? 0.26
? P( A) ?P(B) ? P( A) ?P(B) ? P( A) ?P(B)
? 0.02? 0.08? 0.18? 0.28
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事 件是“2人都击中目标”，
故所求概率为
P ? 1? P(A?B) ? 1? P(A)?P(B) ? 1? 0.72? 0.28
例 ２.在一段线路中并联着 3个独立自动控制的常
开开关，只要其中有 1个开关能够闭合，线路就能
正常工作 .假定在某段时间内每个开关能够闭合的
概率都是 0.7 ，计算在这段时间内线路正常工作的
概率。
解：分别记这段时间内开
JA
关 J A ， JB ，JC 能够闭合为事件
JB
Ａ，Ｂ，Ｃ． 由题闭合相互之间没有影
响．
根据相互独立事件的概率乘法公式，这