矩形、菱形与正方形
矩形 菱形 正方形
（3）添加一个条件，使四边形 ）添加一个条件， EFGH为正方形； 为正方形； 为正方形 E AC=BD且AC ⊥ BD 且
B F
G
C
那么，特殊平行四边形的“ 那么，特殊平行四边形的“中点 四边形”会是怎样的图形呢？ 四边形”会是怎样的图形呢？ 1.矩形的“中点四边形”是菱 矩形的“中点四边形” 形； 矩形的 2.菱形的“中点四边形”是矩 菱形的“中点四边形” 菱形的 3.正方形的“中点四边形”是 正方形的“中点四边形” 正方 正方形的 形。 形；
选择题) 三、基本练习 (选择题 选择题
1.如图，已知正方形 如图，已知正方形ABCD的边长为 ，如果将线段 的边长为2，如果将线段BD 的边长为
绕着点B旋转后， 落在CB的延长线上的 绕着点 旋转后，点D落在 的延长线上的 处，那 旋转后 落在 的延长线上的D’处 等于（ ） 么tan∠BAD′等于（ B 等于 (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 2 2
三、基本练习 (选择题 选择题) 选择题
3. 如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6， 如图，有一块矩形纸片 ， 将纸片折叠， 边落在AB边上 将纸片折叠，使AD边落在 边上，折痕为 ，再将 边落在 边上，折痕为AE， △AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点 ，则 以 为折痕向右折叠， 与 交于点F， 为折痕向右折叠 交于点 的面积为（ △CEF的面积为（C） 的面积为 (A) 4 (B)6 (C)8 (D)10
2
2.矩形 矩形ABCD的顶点 的顶点A，B，C，D按照顺时针方向排列， 按照顺时针方向排列， 矩形 的顶点 按照顺时针方向排列 若在平面直角坐标系中， 若在平面直角坐标系中，B，D两点对应的坐标分别 两点对应的坐标分别 ），（0，0），且A，C两点关于 轴对称， ），且 两点关于x轴对称 是（2，0），（ ），（ ）， 两点关于 轴对称， 点对应的坐标是（ 则C点对应的坐标是（ ） B 点对应的坐标是 (A)(1,1) (B) (1,-1) (C) (1,-2) (D) ( 2 ,- 2 )
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形、菱形、正方形】5大知识要点总结
1. 矩形、菱形和正方形的定义及特点- 矩形是指具有四个直角的四边形，对角线相等，且相对边长相等。
- 菱形是指具有四个边长相等的四边形，对角线垂直且平分。
- 正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有四个直角和四个边长相等的特点。
2. 矩形、菱形和正方形的性质和公式- 矩形的周长和面积分别用公式2*(长+宽)和长*宽表示。
- 菱形的周长和面积分别用公式4*边长和(对角线1*对角线2)/2表示。
- 正方形的周长和面积分别用公式4*边长和边长^2表示。
3. 矩形、菱形和正方形在几何图形中的应用- 矩形常见于建筑物的平面设计、画框、电视屏幕等。
- 菱形在菱形格子、菱形图案、梁的截面等中常见应用。
- 正方形常见于棋盘、地砖、窗户等设计中。
4. 矩形、菱形和正方形与其他几何图形的联系和区别- 矩形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。
- 菱形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。
- 正方形是特殊的矩形和菱形，具有独特的特点和应用。
5. 实际生活中的矩形、菱形和正方形的应用案例- 通过实际案例，解释矩形、菱形和正方形在生活中的运用和意义，如建筑结构、家居设计、工程绘图等。
- 分析实际案例中矩形、菱形和正方形的优缺点，引导读者对几何图形的深入思考和应用。
个人观点和总结通过对矩形、菱形和正方形的深入研究和比较，我深刻地认识到这些几何图形在我们日常生活中的重要性和应用广泛性。
它们不仅是数学中的重要概念，也是实际工程和设计中不可或缺的元素。
在未来的学习和工作中，我将更加注重对这些几何图形的认识和运用，以提高自己的学术和职业能力。
PS: 本文仅代表个人观点，如有不同意见，请指正。
矩形、菱形和正方形是我们生活中常见的几何图形，它们在建筑、设计、工程、艺术等领域都有着广泛的应用。
下面将对它们在不同领域的具体应用进行更详细地介绍。
我们来看矩形在建筑和设计中的应用。
矩形具有四个直角和对角线相等的特点，这使得它成为建筑物中常见的平面结构。
矩形、菱形和正方形的相互关系
矩形、菱形和正方形的相互关系简介矩形、菱形和正方形是几何学中常见的形状。
它们具有一些相似之处，但也有一些区别。
了解它们之间的关系可以帮助我们更好地理解它们的特点和性质。
矩形矩形是一个具有四条边和四个角的四边形。
矩形的对边长度相等且平行，且相邻两边的角度为90度。
矩形的特点是面积容易计算，即面积等于长度乘以宽度。
我们可以使用公式A = l * w来计算矩形的面积。
菱形菱形也是一个具有四条边和四个角的四边形。
与矩形不同的是，菱形的对边长度相等，但相邻两边的角度不一定为90度。
菱形的特点是它的对角线相互垂直且相等。
我们可以使用公式A = (d1 *d2) / 2来计算菱形的面积，其中d1和d2是菱形的对角线长度。
正方形正方形是一个特殊的矩形，它的四条边长度相等且每个角度都为90度。
正方形的特点是它的对角线长度相等且相互垂直。
正方形的面积计算也非常简单，即面积等于边长的平方。
我们可以使用公式A = s^2来计算正方形的面积，其中s是正方形的边长。
相互关系矩形和正方形是有关系的，可以说正方形是矩形的一种特殊情况。
正方形是一种特殊的矩形，其边长相等。
因此，矩形的特性同样适用于正方形。
菱形和矩形之间也有一些关系。
由于菱形的对角线相互垂直，因此它可以划分成四个直角三角形。
这些三角形的特性也适用于菱形。
总结一下，矩形和菱形可以有一些共同的特点和性质，而正方形则是矩形的一种特殊形式。
结论矩形、菱形和正方形之间有一些相似之处，但也有一些区别。
矩形和正方形之间的关系是正方形是矩形的一种特殊情况。
菱形则具有特殊的对角线性质，可以划分成四个直角三角形。
了解这些形状的特性和相互关系可以帮助我们更好地理解几何学的基础概念。
中考专题复习——矩形菱形正方形
中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。
矩形、菱形、正方形课件
(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形＋矩形 ＝正方形，其证明思路有两个：①先证四边形是菱形，再证明它有 一个角是直角或对角线相等(即矩形)；②先证四边形是矩形，再证 明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).
2
诊断自测
1.(2016·益阳)下列判断错误的是( D ) A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 解析 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形才是正方形.
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5.(2016·聊城)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的
点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )
A.115°
B.120°
C.130°
D.140°
解析 ∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A
落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
D.邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有.
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4.(2015·梧州)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延长AD到点E， 使DE＝AD，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AC、CE、EF、AF，则 下列描述正确的是( B ) A.四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4 B.四边形 ACEF 是矩形，它的周长是 2＋2 3 C.四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4 3 D.四边形 ACEF 是矩形，它的周长是 4＋4 3
∴AC＝ 32＋42＝5，故①②④正确，③不正确.
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3.(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )
A.对角线相等
第22讲 菱形、矩形、正方形
一半.
菱形的性质和判别
◆中考指数:★★☆☆☆
1.菱形的性质： (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将 菱形的问题转化为直角三角形去解决. (2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成 等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. 2.菱形的判别的两个思路： (1)若四边形为(或可证明为)平行四边形，则再证一组邻边 相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等.
形的对角线相等且互相平分．
6.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再
加上的一个条件是_______.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为 90°的平行四边形为矩形可得结论. 答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不惟一)
1.(2012·长沙中考)如图，菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交 BC于E，AD=6 cm,则OE的长为( (A)6 cm (C)3 cm (B)4 cm (D)2 cm )
【解析】选C.由于四边形ABCD为菱形， 所以AD=AB=6 cm, OC 1 .
AC 2 由于OE∥AB，所以 OC OE ， AC AB
知 识 点 睛
特 别 提 醒
当已知中出现对角线的相关条件时，常用“对角线相等且
互相垂直平分的四边形是正方形”来证.
【例3】(2012·黄冈中考)如图，在 正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF， 连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【思路点拨】正方形的性质→△AOE≌△DOF→
菱形、矩形、正方形
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
解：∵ ∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 B ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝ 2 √ 3 ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
∠BAD＝1200
D O C
变式：已知菱形ABCD中，E是BC的中点，且 AE⊥BC，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
B
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析：
例3、已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线 与边AD 、BC分别交于E、F E A 求证：四边形AFCE是菱形。
O
D
分析: （1）利用定义判定 （2） 由已知可知
B
OA=OC,EF⊥AC.
X X X
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例2、谁正确？ 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一 天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四 边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人 都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角， 发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线， 发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩 形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
第二节 矩形、菱形、正方形
第二节矩形、菱形、正方形一、课标导航二、核心纲要1.矩形(1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (2)性质①边：对边平行且相等； ②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形． (4)其他判定（需要证明）①对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形，若平行四 边形ABCD 中，,.2222PB PD PC PA +=+则平行四边形ABCD 是矩形，证明方法如下右图所示，将△PAB 平移至△DMC，证明DC ⊥PM ；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形． 2．菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质①边：对边平行且四边相等；②角：邻角互补，对角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑤菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． (3)菱形的判定①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边相等的四边形是菱形． 3．正方形(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． (2)性质②角：四个角都是直角；③对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； ④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． (3)判定①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义：有一组邻边相等，并且有_个角是直角的平行四边形叫做正方形． (4)其他判定（需要证明）①对角线互相垂直的矩形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形；③一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ④四边均相等，对角线相等的四边形是正方形； ⑤四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形； ⑥对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形．(5)平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系（如下图所示）4．直角三角形斜边中线等于斜边一半． 5．对角线互相垂直的四边形的性质①面积是对角线乘积的一半：;21BD AC s ABCD ⋅=四边形 ②对边平方和相等：.2222AD BC CD AB +=+本节重点讲解：两个特殊性质，三个定义，三个性质，三个判定，三、全能突破基 础 演 练1．如图18- 2-1所示，在△ABC 中，D AC BE AC AB ,,⊥=是AB 中点，且C AB BE DE ∠==则.21.的度数是( )．o A 65. 70.B o C 75. 80.D2．如图18-2-2所示，菱形花坛ABCD 的边长为,120,6=∠A m 其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为( )．m A 12. m B 20. m C 22. m D 24.3．菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1:3，则菱形的面积为( )．225.cm A 216.cm B 22225.cm C 2216.cm D4．如图18-2-3所示，平移△ABC 到△BDE 的位置，且点D 在边AB 的延长线上，连接EC 、CD ，若,BC AB = 那么在以下四个结论：①四边形ABEC 是平行四边形；②四边形BDEC 是菱形；③;DC AC ⊥④DC 平分∠BDE ，正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图18-2-4所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，F 是CD 上的点，已知==∆∆ADF ABE s s ,31ABCD s 矩形 则CEF AEF s s ∆∆:的值等于( )．2.A3.B4.C5.D6．如图18-2-5所示，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且,45,60=∠=∠=∠FAD D EAF 则=∠CFE 度．7．如图18-2-6所示，正方形ABCD 的边长为1，E 为AD 中点，P 为CE 中点，F 为BP 中点，则F 到BD 的距离等于8．如图18-2-7所示，四边形ABCD 是矩形，.90,=∠∠=∠DEC CAB EDC(1)求证：.//DE AC(2)过点B 作AC BF ⊥于点F ，连接EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由．能 力 提 升9．如图18-2-8所示，矩形ABCD 的面积为G F E cm 、、,362分别为AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 上任一点，则图中阴影部分的面积为( )218.cm A 216.cm B 220.cm C 224.cm D10.如图18-2-9所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为( ) A ．142 B ．143 C ．144 D ．14511.从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于( )．135.A 150.B 110.C 120.D12.如图18 -2 -10所示，在菱形ABCD 中，,60 =∠BAD M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点， 若PB PM +的最小值是3，则AB 的长为( )．3.A 3.B 6.C 32.D13.如图18 -2 -11所示，两个边长相等的正方形ABCD 和OEFG ，若将正方形OEFG 绕点0按逆时针方向旋转,150则两个正方形的重叠部分四边形OMCN 的面积( )．A.不变 B ．先增大再减小 C ．先减小再增大 D ．不断增大14.矩形的周长为p ，对角线长为d ，则此矩形的长与宽的差可表示为( )．22821.P d A - 22821.P d B + 22621.P d C - 22621D.p d +15.如图18 -2 -12所示，在□ABCD 中，BC AF ADC ⊥=∠,78于点F ，AF 交BD 于点E ，若,2AB DF =则=∠AFD16．(1)如图18 -2 -13所示，菱形ABCD 的对角线的长度分别为4、5，P 是对角线AC 上的一点，PE∥BC 交AB 于点E ，PF∥CD 交AD 于点F ，则图中阴影部分的面积是(2)如图18 -2 -14所示，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=3cm ，EF∥GH∥BC，点P 、Q 是EF 上的任意两点，R 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为____．17．如图18 -2 -15所示，在直线L 上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2m ，3m ，6m ，现作一平行于L 的盲线m ，使截得三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，则L ，m 之间的距离应为18.如图18 -2 -16所示，线段AB 的长为,220cm 点D 在线段AB 上，△ACD 是边长为10cm 的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G （不与D 重合）作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为0，连接OB ，则线段BO 的最小值为19.如图18 -2 -17所示，在四边形ABCD 中，,35,6,120,135-===∠=∠BC AB BCD ABC6CD =,求AD 的长．20.如图18 -2 -18所示，在Rt△ABC 中，,4,3,90===∠BC AC C点P 为AB 边上任一点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，求线段EF 的最小值．21.如图18 -2 -19所示，以Rt△ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为0，连接AO ，如果,26,4==AO AB 求AC 的值．22.已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(A 、D 、E 、F 按逆时针排列)，使,60=∠DAF 连接CF ．(1)如图18-2-20(a)所示，当点D 在边BC 上时，求证：.;CD CF AC CF BD +==②①(2)如图18-2-20(b)所示，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论CD CF AC +=是否 成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图18-2-20 (c)所示，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．中 考 链 接23.（2012．威海）如图18 -2 - 21所示，在平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是( )．AF AE A =. AC EF B ⊥. 60.=∠⋅B C D.AC 是∠EAF 的平分线24.（2012．青海）已知：如图18-2-22所示，D 是△ABC 的边AB 上一点，DN AB CN ,//交AC 于点M ，.MC MA =(1)求证：.AN CD =(2)若,2MCD AMD ∠=∠求证：四边形ADCN 是矩形．巅 峰 突 破25．(1)将七个边长都为1的正方形按图18-2-23所示方式摆放，点、、21A A 6543A A A A 、、、分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是(2)如图18-2-24所示，将边长为),3,2,1(21 =+n n的正方形纸片从左到右顺序摆放，其对应的正方形的中心依次为①、、、 321A A A 若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 ；②若摆放前n 个（n 为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为26. 如图18-2-25所示，正方形ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 点分别在BC 、CD 边上，且△AEF 是等边三角形．(2)过点D 作DG ⊥BD 交BC 延长线于点G ，在DB 上截取DH =DA ，连接HG.请你参考下面方框中的方法指导，证明：GH =GE.27.已知：在矩形ABCD 中，,12,10==BC AB 四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，.2=AE(1)如图18-2-26(a)所示，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积； (2)如图18-2-26(b)所示，当四边形EFGH 为菱形，且BF=a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）； (3)在(2)的条件下，△GFC 的面积能否等于2?请说明理由．。
判定“矩形、菱形与正方形”的误区
判定“矩形、菱形与正方形”的误区矩形、菱形、正方形是三类特殊的平行四边形，有关判定是其重要内容，初学时，不少同学们会出现各种错误．本文将分类对有关常见判定误区进行剖析，供参考．一、有关矩形判定的误区例1判断下列说法是否正确（1）有三个角相等的四边形是矩形．（2）对角线相等的四边形是矩形．错解：（1）正确；（2）正确．剖析：（1）是把矩形的识别方法记错了，应是“有三个角是直角的四边形是矩形”，其中的条件是“三个角是直角”而不是“三个角相等”；（2）中错误地认为“对角线相等的四边形是矩形”，对矩形的识别方法理解不透彻．我们知道只有在平行四边形中加上“对角线相等”的条件，得到的才是矩形．正解：（1）错误；（2）错误．二、有关菱形判定的误区例2如图，已知在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线与BC 交于点E ，∠B 的平分线与AD 交于点F ，AE 与BF 交于点O ，试说明：四边形ABEF 是菱形．错解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以4321F E O DC B AAD∥BC，所以∠ABE∠BAF=180º．因为AE 、BF分别是∠BAF、∠ABE 的平分线，所以∠1=∠2=21 ∠BAF，∠3=∠4=21∠ABE．所以∠1∠3=21（∠BAF∠ABE）=21×180º=90º，即∠AOB=90º，所以AE⊥BF，所以四边形ABEF 是菱形．剖析：本题的说理步骤看似严密，实际上忽略了菱形的判定条件，只有对角线垂直的四边形不是菱形，必须还要说明对角线互相平分，或者再说明四边形是平行四边形才能判定它是菱形．正解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠ABE∠BAF=180º．因为AE 、BF 分别是∠BAF、∠ABE 的平分线，所以∠1=∠2=21∠BAF，∠3=∠4=21∠ABE．所以∠1∠3=21（∠BAF∠ABE）=21×180º=90º，即∠AOB=90º，所以AE⊥BF．因为∠4=∠AFB，∠4=∠3．所以∠3=∠AFB．所以AF=AB ．同理BE=AB ．所以AF=BE ．又因为AF∥BE．所以四边形ABEF 是平行四边形．所以ABEF 是菱形．三、有关正方形判定的误区例3判断下列说法是否正确（1）四条边相等的四边形是正方形．（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形． 错解：（1）正确；（2）正确；（3）正确．剖析：（1）虽有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是一角是直角，或其他判定是菱形又是矩形的条件；（2）此题错误是对正方形的识别方法不清楚造成的，对角线相等且互相垂直，但对角线不一定平分，故不能判定它是正方形；（3）片面应用了正方形的性质，虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角，但反过来就不成立了，它只能判定是菱形，还缺少一个再判断它是矩形的条件．正解：（1）错误；（2）错误；（3）错误．。
矩形菱形正方形
我思,我进步
1
四边形之间的关系
四边形之间有何关系？ 特殊的平行四边形之间呢 还记得它们与平行四边形的关系吗? ？ 能用一张图来表示它们之间的关系吗?
矩形 平行四边形 正方形 菱形 四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
驶向胜利 的彼岸
类型一 矩形的性质与判定
(1)如图， 已知矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠， 记点 C 的对应点为 C′， 若∠ADC′ ＝20° ，则∠BDC 的度数为________．
解：(1)四边形 EFGH 为平行四边形，连结 AC. 1 ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF∥AC，EF＝ AC. 2 1 同理 HG∥AC，HG＝ AC. 2 ∴EF∥HG，EF＝HG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形 (2)四边形 ABCD 的对角线垂直且相等．
一、选择题 1．菱形的周长为 8 cm，高为 1 cm，则菱形两邻角度数比为( A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1
第 2 讲 矩形 菱形 正方形
①矩形；②菱形；③正方形．
知识点一 矩形的定义、性质和判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴 对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形．
2 010 解析：机器人每走 8 米为一循环， 余数为 2，则最终停在 C 点． 8
答案：C
11．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在 C′处，折痕为 EF， 若∠ABE＝20° ，那么∠EFC′的度数为________度．
专题六 矩形、菱形与正方形
专题六 矩形 、菱形和正方形【要点整合】 1、矩形（1）定义： . （2）它具有平行四边形的所有性质，还具有特殊的性质： ①角： ②对角线： 结合图6-1矩形的性质可表示为： ∵四边形ABCD 是矩形∴由此得到：直角三角形斜边的中线等于 .用符号语言可表示：∵ ∠ABC=90°，AO=CO ∴ （3）矩形判定方法：① 的平行四边形是矩形。
② 的平行四边形是矩形。
③ 的四边形是矩形。
（4）面积关系：S 矩形ABCD = S △ABC = S △AOB = S △AOD 2、菱形（1）定义： . （2）特殊性质：①边： ②对角线： 结合图6-2菱形性质用符号语言可表示为： ∵ ∴ABDC图6-1O你能用符号语言表示吗？试试看B AD C图6-2O（3）菱形判定方法：① 的平行四边形是菱形。
② 的平行四边形是菱形。
③ 的四边形是菱形。
（4）面积计算：S 菱形ABCD =S 菱形ABCD = S △ABC = S △AOB = S △AOD3、正方形（1）定义： . （2）特殊性质：①边： ②角： ③对角线 结合图6-3正方形性质用符号语言可表示为： ∵ ∴ （3）判定方法.① 的矩形是正方形。
② 的矩形是正方形。
③ 的菱形是正方形。
④ 的菱形是正方形。
4、面积计算：S 正方形ABCD = = S □ABCD = S △ABD = S △ABC = S △AOB【自主探究】1、如图6-4，如图，在矩形ABCD 中，若AC=2AB ，则∠AOB 的大小是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°尝试用符号语言表示菱形的判定定理.图6-3BADCO尝试用符号语言表示正方形的判定定理.6-4 6-5 6-6 2、如图6-5，要使平行四边形ABCD 成为矩形，需添加的条件是（ ）. A ．AB=BC B ．AC ⊥BD C ．∠ABC=90° D ．∠1=∠23、如图6-6，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是 .4、如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ．则四边形AECF 是 .5、在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ； 求证：DF=DC ．6、在正方形ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接AG ，过B ，D 两点分别作BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，垂足分别为E ，F 两点，求证：△ADF ≌△BAE ．家长签字：年 月 日6-76-8ABDCG FE【例题精析】例1、如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ） A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.5分析根据已知得出四边形AEPF 是矩形，连接对角线AP ，得出EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可． 解：连接AP ，∵∠A=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ， ∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°， ∴四边形AFPE 是 ∴EF= ，要使EF 最小，只要 最小即可， 过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：AB=5， 由三角形面积公式得： 21AB ·AC=21 BC ·AP ，即21×3×4=21×5×AP ∴AP= ，即EF= ，故选．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．例2如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是 ．分析：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF 是等边三角形，再根据勾股定理计算出AE=EF 的值，再过A 作AM ⊥EF ，再进一步利用勾股定理计算出AM 的值，即可算出三角形的面积． 解题思路6-9 6-106-11考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．例3、如图6-12中①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．6-12（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE 1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB 之间的数量关系．（不需要证明）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．：解：【拓展探究】已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ⊥ED ；④S △APD+S △APB=21+6； ⑤S 正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是 解题思路【当堂测练】1、如图6-14，如图，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为（ ） A ．6cm B ．4cm C ．2cm D ．1cm6-14 6-15 6-16 2、如图6-15，如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是 3、如图6-16，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为 ．4、如图6-17所示，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为12cm ，16cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是6-136-17 6-18 6-195、如图6-18所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODC交OC于点E，若AB=2，则线段OE的长为．6、如图6-19，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PF⊥BD 于F，PE⊥AC于E，则PE+PF的值为.7、如下图所示，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为8、如图6-20，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．家长寄语：年月日6-20。
初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点
初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度数。
例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
例5 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。
初三总复习 矩形、菱形、正方形的性质与判定
矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。
这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。
二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定。
2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。
如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。
另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。
（）分析：不正确。
反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。
2、对角线相等的四边形是矩形。
分析：不正确。
因为对角线不平分，未必是平行四边形。
反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。
3、四个角都相等的四边形是矩形。
分析：正确。
因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。
4、对角线互相垂直的四边形是菱形。
几何公式定理：矩形,菱形、正方形
几何公式定理：矩形，菱形、正方形
几何公式定理：矩形
1、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
2、矩形性质定理2矩形的对角线相等
3、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
4、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
几何公式定理：菱形
5、菱形性质定理1菱形的四条边都相等
6、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
7、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)2
8、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
9、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何公式定理：正方形
1、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
3、定理1关于中心对称的两个图形是全等的
4、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
5、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
矩形菱形与正方形ppt课件
类型二 菱形的性质与判定 例2 (2013·黄冈)如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH， 求证：∠DHO＝∠DCO.
【思路分析】根据菱形的对角线互相平分可得 OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出 ∠OHB＝∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求 出∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等证明 即可．
(1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连结AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四 边形ABFC为矩形．
【思路分析】(1)利用AAS可得 出三角形ABE与三角形FCE全等；
(2)利用对角线相等的平行四边 形为矩形可得出四边形ABFC为矩 形．
14
【答案】证明：(1)∵E是BC中点， ∴BE＝CE. ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.
A．14 C．16
B．15 D．17
6
3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O， 若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( C )
A．24 B．16 C．4 13 D．2 3
7
4．(2013·台湾)如图，四边形ABCD、AEFG均为 正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连 结BG.根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、 ∠4的大小关系为( D )
A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4
8
5．(2013·遵义)如图，在矩形ABCD中，对角线
AC、
BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点9 ，若
AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝
cm.
9
几何公式定理：矩形,菱形、正方形
几何公式定理：矩形，菱形、正方形
几何公式定理：矩形
1、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
2、矩形性质定理2矩形的对角线相等
3、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
4、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
几何公式定理：菱形
5、菱形性质定理1菱形的四条边都相等
6、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
7、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)&pide;2
8、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
9、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何公式定理：正方形
1、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
3、定理1关于中心对称的两个图形是全等的
4、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
5、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
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矩形、菱形与正方形
学习目标：
1、知道矩形、菱形与正方形的概念；
2、能熟练运用矩形、菱形与正方形的性质、判定；
3、知道平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系;
一、任务先学
1、在平面中，下列命题为真命题的是( )
A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
2、已知四边形ABCD是对角线互相平分的四边形，O为对角线交点，请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）
3、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
4、如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数
为，小球P所经过的路程为．
5、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形
A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形
A2013B2013C2013D2013的周长是．
6、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为．
7、如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G．连接GF．下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；
③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．
若S△OGF=1，则正方形ABCD面积为6+4
.其中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．
4 D．5
8、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是．
二、典例剖析：
1.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M 是AB边
上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为________时，四边形AMDN是菱形．
2.如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，求BC的长．
三、综合演练：
菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝
，BD＝4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP＝x．
（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；
（2）若S1＝S2，求x的值．
近三年杭州中考相关内容：
21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
21．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DE上，点A，D，G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．
（1）求sin∠EAC的值．
（2）求线段AH的长．
1. 如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，
∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=_______________________________
探究：正方形ABCD中，E是AD边上一点，AB＝4，ED＝1，作BE的垂直平分线分别交AB，BE，CD于G，F，H，求FH的值．
（
例1：如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于E，BF⊥AP 于F，CH⊥DE于H，BF的延长线交CH于点G，
（1）求证：AF－BF＝EF．
（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明．
（3）若AB＝
，BF＝1，求四边形EFGH的面积．
（
（例1）
1.如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，则菱形ABCD面积和正方形EFGH面积之比
为．
(练习1）
2．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则GH＝．
（（第3题）。