高等数学函数

§1 函数

本节内容: 一、邻域 二、函数的概念 三、基本初等函

数

四、复合函数 五、初等函数

一、邻域

1. 定义1: 设,a R R δ+

∈∈, 则

—点a 的δ邻域

a —(,)U a δ的中心,

δ—(,)U a δ的半径.

2. 定义2:

—点a 的去心δ邻域

二、函数的概念

f ——定义在D 上的函数;

D ——定

义域;

x ——自变量; y ——因

变量;

()f x 0——x 0处的函数值;

{}(),W y y f x x D ==∈——值域. 注意: 函数的两个要素——定义域和对应法则.

补例1 求下列函数的定义域.

(1) y =

1; (2)

ln

y x =+1

2

. 三、基本初等函数

基本初等函数指下列5类: 幂函数 是常数()y x μ

μ= 指数函数 是常数(,,)x

y a a a a =>≠01

对数函数

是常数log (,,)a y x a a a =>≠01

三角函数

sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x

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反三角函数

arcsin ,arccos ,arctan ,arccot y x y x y x y x

====

(一) 幂函数 1. 幂函数的定义: 2. 幂函数的图形与性质:

(a) μ取不同值, 幂函数的定义域与值域均可能不同;

(b) 对任意μ, 函数图形都过点(1,1); 当

0μ>时, 图形过点(0,0)和(1,1);

(c) 当0μ>时, 幂函数在(0,)+∞为单调递增函数;

图 1-2

2

x -1

图 1-1

2

而0μ<时, 幂函数在(0,)+∞为单调递减函数;

(d) 幂函数为无界函数. 3. 幂函数的运算性质: (a) a a a α

β

αβ

+⋅=;

(b) a

a

a

ααβ

β

-=;

(c) ()a a αβαβ

=; (d) ()a b a b μ

μ

μ

⋅=⋅. (二) 指数函数 1. 指数函数的定义: 2. 指数函数的图形与性质: (a) 定义域为R , 值域为R +; (b) a 不论取何值, 函数图形都过点(0,1);

(c) 当1a >时, 指数函数为单调递增函数, 而01a <<时, 指数函数为单调递减函数;

图 1-3

(d) 指数函数为无界函数; (e) 指数函数是非奇非偶函数. 3. 指数函数的运算性质: 与幂函数的运算性质相似, 略. (三) 对数函数 1. 对数函数的定义: 其中a ——底数. 一种特殊对数: ln y x =. 2. 对数函数的图形与性质: (a) 定义域为R +

, 值域为R

(b) a 不论取何值, 函数图形都过点(1,0);

(c) 当1a >时, 对数函数为单调递增函数; 而01a <<时, 对数函数为单调递减函

数;

(d) 对数函数为无界函数; (e) 对数函数是非奇非偶函数.

图 1-4

x

3. 对数函数的运算性质: (a) log ()log log a a a uv u v =+;

(b) log log log a a a u

u v v

=-;

(c) log log v

a a u v u =;

(d) ln log ln a x

x a

=.

(四) 三角函数 1. sin ,cos y x y x ==:

sin y x =——正弦函数;

cos y x =——余弦函数.

sin ,cos y x y x ==的图形与性质:

(a) 定义域均为R , 值域均为[1,1]-; (b) sin ,cos y x y x ==均为非单调函数;

(c) sin ,cos y x y x ==均为有界函数; (d) sin y x =为奇函数, cos y x =为偶函数; (e) sin ,cos y x y x ==均为周期函数. 2. tan ,cot y x y x ==:

tan y x =——正切函数;

cot y x =—

—余切函数.

tan ,cot y x y x ==的图形与性质:

(a) tan y x =定义域为1

\{()}2R k π+,

cot y x =定义域为\{}R k π,

值域均为R ;

(b) tan ,cot y x y x ==均为非单调函数; (c) tan ,cot y x y x ==均为无界函数;

图 1-6

(d) tan ,cot y x y x ==均为奇函数; (e) tan ,cot y x y x ==均为周期函数. 3. sec ,csc y x y x ==:

1

sec cos y x x ==

——正割函数; 1

csc sin y x x

==

——余割函数. (五) 反三角函数

1. arcsin ,arccos y x y x ==:

arcsin y x =——反正弦函数;

arccos y x =——反余弦函数.

arcsin ,arccos y x y x ==的图形与性质: