2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何创新引领微课盘点优化解析几何中的方略技法课件新人教A版

m)2
＋
y
2 P
＝
(xP
＋
m)2
＋
4mxP
，
则
|PF|
|PA|
2
＝
（xP＋m）2 （xP＋m）2＋4mxP
＝
1 1＋（x4P＋mxmP ）2
≥ 1＋（2
1 4mxP
＝12(当且仅当
xP·m）2
xP＝m
时取等号)，所以||PPAF||≥
22，所以||PPAF||的最小
值为
2 2.
答案Fra Baidu bibliotek
2 2
技法二 设而不求，整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或 弦的中点的轨迹方程时，常常用代点法求解. 【例2】 已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且 它们的斜率之积为－2. (1)求动点 M 的轨迹方程； (2)若过点 N12，1的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C，D 两点，且 N 为线段 CD 的中点， 求直线 l 的方程.
【训练 2】 过点 M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆 C：ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于________.
解析
ax122＋yb212＝1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax222＋yb222＝1，
24x 的准线上，所以(－6，0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，所以 λ＝9，所以
双曲线的方程为x92－2y72 ＝1.
答案 B
思维升华 本题利用共渐近线系双曲线方程，使问题得到解决，避免了复杂的判断、
可能的分类讨论、繁杂的解方程组，达到了事半功倍的效果.
【训练4】 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28
解 (1)由题意知ca＝12，得 a＝2c，所以 a2＝4c2，b2＝3c2，将点 P1，32代入4xc22＋3yc22 ＝1 得 c2＝1，故所求椭圆方程为x42＋y32＝1. (2)由(1)可知F1(－1，0)，设直线l的方程为x＝ty－1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 显然判别式大于0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0， 则有 y1＋y2＝4＋6t3t2，y1y2＝4＋－39t2，r0＝37 2，
由题设知，直线 AN 的方程为 y＝－1k(x＋ t)，
同理可得|AN|＝6k
t（1＋k2） 3k2＋t .
由 2|AM|＝|AN|得3＋2tk2＝3k2k＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1). 当 k＝3 2时上式不成立，因此 t＝3k（k23－k－21）. t＞3 等价于k3－2kk3－2＋2k－2＝（k－2） k3－（2k2＋1）＜0，即kk3－－22＜0. 由此得kk－ 3－22＞＜00，或kk－3－22＜＞00，，解得3 2＜k＜2. 因此 k 的取值范围是(3 2，2).
A.3x62 －1y028＝1
B.x92－2y72 ＝1
C.1x028－3y62 ＝1
D.2x72 －y92＝1
解析 由双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，可设双曲线的 方程为 x2－y32＝λ(λ＞0).因为双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线 y2＝
3
A. 2
B. 3
C.2
6 D. 2
解析 焦点 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，在 Rt△AF1F2 中，|AF1|＋|AF2|＝4，① |AF1|2
＋|AF2|2＝12，② 联立①②可解得|AF2|－|AF1|＝2 2，即 2a＝2 2，又 2c＝2 3，
故双曲线的离心率 e＝ac＝
3＝ 2
思维升华 1.本题设出C，D两点坐标，却不求出C，D两点坐标，巧妙地表达出直 线CD的斜率，从而快速解决问题. 2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：(1)凡是不必直接计算 就能更简洁地解决问题时，都尽可能实施“设而不求”；(2)“设而不求”不可避 免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.
所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
技法四 借“曲线系”，理清规律
利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中
重要的解题方法和技巧之一. 【例 4】 已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一
个焦点在抛物线 y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )
盘点优化解析几何中的方略技法
微点聚焦突破
技法一 巧用定义，揭示本质 定义是导出其性质的“发源地”，解题时，善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合 思想为指导，把定量分析有机结合起来，可使解题计算量大为简化.
【例 1】 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1， C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )
∴（x1－x2）a（2 x1＋x2）＋（y1－y2）b（2 y1＋y2）＝0，
∴yx11－ －yx22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22. ∵yx11－ －yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－ba22＝－12，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴ca＝
解 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0， 当 t＝4 时，E 的方程为x42＋y32＝1，A(－2，0). 由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为π4. 因此直线 AM 的方程为 y＝x＋2.
将 x＝y－2 代入x42＋y32＝1 得 7y2－12y＝0， 解得 y＝0 或 y＝172，所以 y1＝172. 因此△AMN 的面积 S△AMN＝2×12×172×172＝14494.
所以
S△AF2B
＝
S△AF1F2
＋
S△BF1F2
＝
1 2
|F1F2|·|y1
－
y2|
＝
1 2
|F1F2|·
（y1＋y2）2－4y1y2 ＝
12 t2＋1 4＋3t2 .
而 S△AF2B＝12|AB|r0＋12·|BF2|r0＋12|AF2|r0＝12r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)
＝12r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)＝12r0·4a＝12×37 2×8＝127 2， 所以124＋t23＋t2 1＝127 2，解得 t2＝1， 因为所求圆与直线 l 相切，所以半径 r＝ t22＋1＝ 2，
＝0的交点的圆的方程为( )
A.x2＋y2－x＋7y－32＝0
B.x2＋y2－x＋7y－16＝0
C.x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D.x2＋y2－4x＋4y－8＝0
2 2.
即椭圆
C
的离心率
e＝
2 2.
答案
2 2
技法三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方 法来解，也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系 数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过 程简捷. 【例 3】 已知椭圆 E：xt2＋y32＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k＞0) 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.
此时 CD 的中点不是 N，不合题意.
故设直线 l 的方程为 y－1＝kx－12， 将 C(x1，y1)，D(x2，y2)代入 2x2＋y2＝2(x≠±1)得22xx1222＋ ＋yy2221＝＝22，，②①
①－②整理得 k＝yx11－ －yx22＝－2（yx11＋＋yx22）＝－2×2×2×1 12＝－1， ∴直线 l 的方程为 y－1＝－1×x－12， 即所求直线 l 的方程为 2x＋2y－3＝0.
解 (1)设 M(x，y)，因为 kAM·kBM＝－2，所以x＋y 1·x－y 1＝－2(x≠±1)， 化简得 2x2＋y2＝2(x≠±1)，即为动点 M 的轨迹方程.
(2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2).当直线 l⊥x 轴时，直线 l 的方程为 x＝12， 则 C12， 26，D12，－ 26，
26，故选
D.
答案 D
思维升华 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快 速求出双曲线的实轴长，进而求出双曲线的离心率，大大减小了运算量.
【训练 1】 抛物线 y2＝4mx(m＞0)的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的动点，若点 A(－m，
0)，则||PPAF||的最小值为________. 解析 设点 P 的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋
思维升华 本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出 x1＝ t（33＋－tkt2k2），这体现 了“设而不求，整体代换”的思想.这是解决解析几何问题常用的方法，简单易懂， 通过设而不求，大大减少了运算量.
【训练 3】 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为12，且经过点 P1，32，左、 右焦点分别为 F1，F2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若△AF2B 的内切圆半径为37 2，求以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程.
(2)由题意知，t＞3，k＞0，A(－ t，0).
将直线 AM 的方程 y＝k(x＋ t)代入xt2＋y32＝1
得(3＋tk2)x2＋2 t·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由 x1·(－ t)＝t23k＋2－tk32t得 x1＝ t（33＋－tkt2k2），
故|AM|＝|x1＋
t|
1＋k2＝6
t（1＋k2） 3＋tk2 .