第五章 §1 平衡不完全区组设计

∴ ∴
N 1 v1′v = 1 v1′v N 即 NJ v = J v N N N ′N = (r λ )N + λ J v N = N [(r λ )I v + λ J v ] = NN N ′ = (r λ )N + λ NJ v
∵
r≠λ ∴
∴ N ≠ 0 ∴ N ′N = N N ′ α ij = λ i≠ j
2.性质: 1) N的每一行和为 r N1b = r1v 2) N的每一列和为 k N′1v = k1b r λ λ λ r λ NN ′ = = (r λ )I v + λ1v1′v λ λ r
3) N的任意两行的内积和为 λ
三,BIBD中参数间的关系
1.在BIBD( b, v, r, k , λ )中 (1)bk = vr
另一方面,除 θ外的 v 1个处理中的每个处理在 这r
2 .Fisher 不等式 在 BIBD 中, b ≥ v或 r ≥ k 证:反证法 将关联阵 N v× b 扩大为一方阵 N 1 = (N 0 v×( v b ) ) r N′ λ ′ N 1 N 1 = (N 0 ) = N N ′ = 0′ λ ′ = rk (r λ )v 1 ≠ 0 ∴ N1N1 ∴ N1 ≠ 0 与 N1 = 0 矛盾 λ λ r λ λ r 若b < v 则
§1 平衡不完全区组设计
一,BIBD(balanced incomplete block design) 1.定义 将v个处理安排到b个区组中,称为一个 BIBD(b,v,r,k, λ) 1)每个区组包含k个处理——区组大小 2)每个处理在r个区组中出现——处理重复数 3)每对处理在λ个区组中相遇——相遇数
2.例 在3个不同地块(区组)比较3个不同的麦 种(处理,分别记为A,B,C)若每个地块只能 种植2个麦种,则可采用下表所示的平衡不完 全区组设计——BIBD(3,3,2,2,1)
区 1 处 理 A B C * * * 2 * * * 组 3
二,BIBD的关联矩阵
1.定义: BIBD的关联矩阵为 v × b阶的 0 1阵 N = ( n ij ) 1 第i个处理在第 j个区组中出现 n ij = 否则 0
四,由已知的 BIBD 构造新的 BIBD 2 .wenku.baidu.com称 BIBD 的导出设计 3 .对称 BIBD 的剩余设计
1 .构造已知 BIBD (b , v , r , k , λ )的互补设计
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3 .在对称 BIBD 中任两个区组恰有 λ 个处理相同 证:设关联阵为 N ,则 α 12 α 1b k k α 2b α 21 N ′N = α α b2 k b1 已知 N N ′ = (r λ )I v + λ1v1′v ∵ b = v ∴r = k ∴ N1v1′v = r1v1′v = k1v1′ ′v N = 1v (N ′1v )′ = k1v1′ 1v1
(2 )r (k 1) = λ(v 1) (3)BIBD成为完全区组设计 k = v, λ = r = b 证 (2 )任取一处理 θ,它在 r个区组中出现 在这 r个区组中除 θ外另有 r (k 1)试验单元
个区组中都出现了 λ次 ∴ 在这 r个区组中除 θ外另有 λ (v 1)个试验单元 ∴ r (k 1) = λ (v 1)