线性规划经典例题及详细解析

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩

则22

x y +的最小值是 。

3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩

，则 y

x

的取值范围是（ ）.

A. [95，6]

B.（－∞，9

5

]∪[6，＋∞）

C.（－∞，3]∪[6，＋∞）

D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题

4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,

22115x y x y x 则1010z x y =+的最大

值是 。

四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题

5. 已知变量x ，y 满足约束条件14

22x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩

。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处

取得最大值，则a 的取值范围为 。

6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪

-+≤⎨⎪≤⎩

，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的

值为（ ）

A. －3

B. 3

C. －1

D. 1

五、求可行域的面积

7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪

+-≤⎨⎪≤⎩

表示的平面区域的面积为 （ ）

A. 4

B. 1

C. 5

D. 无穷大

解析：

1. 如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点

A(3,4)处，目标函数z 最大值为18。

2. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而2

2

x y +表示可行域内

一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。2

2

x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 3.

y

x

是可行域内的点M （x ，y ）与原点O （0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x 取得最小值9

5；当直线OM 过点（1，6）时，

y

x

取得最大值6. 答案A 点评：当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

4. 如图，作出可行域，由101010

z

z x y y x =+⇒=-+

，它表示为斜率为1-，纵截距为

10

z

的平行直线系，要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119

(,)22

A z 取得最大

值。因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内A 点附近整点B （5，4）、C （4，4），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z = 点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

y a

z x b

-=

-(,)P x y (,)Q b a 图1

图2

5. 如图，作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -，

纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过A 点且在直线

4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范

围为(1,)+∞。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

6. 如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a >0)

取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a =1，选D 。

7. 如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积

减去梯形OMAC 的面积即可，选B 。

x + y = 5

x – y + 5 = 0

O

y

x

x=3 2x + y – 6= 0

x ＋y – 3 = 0

O

y

x

A B C

M y =2