晶格(2)

金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点。
金刚石结构每个原胞包含1个
格点,基元由两个碳原子组成,
位于（0,0,0）和处
1 4
,
1 4
,
1 4
所以,单胞包含4个格点,8个原子
(b)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角 线位移1/2的长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格 其单胞为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
、体心、面心)：
(a)简立方(simple cubic,简称SC)
c b
av1 av2 av3
v ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi
v aj
v ak
单胞包含1个格点。
原胞的体积与单胞体
积相同 Ω a 3
a
(b)面心立方(face-centered cubic,简称fcc )
ak
a1
a2 a j a3
av1
a 2
vv j k
(c)
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的
点子在空间有规则地做周期性无限分布，这些
呈周期性无限分布的几何点的集合形成一个空
间点阵，通过这些点做三组不共面的平行直线
族，形成一些网格，称为晶格。相应的代表点
称为格点
用矢量
v R
n1av1
n2av2
n3av3
(n1, n2 , n3取整数)
表示格
点的排列。
某一原子周围最近的原子数,称为配位数.常用
符号 z 表示。
它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子 排列越紧密，配位数越大。 2.密堆积(close-packed)
如果晶体由完全相同的一种粒子组成,而粒子 被看作小圆球,这些全同的小圆球最紧密的堆积 称为密堆积.
(1)六角密积(hexagonal close-packed structure,简写HCP)
简单晶格
复式晶格
四、 原胞(primitive cell)
1. 原胞的概念
原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元， 整个晶格可看成是由无限多个原胞无间隙地紧 密排列而成，或者说将原胞平移一切可能的格 矢量便可得到整个晶格。
对于三维晶格，在晶格中取一个格点为顶点， 以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平 行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三 个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整 个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为原胞， 代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移矢 量，简称基矢。
氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子 的选取方法相同。 每个原胞包含1个格点，每个单胞包含4个格点
基元由一个Cl-和一个Na+组成。
Cl-的坐标为
1 2
,
1 2
,，12
Na+的坐标为 (0,0,0)
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角
线位移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组
晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽略 了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的周 期性。
(3)格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置， 称为格点。 一个格点代表一个基元，它可以代表基元重 心的位置，也可以代表基元中任意的点子。
(a)
(b)
2.布拉维格子、简单晶格和复式晶格 (1)布拉维格子
成简立方格子，其布拉维晶格为简立方，氯化
铯结构属简立方。
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格
点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为
1 2
,
1 2
，, 12
Cs+的坐标为 (0,0,0)
(d)钙钛矿结构
Ba O Ti
钙钛矿的氧八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简 立方子晶格套构而成的。一个晶胞包含1个钡原子、1个 钛原子和3个氧原子。钙钛矿结构常写成ABO3的形式。
A A B 简立方。
A A AA
B
一个晶胞包含2个B原子和6 个A原子。
--钨结构由8个子晶格套构而成。
在立方晶胞的顶角和体心上是B原子，A原子 位于6个面上，每个面上有两个原子，都在面 的中线上，相对的面上A原子的排列互相平行, 三组相对面上A原子的排列互相垂直
五、 密堆积、配位数和致密度 1.配位数(coordination number)
所有近邻格点连线的垂直平分面(或中垂线)， 由这些垂直平分面(或中垂线)所围成的以该格 点为中心的最小体积(或面积)即为WS原胞。
注： 1). WS原胞既是晶格体积的最小重复单元， 又能直观反映晶格全部宏观对称性。所以， WS原胞也称为对称化原胞；
2). WS原胞的取法与倒 格子空间中构成简约布 里渊区(Brillouin zone) 的方法相同
a4 a3
a6
a5
原胞 比较
单胞是原胞 面积的3倍
a8 a7
维格纳--塞茨原胞
具有六角对称性的单胞
(3)三维
立则取方有i晶v, 系vajv为,k(vc坐auivb标,bivc轴) a的vjav,单cvbv位bva矢kvcv 量cv,av 单胞的体积: V a3
av
v b
cv
a
cv
v b
av
对于立方晶系又可以分为以下几种情况(简单
3). WS原胞所包含的格 点位于原胞的中央。
维格纳--塞茨原胞
4.单胞(unit cell)或惯用单胞(conventional unit cell) 1).定义 由于原胞选取时，必须满足晶格的最小周期性 单元的要求，所以，很多情况下原胞不能反映出
晶基格 矢的av对, bv称构, cv性成。的因平而行，六在面晶体体作学为中周，期习性惯重用复晶排系列
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内 作周期性分布
(a)
(b)
(c)
1. 晶体结构的周期性
理想晶体可看成是由完全相同的基本结构单元 (基元)在空间作周期性无限排列而成的.(注意物理 上对无限的理解)
所有晶体的结构可以用晶格来描述，这种晶格 的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群 称为基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶 体结构。
第一节 晶格(二)
三、 布拉维格子(Bravais Lattice) 四、 原胞(primitive cell) 五、 密堆积、配位数和致密度
§1.1 晶 格(crystal lattice)
三、 布拉维格子(Bravais Lattice)
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
平均每个单胞包含2个格点。
原胞的体积
Ω
a1
a2
a3
1 2
a3
V 2
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其单胞为面心立方。由面心立方 单胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
其中A代表二价或一价的金属,B代表四价或五价的金属, 在立方晶胞的顶角上是A,体心上是B,面心上是三组 O,OI,OII,OIII,周围的情况各不相同.整个晶体是由 A,B,OI,OII,OIII各自组成的简立方布喇菲格子(共5个)套 构而成。
(e) --钨结构(A-15 结构 )
两个B原子和6个A原子各组成
1).基元、格点和晶格
(a)
(b)
(c)
(1)基元
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构
单元，这个基本结构单元称为基元，基元是晶体
结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重复
排列就形成晶体结构。
任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。
(2)晶格
(a)
(b)
定义 v 由位矢 Rn
n1av1
n2av2
n3av3
的一系列的点所构成的晶格，称为布拉维晶格.
n1, n2 , n3 为整数, av1, av2, av3 是三个不共面的矢量，
称为布拉维格子的基矢(Primitive vector),它代
表格点在这三个方向规则性排列的重复单元(长 度). 为格Rv矢n ，其端点称为格点(lattice site)
点的一切物理性质相同。也就是说，作为位置
的函数的各种物理量应具有晶格的周期性(或平
移对称性)
(rv
v Rn
)
(rv)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反 映晶格的周期性，而不能反映晶格的对称性。 为了弥补上述不足，人们常用维格纳-塞兹 (Wigner-Seitz)提出的原胞的取法。
3.维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞 构造：以晶格中某一个格点为中心，作其与
点的间距
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一(由基矢 而定)，但是无论如何选取，原胞均有相同的 体积，每个原胞平均只包含一个格点。比如： 平行六面体，8个格点分别位于8个顶角，每 个格点的贡献为八分之一。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成， 则每个原胞包含n个原子。
3). 原胞反映了晶格的周期性，各原胞中等价
第一层：每个球与6个球相切，有6
个空隙，如编号1,2,3,4,5,6
在晶体学中已经对各种类型的布拉维格子 选取原胞和晶胞的方式作了统一的规定
下面我们给出一些晶格的实例来看看人们是 如何规定的
5.几种晶格的实例
下面从一维情形、二维情形、三维情形中的 常见晶格来举例说明
(1)一维原子链
一维单原子链
a
x na x 0 x a
一维双原子链
b a
(2)二维
a2 a1
av2
a 2
vv i k
av3
a 2
v i
vj
ai
平均每个单胞包含4个格点。
原胞的体积
Ω
a1
a2
a3
1 4
a3
V 4
(c)体心立方(body-centered cubic,简称：bcc)
ak
a1
a2 aj
ai
a3
a
a1 2 i j k
a2
a 2
i jk
a3
a 2
i jk
基矢： 原胞的基矢一般用 av1, av2表, av示3 。
单胞的基矢一般用 a表, b示,。c
体积： 原胞 v a1 a2 a3 Ω
单胞 v a b c n Ω
原胞的格点一般只出现在平行六面体的顶角上； 单胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内 部亦可有格点。
后面要讲的晶面、晶向和基元位置的标记， 在实际工作中，通常以单胞为准
av3 av2 av1
av3 av2
av1
如图:对于三维晶格
v Rn
n1av1 n2av2 n3av3
则以 av1, av2, av3 为棱的平行六面体是晶格体积的
最原小胞重的复体单积元为，即 原 av胞1 • (av2 av3) 对于二维晶格的原胞是平行四边形
S av1 av2
对于一维晶格的原胞是线段，长度为最近邻格
组成的网格称为简单晶格。
复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组 成，且同种原子各构成和格点相同的网格，称为 子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。复式晶 格可看成是由若干个相同的简单晶格相对错位套 构而成。
注：即使是由同一种原子组成的晶格，它也不一 定是简单晶格。后面提到的金刚石结构就是复式 格子
的最小单元，我们把这种晶体学中选取的单元称 为单胞，也叫惯用单胞，也有叫晶胞的。
2). 晶格常数(lattice constant)
晶胞的边长称为晶格常数，晶格常数一般并 不等于近邻原子的间距，除非单胞和原胞一致 时，如简单立方晶体。
3). 和原胞的比较 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期性 重复单元；单胞可含有一个或多个格点，体积 可是原胞的一倍或数倍。
有些书上把简单晶格称为布拉维格子，而把 复式格子称为非布拉维格子这是源于布拉维格 子要求任一格点等价而言的，但是，这种说法， 我认为不妥，因为，布拉维格子是一个纯粹的 数学抽象，布拉维格子中的格点是一个基元， 而复式格子只不过进一步考虑了基元的构成， 把基元中的每一个原子分开来处理了。所以， 布拉维格子和简单晶格、复式晶格间不能互相 定义。
5). 自然界中晶格类型 很多，但是只可能 有14种布拉维格 子(后面讲)
(2)简单晶格和复式晶格(complex crystal lattice)
简单晶格：为了直观表示晶体结构，常将组 成晶体的各种原子以不同符号在图中一并标出 来，如果晶体由完全相同的一种原子组成，且
每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所
几点说明：
1).由定义可知，构成布拉维格子的所有格点是 完全等价的，所有的格点周围环境相同。常以 此为判据来判断某一格子是否为布拉维格子。
2). 晶体结构=布拉维格子+基元
3)布. 拉维格子是一个无限延展的理想点阵。 它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在， 以及T0时晶格的振动。但是它抓住了主要 矛盾----晶体所具有的平移对称性：即平移 任一格矢 Rv，n 晶体保持不变的特性。是实际 晶体的一个理想抽象。