最新人教版高中数学必修1第三章《函数与方程》教案(第5课时)

第三章第一节函数与方程第五课时

整体设计

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解．

由于在实际问题的解决中，列出的方程可能相当复杂．设f(x)是实系数多项式或是任一实数函数，方程f(x)＝0称为代数方程或超越方程．一般说来，此类方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表达式，却因比较复杂，难以用它来计算根的近似值．所以，当根存在时，研究求根的数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值的实用且基本的方法——二分法．

教材在学生了解了函数的零点与方程根的联系的基础上，从实例入手介绍了求方程近似解的二分法．学生不难理解函数的零点及其求法，而困难的地方在于使用二分法求函数零点的计算过程相当繁杂．

在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索数学结论．

学情分析

学生在学习了方程的根与函数的零点后，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．

本节课的学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断，因此教师在教学过程中应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，开拓他们的创新意识和“逐步逼近”的数学思想．

教学目标

知识与技能：

通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法：

能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感态度和价值观：

体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

重点难点

重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

课前准备

1．学生要准备能进行较为复杂运算的计算器．

2．课前学习材料：分治算法．

分治是实际生活中使用得比较广泛的一种解决问题的方法．在程序设计中，分治算法的设计思想是：将一个规模比较大的、难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；然后将这些子问题各个击破，分而治之．值得注意的是，分治算法的设计思想很自然地导致了递归算法的应用．它的一般设计模式如下：if问题规模小到可以直接解决then直接解决该问题

else将问题分解成k个规模较小的子问题

end if

for i＝1 to k

递归调用该分治算法，分别解决每一个子问题

next i

将各子问题的解合并为原问题的解．

设计意图

从学生感兴趣的计算机编程问题引入，引导学生分析分治算法的思想与方法，为后面引出二分法的思想与方法做铺垫．

教学环节

创设情境

教学过程

一、创设情境，引出课题

问题：现有大小与形状完全相同的金属小球16个，其中有一个是实心的，其余都是空心的．用一架天平需测量几次一定能找出实心小球？(要求测量次数尽可能少) 让学生思考、讨论，并得出结论．

学生可能会得出这样的结论：先将这16个小球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球在较重的这部分球中，再将较重的这部分球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球又在较重的这部分球中，依此类推，所以只要四次一定能找到实心小球．

学生也有可能将小球分成相同的四部分，再两部分两部分地去称，也可得到结果，等等．教师根据学生得出的方法进行总结．

设计意图

以实际问题为载体，通过学生亲自产生的思维方法体会二分法查找的思想与方法．

二、组织探究，导出算法

1．问题：通过上一节课的学习，我们知道函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内有零点(如下图所示)．那我们能否找出这个零点呢？或者能找出这个零点的近似值吗？

设计意图

上面的问题有着承上启下的作用，它既是对前面一节课结果的进一步的深入，也揭示了本节课所要解决的问题．

2．将学生分成几组进行合作学习，并要求学生将自己的求解过程进行记录、归纳．

设计意图

由于这一任务具有一定的难度，问题又具有一定的挑战性，有利于激发学生的主动性与小组学习活动的激情及发挥学习共同体的创造性，因此采用了小组合作学习的方式进行教学．这一环节借助信息技术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式．

3．通过学生的合作学习，由一个小组代表发言求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的过程，可

当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5<0.01，所以我们可以将x ＝2.531 25作为函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根的近似值．4．给定精确度ε，再请一个小组代表发言求函数f(x)零点近似值的基本步骤(教师引导，由其他小组补充，逐步完善)

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；

(2)求区间(a，b)的中点x1；

(3)计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]；

(4)判断是否达到精度ε；

即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.

设计意图

从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验．这种教学方式易于学生接受和形成二分法的算法思想与计算原理．

三、探索发现，寻找内涵

1．教师：通过前面的探究，我们得出了求函数f(x)零点近似值的一种方法，我们来给这种方法取个名字，叫什么好呢？(学生可能会取“分割法”、“二分法”、“中点法”等，教师最后进行评析)

设计意图

从学生探究创造中下定义，便于学生深刻理解定义的内涵，这也是新课程提倡的教学理念之一．

2．问题：是不是所有有零点的函数都适合用二分法求零点的近似值呢？请同学们先看下面几个函数的图象再回答．

图一图二图三学生通过上图的比较与分析，可以得出上图中一、三两个函数是无法用二分法求零点的近似值的，因此要用二分法求零点的近似值的函数必须具备两个特征：函数f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0.这时教师对二分法的定义进行完善：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

设计意图

通过学生自己的观察、比较、分析，深化学生对定义的认识与理解，进一步挖掘二分法的内涵，使学生对二分法的算法思想与计算原理有了新的感悟．

3．教师进一步指出，从“数”的角度看，函数的零点即是使f(x)＝0的实数；从“形”的角度看，函数的零点即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．

设计意图

引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，进一步明确二分法的适用范围．

四、尝试练习，体会应用

1．例题：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)

分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．

注意：