必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

美博教育任意角与弧度制

知识梳理:

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、

零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

4、常用的角的集合表示方法

1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合

{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和

注意：

1、Z ∈k

2、α是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角

有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4

θ的角终边相同的角为 。

若θ角的终边与8π/5的终边相同

则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)

所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5

当：0≤kπ/2+2π/5≤2π

有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角

k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角

（2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：

（1） 210-； （2）731484'- ．

例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]

1260180，-∈θ．

2、终边在坐标轴上的点：

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ

终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ

终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ

3、终边共线且反向的角：

终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ

终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ

4、终边互相对称的角：

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360

若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180

角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk

例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x 轴对称

D.有关于y 轴对称

例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式

（1） π3

19 （2） 315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| ,

{}

Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A . 二、弧度与弧度制

1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad

注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2、角α的弧度数的绝对值 r

l =α（l 为弧长，r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度

角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad

o r

C 2rad 1rad

r l=2r o A

A B

∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π

'185730.571801 =≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛=πrad 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067 化成弧度

∴

例2、 把rad π5

3化成度

例3、将下列各角从弧度化成角度

（1）36π rad （2）2.1 rad （3） rad π53 例4、用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的

集合

三、弧长公式和扇形面积公式

r l α= ； 22

121r lR S α== 例1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .

例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为 1，求这连个角的大小分别为 。

例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3

4π ⑵ 165 例4、（1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇

形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？