必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

美博教育任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

2、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、
零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合
{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ
即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
注意：
1、Z ∈k
2、α是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角
有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4
θ的角终边相同的角为 。

若θ角的终边与8π/5的终边相同
则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)
所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5
当：0≤kπ/2+2π/5≤2π
有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角
k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角
（2）若βα和是终边相同的角。

那么βα-在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1） 210-； （2）731484'- ．
例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]
1260180，-∈θ．
2、终边在坐标轴上的点：
终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ
终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ
终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ
3、终边共线且反向的角：
终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ
终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ
4、终边互相对称的角：
若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360
若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180
角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk
例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

A.重合
B.关于原点对称
C.关于x 轴对称
D.有关于y 轴对称
例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式
（1） π3
19 （2） 315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| ,
{}
Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A . 二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad
注意：
1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2、角α的弧度数的绝对值 r
l =α（l 为弧长，r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算
弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad
o r
C 2rad 1rad
r l=2r o A
A B
∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π
'185730.571801 =≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067 化成弧度
∴
例2、 把rad π5
3化成度
例3、将下列各角从弧度化成角度
（1）36π rad （2）2.1 rad （3） rad π53 例4、用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的
集合
三、弧长公式和扇形面积公式
r l α= ； 22
121r lR S α== 例1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .
例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为 1，求这连个角的大小分别为 。

例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3
4π ⑵ 165 例4、（1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇
形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
.
例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
（七）任意角的三角函数（定义）
1． 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则P 与原点的距离02222>+=+=
y x y x r 2．比值r
y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin ；比值r x 叫做α的余弦 记作： r
x =αcos 比值x
y 叫做α的正切 记作： x y =αtan ；比值y x 叫做α的余切 记作： y
x =αcot 比值
x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec ；比值y r 叫做α的余割 记作： y
r =αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。

③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确
定
三角函数在各象限的符号：
⑤定义域： α
αα
tan cos sin ===y y y αααcsc sec cot ===y y y
4. α是第二象限角，P （x ，
5）为其终边上一点，且cos α=x 42,则sin α= 410 .
. 已知角α的终边落在直线y=-3x (x ＜0)上，则
=-αα
αα
cos cos sin sin 2 .
例8、 已知α的终边经过点P(2,-3)，求α的六个三角函数值
例9、 求下列各角的六个三角函数值
⑴ 0 ⑵ π ⑶ 23π⑷ 2
π
例10、 ⑴ 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值 ⑵已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0)求2sin α+。