合肥市庐阳区2018年二模数学试卷
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（1﹣2i）•i（i是虚数单位）的虚部是（）A．﹣2i B．i C．﹣2D．12．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．[0，1）3．（5分）已知圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（）A．（x﹣3）2+（y+4）2＝100B．（x+3）2+（y﹣4）2＝100C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y﹣4）2＝254．（5分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）＝（）A．B．C．D．5．（5分）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤6．（5分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）A．B．3C．或3D．或37．（5分）某公司一种型号的产品近期销售情况如表根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A．19.5万元B．19.25万元C．19.15万元D．19.05万元8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（）A．3或﹣2B．2或﹣2C．3或﹣1D．﹣2或﹣1或3 9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A．ω＝2B．函数y＝f（x﹣π）为偶函数C．函数f（x）在上单调递增D．函数y＝f（x）的图象关于点对称10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，点P是双曲线C 上的一点，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的增函效，f（x）+2＞f′（x），f（0）＝1，则不等式ln[f（x）+2]﹣ln3＞x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为．14．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，则＝．15．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P﹣ABCD的体积为．16．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝9，a4﹣a2＝24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•a n，求数列{b n}的前n项的和S n．18．（12分）某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．（Ⅰ）画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；（Ⅱ）从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．19．（12分）在多面体ABCDPQ中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△P AD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．求证：（Ⅰ）平面POB⊥平面P AC；（Ⅱ）求多面体ABCDPQ的体积．20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l过点且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣ax2（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）+e x≥x3+x，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+m|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；（Ⅱ）若m＞0，函数g（x）＝f（x）﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（1﹣2i）•i（i是虚数单位）的虚部是（）A．﹣2i B．i C．﹣2D．1【解答】解：∵（1﹣2i）•i＝2+i，∴复数（1﹣2i）•i的虚部是1．故选：D．2．（5分）已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．[0，1）【解答】解：集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：A．3．（5分）已知圆C：（x﹣6）2+（y﹣8）2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（）A．（x﹣3）2+（y+4）2＝100B．（x+3）2+（y﹣4）2＝100C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y﹣4）2＝25【解答】解：圆C的圆心坐标C（6，8），则OC的中点坐标为E（3，4），半径|OE|＝＝5，则以OC为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，故选：C．4．（5分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π+α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α终边经过点，即点P（，），∴x＝，y＝，r＝|OP|＝1，则sin（π+α）＝﹣sinα＝＝﹣y＝﹣．故选：A．5．（5分）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤【解答】解：由题意可知，数列为等差数列，公差为d＝17，n＝8，S8＝996，以第8个儿子为首项，∴8a1+×17＝996，解得a1＝184，故选：B．6．（5分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）A．B．3C．或3D．或3【解答】解：f（x）是奇函数；∴；整理得：（2a2﹣2）2x＝0；∴2a2﹣2＝0；∴a＝±1；a＝1时，；a＝﹣1时，．故选：C．7．（5分）某公司一种型号的产品近期销售情况如表根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A．19.5万元B．19.25万元C．19.15万元D．19.05万元【解答】解：由题意，＝，＝＝16.8回归直线方程，可得：＝13.8．当x＝7时，可得y＝0.75×7+13.8＝19.05．故选：D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（）A．3或﹣2B．2或﹣2C．3或﹣1D．﹣2或﹣1或3【解答】解：当x＞2时，由y＝＝1得：x2﹣2x＝3，解得：x＝3，或x＝﹣1（舍）当x≤2时，由y＝﹣2x﹣3＝1，解得：x＝﹣2，综上可得若输出的结果为1，则输入x的值为3或﹣2，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A．ω＝2B．函数y＝f（x﹣π）为偶函数C．函数f（x）在上单调递增D．函数y＝f（x）的图象关于点对称【解答】解：由题意得，即T＝3π，∴，得，故A错误；∴f（x）＝2sin（x+φ），又，∴2sin（+φ）＝0，∵0＜φ＜π，∴φ＝．∴f（x）＝2sin（x+），∵f（x﹣π）＝2sin，∴函数y＝f（x﹣π）为奇函数，故B错误；当x∈时，x+∈[0，]，则函数f（x）在上单调递增，故C正确；∵f（）＝2sin（）＝2cos＝﹣1，∴函数y＝f（x）的图象关于点对称，故D错误．故选：C．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则所截的图形如下：所截的坪面为平面AECF，所以位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为：A故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，点P是双曲线C 上的一点，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，点P是双曲线C 上的一点，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，F1F2＝2c，由正弦定理可得：，PF1＝＝，同理PF2＝＝，所以﹣＝2a，即，可得e＝．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的增函效，f（x）+2＞f′（x），f（0）＝1，则不等式ln[f（x）+2]﹣ln3＞x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【解答】解：根据题意，设g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，又由f（x）+2＞f′（x），则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，f（0）＝1，则g（0）＝＝3，又由函数f（x）是定义在R上的增函效，则有f（x）+2＞f′（x）＞0，即f（x）+2＞0在R上恒成立；则ln[f（x）+2]﹣ln3＞x⇒ln＞x⇒＞e x⇒＞3⇒g（x）＞g（0），又由g（x）为减函数，则有x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p 为∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．故答案为：∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．14．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，则＝．【解答】解：两个单位向量，的夹角为，则＝2＝2﹣﹣1＝，故答案为：．15．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P﹣ABCD的体积为6或54．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，连结AC，BD，交于点E，设球心为O，球半径为R，连结PO，BO，则E在直线PO上，PO＝BO＝R，∴BE＝＝3，R＝5，∴OE＝＝4，∴PE＝R﹣OE＝5﹣4＝1或PE＝R+OE＝5+4＝9，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V＝＝＝6，或V＝＝＝54．故答案为：6或54．16．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于．【解答】解：假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，则有序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，如图：∴小李需要去快递柜收取商品的概率等于．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a3＝9，a4﹣a2＝24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•a n，求数列{b n}的前n项的和S n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a4﹣a2＝24，得，即3q2﹣8q﹣3＝0，解得q＝3或．又∵a n＞0，则q＞0，∴q＝3，∴．（Ⅱ），∴，…①，①×3可得：，…②，①﹣②可得：，∴．18．（12分）某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．（Ⅰ）画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；（Ⅱ）从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两个小组同学的数学成绩出这两个小组同学数学成绩的茎叶图如下：由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，∴甲组同学的成绩差异较大．（Ⅱ）设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3，乙组数据在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）；（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）；（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3）；（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，∴选出的2位同学不在同一个小组的概率．19．（12分）在多面体ABCDPQ中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△P AD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．求证：（Ⅰ）平面POB⊥平面P AC；（Ⅱ）求多面体ABCDPQ的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：在多面体ABCDPQ中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD∥PQ，AB⊥CD，△P AD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1，∴由条件可知，Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO．∴∠DAC+∠AOB＝∠ABO+∠AOB＝90°，∴AC⊥BO．∵P A＝PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO．又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB．∵AC⊂平面P AC，∴平面POB⊥平面P AC．解：（Ⅱ）取AB中点为E，连接CE，QE．由（Ⅰ）可知，PO⊥平面ABCD．又∵AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB．又∵AB⊥CD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面P AD．∴多面体ABCDPQ的体积：＝．20．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线l过点且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为，．则|PF1|+|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，，∴b2＝1，∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设，A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．由△＞0得4k2＞1．由，得．设，则，∴．当直线l的斜率不存在时，，∴|AB|的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣ax2（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）+e x≥x3+x，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝xe x﹣2ax＝x（e x﹣2a），当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）有1个极值点；当时，f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递增，在（ln2a，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）有2个极值点；当时，f（x）在R上单调递增，此时f（x）没有极值点；当时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增，∴f（x）有2个极值点；∴当a≤0时，f（x）有1个极值点；当a＞0且时，f（x）有2个极值点；当时，f（x）没有极值点．（Ⅱ）由f（x）+e x≥x3+x得xe x﹣x3﹣ax2﹣x≥0．当x＞0时，e x﹣x2﹣ax﹣1≥0，即对∀x＞0恒成立．设，则．设h（x）＝e x﹣x﹣1，则h′（x）＝e x﹣1．∵x＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，即e x＞x+1，∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）＝e﹣2，∴a≤e﹣2．当x＝0时，不等式恒成立，a∈R；当x＜0时，e x﹣x2﹣ax﹣1≤0．设h（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1，则h′（x）＝e x﹣2x﹣a．设φ（x）＝e x﹣2x﹣a，则φ′（x）＝e x﹣2＜0，∴h′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∴h′（x）≥h′（0）＝1﹣a．若a≤1，则h′（x）≥0，∴h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴h（x）＜h（0）＝0．若a＞1，∵h′（0）＝1﹣a＜0，∴∃x0＜0，使得x∈（x0，0）时，h′（x）＜0，即h（x）在（x0，0）上单调递减，∴h（x）＞h（0）＝0，舍去，∴a≤1．综上可得，a的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【解答】解（Ⅰ）曲线C的方程为2a sinθ﹣ρcos2θ＝0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ＝0．即x2＝2ay（a＞0）．（Ⅱ）将代入x2＝2ay，得，得．∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2＝|PM|•|PN|，即，∴，即，解得a＝0或．∵，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x+m|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣m≤9的解集为[﹣1，3]，求实数m的值；（Ⅱ）若m＞0，函数g（x）＝f（x）﹣2|x﹣1|的图象与x轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围．【解答】（Ⅰ）由题意得解①得m≥﹣9．②可化为﹣9﹣m≤3x+m≤9+m，．∵不等式f（x）≤9的解集为[﹣1，3]，∴，解得m＝﹣3，满足m≥﹣9．∴m＝﹣3；（Ⅱ）依题意得，g（x）＝|3x+m|﹣2|x﹣1|．又∵m＞0，∴，g（x）的图象与x轴围成的△ABC的三个顶点的坐标为A（﹣m﹣2，0），，，∴，解得m＞12．。
合肥市庐阳区2018年中考模拟试题(二摸)数学试卷
心是点 A，则点 A 的坐标为
；
（2）在（1）的基础上另取两点 B（-1,2）、C（-1,0），有一电子青蛙从点
P1 处开始依次关于点 A、B、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点 P1 关于点
A 的对称点 P2 处，接着跳到点 P2 关于点 B 的对称点 P3 处，第三次再跳到点
P3 关于点 C 的对称点 P4 处，第四次再跳到点 P4 关于点 A 的对称点 P5 处，….
77
73
19
17
A.
B.
C.
D.
8
8
2
2
10. 如图，在平面直角坐标系中，A（6,0），B（0,8），点 C 在 y 轴正半轴上，点 D 在 x 轴正半轴上，且 CD=6，
以 CD 为直径在第一象限作半圆，交线段 AB 于 E、F，则线段 EF 的最大值为（ ）
A.3.6 B.4.8 C. 2 3 D. 3 3
8. 关于 x 的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0 有实数根，则整数 a 的最大值为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-1
9. 如图，正方形 ABCD 和正方形 BPQR 有重叠部分，R 点在 AD 上，CD 与 QR 相交于 S
点.若正方形 ABCD 和正方形 BPQR 的边长分别是 4 和 5，则阴影部分的面积为（ ）
15. 计算： 1- 3 0 - 2 - 2cos45 1 -1 4
16. 先化简，再求值： a 2 - 4 1- 1 ，其中 a=-1. a-3 a-2
4.天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约 393000 米，将 393000 用科学记数法表示应为（ ）
18. 阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点 P(x1，y1）、Q
合肥市庐阳区18年二模数学试卷和解析
2017~2018年庐阳区二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．8-的立方根是（ ）A.2-B.2±C.2D.21- 2．计算()52a -的结果是（ ）A.7aB.7a -C.10aD.10a -3．李明拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上的投影不可能是（ ）4．天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约393000米，将393000用科学记数法表示应为（ ）A.7100.393⨯B.5103.93⨯C.6103.93⨯D.310393⨯ 5．如图，b a ∥，21∠=∠，︒=∠403，则4∠等于（ ） A.︒40 B.︒50 C.︒60 D.︒706．某运动爱好者用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A.1.3，1.35B.1.3，1.3C.1.4，1.35D.1.4，1.37．某超市销售一批创意闹钟，先以55元/个的价格售出60个，然后调低价格，以50元/个的价格将剩下的闹钟全部售出，销售总额超过了5500元，这批闹钟至少有（ ） A.44个 B.45个 C.104个 D.105个8．关于x 的一元二次方程()02212=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A.2B.1C.0D.1-9．如图，正方形ABCD 和正方形BPQR 有重叠部分，R 点在AD 上，CD 与QR 相交于S 点，若正方形ABCD 和正方形BPQR 的边长分别是4和5，则阴影部分的面积为（ ） A.877 B.873 C.219 D.21710．如图，在平面直角坐标系中，()0,6A ，()8,0B ，点C 在y 轴正半轴上，点D 在x 轴正半轴上，且6=CD ，以CD 为直径在第一象限作半圆，交线段AB 于E 、F ，则线段EF 的最大值为（ ）A.3.6B.4.8C.32D.33 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. 因式分解xy y x y x +-232=_____________；12. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于______________；13. 我国古代数学的很多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和n b a ）（+的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”请计算10）（b a +的展开式中第四项的系数____________；第13题图 第14题图14. 如图，ABC △内接于O ⊙，︒=∠60A ，12=BC ，P 为弧BC 上一动点，过点B 作直线OP 的垂线BQ ，垂足为Q ，点P 由B 点沿弧BC 运动到C 点的过程中，点Q经过的路线长是__________________. 二、解答题15. 计算：104145cos 2231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒--+-）（16. 先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛--•--211342a a a ，其中1-=a .四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，从高楼C 点测得水平地面A,B 两点的俯角分别为30°，45°，如果高楼C 点的高度CD 为100米，点A,D,B 在同一直线上，求A,B 两点之间的距离.18.我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)的对称中心的坐标为(x1+x22 ,y1+y22).观察应用：(1)如图,在平面直角坐标系中,若点P1(0,−1)、P2(2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为___；(2)在(1)的基础上另取两点B(−1,2)、C(−1,0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A.B. C作循环对称跳动,即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处,接着跳到点P2关于点B的对称点P3处,第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处,…则点P4、P8的坐标分别是_______、_______.五．（本大题共2小题，每小题10分满分20分）19.2017年全球工业研发投入排行榜前100强企业中，排在前5名的分别是德国大众，美国谷歌，美国微软，韩国三星，美国英特尔，美国、日本、德国、中国及其它国家前100强企业的数量及占总体百分数的条形和扇形统计图（不完整）如图所示：全球各国工业研发投入前100强企业数条形统计图：全球各国工业研发投入前100强企业数扇形统计图：（1）根据给出的信息，补全两幅统计图。
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学(理)试题(精编含解析)
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∴，∴，∴复数点为，位于第二象限．选B．2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴．选D．3.命题，关于的方程有实数解，则为（）A. ，关于的方程有实数解B. ，关于的方程没有实数解C. ，关于的方程没有实数解D. ，关于的方程有实数解【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定可得，为：，关于的方程没有实数解．选C．4.在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由条件得点的坐标为，∴．∴．选A．5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入的的值为（）A. 3或-2B. 2或-2C. 3或-1D. -2或-1或3【答案】A【解析】由题意可得本题是求分段函数中，求当时的取值．当时，由，解得，符合题意．当时，由，得，解得或（舍去）．综上可得或．选A．7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设快递员到小李家的时间为x，小李到家的时间为y，由题意可得所有基本事件构成的平面区域为，设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，如图阴影部分所示的直角梯形．在中，当时，；当时，．∴阴影部分的面积为，由几何概型概率公式可得，小李需要去快递柜收取商品的概率为．选D．8.在正方体中，，，分别为棱，，的中点，用过点，，的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点连，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．延长，交的延长线与点，连，交于，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．同理，延长，交的延长线于，连，交于点，则为过点，，的平面与正方体的面的交线．所以过点，，的平面截正方体所得的截面为图中的六边形．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C所示．选C ．9.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，故函数为奇函数．又，故函数在R上单调递减．∵，∴，∴，∴．选C．10.已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．11.函数，，，且在上单调，则下列说法正确的是( )A. B.C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】由题意得函数的最小正周期为，∵在上单调，∴，解得．∵，，∴，解得，∴．对于选项A，显然不正确．对于选项B，，故B不正确．对于选项C，当时，，所以函数单调递增，故C正确．对于选项D，，所以点不是函数图象的对称中心，故D不正确．综上选C．点睛：解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．12.已知点在内部，平分，，对满足上述条件的所有，下列说法正确的是（）A. 的三边长一定成等差数列B. 的三边长一定成等比数列C. ，，的面积一定成等差数列D. ，，的面积一定成等比数列【答案】B【解析】设．在中，可得．在中，分别由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，将代入上式可得．又由三角形面积公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．故选B．点睛：本题难度较大，解题时要合理引入变量，通过余弦定理、三角形的面积公式，建立起三角形三边间的联系，然后通过消去变量的方法逐步得到三边的关系．由于计算量较大，在解题时要注意运算的准确性和合理性．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知两个单位向量，的夹角为，则__________．【答案】【解析】．答案：14.的展开式中含项的系数为__________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.15.已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:416.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．【答案】2或7【解析】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7点睛：解答本题的关键是读懂题意，深刻理解垃圾处理站所在的位置，然后通过合理建立平面直角坐标系，将所求问题转化为求两圆交点的问题，解方程组得到两圆交点坐标后再通过两点间的距离公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由变形得，即，于是可得公比，由此可得通项公式．（2）由（1）得，然后利用错位相减法求和．试题解析：（1）设等比数列的公比为.由，得，即，，∴．（2）由（1）得，，①∴，②①-②得，∴．18.为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？（说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里.相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）. 【答案】（1）103；（2）①117；②4968名.【解析】【详解】试题分析：（1）用每一个小矩形的中点値代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数．（2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求．②先求得，故可得估计名次为名．试题解析：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：.（2）记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为，根据题意，，即.由，得解得，所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.，所以理科数学成绩为107分时，大约排在名．19.在四棱锥中，平面平面，，，为中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由并结合平面几何知识可得．又由及平面平面可得平面，于是得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得平面平面．（2）根据，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面和平面法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值．试题解析：（1）由条件可知，，，，.，且为中点，.∵，，，平面.又平面，.，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，∴，，，，设为平面的一个法向量，由，得.令，得.同理可得平面的一个法向量．∴.由图形知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论．20.已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．试题解析：（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线，为的中点，为中点，.，∴动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，，，，动点的轨迹方程为.（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由消去y整理得.∵直线与椭圆交于，两点，∴，解得．设，，则，（定值）．点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数（是自然对数的底数）（1）判断函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对求导可得，根据的取值，分，，和四种情况讨论函数的单调性，然后得到极值点的个数．（2）由题意可得对恒成立．然后分，和三种情况分别求解，通过分离参数或参数讨论的方法可得的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，当时，在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；当时，在上单调递增，此时没有极值点；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；综上可得：当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点．（2）由得.①当时，由不等式得，即对在上恒成立.设，则.设，则.，，在上单调递增，，即，在上单调递减，在上单调递增，，.②当时，不等式恒成立，；③当时，由不等式得.设，则.设，则，在上单调递减，.若，则，在上单调递增，.若，，，使得时，，即在上单调递减，，舍去..综上可得，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于点，，且，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．试题解析：（1），，将代入上式可得，∴曲线的直角坐标方程.（2）将代入消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，又，∴．设，对应的参数分别为，则．，，成等比数列，，即，，即，解得或（舍去）.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3)；(4)．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，于是，解得，即为所求的范围．试题解析：（1）由题意得解得.可化为，解得.不等式的解集为，，解得，满足.．（2）依题意得，.又，∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为，，，，解得.∴实数的取值范围为．。
【数学】安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测试题（文）
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1.复数12ii （i 是虚数单位）的虚部是（）A ．2iB ．iC ．-2D ．12.已知集合|1M x x ，|02Nx x，则M N（）A ．0,1B ．,1C ．,2D ．0,13.已知圆22:684C x y，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（）A ．2234100x y B ．2234100x y C ．223425xyD ．223425xy4.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点5π5πsin ,cos33P ，则s i n （）A ．32B ．12C. 12D ．325.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A ．174斤B ．184斤C.191斤D ．201斤6.已知函数22x xa f xa是奇函数，则f a 的值等于（）A ．13B ．3 C.13或3 D ．13或37.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表月份x2 3 4 5 6 销售额y （万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程?0.75y x a，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A ．19.5万元B ．19.25万元 C.19.15万元D ．19.05万元8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输出的x 值是（）A ．3或-2B ．2或-2 C. 3或-1 D ．3或-1或-29.已知函数2sin 0,0πf x x 相邻两条对称轴间的距离为3π2，且π02f，则下列说法正确的是（）A.2B.函数πy f x 为偶函数C.函数f x 在ππ,2上单调递增D.函数y f x 的图象关于点3π,04对称10.在正方体1111ABCDA BC D 中，E 是棱11AB 的中点，用过点A ，C ，E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A ．B ． C. D ．11.已知双曲线2222:10,0x y C a bab的焦点为1F ，2F ，点P 是双曲线C 上的一点，1215PF F ，21105PF F ，则该双曲线的离心率为（）A ．6B ．3C. 262D ．6212.已知函数f x 是定义在R 上的增函数，2f x f x ′，01f ，则不等式ln2ln 3f xx 的解集为（）A ．,0B ．0, C. ,1D ．1,第Ⅱ卷二、填空题13.若命题:0p x，ln 10xx ，则p 为．14.已知两个单位向量a ，b 的夹角为π3，则2a b a b．15.已知四棱锥PABCD 的侧棱长都相等，且底面是边长为32的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥PABCD 的体积为．16.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于．三、解答题17. 已知正项等比数列n a 满足39a ，4224a a .Ⅰ求数列n a 的通项公式；Ⅱ设nn b n a ，求数列n b 的前n 项的和n S .18. 某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98；乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.Ⅰ画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；Ⅱ从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率.19. 在多面体ABCDPQ中，平面PAD平面ABCD，////AB CD PQ，AB CD，PAD为正三角形，O为AD中点，且2AD AB，1CD PQ.Ⅰ求证：平面POB平面PAC；Ⅱ求多面体ABCDPQ的体积.20. 已知椭圆2222:10x yE a ba b经过点13,2P，椭圆E的一个焦点为3,0.Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ若直线l过点0,2M且与椭圆E交于A，B两点，求AB的最大值.21.已知函数21exf x x ax （e 是自然对数的底数）Ⅰ判断函数f x 极值点的个数，并说明理由；Ⅱ若0x，3exf xxx ，求a 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点0,1P 的直线l 的参数方程为12312xt yt（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为22sincos00a a .Ⅰ求曲线C 的直角坐标方程；Ⅱ若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数3f x x m .Ⅰ若不等式9f xm 的解集为1,3，求实数m 的值；Ⅱ若0m ，函数21g x f xx 的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5: DACBB 6-10: CDACA11、12：DA二、填空题13.0x ，ln 10x x 14.1215.6或54 16.34三、解答题17.解：Ⅰ设数列n a 的公比为q ，由4224a a ，得9924qq，即23830qq ，解得3q 或13q.又0na ，则0q，3q ∴，31933n n na ∴.Ⅱ13n nn b n a n ，1211323333n nS n ∴，1211323133n nnS n n 3，1211231133332nn nnnS n ∴-2，12314nnnS ∴.18. 解：Ⅰ由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以，甲组同学的成绩差异较大.（也可通过计算方差说明：2101.6s 甲，237.4s 乙，22s s 甲乙）Ⅱ设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为123,,A A A ；乙组数据在90分以上的三位同学为123,,B B B .从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：12,A A ，13,A A ，11,A B ，12,A B ，13,A B ；23,A A ，21,A B ，22,A B ，23,A B ；31,A B ，32,A B ，33,A B ；12,B B ，13,B B ，23,B B .其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，93155P∴. 19.Ⅰ证明：由条件可知，Rt ADC Rt BAO ≌，故DAC ABO .90DACAOB ABOAOB∴，AC BO ∴.PAPD ，且O 为AD 中点，POAD ∴.PAD ABCD PAD ABCDADPO AD POPAD平面平面平面平面平面，PO∴平面ABCD .又AC 平面ABCD ，ACPO ∴.又BO PO O ，AC ∴平面POB .AC平面PAC ，∴平面POB平面PAC .Ⅱ解：取AB 中点为E ，连接CE ，QE .由Ⅰ可知，PO平面ABCD .又AB 平面ABCD ，PO AB ∴.又ABCD ，PO AD O ，AB ∴平面PAD .13BCDPQPADQECQCEBPADCEBV V V SAES PO∴231143211234323. 20. 解：Ⅰ依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为13,0F ，23,0F .则1242PF PF a ，2a∴，3c ，21b∴，∴椭圆E 的方程为2214xy .Ⅱ当直线l 的斜率存在时，设:2l y kx ，11,A x y ，22,B x y .由22214ykxxy 得22148240kxkx .由0得241k.由1228214k x x k，122414x x k得22212122211142611414AB k x x x x k k.设2114tk，则102t，22125562612612246ABtt t∴.当直线l 的斜率不存在时，5626AB ，AB ∴的最大值为566.21. 解：Ⅰe2e 2xxf x x ax x a ′.当0a 时，f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，f x ∴有1个极值点；当102a时，f x 在,ln2a 上单调递增，在ln2,0a 上单调递减，在0,上单调递增，f x ∴有2个极值点；当12a 时，f x 在R 上单调递增，f x ∴没有极值点；当12a时，f x 在,0上单调递增，在0,ln 2a 上单调递减，在ln 2,a 上单调递增，f x ∴有2个极值点；∴当0a时，f x 有1个极值点；当0a且12a时，f x 有2个极值点；当12a时，f x 没有极值点.Ⅱ由3exf xxx 得32e0xx xaxx . 当0x时，2e10x x ax ，即2e1xx ax对0x 恒成立.设2e1xx g xx，则21e1x x x g xx ′.设e1xh xx ，则e1xh x′.0x，0h x∴′，h x ∴在0,上单调递增，0h xh ∴，即e1xx ，g x ∴在0,1上单调递减，在1,上单调递增，1e 2g xg ∴，e 2a∴，a ∴的取值范围是,e 2.22. 解：Ⅰ22sin cos0a ，222sincos0a ∴，即220xay a .Ⅱ将12312xtyt代入22xay ，得24380tat a ，得2121243480,43,8.aa t t a t t a ①.0a ，∴解①得23a. PM ，MN ，PN 成等比数列，2MNPMPN ∴，即21212t t t t ，21212124t t t t t t ∴，即243400aa ，解得0a或56a.23a，56a∴.23. 解：Ⅰ由题意得90,39.m xmm ①②①得9m.②可化为939m x m m ，9233m x . 不等式9f x 的解集为1,3，9213m ∴，解得3m ，满足9m . 3m ∴Ⅱ依题意得，321g x x m x .又0m ，2,3521,321.mx m x mg x x m x x m x ∴g x 的图象与x 轴围成的ABC 的三个顶点的坐标为2,0A m ，2,05m B ，2,233m mC ，243160215ABC C m S AB y ∴，解得12m .。
安徽省合肥市2018届毕业班第二次中考模拟测试 数学试题(word版附答案)
安徽省合肥市2018届初中毕业班第二次中考模拟测试数 学 试 题一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）2．宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ）A ．0.845³1010元B ．84.5³108元C ．8.45³109元D ．8.45³1010元 3．64的立方根是（ ）A ．4B ．8C ．±4D ．±8 4．下列计算正确的是( )A ．2x 2²2xy ＝4x 3y 4B ．3x 2y －5xy 2＝－2x 2yC ．x －1÷x －2＝x －1D ．(－3a －2)(－3a ＋2)＝9a 2－4 5．如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，△DEF 的周长是7，AF ⊥BC 于点F ，BE ⊥AC 于点E ，且点D 是AB 的中点，则AF 的长为（ ）A ． 5B ．7C ． 3D ．77．在同一平面坐标系内，若直线y ＝3x －1与直线y ＝x －k 的交点在第四象限的角平分线上，则k 的值为（ ）A ．k ＝－12B ．k ＝13C ．k ＝12D ．k ＝18．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，x 12－x 1＋x 2的值为（ ）A ．－1B ．0C ．2D ．3 9．如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A ．2π B ．4π C ．32 D ．410．如图，直线l 的解析式为y＝－x ＋4，它与x 轴分别相交于A ，B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴和y 轴分别相交于C ，D 两点，运动时间为t 秒(0≤t≤4)，以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE(E ，O 两点分别在CD 两侧)．若△CDE 和△OAB 的重合部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）二、填空简答题(共4小题，每小题5分，满分20分)11．分解因式：x ﹣4x 2﹣12x=．12．风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为 ．13．如图，OP 平分∠AOB ，∠AOP ＝15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PC ＝4，则PD ＝ ．14．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ．点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论： ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形BCDG =CG 2； ③DE=CG ；④若AF=2DF ，则BG=6GF ． 其中正确的结论 ． 三、解答题(90分)15．（8分）计算：（）﹣2﹣6sin30°+（﹣2）0+|2﹣|；16．（8分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=﹣3．17．（8分）如图所示，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．18．（8分）已知关于x的不等式22mxm>21x－1.(1)当m＝1时，求该不等式的解集；(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．19．（10分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止)．(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．20．（10分）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．（1）小李生产1件A产品需要分钟，生产1件B产品需要分钟．（2）求小李每月的工资收入范围．21．（12分）某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A.非常喜欢”、“B.比较喜欢”、“C.不太喜欢”、“D.很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是________；(3)若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？22．（12分）关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．23. （14分）如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O 的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC 的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。
庐阳区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
庐阳区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数f （x ）=的定义域为（ ）A ．[1，2）B ．（1，+∞）C ．[1，2）∪（2，+∞）D ．[1，+∞）2． 若a=ln2，b=5，c=xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB B ．b ＜a ＜cC C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a3． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ） A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为﹣3D ．减函数且最大值为﹣34． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35． 若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．26．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2 B． C． D ．37． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．121 8． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）9． 复数z=在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B.C. D. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 12．已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN <<二、填空题13．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ．14．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则﹣= ．15．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．16．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.17．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ． 18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）三、解答题19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，x x g -=)(. （1）解不等式)()(x g x f >；（2）对任意的实数，不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立，求实数m 的最小值.111]20．设函数f （x ）=lnx ﹣ax 2﹣bx ．（1）当a=2，b=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）令F （x ）=f （x ）+ax 2+bx+（2≤x ≤3）其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a=0，b=﹣1时，方程f （x ）=mx 在区间[1，e 2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．21．已知复数z=．（1）求z 的共轭复数；（2）若az+b=1﹣i ，求实数a ，b 的值．22．（本题满分15分）设点P 是椭圆14:221=+y x C 上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．（1）求证：PB PA =；（2）OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．23．已知△ABC 的顶点A （3，2），∠C 的平分线CD 所在直线方程为y ﹣1=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为4x+2y ﹣9=0．（1）求顶点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积．24．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1xxe -．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．庐阳区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】C【解析】解：要使函数f （x ）有意义，则，即，解得x ≥1且x ≠2， 即函数f （x ）的定义域为[1，2）∪（2，+∞）．故选：C ．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．2． 【答案】C【解析】解：∵ a=ln2＜lne 即，b=5=，c=xdx=，∴a ，b ，c 的大小关系为：b ＜c ＜a ． 故选：C ．【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．3． 【答案】D【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f （x ）在区间上是减函数，且最小值3， 则那么f （x ）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3， 故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．4． 【答案】D 【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S 4=4a 1+d=﹣2，S 5=5a 1+d=0，联立解得，∴S 6=6a 1+d=3故选：D【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．5． 【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0， 解得a=0． 故选：C ．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．6． 【答案】C解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ． 7． 【答案】C【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114n n n na a a a ++-=+得2214n na a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >得n a =1112n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为11111)(11)52222n ++++==，∴120n =，选C ． 8． 【答案】D【解析】解：∵方程x 2+ky 2=2，即表示焦点在y 轴上的椭圆∴故0＜k ＜1故选D ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．9． 【答案】A【解析】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．10．【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C到直线m的距离1d=，||AB==m n、之间的距离为3d'=，∴PAB∆的面积为1||2AB d'⋅=，选C．11．【答案】D【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132244428233V=π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D．12．【答案】A【解析】试题分析：取BC的中点E，连接,ME NE，2,3ME NE==，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以15MN<<，故选A．考点：点、线、面之间的距离的计算．1【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题．二、填空题13．【答案】4．【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），联立直线与抛物线方程消元得：3x2﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．14．【答案】1．【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，可通过特殊点，取A（﹣1，t），则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），由直线和圆相切的条件可得，t=1．将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．15．【答案】1．【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，再左右扩展知f（x）为周期函数．结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．a16．【答案】2【解析】试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10af x x=-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 17．【答案】 （1，2） ．【解析】解：由2ρcos 2θ=sin θ，得：2ρ2cos 2θ=ρsin θ，即y=2x 2．由ρcos θ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．18．【答案】 真命题【解析】解：若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0成立，即原命题为真命题， 则命题的逆否命题也为真命题，故答案为：真命题．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．三、解答题19．【答案】（1）13|{<<-x x 或}3>x ；（2）. 【解析】试题解析：（1）由题意不等式)()(x g x f >可化为|1||2|+>+-x x x ， 当1-<x 时，)1()2(+->+--x x x ，解得3->x ，即13-<<-x ； 当21≤≤-x 时，1)2(+>+--x x x ，解得1<x ，即11<≤-x ；当2>x 时，12+>+-x x x ，解得3>x ，即3>x （4分） 综上所述，不等式)()(x g x f >的解集为13|{<<-x x 或}3>x . （5分）（2）由不等式m x g x x f +≤-)(22)(可得m x x ++≤-|1||2|， 分离参数m ，得|1||2|+--≥x x m ，∴max |)1||2(|+--≥x x m∵3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x ，∴3≥m ，故实数m 的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1 20．【答案】【解析】解：（1）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞）．… 当a=2，b=1时，f （x ）=lnx ﹣x 2﹣x ，f ′（x ）=﹣2x ﹣1=﹣．令f ′（x ）=0，解得x=．…当0＜x ＜时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增；当x ＞时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减．所以函数f （x ）的单调增区间（0，），函数f （x ）的单调减区间（，+∞）．…（2）F （x ）=lnx+，x ∈[2，3]，所以k=F ′（x 0）=≤，在x 0∈[2，3]上恒成立，…所以a ≥（﹣x 02+x 0）max ，x 0∈[2，3]…当x 0=2时，﹣x 02+x 0取得最大值0．所以a ≥0．…（3）当a=0，b=﹣1时，f （x ）=lnx+x ，因为方程f （x ）=mx 在区间[1，e 2]内有唯一实数解，所以lnx+x=mx 有唯一实数解．∴m=1+，…设g （x ）=1+，则g ′（x ）=．…令g ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ； g ′（x ）＜0，得x ＞e ，∴g （x ）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e ，e 2]上是减函数，…1 0分∴g （1）=1，g （e 2）=1+=1+，g （e ）=1+，…所以m=1+，或1≤m ＜1+．…21．【答案】【解析】解：（1）．∴=1﹣i ．（2）a （1+i ）+b=1﹣i ，即a+b+ai=1﹣i ，∴，解得a=﹣1，b=2．【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，故122-=∆t S OAB ，…………9分若直线AB 斜率存在，由（1）可得148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，141141222212+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分点O 到直线AB 的距离2221141kk km d ++=+=，…………13分∴12212-=⋅=∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 23．【答案】【解析】解：（1）由高BH 所在直线方程为4x+2y ﹣9=0，∴ =﹣2．∵直线AC ⊥BH ，∴k AC k BH =﹣1．∴，直线AC的方程为，联立∴点C 的坐标C （1，1）． （2），∴直线BC的方程为，联立，即． 点B 到直线AC ：x ﹣2y+1=0的距离为．又，∴．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．24．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3,21e ⎛⎤-∞-⎥-⎝⎦. 【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，12）上无零点，只需要对x ∈（0，12）时f （x ）＞0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；试题解析：（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，由f ′（x ）＞0，得x ＞2； 由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f （x ）＞0恒成立，即对恒成立．令，则，再令，则，故m （x ）在上为减函数，于是，从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f （x ）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2； （3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，即②对任意恒成立． 由③式解得：．④综合①④可知，当a 的范围是3,21e ⎛⎤-∞-⎥-⎝⎦时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使f （x i ）=g （x 0）成立．。
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测理科数学试题及答案
(
)(
)
. .
(14)在 ( 2 x + 1) ( x − 2 ) 的展开式中， x 2 的系数等于
(15)已知半径为 3cm 的球内有一个内接四棱锥 S − ABCD ，四棱锥 S − ABCD 的侧棱长都相等，底面是正 方形.当四棱锥 S − ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于 cm. (16)为保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 A，B，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理 A， B， C 三个自然村的垃圾.受当地条件的限制， 垃圾处理站 M 只能建在与 A 村相距 5km， 且与 C 村相距 31 km 的地方.已知 B 村在 A 村的正东方向，相距 3km；C 村在 B 村的正北方向，相距 3 3 km，则垃圾处理站 M 与 B 村相距 km. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分 12 分) 已知等比数列{an } 的前 n 项和Sn 满足 4 S5 = 3S4 + S6 ，且 a3 = 9 . (Ⅰ)求数列{an } 的通项公式 an ； (Ⅱ)设 bn = ( 2n − 1) ⋅ an ，求数列{bn } 的前 n 项的和Tn .
8 5 7 C. D. 12 12 9 (8)在正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， E，F，G 分别为棱 CD，CC1，A1 B 1 的中点，用过点 E，F，G 的平面
A.
1 9
B.
截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为
(9)已知函数 f ( x) =
1 − 2x ， 实数 a，b 满足不等式 f ( 2a + b ) + f ( 4 − 3b ) > 0 ， 则下列不等关系恒成立的是 1 + 2x A. b − a < 2 B. a + 2b > 2 C. b − a > 2 D. a + 2b < 2 uuur uuur x2 y2 (10)已知双曲线 C: 2 − 2 = 1 的左，右焦点分别为 F1，F2 ， A，B 是双曲线 C 上的两点，且 AF1 = 3F1 B ， a b 3 cos ∠AF2 B = ，则该双曲线的离心率为 5
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题 含答案 精品
安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测数学文试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()12i i -∙（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．2i - B ．i C ．-2 D ．12.已知集合{}|1M x x =<，{}|02N x x =<<，则MN =（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(),2-∞D ．[)0,13.已知圆()()22:684C x y -++=，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ ） A ．()()2234100x y -++= B ．()()2234100x y ++-= C ．()()223425x y -+-= D ．()()223425x y ++-= 4.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点55sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ．．12- C. 12 D5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A ．174斤B ．184斤 C.191斤 D ．201斤6.已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于（ ）A ．13-B ．3 C. 13-或3 D ．13或3 7.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表根据上表可得到回归直线方程ˆˆ0.75yx a =+，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ）A ．19.5万元B ．19.25万元 C.19.15万元 D ．19.05万元 8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输出的x 值是（ ）A ．3或-2B ．2或-2 C. 3或-1 D ．3或-1或-2 9.已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<相邻两条对称轴间的距离为32π，且02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．2ω= B ．函数()y f x π=-为偶函数 C.函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱11A B 的中点，用过点A ，C ，E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A ．B ． C. D ．11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，点P 是双曲线C 上的一点，1215PF F ∠=︒，21105PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A 2．212.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x +>′，()01f =，则不等式()ln 2ln 3f x x +->⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞ C. (),1-∞ D ．()1,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若命题:0p x ∀>，ln 10x x -+≤，则p ⌝为 ． 14.已知两个单位向量a ，b 的夹角为3π，则()()2a b a b +∙-= ．15.已知四棱锥P ABCD -的侧棱长都相等，且底面是边长为都在直径为10的球面上，则四棱锥P ABCD -的体积为 ．16.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项等比数列{}n a 满足39a =，4224a a -=.()Ⅰ求数列{}n a 的通项公式；()Ⅱ设n n b n a =∙，求数列{}n b 的前n 项的和n S .18. 某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98； 乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.()Ⅰ画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；()Ⅱ从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率.19. 在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，////AB CD PQ ，AB CD ⊥，PAD ∆为正三角形，O 为AD 中点，且2AD AB ==，1CD PQ ==.()Ⅰ求证：平面POB ⊥平面PAC ； ()Ⅱ求多面体ABCDPQ 的体积.20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆E的一个焦点为).()Ⅰ求椭圆E 的方程； ()Ⅱ若直线l过点(M 且与椭圆E 交于A ，B 两点，求AB 的最大值.21. 已知函数()()21xf x x e ax =--（e 是自然对数的底数）()Ⅰ判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由； ()Ⅱ若0x ∀>，()3x f x e x x +≥+，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知过点()0,1P -的直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为()22sin cos00a a θρθ-=>.()Ⅰ求曲线C 的直角坐标方程；()Ⅱ若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x m =+.()Ⅰ若不等式()9f x m -≤的解集为[]1,3-，求实数m 的值；()Ⅱ若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACBB 6-10: CDACA 11、12：DA 二、填空题13. 0x ∃>，ln 10x x -+> 14. 12 15.6或54 16. 34三、解答题17.()Ⅰ设数列{}n a 的公比为q ，由4224a a -=，得9924q q-=，即23830q q --=，解得3q =或13q =-. 又0n a >，则0q >，3q =∴，31933n n n a --=∙=∴.()Ⅱ13n n n b n a n -=∙=∙，01211323333n n S n -=∙+∙+∙+⋅⋅⋅+∙∴，()1211323133n n n S n n -=∙+∙+⋅⋅⋅+-∙+∙3，()1211231133332n n nn n S n --∙-=+++⋅⋅⋅+-∙=∴-2，()12314n nn S -∙+=∴.18.()Ⅰ由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以，甲组同学的成绩差异较大.（也可通过计算方差说明：2101.6s =甲，237.4s =乙，22s s >甲乙）()Ⅱ设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为123,,A A A ；乙组数据在90分以上的三位同学为123,,B B B .从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ； ()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ； ()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ； ()12,B B ，()13,B B ，()23,B B .其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，93155P ==∴. 19.()Ⅰ由条件可知，Rt ADC Rt BAO ∆∆≌，故DAC ABO ∠=∠.90DAC AOB ABO AOB ∠+∠=∠+∠=︒∴，AC BO ⊥∴. PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD ⊥∴.PAD ABCD PAD ABCD ADPO AD PO PAD⊥⎧⎪=⎪⎨⊥⎪⎪⊂⎩平面平面平面平面平面，PO ⊥∴平面ABCD . 又AC ⊂平面ABCD ，AC PO ⊥∴.又BO PO O =，AC ⊥∴平面POB .AC ⊂平面PAC ，∴平面POB ⊥平面PAC.()Ⅱ取AB 中点为E ，连接CE ，QE .由()Ⅰ可知，PO ⊥平面ABCD .又AB ⊂平面ABCD ，PO AB ⊥∴.又AB CD ⊥，PO AD O =，AB ⊥∴平面PAD .13BCDPQ PAD QEC Q CEB PAD CEB V V V S AE S PO --∆∆=+=∙+∙∴211211232⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭20.()Ⅰ依题意，设椭圆E的左，右焦点分别为()1F，)2F .则1242PF PF a +==，2a =∴，c =21b =∴， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=.()Ⅱ当直线l的斜率存在时，设:l y kx =()11,A x y ，()22,B x y .由2214y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()221440k x +++=.由0∆>得241k >.由12214x x k +=-+，122414x x k =+得AB ==设2114t k =+，则102t <<，6AB ==≤∴. 当直线l的斜率不存在时，2AB =<， AB∴21.()Ⅰ()()22x x f x xe ax x e a =-=-′. 当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，()f x ∴没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；∴当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点.()Ⅱ由()3x f x e x x +≥+得320x xe x ax x ---≥.当0x >时，210xe x ax ---≥，即21x e x a x--≤对0x ∀>恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211x x e x g x x---=′. 设()1xh x e x =--，则()1xh x e =-′.0x >，()0h x >∴′，()h x ∴在()0,+∞上单调递增， ()()00h x h >=∴，即1x e x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()()12g x g e ≥=-∴，2a e ≤-∴，a ∴的取值范围是(],2e -∞-.22.()Ⅰ22sin cos 0a θρθ-=，222sin cos 0a ρθρθ-=∴，即()220x ay a =>.()Ⅱ将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22x ay =，得280t a -+=，得()21212480,,8.a t t t t a ⎧∆=--⨯>⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩①. 0a >，∴解①得23a >. PM ，MN ，PN 成等比数列，2MN PM PN =∙∴，即21212t t t t -=，()21212124t t t t t t +-=∴，即()2400a -=，解得0a =或56a =. 23a >，56a =∴. 23.()Ⅰ由题意得90,39.m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②解①得9m ≥-.②可化为939m x m m --≤+≤+，9233mx --≤≤. 不等式()9f x ≤的解集为[]1,3-，9213m--=-∴，解得3m =-，满足9m ≥-. 3m =-∴()Ⅱ依题意得，()321g x x m x =+--.又0m >，()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩∴()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，2,233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，()243160215ABCC m S AB y ∆+=∙=>∴，解得12m >.。
2018合肥二模数学理,答案
高三数学试题（理科）答案 第1 页（共4页）合肥市2018年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案BDCABADCCBCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)12(14)10 (15)4 (16)2或7三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) (Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q .由54643S S S =+，得655433S S S S -=-，即653a a =，∴3q =， ……………3分 ∴31933n n n a --=⋅=. ……………5分 (Ⅱ)()()121213n n n b n a n -=-⋅=-⋅， ……………6分∴0121133353(21)3n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ， ……………8分()()12131333233213n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，∴()()121212323232132223n n n n T n n --=+⋅+⋅++⋅--⋅=-+-⋅ ，∴()131n n T n =-⋅+. ……………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)该市此次检测理科数学平均成绩约为:0650.05750.08850.12950.151050.241150.181250.11350.051450.03μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 103.2103=≈. ………………5分 (Ⅱ)①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，根据题意得，()1011103110.4619.3x x P x x μσ--⎛⎫⎛⎫>=-Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.5419.3x -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭. 由(0.7054)0.54Φ=得，111030.7054116.611719.3x x -=⇒=≈， 故本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ………………8分②()()107103107110.207210.58320.416819.3P x -⎛⎫>=-Φ=-Φ≈-=⎪⎝⎭，故理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168⨯=名.………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)由条件可知，Rt ADC ∆≌Rt BAO ∆，∴DAC ABO ∠=∠， ∴90DAC AOB ABO AOB ∠+∠=∠+∠= ，∴AC BO ⊥.高三数学试题（理科）答案 第2 页（共4页）.∵PA PD =，且O 为AD 中点，∴PO AD ⊥.∵PAD ABCD PAD ABCD ADPO AD PO PAD⊥⎧⎪=⎪⎨⊥⎪⎪⊂⎩ 平面平面平面平面平面，∴PO ABCD ⊥平面.又∵AC ABCD ⊂平面，∴AC PO ⊥. 又∵BO PO O = ，∴AC POB ⊥平面.∵AC PAC ⊂平面，∴平面POB ⊥平面PAC . …………5分 (Ⅱ)以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则P (0，0，2)，A (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (-1，1，0)，()102PA =- ，，，()210AC =- ，，，()102PD =-- ，，， ()0 1 0CD =-，，.设()1x y z =，，n 为平面PAC 的一个法向量，由 1100PA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得2020x z x y -=⎧⎨-+=⎩，解得122z xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩. 令2x =，则()1241=，，n . 同理可得，平面PDC 的一个法向量()2201=-，，n ， ∴二面角A PC D --的平面角θ的余弦值1212cos 35θ⋅===n n n n . …………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A '(-1，0).依题意，圆C 内切于圆O .设切点为D ，则O C D ，，三点共线. ∵O 为AA '的中点，C 为AB 中点，∴2A B OC '=.∴2222242BA BA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+==>=.依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中： 24 22BA BA a AA c ''+====，，∴21a c ==，，∴2223b a c =-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=. ………………5分(Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-.由()2212143y k x x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩得()()222243168161680k x k k x k k +-+++-=.高三数学试题（理科）答案 第3 页（共4页）设()()1122M x y N x y ，，，，则2122212168431616843102k k x x k k k x x k k ⎧++=⎪+⎪⎪+-=⎨+⎪⎪∆>⇒<⎪⎩， ∴()()12121212122121112222222PM PN k x k x y y k k k x x x x x x ----⎛⎫+=+=+=-+ ⎪------⎝⎭()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭. ……………12分 (21) (本小题满分12分)(Ⅰ)∵()()22x x f x xe ax x e a '=-=-.当0a ≤时，()f x 在() 0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在() ln 2a -∞，上单调递增，在()ln 2 0a ，上单调递减，在()0+∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点； 当12a >时，()f x 在() 0-∞，上单调递增，在()0 ln 2a ，上单调递减，在()ln 2 a +∞，上单调递增，∴()f x 有2个极值点；综上所述，当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当102a a >≠且时，()f x 有2个极值点； 当12a =时，()f x 没有极值点. …………………6分 (Ⅱ)由()3x f x e x x +≥+得 320x xe x ax x ---≥.当0x >时，210xe x ax ---≥，即21x e x a x--≤对0x ∀>恒成立.设()21x e x g x x --=，则()()()211xx e x g x x ---'=.()1, '()e 1.0, '()0, ()(0,)()(0)0,x x h x e x h x x h x h x h x h =--=->∴>∴+∞∴>= 设则在上单调递增， 1x e x >+即，∴()g x 在()01，单调递减，在()1+∞，上单调递增，∴()()12g x g e ≥=-，∴2a e ≤-. 当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；高三数学试题（理科）答案 第4 页（共4页）当0x <时，210x e x ax ---≤.设()21x h x e x ax =---，则()2x h x e x a '=--. 设()2x x e x a ϕ=--，则()20x x e ϕ'=-<，∴()h x '在()0-∞，上单调递减，∴()()01h x h a '≥'=-. 若1a ≤，则()0h x '≥，∴()h x 在()0-∞，上单调递增，∴()()00h x h <=. 若1a >，∵()010h a '=-<，∴00x ∃<,使得()0 0x x ∈，时，()0h x '<，即()h x 在()0 0x ，上单调递减，∴()()00h x h >=，舍去. ∴1a ≤. 综上可得，a 的取值范围是-∞（，e-2]. ………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)∵22sin cos 0a θρθ-=，∴222sin cos 0a ρθρθ-=，即22x ay =(0a >). …………5分(Ⅱ)将1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22x ay =，得280t a -+=，得21212()480 8a t t t t a⎧∆=--⋅>⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩①. ∵20, .3a a ∴>>解①得∵ PM MN PN ，，成等比数列，∴2MN PM PN =⋅，即21212t t t t -=， ∴()21212124t t t t t t +-=，即2)400a -=，解得56a =,满足23a >.56a ∴=. ……10分 (23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)由题意得9039m x m m +≥⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②，解①得m ≥-9.②可化为939m x m m --≤+≤+，∴9233mx --≤≤. ∵不等式()9f x ≤的解集为[]13-，，∴9213m--=-， 解得3m =-，满足m ≥-9. ∴ m =-3. …………5分 (II)依题意得，()321g x x m x =+--.又∵0m >，∴()()2 352132 1.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪++≥⎪⎩，，()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()20A m --，，2 05m B -⎛⎫⎪⎝⎭，，2 233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，∴()243160215ABCC m S AB y ∆+=⋅=>，解得12m >. ………………10分。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数(1−2i)⋅i（i是虚数单位）的虚部是（）A.−2iB.iC.−2D.1【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵(1−2i)⋅i=2+i，∴复数(1−2i)⋅i的虚部是(1)故选：D．2. 已知集合M={x|x<1}，N={x|0<x<2}，则M∩N=()A.(0, 1)B.(−∞, 1)C.(−∞, 2)D.[0, 1)【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义写出M∩N．【解答】集合M={x|x<1}，N={x|0<x<2}，则M∩N={x|0<x<1}=(0, 1)．3. 已知圆C：(x−6)2+(y−8)2=4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程()A.(x−3)2+(y+4)2=100B.(x+3)2+(y−4)2=100C.(x−3)2+(y−4)2=25D.(x+3)2+(y−4)2=25【答案】C【考点】圆的标准方程【解析】求出圆心坐标和班级，结合圆的标准方程进行求解即可．【解答】解：圆C的圆心坐标C(6, 8)，则OC的中点坐标为E(3, 4)，半径|OE|=√32+42=5，则以OC为直径的圆的方程为(x−3)2+(y−4)2=25.故选C.4. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin 5π3,cos5π3)，则sin(π+α)=( )A.−12B.−√32C.12D.√32【答案】 A【考点】 三角函数 【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π+α)的值． 【解答】∵ 角α终边经过点P(sin5π3,cos5π3)，即点P(−√32, 12)， ∴ x =−√32，y =12，r =|OP|=1，则sin(π+α)=−sinα=−y r =−y =−12．5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：用a 1,a 2,⋯,a 8，表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列{a n }(n =1,2,3,⋯,8)是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴ 8a 1+8×72×17=996，解得a 1=65，∴ a 8=65+7×17=184． 故选B ．6. 已知函数f(x)=a−2x a+2x是奇函数，则f(a)的值等于（ ）A.−13B.3C.−13或3D.13或3【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质 【解析】根据f(x)为奇函数即可得出a−2−x a+2=−a−2x a+2，从而可解出a =±1，从而可求出f(a)的值．【解答】f(x)是奇函数； ∴ f(−x)=a−2−x a+2−x=−a−2x a+2x；整理得：(2a 2−2)2x =0； ∴ 2a 2−2=0； ∴ a =±1；a =1时，f(a)=f(1)=1−21+2=−13； a =−1时，f(a)=f(−1)=−1−12−1+12=3．7.某公司某种型号的产品近期的销售情况如下表：根据上表可得到回归方程，据此估计，该公司月份这种型号的产品的销售额为（ ） A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元 D.19.05万元 【答案】 D【考点】求解线性回归方程 【解析】本题主要考查回归方程的应用. 【解答】解：由题意可得x =2+3+4+5+65=4，y =15.1+16.3+17.0+17.2+18.45=16.8，∴ 由回归直线恒过点(x,y)，得16.8=0.75×4+a^， 解得a^=13.8， ∴ 当x =7时，y ^=0.75×7+13.8=19.05． 故选D ．8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为（ ）A.3或−2B.2或−2C.3或−1D.−2或−1或3【答案】A【考点】程序框图【解析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足y=1的x值，综合可得答案．【解答】当x>2时，由y=log3(x2−2x)=1得：x2−2x=3，解得：x=3，或x=−1（舍）当x≤2时，由y=−2x−3=1，解得：x=−2，综上可得若输出的结果为1，则输入x的值为3或−2，9. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)相邻两条对称轴间的距离为3π2，且f(π2)=0，则下列说法正确的是（）A.ω=2B.函数y=f(x−π)为偶函数C.函数f(x)在[−π,−π2]上单调递增D.函数y=f(x)的图象关于点(3π4,0)对称【答案】C【考点】正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法【解析】由已知求得半周期，进一步求得T，结合周期公式求得ω，再由f(π2)=0求得φ，得到函数解析式，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由题意得T2=3π2，即T=3π，∴2πω=3π，得ω=23，故A错误；∴f(x)=2sin(23x+φ)，又f(π2)=0，∴2sin(π3+φ)=0，∵0<φ<π，∴φ=2π3．∴f(x)=2sin(23x+2π3)，∵f(x−π)=2sin23x，∴函数y=f(x−π)为奇函数，故B错误；当x∈[−π,−π2]时，23x+2π3∈[0, π3]，则函数f(x)在[−π,−π2]上单调递增，故C正确；∵f(3π4)=2sin(23×3π4+2π3)=2cos2π3=−1，∴函数y=f(x)的图象关于点(3π4,0)对称，故D错误．故选C.10. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】本题主要考查几何体的三视图．【解答】解：如图，取B1C1的中点为F，连结AC，CF，EF，AE，截面AEFC以下部分为所求得的几何体，易知选项A中的图形为其侧视图．故选A．11. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15∘，∠PF 2F 1=105∘，则该双曲线的离心率为（ ）A.√6B.√3C.√2+√62D.√62【答案】D【考点】双曲线的特性 【解析】利用已知条件通过正弦定理，求出PF 1，PF 2，利用双曲线的定义，列出方程，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0, b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15∘，∠PF 2F 1=105∘，F 1F 2=2c ，由正弦定理可得：PF 1sin105∘=F 1F2sin60∘，PF 1=2c∗√2+√64√32=√6−3√23c ，同理PF 2=2csin15∘sin60∘=3√2−√63c ， 所以√6−3√23c −3√2−√63c =2a ，即√63c =a ，可得e =√62．12. 已知函数f(x)是定义在R 上的增函效，f(x)+2>f′(x)，f(0)=1，则不等式ln[f(x)+2]−ln3>x 的解集为（ ） A.(−∞, 0) B.(0, +∞) C.(−∞, 1) D.(1, +∞) 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】根据题意，设g(x)=f(x)+2e x，对其求导分析可得函数g(x)在R 上为减函数，又由f(0)的值可得g(0)=3，而不等式ln[f(x)+2]−ln3>x 可以转化为f(x)+2e x>3⇒g(x)>g(0)，结合函数的单调性分析可得答案． 【解答】根据题意，设g(x)=f(x)+2e x，其导数g′(x)=[f(x)+2]′e x −[f(x)+2]∗(e x )′(e x )2=f ′(x)−f(x)−2e x，又由f(x)+2>f′(x)，则有g′(x)<0，则函数g(x)在R 上为减函数， f(0)=1，则g(0)=f(0)+2e 0=3，又由函数f(x)是定义在R 上的增函效，则有f(x)+2>f′(x)>0，即f(x)+2>0在R 上恒成立；则ln[f(x)+2]−ln3>x ⇒lnf(x)+23>x ⇒f(x)+23>e x ⇒f(x)+2e x>3⇒g(x)>g(0)，又由g(x)为减函数，则有x <0， 则不等式的解集为(−∞, 0)；二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）若命题p:∀x >0，lnx −x +1≤0，则￢p 为________． 【答案】∃x >0，lnx −x +1>0 【考点】 命题的否定 【解析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p:∀x >0，lnx −x +1≤0，则￢p 为∃x >0，lnx −x +1>(0)已知两个单位向量a →，b →的夹角为π3，则(2a →+b →)∗(a →−b →)=________．【答案】 12【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可． 【解答】两个单位向量a →，b →的夹角为π3，则(2a →+b →)∗(a →−b →)=2a →2−a →∗b →−b →2=2−12−1=12，已知四棱锥P −ABCD 的侧棱长都相等，且底面是边长为3√2的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P −ABCD 的体积为________． 【答案】 6或54 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 球内接多面体 【解析】连结AC ，BD ，交于点E ，设球心为O ，球半径为R ，连结PO ，BO ，则E 在直线PO 上，PO =BO =R ，BE =12BD =3，R =5，从而OE =√R 2−BE 2=4，PE =R −OE =5−4=1或PE =R +OE =5+4=9，由此能求出四棱锥P −ABCD 的体积． 【解答】∵ 四棱锥P −ABCD 的侧棱长都相等，且底面是边长为3√2的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，连结AC ，BD ，交于点E ，设球心为O ，球半径为R ， 连结PO ，BO ，则E 在直线PO 上，PO =BO =R ， ∴ BE =12BD =12√(3√2)2+(3√2)2=3，R =5，∴ OE =√R 2−BE 2=4，∴ PE =R −OE =5−4=1或PE =R +OE =5+4=9， ∴ 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13×S 正方形ABCD ×PE =13×18×1=6， 或V =13×S 正方形ABCD ×PE =13×18×9=(54)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00−6:00之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午5:30−6:00．快递员到小李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率等于________． 【答案】 34【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ，则有序实数对(x, y)满足的区域为{(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6 }，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对(x, y)满足的区域为{(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6x <y }，分别求出矩形区域与梯形区域的面积，由面积比得答案．【解答】假设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ， 则有序实数对(x, y)满足的区域为{(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6}， 小李需要去快递柜收取商品，即序实数对(x, y)满足的区域为{(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6x <y }，如图：∴小李需要去快递柜收取商品的概率等于1×12−12×12×121×12=34．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知正项等比数列{a n}满足a3=9，a4−a2=24．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=n⋅a n，求数列{b n}的前n项的和S n．【答案】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q，由a4−a2=24，得9q−9q=24，即3q2−8q−3=0，解得q=3或q=−13．又∵a n>0，则q>0，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=n∗a n=n∗3n−1，∴S n=1∗30+2∗31+3∗32+⋯+n∗3n−1，…①，①×3可得：3S n=1∗31+2∗32+⋯+(n−1)∗3n−1+n∗3n，…②，①-②可得：−2S n=1+31+32+⋯+3n−1−n∗3n=(1−2n)∗3n−12，∴S n=(2n−1)∗3n+14．【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)设出公比，利用已知条件求出公比，然后求解数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简b n=n⋅a n，利用错位相减法求解数列{b n}的前n项的和S n．【解答】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q，由a4−a2=24，得9q−9q=24，即3q2−8q−3=0，解得q=3或q=−13．又∵a n>0，则q>0，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=n∗a n=n∗3n−1，∴S n=1∗30+2∗31+3∗32+⋯+n∗3n−1，…①，①×3可得：3S n=1∗31+2∗32+⋯+(n−1)∗3n−1+n∗3n，…②，①-②可得：−2S n=1+31+32+⋯+3n−1−n∗3n=(1−2n)∗3n−12，∴S n=(2n−1)∗3n+14．某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下：甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．(Ⅰ)画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由；(Ⅱ)从这两个小组数学成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．【答案】(Ⅰ)由两个小组同学的数学成绩出这两个小组同学数学成绩的茎叶图如下：由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，∴甲组同学的成绩差异较大．(Ⅱ)设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3，乙组数据在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：(A1, A2)，(A1, A3)，(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)；(A2, A3)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)；(A3, B1)，(A3, B2)，(A3, B3)；(B1, B2)，(B1, B3)，(B2, B3)．其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，∴选出的2位同学不在同一个小组的概率P=915=35．【考点】茎叶图古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)由两个小组同学的数学成绩出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，由茎叶图中数据分布得到甲组同学的成绩差异较大．(Ⅱ)设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3，乙组数据在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，利用列举法能求出选出的2位同学不在同一个小组的概率．【解答】(Ⅰ)由两个小组同学的数学成绩出这两个小组同学数学成绩的茎叶图如下：由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，∴甲组同学的成绩差异较大．(Ⅱ)设甲组数据成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3，乙组数据在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本事件，列举如下：(A1, A2)，(A1, A3)，(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)；(A2, A3)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)；(A3, B1)，(A3, B2)，(A3, B3)；(B1, B2)，(B1, B3)，(B2, B3)．其中，从这6位同学中选出2位同学不在同一个小组共有9个基本事件，∴选出的2位同学不在同一个小组的概率P=915=35．在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // CD // PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD的中点，且AD=AB=2，CD=PQ=1．(1)求证：平面POB⊥平面PAC；(2)求多面体ABCDPQ的体积．【答案】(1)证明：在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // CD // PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD中点，且AD=AB=2，CD=PQ=1，∴Rt△ADC≅Rt△BAO故∠DAC=∠ABO．∴∠DAC+∠AOB=∠ABO+∠AOB=90∘，∴AC⊥BO．∵PA=PD，且O为AD的中点，∴PO⊥AD，PO=√PD2−OD2=√22−12=√3,∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO．又∵BO∩PO=O，∴AC⊥平面POB．∵AC⊂平面PAC，∴平面POB⊥平面PAC．(2)解：取AB中点为E，连接CE，QE．由(1)可知，PO⊥平面ABCD．又∵AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB．又∵AB⊥AD，PO∩AD=O，∴AB⊥平面PAD．∴多面体ABCDPQ的体积：V A−BCDPQ=V PAD−QEC+V Q−CEB=S△PAD⋅AE+13S△CEB⋅PO【考点】平面与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)推导出Rt△ADC≅Rt△BAO，∠DAC=∠ABO．AC⊥BO．PO⊥AD．从而PO⊥平面ABCD．进而AC⊥PO．由此能证明AC⊥平面POB．从而平面POB⊥平面PAC．(Ⅱ)取AB中点为E，连接CE，QE．推导出AB⊥平面PAD．多面体ABCDPQ的体积：V BCDPQ=V PAD−QEC+V Q−CEB=S△PAD∗|AE|+13S△CEB∗|PO|．【解答】(1)证明：在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // CD // PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD中点，且AD=AB=2，CD=PQ=1，∴Rt△ADC≅Rt△BAO故∠DAC=∠ABO．∴∠DAC+∠AOB=∠ABO+∠AOB=90∘，∴AC⊥BO．∵PA=PD，且O为AD的中点，∴PO⊥AD，PO=√PD2−OD2=√22−12=√3,∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PO．又∵BO∩PO=O，∴AC⊥平面POB．∵AC⊂平面PAC，∴平面POB⊥平面PAC．(2)解：取AB中点为E，连接CE，QE．由(1)可知，PO⊥平面ABCD．又∵AB⊂平面ABCD，∴PO⊥AB．又∵AB⊥AD，PO∩AD=O，∴AB⊥平面PAD．∴多面体ABCDPQ的体积：V A−BCDPQ=V PAD−QEC+V Q−CEB=S△PAD⋅AE+13S△CEB⋅PO已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P(−√3,12)，椭圆E 的一个焦点为(√3,0)．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若直线l 过点M(0,√2)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求|AB|的最大值． 【答案】（1）依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)． 则|PF 1|+|PF 2|=4=2a ，∴ a =2，c =√3，∴ b 2=1， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +√2，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 由{y =kx +√2x 24+y 2=1 得(1+4k 2)x 2+8√2kx +4=0． 由△>0得4k 2>(1)由x 1+x 2=−8√2k1+4k2，x 1x 2=41+4k 2得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√−6(11+4k )2+11+4k +1．设t =11+4k 2，则0<t <12，∴ |AB|=2√−6t 2+t +1=2√−6(t −112)2+2524≤5√66．当直线l 的斜率不存在时，|AB|=2<5√66，∴ |AB|的最大值为5√66．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用直线与椭圆结合的最值问题 【解析】(Ⅰ)设椭圆E 的左，右焦点分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)．利用椭圆的定义求出a ，然后求解b ，得到椭圆方程．(Ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +√2，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式利用二次函数的现在求解最值即可． 【解答】（1）依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)． 则|PF 1|+|PF 2|=4=2a ，∴ a =2，c =√3，∴ b 2=1， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率存在时，设l:y =kx +√2，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 由{y =kx +√2x 24+y 2=1 得(1+4k 2)x 2+8√2kx +4=0． 由△>0得4k 2>(1)由x 1+x 2=−8√2k1+4k2，x 1x 2=41+4k 2得|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=设t =11+4k 2，则0<t <12，∴ |AB|=2√−6t 2+t +1=2√−6(t −112)2+2524≤5√66．当直线l 的斜率不存在时，|AB|=2<5√66，∴ |AB|的最大值为5√66．已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2（e 是自然对数的底数）． (Ⅰ)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若∀x ∈R ，f(x)+e x ≥x 3+x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增， 在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=e −2，∴ a ≤e −(2) 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可； (Ⅱ)问题转化为a ≤e x −x 2−1x对∀x >0恒成立，设g(x)=e x −x 2−1x，设ℎ(x)=e x −x −1，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 【解答】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增， 在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知过点P(0, −1)的直线l 的参数方程为{x =12ty =−1+√32t （t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值． 【答案】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t 代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56．∴ a =56．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 【解答】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56． ∵ a >23， ∴ a =56．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x +m|．(1)若不等式f(x)−m ≤9的解集为[−1, 3]，求实数m 的值；(2)若m >0，函数g(x)=f(x)−2|x −1|的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围． 【答案】 解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9， ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，解得m >12. 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)去掉不等式的绝对值并根据条件限制m 的范围，根据题意得出m 的值；(Ⅱ)由m >0去掉绝对值，将函数g(x)写成分段函数的形式，根据大致图象求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，解不等式即可． 【解答】解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，−9−2m 3≤x ≤3．∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9 ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，。
合肥市2018年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（含答案）
合肥市2018年⾼三第⼆次教学质量检测数学试题（理科）（含答案）合肥市2018年⾼三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z =2.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =IA.?B.12??-C.{}1D. 1 12??-，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A)，()0 3B ，，则椭圆E 的离⼼率为A.23 C.49 D.594.已知111 2 3 23α?∈-，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D. 13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平⾯，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的⼆项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知⾮零实数a b ，满⾜a a b b >，则下列不等式⼀定成⽴的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b <8.运⾏如图所⽰的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k < 9.若正项等⽐数列{}n a 满⾜()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是-10.如图，给7条线段的5个端点涂⾊，要求同⼀条线段的两个端点不能同⾊，现有4种不同的颜⾊可供选择，则不同的涂⾊⽅法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两⾯为平⾏矩形的六⾯体称为刍童.如图所⽰为⼀个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，⾼为2，则该刍童的表⾯积为A.16+D.16+12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取A.924??-- ，B.9 04??-， C.(-2，0) D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考⽣都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考⽣根据要求作答.⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满⾜条件1010330x y x y x y +-≥??--≤??-+≥?，则2z x y =-的最⼤值为 .(14)已知()OA =uu r，()0 2OB =u u u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r ，，当OC uuu r 最⼩时，t = . (15)在ABC ?中，内⾓A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ?的⾯积等于3，则b = .(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S，若数列也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本⼩题满分12分)已知函数()1in c o s c o s223f x x x x π?--.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴⽅程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π??，时，求函数()g x 的值域.(18)(本⼩题满分12分)(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学⽣中，采⽤按性别分层抽样的⽅法，选取12⼈参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、⼥学⽣各选取了多少⼈？(ⅱ)若从这12⼈中随机选取3⼈到校⼴播站开展冬奥会及冰雪项⽬的宣传介绍，设选取的3⼈中⼥⽣⼈数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n a d b cK a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本⼩题满分12分)如图，在多⾯体ABCDE 中，平⾯ABD ⊥平⾯ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE 12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；EDCBA(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平⾯BCD 的距离的最⼤值.(20)(本⼩题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上⼀动点M 为圆⼼的圆经过点F.若圆M 的⾯积最⼩值为π.(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第⼀象限时，过M 作抛物线的两条弦M A M B ，，且满⾜AM F BM F ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的⽅程.(21)(本⼩题满分12分)已知函数()212x f x e x a x =--有两个极值点12x x ，(e 为⾃然对数的底数).(Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考⽣在第(22)、(23)题中任选⼀题作答.注意：只能做所选定的题⽬，如果多做，则按所做的第⼀个题⽬计分，作答时，请⽤2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的⽅框涂⿊. (22)(本⼩题满分10分)选修4－4：坐标系与参数⽅程在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l的参数⽅程为11x y ?=-??=??(t 为参数)，圆C 的⽅程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标⽅程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于A B ，两点，求c o s A O B ∠的值.。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z满足z⋅(1−2i)=i（i是虚数），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】由z⋅(1−2i)=i，得z=i1−2i =i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−25,15)，在第二象限．2. 已知集合A={x|−2<x<3}，集合B={x|x<1}，则A∪B=()A.(−2, 1)B.(−2, 3)C.(−∞, 1)D.(−∞, 3)【答案】D【考点】并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A={x|−2<x<3}，集合B={x|x<1}，∴A∪B={x|x<3}={−∞，3)．3. 命题p:∀a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解，则￢p为（）A.∃a<0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解B.∃a<0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解C.∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解D.∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0有实数解【答案】C【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：根据含有量词的命题的否定可得，¬p为∃a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解．故选C．4. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin 5π3,cos5π3)，则sin(π+α)=( )A.−12B.−√32C.12D.√32【答案】 A【考点】 三角函数 【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π+α)的值． 【解答】∵ 角α终边经过点P(sin5π3,cos5π3)，即点P(−√32, 12)， ∴ x =−√32，y =12，r =|OP|=1，则sin(π+α)=−sinα=−y r =−y =−12．5. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：用a 1,a 2,⋯,a 8，表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列{a n }(n =1,2,3,⋯,8)是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴ 8a 1+8×72×17=996，解得a 1=65，∴ a 8=65+7×17=184． 故选B ．6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为（ ）A.3或−2B.2或−2C.3或−1D.−2或−1或3 【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】根据已知中的程序框图，分类讨论满足y =1的x 值，综合可得答案． 【解答】当x >2时，由y =log 3(x 2−2x)=1得：x 2−2x =3，解得：x =3，或x =−1（舍） 当x ≤2时，由y =−2x −3=1，解得：x =−2， 综上可得若输出的结果为1，则输入x 的值为3或−2，7. 小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00−6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30−6:00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ） A.19B.89C.512D.712【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ，根据题意列出有序实数对(x, y)满足的区域，以及小李去快递柜收取商品对应的平面区域，计算面积比即可得出答案． 【解答】假设快递员送达的时刻为x ，小李到家的时刻为y ， 则有序实数对(x, y)满足的区域为 {(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对(x, y)满足的区域为{(x, y)|{5≤x ≤65.5≤y ≤6x +16<y}，∴ 小李需要去快递柜收取商品的概率为 P =SS =12×(13+56)×1212×1=712．8. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱CD ，CC 1，A 1B 1的中点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A.B.C.D.【答案】 C【考点】简单空间图形的三视图 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：取AA 1的中点H ，连结GH ，则GH 为过点E,F,G 的平面与正方体的面A 1B 1BA 的交线．延长GH ，交BA 的延长线于点P ，连结EP ，交AD 于N ，则NE 为过点E ，F,G 的平面与正方体的面ABCD 的交线．同理，延长EF ，交D 1C 1的延长线于Q ，连结GQ ，交B 1C 1于点M ，则FM 为过点E,F,G 的平面与正方体的面BCC 1B 1的交线．所以过点E,F,G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN ．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C 所示． 故选C ．9. 已知函数f(x)=1−2x 1+2x，实数a ，b 满足不等式f(2a +b)+f(4−3b)>0，则下列不等式恒成立的是（ ） A.b −a <2 B.a +2b >2 C.b −a >2 D.a +2b <2【答案】 C【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】 此题暂无解析解：由题意得f(−x)=1−2−x 1+2−x=2x −12x +1=−1−2x 2x +1=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)=−2x −11+2x=−(2x +1)−21+2x=−1+21+2x ,故函数f(x)在R 上单调调递减．∵ f(2a +b)+f(4−3b)>0，∴ f(2a +b)>−f(4−3b)=f(3b −4), ∴ 2a +b <3b −4, ∴ b −a >2． 故选C ．10. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 是双曲线C 上的两点，且AF 1→=3F 1B →，cos∠AF 2B =35，则该双曲线的离心率为（ ） A.√10 B.√102C.√52D.√5【答案】B【考点】 双曲线的特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ AF 1→=3F 1B→，∴ A,F 1,B 共线，且点F 1在线段AB 上，如图，设A,B 是双曲线C 左支上的两点， 令|AF 1|=3|F 1B |=3m(m >0)，由双曲线的定义可得|BF 2|=2a +m,|AF 2|=2a +3m ，在△F 2AB 中，由余弦定理得(4m)2=(2a +m)2+(2a +3m)2−2×(2a +m)×(2a +3m)×35，整理得3m 2−2am −a 2=0，解得m =a 或m =−13a (舍去)．∴ |AB|=4a,|BF 2|=3a,|AF 2|=5a ，∴ △F 2AB 为直角三角形，且∠ABF 2=90∘． 在Rt △F 1BF 2中，|F 1B |2+|BF 2|2=|F 1F 2|2， 即a 2+(3a)2=(2c)2，即10a 2=4c 2， ∴ e 2=c 2a 2=52,∴ e =√102，即该双曲线的离心率为√102． 故选B ．在(0, π)上单调．下列说法正确的是（）A.ω=12B.f(−π8)=√6−√22C.函数f(x)在[−π,−π2brack上单调递增D.函数y=f(x)的图象关于点(3π4,0)对称【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】根据题意，设置满足条件的ω，φ的值，依次对各选项讨论即可．【解答】由f(π8)=√2，即2sin(ωπ8+φ)=√2，可得：ωπ8+φ=π4+2kπ或ωπ8+φ=3π4+2kπ，k∈Z；令ωπ8+φ=π4……(1)，(2)(3)解得：ω=2，不满足题意：令ωπ8+φ=3π4……(4)，(5)(6)解得：ω=23，满足题意：∴f(x)=2sin(23x+2π3)对于B:f(−π8)=2sin(−23×π8+2π3)=2sin7π12=√6+√22，∴B不对．对于C：令−π2≤23x+2π3≤π2，解得：−3π2≤x≤π4，∴函数f(x)在[−π,−π2brack上单调递增，∴C对．对于D：当x=3π4，可得f(3π4)=2sin(23×3π4+2π3)=−2sinπ6=−1，∴函数y=f(x)的图象不是关于点(3π4,0)对称，∴D不对．故选：C．12. 已知点I在△ABC内部，AI平分∠BAC，∠IBC=∠ACI=12∠BAC，对满足上述条件的所有△ABC，下列说法正确的是（）A.△ABC的三边长一定成等差数列B.△ABC的三边长一定成等比数列C.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等差数列D.△ABI，△ACI，△CBI的面积一定成等比数列【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设∠IBC=∠ACI=∠BAI=∠CAI=θ,IA=IC=m,IB=n，在△IAC中，m=b2cosθ，在△ABI,△BCI,△ABC中，分别由余弦定理得n2=c2+m2−2cmcosθ，m2=a2+n2−2ancosθ，a2=b2+c2−2bcos2θ，由+整理得2(cm+an)cosθ=a2+c2，∴ cm+an=a2+c22cosθ，将m=b2cosθ代入上式可得n=a2+c2−bc2acosθ，又由三角形面积公式得12bcsin2θ=12mcsinθ+12ansinθ+12bmsinθ，∴2bccosθ=mc+an+bm=m(b+c)+an，∴ 2bccosθ=b(b+c)2cosθ+a2+c2−bc2cosθ=a2+b2+c22cosθ，∴ 4bcos2θ=a2+b2+c2，∴ 2bc(1+cos2θ)=a2+b2+c2，由得cos2θ=b2+c2−a22bc，∴ 2bc(1+b2+c2−a22bc)=a2+b2+c2，整理得a2=bc，故△ABC的三边长一定成等比数列．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知两个单位向量a→，b→的夹角为π3，则(2a→+b→)∗(a→−b→)=________．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】两个单位向量a →，b →的夹角为π3，则(2a →+b →)∗(a →−b →)=2a →2−a →∗b →−b →2=2−12−1=12，在(2x +1)2(x −2)3的展开式中，x 2的系数等于________． 【答案】 10【考点】二项式定理的应用 【解析】化简(2x +1)2(x −2)3=(4x 2+4x +1)(x 3−6x 2+12x −8)，展开后可得含x 2项的系数． 【解答】∵ (2x +1)2(x −2)3=(4x 2+4x +1)(x 3−6x 2+12x −8)， ∴ x 2的系数等于4×(−8)+4×12−6=(10)已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S −ABCD ，四棱锥S −ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S −ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于________cm ． 【答案】 4【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，设四棱锥S −ABCD 的侧棱长为x ，底面正方形的边长为a ，棱锥的高为ℎ， 由题意可得顶点S 在底面上的射影为底面正方形的中心O 1，则球心O 在高SO 1上，在Rt △OO 1B 中，OO 1=ℎ−3,OB =3，O 1B =√22a ，∴ 32=(ℎ−3)2+(√22a)2，整理得a2=12ℎ−2ℎ2．又∵ 在Rt △SO 1B 中，有x 2=ℎ2+(√22a)2=ℎ2+(6ℎ−ℎ2)=6ℎ，∴ ℎ=x 26.∴a 2=2x 2−x 418,∴ V S−ABCD =13⋅a 2⋅ℎ=13×(2x 2−x 418)×x 26=1324(−x 6+36x 4)，设f(x)=−x 6+36x 4，则f ′(x)=−6x 5+144x 3=−6x 3(x 2−24)， ∴ 当0<x <2√6时f ′(x)>0,f(x)单调递增， 当x <2√6时，f ′(x)<0,f(x)单调递减，∴ 当a =2√6时，f(x)取得最大值，即四棱锥S −ABCD 的体积取得最大值， 此时a 2=2×(2√6)2−(2√6)418=16，解得a =4，∴ 四棱锥S −ABCD 的体积最大时，底面边长等于4cm ． 故答案为：4．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5km，且与C村相距√31km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距3√3km，则垃圾处理站M与B村相距________km．【答案】2或7【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),C(3,3√3).由题意得处理站M在以A(0,0)为圆心，半径为5的圆A上，同时又在以C(3,3√3)为圆心，半径为√31的圆C上，两圆的方程分别为x2+y2=25和(x−3)2+(y−3√3)2=31，联立{x2+y2=25(x−3)2+(y−3√3)2=31，解得{x=5y=0，或{x=−52y=5√32，∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或(−52,5√32)，∴|MB|=2或|MB|=√(−52−3)2+(5√32)2=7，即垃圾处理站M与B村相距2km或7km．故答案为：2或7．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等比数列{a n}的前n项和S n满足4S5=3S4+S6，且a3=9．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=(2n−1)⋅a n，求数列{b n}的前n项的和T n．【答案】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q．由4S5=3S4+S6，得S6−S5=3S5−3S4，即a6=3a5，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=(2n−1)∗a n=(2n−1)∗3n−1，∴T n=1∗30+3∗31+5∗32+⋯+(2n−1)∗3n−1，3T n=1∗31+3∗32+⋯+(2n−3)∗3n−1+(2n−1)∗3n，∴−2T n=1+2∗31+2∗32+⋯+2∗3n−1−(2n−1)∗3n=−2+(2−2n)∗3n，∴T n=(n−1)∗3n+1．【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出数列的公比，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q．由4S5=3S4+S6，得S6−S5=3S5−3S4，即a6=3a5，∴q=3，∴a n=9∗3n−3=3n−1．(Ⅱ)b n=(2n−1)∗a n=(2n−1)∗3n−1，∴T n=1∗30+3∗31+5∗32+⋯+(2n−1)∗3n−1，3T n=1∗31+3∗32+⋯+(2n−3)∗3n−1+(2n−1)∗3n，∴−2T n=1+2∗31+2∗32+⋯+2∗3n−1−(2n−1)∗3n=−2+(2−2n)∗3n，∴T n=(n−1)∗3n+1．为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）(Ⅱ)研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X∼N(μ, σ2)(u=u0，σ约为19.3)．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？= 1 − \pℎi(\dfrac{{x}_{1} − u}{∖sigma})}表示{x\gt x_{1}}的概率,{\phi(\dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma})}用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即{X\sim N(0,\, 1)},从而利用标准正态分布表{\phi (x_{0})},求{x\gt x_{1}}时的概率{P(x\gt x_{1})},这里{x_{0}= \dfrac{{x}_{1} - u}{\sigma}}.相应于{x_{0}}的值{\phi(x_{0})}是指总体取值小于{x_{0}}的概率,即{\phi (x_{0})= P(x\lt x_{0})}.参考数据:{\phi (0.7045)= 0.54},{\phi (0.6772)= 0.46},{\phi (0.21)= 0.5832)}$．【答案】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03)（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，根据题意，P(x>x1)=1−ϕ(x1−u0σ)=1−ϕ(x1−10319.3)=0.46，即ϕ(x1−10319.3)=0.54．由ϕ(0.7054)=0.54得，x1−10319.3=0.7054⇒x1=116.6≈117，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．P(x>7)=1−ϕ(107−10319.3)=1−ϕ(0.2072)≈1−0.5832=0.4168，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．【考点】正态分布的密度曲线【解析】（I）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；(II)①根据所给公式列方程求出x1；②根据成绩计算概率，得出大体名次．【解答】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18 +125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈1(03)（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，根据题意，P(x>x1)=1−ϕ(x1−u0σ)=1−ϕ(x1−10319.3)=0.46，即ϕ(x1−10319.3)=0.54．由ϕ(0.7054)=0.54得，x1−10319.3=0.7054⇒x1=116.6≈117，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．P(x>7)=1−ϕ(107−10319.3)=1−ϕ(0.2072)≈1−0.5832=0.4168，所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168=4168名．在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB // CD，AB⊥AD，O为AD中点，PA=PD=√5，AD＝AB＝2CD＝2．(Ⅰ)求证：平面POB⊥平面PAC；(Ⅱ)求二面角A−PC−D的余弦值．【答案】（1）证明：由条件可知，Rt △ADC ≅Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90∘，∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ．∵ {PAD ⊥ABCDPAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ⊂PAD，∴ PO ⊥平面ABCD ．又∵ AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面POB ⊥平面PAC ．（2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0, 0, 2)，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，C(−1, 1, 0)，PA →=(1,0,−2)，AC →=(−2,1,0)，PD →=(1,0,−2)，CD →=(0,−1,0)， 设n 1→=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量，由{n 1→⋅PA →=0n 1→⋅AC →=0得{x −2z =0−2x +y =0 ，解得{z =12x y =2x．令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)．同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→=(−2,0,1)， ∴ 二面角A −PC −D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=√105=√10535．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)通过Rt △ADC ≅Rt △BAO ，推出∠DAC ＝∠ABO ，证明AC ⊥BO ，PO ⊥AD ．推出PO ⊥平面ABCD ．得到AC ⊥PO ．AC ⊥平面POB ，即可证明平面POB ⊥平面PAC ．(Ⅱ)以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAC 的一个法向量，平面PDC 的一个法向量，利用向量的数量积求解即可． 【解答】（1）证明：由条件可知，Rt △ADC ≅Rt △BAO ，∴ ∠DAC ＝∠ABO ， ∴ ∠DAC +∠AOB ＝∠ABO +∠AOB ＝90∘，∴ AC ⊥BO ．∵ PA ＝PD ，且O 为AD 中点，∴ PO ⊥AD ．∵ {PAD ⊥ABCDPAD ∩ABCD =AD PO ⊥AD PO ⊂PAD，∴ PO ⊥平面ABCD ．又∵ AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥PO ． 又∵ BO ∩PO ＝O ，∴ AC ⊥平面POB ． ∵ AC ⊂平面PAC ，∴ 平面POB ⊥平面PAC ．（2）以O 为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0, 0, 2)，A(1, 0, 0)，D(−1, 0, 0)，C(−1, 1, 0)，PA →=(1,0,−2)，AC →=(−2,1,0)，PD →=(1,0,−2)，CD →=(0,−1,0)， 设n 1→=(x,y,z)为平面PAC 的一个法向量，由{n 1→⋅PA →=0n 1→⋅AC →=0得{x −2z =0−2x +y =0 ，解得{z =12xy =2x． 令x ＝2，则n 1→=(2,4,1)．同理可得，平面PDC 的一个法向量n 2→=(−2,0,1)， ∴ 二面角A −PC −D 的平面角θ的余弦值cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=√105=√10535．已知点A(1, 0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O:x 2+y 2=4． (Ⅰ)求动点B 的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2, 0)，Q(2, −1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值． 【答案】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2−c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x1−2+1x2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．【考点】 轨迹方程圆锥曲线的综合问题 【解析】(Ⅰ)设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)．圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，由此能求出动点B 的轨迹方程．(Ⅱ)设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3． 【解答】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2−c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2， 此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x1−2+1x2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2（e 是自然对数的底数）． (Ⅰ)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若∀x ∈R ，f(x)+e x ≥x 3+x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增，在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=e −2，∴ a ≤e −(2) 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可； (Ⅱ)问题转化为a ≤e x −x 2−1x对∀x >0恒成立，设g(x)=e x −x 2−1x，设ℎ(x)=e x −x −1，根据函数的单调性求出a 的范围即可． 【解答】（1）∵ f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞, ln2a)上单调递增， 在(ln2a, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞, 0)上单调递增，在(0, ln2a)上单调递减，在(ln2a, +∞)上单调递增， ∴ f(x)有2个极值点；∴ 当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．（2）由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥(0) 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0， 即a ≤e x −x 2−1x 对∀x >0恒成立． 设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −(1)∵ x >0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴ g(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=e −2，∴ a ≤e −(2) 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤(0)设ℎ(x)=e x −x 2−ax −1，则ℎ′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴ ℎ′(x)在(−∞, 0)上单调递减， ∴ ℎ′(x)≥ℎ′(0)=1−a ． 若a ≤1，则ℎ′(x)≥0，∴ ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增， ∴ ℎ(x)<ℎ(0)=(0)若a >1，∵ ℎ′(0)=1−a <0，∴ ∃x 0<0，使得x ∈(x 0, 0)时，ℎ′(x)<0， 即ℎ(x)在(x 0, 0)上单调递减， ∴ ℎ(x)>ℎ(0)=0，舍去， ∴ a ≤(1)综上可得，a 的取值范围是(−∞, e −2]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知过点P(0, −1)的直线l 的参数方程为{x =12ty =−1+√32t（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值． 【答案】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56． ∵ a >23， ∴ a =56．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 【解答】解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． ∴ 2aρsinθ−ρ2cos 2θ=(0) 即x 2=2ay(a >0)．（2）将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ，得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a. ． ∵ a >0， ∴ 解①得a >23．∵ |PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴ |MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴ (t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2， 即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56． ∵ a >23， ∴ a =56．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x +m|．(1)若不等式f(x)−m ≤9的解集为[−1, 3]，求实数m 的值；(2)若m >0，函数g(x)=f(x)−2|x −1|的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围． 【答案】 解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，−9−2m 3≤x ≤3．∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9， ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m 3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，解得m >12. 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)去掉不等式的绝对值并根据条件限制m 的范围，根据题意得出m 的值；(Ⅱ)由m >0去掉绝对值，将函数g(x)写成分段函数的形式，根据大致图象求出三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，解不等式即可． 【解答】解：(1)由题意得{9+m ≥0|3x +m|≤9+m.解①得m ≥−9②可化为−9−m ≤3x +m ≤9+m ，−9−2m 3≤x ≤3．∵ 不等式f(x)≤9的解集为[−1, 3]， ∴−9−2m 3=−1，解得m =−3，满足m ≥−9 ∴ m =−3.(2)依题意得，g(x)=|3x +m|−2|x −1|．又∵ m >0，∴ g(x)={−x −m −2(x ≤−m3)5x +m −2(−m 3<x <1)x +m +2(x ≥1).，g(x)的图象与x 轴围成的△ABC 的三个顶点的坐标为 A(−m −2, 0)，B(2−m 5,0)，C(−m 3,−2m 3−2)，∴ S △ABC =12|AB|⋅y C =4(m+3)215>60，解得m >12.。
安徽省合肥市2018届毕业班第二次中考模拟测试 数学试题(word版附答案)
安徽省合肥市2018届毕业班第二次中考模拟测试数学试题(word版附答案)Anhui Province Hefei City 2018 r ___Mathematics TestScorer:Part 1: Multiple Choice (10 ns。
4 points each。
total 40 points)1.Which of the following figures is ___?2.The total investment in the n of Phase III n project of Ningbo Lishe nal Airport is 8.45 n yuan。
which can be ___: A。
0.845 x 10^10 yuan B。
84.5 x 10^8 yuan C。
8.45 x 10^9 yuan D。
8.45 x 10^10 yuan3.The cube root of 64 is:A。
4 B。
8 C。
±4 D。
±84.Which of the following ns is correct?A。
2x2²2xy=4x3y4 B。
3x2y-5xy2=-2x2y C。
x-1÷x-2=x-1 D。
(-3a-2)(-3a+2)=9a2-45.As shown in the figure。
the plan view of the solid ___:6.As shown in the figure。
in triangle ABC。
AB=AC。
BC=6.the perimeter of triangle DEF is 7.AF is perpendicular to BC at point F。
BE is perpendicular to AC at point E。
and D is the midpoint of AB。
The length of AF is:A。
2018合肥市第2次质检试题答案-文科_发布
……………5 分
3S n = 1 ⋅ 31 + 2 ⋅ 32 + L + ( n − 1) ⋅ 3n −1 + n ⋅ 3n ，
(1 − 2n ) ⋅ 3n − 1
2
， ………………12 分
( 2n − 1) ⋅ 3n + 1
4
.
(18)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对 集中，所以，甲组同学的成绩差异较大. ………………5 分 2 2 (也可通过计算方差说明： s甲 = 101.6 ， s乙 = 37.4 ， s甲2 > s乙 2 ) (Ⅱ)设甲组成绩在 90 分以上的三位同学为 A1，A2，A3 ； 乙组成绩在 90 分以 上的三位同学为 B1，B2，B3 .从这 6 位同学中选出 2 位同学，共有 15 个基本 事件，列举如下：
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 (Ⅰ)由题意得
①， 9 + m ≥ 0 3 x + m ≤ 9 + m ②.
解①得， m ≥ −9 .
−9 − 2m ≤ x ≤ 3. 3 −9 − 2m ∵不等式 f ( x ) ≤ 9 的解集为[ −1，3] ，∴ = −1 ，解得 m = −3 ，满足 m ≥ −9 . 3 ∴ m = −3 …………………5 分 (II)依题意得， g ( x ) = 3x + m − 2 x − 1 .
…………………6 分
ex − x2 − 1 对 ∀x > 0 恒成立. x
2
( x − 1) ( e x − x − 1) ex − x2 − 1 ，则 g ′ ( x ) = . x x2 设 h ( x ) = e x − x − 1 ，则 h′ ( x ) = e x − 1 .
2018合肥市第二次质检试题-数学文科
B. ( x + 3) + ( y − 4 ) = 100 D. ( x + 3) + ( y − 4 ) = 25
2
(4)在平面直角坐标系中，若角α 的终边经过点 P sin ， cos ，则 sin (π + α ) = 3 3 A. −
3 2
5π
5π 3 2
B. −
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f ( x ) = 3x + m .
(I)若不等式 f ( x ) − m ≤ 9 的解集为[ −1，3] ，求实数 m 的值；
(II)若 m > 0 ，函数 g ( x ) = f ( x ) − 2 x − 1 的图象与 x 轴围成的三角形的面积大于 60，求 m 的取值范围.
(18)(本小题满分 12 分) 某班级甲、乙两个小组各有 10 位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的数学成绩如下： 甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98； 乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82. (I)画出这两个小组同学数学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的数学成绩差异较大，并说明理由； (II)从这两个小组数学成绩在 90 分以上的同学中， 随机选取 2 人在全班介绍学习经验， 求选出的 2 位同学 不在同一个小组的概率.
(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :
x2 y2 1 + 2 = 1 ( a > b > 0 )经过点 P − 3， ，椭圆 E 的一个焦点为 2 a b 2
(
3， 0 .
)
2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程；