对勾函数图象性质

3. 若 x>1. 求 y x 2 x 1 的最小值 x 1
4. 若 x>0. 求 y 3x 2 的最小值 x
5.已知函数 y x2 2x a (x [1,)) x
（1） 求 a 1 时，求f (x)的最小值 2
(2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围
0, b
0
时，
y1
ax
，
y2
b x
在 (,0),(0,)
上分别单调递减。
故
y
y1
y2
ax
b x
在 (,0),(0,)
为单调递减函数
(3) a 0,b 0 图像略
1 当 x 0 时 ，
y1
ax
0
，
y2
b x
0
y
y1
y2
ax
b x
2
ax b 2 x
ab 。 当 且 仅 当
ax b ，即 x b 取等号。
x x2 1
13. 当x (0，1)时，求f (x) 2x 的值域 4x 1
14. 求f (x) x2 x 1 的值域 x2 x 3
ab 。当且仅
当
ax
b x
，即
x
b 取等号。 a
2 当 x 0 时
y1
ax
0
，
y2
b x
0
y
y1
y2
ax
b x
2
ax b 2 x
ab ， 当 且仅 当
ax b ，即 x b 取等号。
x
a
四、对勾函数练习：
1．若 x>1.求 y x 1 的最小值 x 1
2. 若 x>1. 求 y x 2 2x 2 的最小值 x 1
x
a
2 当 x 0 时
y1
ax
0，
y2
b x
0
y
y1
y2
ax
b x
(ax
b) x
2
ax b 2 x
ab ，当
且仅当
ax
b x
，即
x
b （因为 x 0 ，故舍掉 x
a
b ）取等号。 a
4) a 0,b 0
1
当
x
0
时，
y1
ax
0，
y2
b x
0
y
y1
y2
ax
b x
(ax
b) x
2
ax b 2 x
对勾函数的图像（ab 异号）
一般地，我们认为对 勾 函 数 是 反 比 例 函 数 的 一 个 延 伸 ， 即 对 勾 函 数 也 是 双 曲 线 的 一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定 a>0，b>0。之后当 a<0，b<0 时，根据对称就很 容易得出结论了。
状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：
a>0 b>0
a<0 b<0
对勾函数的图像（ab 同号）
当 a，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作 是 两 个 函 数 “ 叠 加 ” 而 成 。（ 请 自 己 在 图 上 完 成 ： 他 是 如 何 叠 加 而 成 的 。）
(3) a 0,b 0
(4) a 0,b 0
设 y1 ax ， y2
b x
，则
y
y1
y2
ax
b x
，其定义域为
x | x R,且x 0
(1) a
0, b
0
时，
y1
ax
，
y2
b x
在 (,0),(0,)
上分别单调递增。
故
y
y1
y2
ax
b x
在 (,0),(0,)
为单调递增函数。
百度文库
(2) a
(二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：
当 x>0 时，
。
当 x<0 时，
。
即对勾函数的定点坐标：
(三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值
域等性质。
(四) 对勾函数的单调性 y
(五) 对勾函数的渐进线
对勾函数图象性质
对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图
一、对勾函数 f(x)=ax+ 的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总 喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+ （接下来写作
。
x
9、若 4 x 1，则 y x2 2x 2 的最值是
。
2x 2
10.函数 y 9 4sin 2 x 的最小值是
。
sin 2 x
11.若不等式 t a t 2 在 t 0,2上恒成立，则 a 的取值范围是
。
t2 9
t2
12. 求函数 f x x 1 16x x 1的最值。
O
X
y=ax
由图像我们不难得到：
(六) 对勾函数的奇偶性 ： 函数在定义域内是奇函数， 二、类对勾函数性质探讨
函数 y ax b ，在 a 0或b 0时为简单的单调函数，不予讨论。 x
在 a 0且b 0时 有 如 下 几 种 情 况 ： (1) a 0,b 0
对勾
(2) a 0,b 0
f(x)=ax+b/x）。 当 a≠0，b≠0 时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x
“叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当 a，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y＝ax 与双曲线 y= b/x 构成，形
2 6.: 方程 sin2x－asinx+4=0 在[ 0 , ]内有解 ，则 a 的取值范围是__________
7. 函数 y x 10 2 x 7 的最小值为____________；函数 y x 10 2 x 7 的最
x
x
大值为_________。
8.函数 y 2 3x 4 的最大值为