第13讲 反比例函数

(1)求反比例函数y=
(2)若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA,直接写出点P的坐标．
【思路点拨】(1)首先由点A在一次函数y=-2x的图象上求出点A
的坐标,然后求出k的值.
(2)结合图象确定点P的坐标, 点P的坐标既可在x轴上,也可在y 轴上. 【自主解答】(1)∵点A(-1，n)在一次函数y=-2x的图象上， ∴n=-2×(-1)=2，∴点A的坐标为(-1,2)， 又∵点A在反比例函数y= 的图象上， ∴k=-2，∴反比例函数的解析式为y=- 2 . (2) 点P的坐标为(-2，0)或(0，4).
k ,y=kx-1或xy=k. x
(2)条件：k≠0.
(3)实质：自变量x的指数为-1. 2.双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形;对称轴为直线 y=x和y=-x;对称中心为坐标原点.
3.反比例函数的比例系数k等于任意一对自变量与函数对应值 的积，也等于其图象上任意一点横纵坐标的积.
4.任意一个正比例函数与反比例函数的图象若有两个交点，则
自变量，y是x的函数，k是比例系数.
2.反比例函数的解析式的三种形式
k (1)y=_____(k为常数,k≠0); x
x-1 (2)y=k____(k为常数，k≠0); (3)xy=k(k为常数，k≠0).
【即时应用】
-2 1.若函数y=(m+1) x m 3m1 是反比例函数，则m的值为___.
第十三讲
反比例函数
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1.理解:反比例函数的定义与解析式. 2.掌握:反比例函数的图象与性质,反比例函数中比例系数k的 几何意义. 3.会:运用反比例函数解决实际问题，解答反比例函数与方程 及与其他函数相融合的综合性题目.
一、反比例函数的有关概念
1.反比例函数的定义
k 形如y=____(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是 x
a1＞a2时，则b1＜b2；
其中正确的是__________(在横线上填出正确的序号).
【解析】由图象知，k-2>0,所以k>2,①正确；反比例函数的图
象在一，三象限或二，四象限，所以②正确；若A,B在不同的 分支，则不正确；在同一分支上，则一定正确，故③不正确，
④正确.
答案：①②④
反比例函数解析式的确定 ◆中考指数:★★★★★ 用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤： 知 1.设所求的反比例函数为y= k (k≠0); x 识 2.根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程; 点 3.解方程得待定系数k的值; 睛 4.把k值代入函数解析式y= k .
可能；同理，选项B也不可能；选项D，双曲线y=
a 的图象在 x
一、三象限，a＞0，而当a＞0时，直线y=ax+1应过一、二、三 象限，故选项D不可能；这正好符合选项C.
8.(2012·岳阳中考)如图，一次函数y1=x+1
的图象与反比例函数y2=
2 的图象交于A，B x
两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作 BD⊥x轴于点D，连结AO，BO.下列说法 正确的是( )
2
x
x 4 2， y 4 3，
当x＜0或2＜x＜6时，y1＞y2．
【对点训练】
7.(2012·张家界中考)当a≠0时，函数y=ax+1与函数y= a 在同 一坐标系中的图象可能是( )
x
a 【解析】选C.选项A，双曲线y= 的图象在二、四象限，a＜ x
0，而当a＜0时，直线y=ax+1应过一、二、四象限，故选项A不
(C)y3<y2<y1
(B)y1<y2<y3
(D)y2<y1<y3
【教你解题】
3 x
画出双曲线y=
在图象上标注
在双曲线上标注A, B,C三点,并在y轴上 标出y1,y 2 ,y3
结果
由图象知y3＜y1＜y2，故选A
【对点训练】 1.(2012·湘西中考)反比例函数y=
2 的大致图象为( x
)
【解析】选C．因为反比例函数的图象是两支双曲线，因此A， B两选项不符合要求；又因为y= 2 ，k=2＞0，所以反比例函数
(A)点A和点B关于原点对称 (B)当x<1时，y1>y2 (C)S△AOC=S△BOD (D)当x>0时，y1，y2都随x的增大而增大
【解析】选C．由图象或根据解析式可得出A，B两点的坐标， 发现不是关于原点对称；B中，当0<x<1或x<-2时，有y1<y2，当 x>1或-2<x<0时，有y1>y2；C项中，S△AOC=S△BOD=1，正确；D 项中当x>0时，只有y1随x的增大而增大.
k 双曲线 (k为常数，k≠0)的图象是_______，双曲 x
线无限地接近于x轴，y轴，但不会和x轴，y轴相交，且关于
原点 _____对称. 2.反比例函数y=
k (k为常数，k≠0)的图象和性质 x
函数
图象
所在象限
性质
k y= x
k>0 ____
一、三象限 在每个象限 内，y随x的 (x,y同号) 增大而_____ 减小
(k为 常数， k≠0)
k<0 ____
二、四象限 在每个象限 (x,y异号) 内，y随x的 增大 增大而_____
【即时应用】
1.若反比例函数y= m＜2 围是_____.
m2 的图象在二、四象限，则m的取值范 x
2.若点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)都在反比例函数y= 6 的图象 x y2＞y3＞y1 上，则y ,y ,y 的大小关系是__________.
线上的点的横坐标与纵坐标的积就是比例系数，即k=xy=6．
5.(2012·益阳中考)反比例函数y=
k 的图象与一次函数 x
y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式
是_________． 【解析】把(1，k)代入y=2x+1,解得k=3,所以反比例函数的解
3 . x 答案：y= 3 x
析式是y=
6.(2012·攀枝花中考)据媒体报道，近期“手足口病”可能进 入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手 足口病”，对教室进行“薰药消毒”，已知药物在燃烧及释放 过程中，室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分
钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右
特 在坐标系中求一个图形的面积一般利用“割补法”.在求 别 三角形面积时，一般把与坐标轴重合的边或与坐标轴平行 提 的边作为底. 醒
【例3】(2012·嘉兴中考)如图，一次
函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= m
的图象相交于点A(2，3)和点B，与x轴 相交于点C(8，0)． (1)求这两个函数的解析式； (2)当x取何值时，y1＞y2？
1 2 3
＜ 3.已知反比例函数y= k 1 和正比例函数y=k2x无交点，则k1k2___0.
x
三、反比例函数y= k (k≠0)中k的几何意义 反比例函数中k的几何意义：如图，过 双曲线上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂 线PN，PM，所得矩形PMON的面积S= |y|·|x| |xy| |k| PN·PM=________=_____=_____. |k|越大，双曲线在同一坐标系中的 位置离原点越远.
侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题： (1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的
取值范围.
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体 无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能 进入教室？
【解析】(1)设反比例函数关系式为y=
k ， x
将(25,6)代入关系式得,k=25×6=150， 将y=10代入关系式得10=
x
【思路点拨】(1)将A点的坐标值代入y2=
m ,即可求出m的值.从 x
而得到反比例函数的解析式.把A(2,3)，C(8，0)代入y1=kx+b，
可得到k，b的值，从而得到一次函数的解析式. (2)求出交点坐标，根据函数图象可直接得到y1＞y2时x的取值 范围.
【自主解答】(1)把 A(2，3)代入y2= m ，得m=6．
特 别 1.反比例函数的图象不与x轴、y轴相交. 提 2.反比例函数的增减性，只能分别在每一象限内应用. 醒
【例1】(2012·青岛中考)点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反 比例函数y=
3 的图象上，若x1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是 x
(
)
(A)y3<y1<y2
把 A(2，3)，C(8，0)代入y1=kx+b，得 2k b 3，
1 k ， 解得 2 b 4，
x
8k b 0，
∴这两个函数的解析式为y1=- 1 x+4，y2= 6 .
1 y x 4， x 3 6， 2 (2)由题意得 解得 ， y3 1 y 6 ， x
2
2.函数y=
19 x≠0 中，自变量x的取值范围是_____. x
3.如果反比例函数的图象经过点(1，-3)，那么这个函数的解
3 y 析式为________. x
4.菱形的面积为10，两条对角线的长分别为x，y，则y与x的函
20 y 数解析式为_________. x
二、反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=
x k x
【对点训练】 4.(2012·长沙中考)某闭合电路中，电源 的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω )成
反比例．如图表示的是该电路中电流I与
电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表 示电流I的函数解析式为(
2 (A)I= R (C)I= 6 R 3 (B)I= R
)
(D)I=- 6
R
k 【解析】选C．将点(3，2)代入y= 得k=6；也可直接利用双曲 x
x
【即时应用】
如图，在反比例函数y=
8 的图象上有 x
一个点A，过点A作AB⊥x轴于B，作
AC⊥y轴于C，则矩形OBAC的面积为__. 8
过双曲线y= 8 上的另一点D作DE⊥x轴
x
于E，连结OD,则△ODE的面积为__. 4
【核心点拨】
1.理解反比例函数的定义应注意以下三个方面
(1)形式：y=
3.(2012·济宁中考)如图是反比例函数
y＝
k－2 的图象的一个分支，对于给出 x
的下列说法：
①常数k的取值范围是k＞2；
②另一个分支在第三象限； ③在函数图象上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1＞a2时，则 b1＜b2； ④在函数图象的某一个分支上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当
答：从消毒开始，师生至少在75分钟内不能进入教室.
反比例函数与一次函数的综合运用 ◆中考指数:★★★★☆
知 识 点 睛
解决一次函数与反比例函数综合题的“五个常用”： 1.探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法; 2.探求两函数解析式常用两函数的交点坐标; 3.探求两图象的交点坐标常用解方程(组); 4.探求双曲线与正比例函数图象交点常用对称; 5.探求两函数值的大小常用图象看高低.
这两个交点关于原点对称.
反比例函数的图象和性质
◆中考指数:★★★★★
k (k≠0)的图象和性质的关系 x 知 对于反比例函数y= k (k≠0)，图象所经过的象限与函数的增 x 识
反比例函数y=
点 睛 象限内， y随x的增大而减小； 图象在二、四象限⇔在每个象限内， y随x的增大而增大.
减性这两者知其一则知其二，即图象在一、三象限⇔在每个
x
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特 别 提 醒
确定反比例函数主要从以下三个方面着手：
1.借助反比例函数的定义来确定; 2.借助图象过已知点来确定; 3.借助面积来确定.
【例2】(2011·北京中考)如图，在平面
直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x的图象 与反比例函数y= 交点为A(-1，n).
k (k≠0)的图象的一个 x k 的解析式； x
x 2 y= 的图象位于第一、三象限． x
6 2.(2012·常德中考)对于函数y＝ ，下列说法错误的是( x
)
(A)它的图象分别在一、三象限
(B)它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 (C)当x>0时，y的值随x的增大而增大 (D)当x<0时，y的值随x的增大而减少 【解析】选C．因为6>0，所以它的图象分别在一、三象限，在 每一个象限内，y的值随x的增大而减少，所以选项C错误．
150 ，解得x=15， x
故A(15，10).
∴y=
150 (x≥15). x
设正比例函数关系式为y=nx， 将A(15,10)代入上式即可求出n的值，n= 10 2 ，
2 则y= x(0≤x<15). 3 2 3 x,0 x 15, 综上可知，y 150 , x 15. x (2)令 150 =2，解之得x=75(分钟), x 15 3