恒成立存在性问题

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专题 恒成立存在性问题

知识点梳理

1、恒成立问题的转化:()a f x >恒成立⇒()max a f x >;()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立

2、能成立问题的转化:()a f x >能成立⇒()min a f x >;()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立

3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立

在上恒成立

另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立,等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ,若,D x ∈B

x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .

4、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min min ≥

5、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max max ≤

6、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min max ≥

7、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max min ≤

8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象

上方;

9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方;

题型一、常见方法

1、已知函数12)(2

+-=ax x x f ,x

a

x g =

)(,其中0>a ,0≠x . 1)对任意]2,1[∈x ,都有)()(x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围;

2)对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ,都有)()(21x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围;

2、设函数b x x a x h ++=)(,对任意]2,21[∈a ,都有10)(≤x h 在]1,4

1

[∈x 恒成立,求实数b 的取值范围.

3、已知两函数2

)(x x f =,m x g x

-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21)(,对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥,则实

数m 的取值范围为

题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)

1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式2

12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

2、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数)是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数, (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若[]2

()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立,求t 的取值范围;

题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)

1、当()1,2x ∈时,不等式2

40x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 .

题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)) 1、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是________

2、已知函数()2

22f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k ≥,求实数k 的取值范围。

题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法

若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >; 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

1、存在实数x ,使得不等式2

313x x a a ++-≤-有解,则实数a 的取值范围为______。

2、已知函数()()2

1ln 202

f x x ax x a =-

-≠存在单调递减区间,求a 的取值范围

小结:

恒成立与有解的区别

恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体。 ①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<,x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ; ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<,x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ; ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>,x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ; ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>,x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ;

课后作业:

1、设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为( ) (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤

(D ){2,3}

2、若任意满足0

5030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩

的实数,x y ,不等式222

()()a x y x y +≤+恒成立,则实数a 的最大值是 ___ .

3、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解,则a 的取值范围是

4、不等式

ax ≤

[]0,3x ∈内恒成立,求实数a 的取值范围。

5、已知两函数()2728f x x x c =--,()32

2440g x x x x =+-。

(1)对任意[]3,3x ∈-,都有()()f x g x ≤)成立,求实数c 的取值范围; (2)存在[]3,3x ∈-,使()()f x g x ≤成立,求实数c 的取值范围; (3)对任意[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f x g x ≤,求实数c 的取值范围; (4)存在[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f x g x ≤,求实数c 的取值范围;

6、设函数3

221()23(01,)3

f x x ax a x b a b R =-

+-+<<∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立,求a 的取值范围。

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