用字母表示数 知识点
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9.1字母表示数
1、用字母表示数的意义
用字母可以表示我们已经学过的和今后要学到的任何一个数,用字母表示数可以简明地表达数学运算律,用字母表示数可以简明地表达公式,用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系,还可以用字母表示未知数。
一、等量关系式
s=vt
二、运算律
加法的交换律:a+b=b+a
加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c )乘法的交换律:a×b=b×a 乘法的结合律:(a×b)×c=a×(b×c )乘法的分配律:(a+b)×c=a ×c +b×c
三、公式
1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 C= 4a
3、长方形的面积=长×宽 S=ab
4、正方形的面积=边长×边长 S=a·a= a 2
5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高S=ah
7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2
8、直径=半径×2 半径=直径÷2 d=2r r= d ÷2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr
10、10、圆的面积=圆周率×半径×半径
S=πr 2
11、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
12、长方体的体积=长×宽×高V =abh
13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a2
14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a·a·a= a3
15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
S=ch
16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
S=2πr2 +2πrh=2π(d÷2)2 +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π)2 +Ch
17、圆柱的体积=底面积×高
V=Sh
V=πr2h=π(d÷2)2 h=π(C÷2÷π)2 h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3
V=Sh÷3=πr2 h÷3=π(d÷2)2 h÷3=π(C÷2÷π) 2 h÷3
四、注意
1、a ²表示两个a相乘,而2a表示两个a相加。
2、字母和字母中间的乘号可以省略不写,数字和字母相乘,要把数字写在字母的前面。
3、应用字母公式求面积S= (a+b)h÷2 = (3.5+5.5)×4÷2 = 9×4÷2 = 18 (结果不必写单位名称)
4、当x的值是多少时,x²和2x正好相等?
9.2 代数式
1、代数式的概念
用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式,单独的一个数或一个字母,也是代数式。
代数式中除含有数,字母和运算符号外,还可以有括号,但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号。
2、代数式书写格式的规定
(1)在代数式中出现的乘号,通常简写作“·”或省略不写;数字与字母相乘时,数字应写在字母前,带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数,然后与字母相乘,但数字与数字相乘时,一般仍用“×”号。
(2)在代数式中出现了除法运算时,一般按照分数的写法来写,被除数作分子,除数作分母,“÷”号转化为分数线,分数线具有“÷”号和括号的双重作用,如被除数或除数含有括号时,括号也可省略。
(3)在一些实际问题中,表示某一数量的代数式往往是有单位名称的,如果代数式是积或商的形式,就将单位名称写在式子的后面即可;如果代数式是和或差的形式,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面。
3、列代数式及方法
在解决实际问题时,把实际问题中的数量关系用代数式表示出来,就是列代数式。
列代数式时,首先要认真审题,弄清问题中各数量之间的关系和运算顺序,然后按代数式书写格式的规定规范地书写出来。列代数式的关键在于认真审题,要注意分析问题中各术语的含义,如:和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、减少、扩大、缩小等。
5、代数式的值及求法
用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的值。
代数式的值一般不是某一个固定的量,而是随着代数式中字母取值的变化而变化。
代数式求值时,第一步是“代入”,即用数值代替代数式里的字母;第二步是“计算”,即按照代数式指明的运算,计算出结果 .
注意:(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。
(2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入。
典型例题解析
例1、如图所示,把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c 的正方形(2c
例2、设甲数为x,乙数为y,用代数式表示.
(1)甲、乙两数的平方差;
(2)甲、乙两数差的平方;
(3)甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积;
(4)甲数的相反数与乙数的立方的和.
例3、用代数式表示如图所示中各阴影部分的面积.
例4、当a=3,b=2,c=时,求代数式的值.
例5、当x=7时,代数式ax3+bx-5的值为7,当x=-7时,代数式ax3+bx+5的值为多少?
9.3 整式 1.单项式
(1)单项式的概念:数与字母的积这样的代数式叫做单项式,单独一个数或一个字母也是单项式。
注意:数与字母之间是乘积关系。单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如b a 2314-,这种表示就是错误的,应写成b a 2313-
。 (2)单项式的系数:单项式中的字母因数叫做单项式的系数。
如果一个单项式,只含有字母因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为 —1。
(3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如c b a 235-是6次单项式。
2.多项式
(1)多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号,看作各项的性质符号。
(2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
(3)多项式的排列:
1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和,所以可以用加法的运算定律,来交换各项的位置,而保持原多项式的值不变。
3.整式:
单项式和多项式统称为整式。