初高中数学衔接教材17讲：第5讲 一元二次方程根与系数的关系
《一元二次方程根与系数的关系》数学教学PPT课件(3篇)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x2 3x 4 0 4 1
3.已知一元二次方程的 3x2 9x m 0
的一个根为1 ，则方程的另一根为___， m=___：
4.已知一元二次方程的 x2 px q 0 两
根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
则x1＋x2＝
b a
，x1x2＝
c a。
3、用根与系数关系解题的条件 是（1）a≠0 （2）△≥0 。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
x2 x1 （3） x1 x2
（2）x13x2＋x1x23
提 3、已知：如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 b2 4ac 0 时，才
能应用根与系数的关系.
请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况：
高
AD⊥DC，AD=10cm，
练 以AD 为直径的⊙O切另
一元二次方程的根与系数的关系 ppt课件
把n=4m 代入代数式4m2－5mn＋n2，
得4m2－5m×4m＋(4m)2=0.
综上所述，代数式4m2－5mn＋n2 的值为0 .
知1－练
(3)若关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a ≠ 0)是“倍根
方程”，求a，b，c 之间的关系.
解：由“倍根方程”的定义可设ax2x2=
=1.
知1－练
2-1.[中考·宜昌] 已知x1，x2 是方程2x2－3x＋1=0 的两根，
则代数式
＋
＋
的值为 ______．
1
知1－练
例 3 已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2=0.
(1)若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；
知1－练
3-1.[中考·襄阳] 关于x 的一元二次方程x2＋2x＋3－k=0 有
两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
解：b2－4ac＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴－8＋4k>0，解得k>2.
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ， 且k2=αβ ＋3k，求k 的值.
8=0 就是“倍根方程”
解题秘方：紧扣“倍根方程”的定义及根与系数的
关系解题，理解“倍根方程”的概念是解题关键.
知1－练
(1)若关于x 的一元二次方程x2－3x＋c=0 是“倍根方程”，
2
则c=________；
知1－练
(2)若(x－ 2)(mx－n) =0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式
4m2－5mn＋n2 的值；
解方程(x－2)(mx－n)= 0(m ≠
一元二次方程的根与系数的关系PPT免费课件下载
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14
1 + 2 = −
1 ∙ 2 =
课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0
− ，
1 ∙ 2 =
.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1
1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2
2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，
《一元二次方程的根与系数的关系》课件(共16张PPT)
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是 ， k 的值是 7 。 5
还可以把 x
2 代入方程的两边，求出 k
我能行3
例3、不解方程，求一元二次方程 2 x 3 x 1 0 两个根的①平方和；②倒数和。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴(
k 1 2
, x1x2=
k 3 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4 ( k 1) 2 4 k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空：
（1）x2-7x+12=0
《一元二次方程根与系数的关系》课件PPT4
数
复习提问
学 活 1.一元二次方程的解法
动
一 2.求根公式
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
X= b
b2 4ac (b2-4ac≥ 0) 2a
1. 填表，观察、猜想
数
方程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2
学
x2-2x+1=0 1,1
x1+x2=3
4、 3x2 = 4
x1+x2=0
x1x2=-1
1
x1x2= 4
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。
求：(1)
1 1 x1 x2
(2) x12+x22
解：由题意可知x1+x2=
-
2 3
, x1 ·x2=-3
(1) 1 1 = x1 x2
2
1
活
x2+3x-10=0 2,-5 -3 -10
动
x2+5x +4=0 -1,-4 -5
4
二
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。
根与系数关系
如果关于x的方程 x2 pxq0
x x 的两根是 1 , 2 ,则:
x1 x2 p x1 x2 q
2. x1x2 2m 1 1
练习2: 以2和 －３为根的一元二次方程
（二次项系数为１）为x：2 x 6 0
练习3 ：已知两个数的和与积，求两数
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件
2
3
1 13
2 ;
2
2 4
2.整体代入：运用韦
达定理.
【整体思想】
【类比学习】常见的变式求值
利用根与系数的关系，求一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2的
相关代数式的值.
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
1
2
【发现、猜想】
当二次项系数不为1时，两根之
和等于一次项系数与二次项系数
的比的相反数；
两根之积等于常数项与二次项系数
的比.
探究新知（二）
【类比学习 】当二次项系数不为1时， 一元二次方程的两
根之和、两根之积与系数有什么关系呢？
如：
9x2 6x 1 0
方法2 二次项系数化为1，得：
6
1
两根之积等于常数项.
【猜想】当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为 x1，x2
x1+x2= -p , x1 ·x2=q
探究新知（一）
【验证】方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1
和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与
p，q之间的关系吗？
∵x1+x2＝6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1 ·x2＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，
解得 p＝3或p＝－1.
答：方程的另一个根是4 ，p＝3或p＝－1.
【解题方法】
知：二次项和一次项系数
求：常数项
①先运用两根之和求出另一根；
高一数学衔接教材 根与系数的关系
诚西郊市崇武区沿街学校南江四中高一数学初高中衔接教材：根与系数的关系假设一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0〔a≠0〕有两个实数根1x =，2x =，那么有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：假设ax2＋bx ＋c ＝0〔a≠0〕的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b a -，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px ＋q ＝0，假设x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p ，x1·x2＝q ，即p ＝－(x1＋x2)，q ＝x1·x2，所以，方程x2＋px ＋q ＝0可化为x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程〔二次项系数为1〕是x2－(x1＋x2)x ＋x1·x2＝0． 例2方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3 5．所以，方程的另一个根为－35，k的值是－7．解法二：设方程的另一个根为x1，那么2x1＝－65，∴x1＝－35．由〔－35〕＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值是－7．例3关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：此题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或者者m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：〔1〕在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21〞求出m的值，取满足条件的m的值即可。
《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT
新பைடு நூலகம்探究 跟踪训练
已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二次 方程.
x2+5x+3=0
随堂练习
不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
(1) x2－6x－15＝0；
(2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
(1)x1＋x2＝－(－6)＝6
x1x2＝－15.
(2)
x1＋x2＝－
7 3
，x1
x2＝－39
＝－3.
x1＋x2＝－
5 4
=
5 4
，
x1
x2＝
1 4
.
新知探究
知识点2
与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根 x1，x2 有关的几个代数式的变形：
联系 翻转前后图形完全重合 旋转前后图形完全重合
探索中心对称的性质
尝试借助三角板，画关于点O对称的两个三角形？
A
B
C
O
第一步，画出△ABC；
第二步，以三角板的一个顶点O为中 心，把三角板旋转180°，画出 △A′B′C′；
B’ 第三步，移开三角板.
观察旋转前后的两个三角形你 发现了什么？
探索中心对称的性质
A B
O
旋转后△OAB和△OCD重合 D
C
中心对称图形概念
像这样，把一个图形绕某一个点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称。
一元二次方程的根与系数的关系乐乐课堂
一元二次方程的根与系数的关系乐乐课堂
摘要：
一、一元二次方程的定义和基本形式
二、一元二次方程的根与系数的关系
三、根与系数关系的应用举例
四、一元二次方程的解法及注意事项
正文：
一、一元二次方程的定义和基本形式
一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（其中a≠0）。
在这个方程中，a、b、c 是已知系数，x 是未知数。
二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数之间有着密切的关系。
设方程ax2+bx+c=0 的两个根分别为x1 和x2，那么有以下关系式：
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a
通过这两个关系式，我们可以根据已知的系数a、b、c 来求解方程的根。
三、根与系数关系的应用举例
根与系数关系在解决一些实际问题中非常有用。
例如，在解决直线与圆锥曲线的交点问题、弦长问题等方面，我们可以通过已知的交点或弦长来求解方
程的系数。
四、一元二次方程的解法及注意事项
解一元二次方程的方法有四种：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
在实际解题过程中，我们要灵活运用这些方法，并注意以下事项：
1.判断方程是否有实数根：当b2-4ac≥0 时，方程有实数根；当b2-
4ac<0 时，方程无实数根。
2.化简方程：在求解方程之前，要尽量将方程化简，以降低求解难度。
3.符号问题：在求解过程中，要注意符号的处理，避免出现错误。
总之，一元二次方程的根与系数的关系是初中数学中的重要知识点，也是今后学习数学的基础。
一元二次方程的根与系数的关系 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
2a
2a a
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究一：一元二次方程根与系数的关系定理的猜想与证明
活动 2
从特殊到一般，严密推理 推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。
设x1、x2是方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根。 试计算（1）x1＋x2（2）x1 x2
ax2 bx c 0(a 0)有两个实根，故≥0.
【解题过程】
解：∵1和3是方程的两个解，而
x1x2
m 3
3，
m 9，
x1
x2
n 3
4，
n 12。
【思路点拨】根据两根可求出两根之积与两根之和， 进而得出待定系数的值。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究三：综合应用
活动 1 由根与系数的关系求相关代数式的值
例3：已知x1、x2是一元二次方程 4x2 7x 3 的两根，则
（3）4x2 7x＋1＝0 （4） 9x＋x2＝0
【思路点拨】寻找一元二次方程的两根和与两根积，首 先要化为一般式，找准各项系数，同时，要注意使用定
理的前提是判别式 D ³ 0 。
知识回顾
问题探究
课堂小结
探究二：一元二次方程根与系数的关系定理的应用 活动 2 已知方程一根，求另一根 例1：已知方程5x2 kx 6 0 的根是2，求它的另一根及k的值。
a2 2a b __2_0_1_6__。
【解题过程】
解：由根与系数的关系可知a+b=-1，
而a是方程的一个根，故有a2 a 2017 0，
即 a2 a=2017 .
所以a2 2a b (a2 a) (a b) 。
【思路点拨】将所求的代数式分解成可求的代数式。
一元二次方程根与系数的关系-初高中衔接数学教学设计
作业：布置一些有关一元二次方程根与系数关系的练习题，让学生巩固所学知识。
解答：解答学生提出的问题，给予及时反馈。
总用时：45分钟
教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣。同时，要注重师生互动，让学生在实践中掌握知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数学抽象。通过学习一元二次方程的根与系数的关系，学生能够锻炼自己的逻辑推理能力，从而更好地理解和掌握一元二次方程的解法；同时，通过建立数学模型，学生能够将理论知识应用到实际问题中，提高数学建模能力；此外，通过对一元二次方程根与系数的关系进行抽象和总结，学生能够提高自己的数学抽象能力。
3. 已知一元二次方程的两个根分别为 x1 和 x2，请写出该方程的系数与根之间的关系式。
4. 请举例说明如何运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
5. 请总结本节课的学习内容，并谈谈自己对一元二次方程根与系数关系的理解和体会。
当堂检测的目的是让学生及时巩固所学知识，发现和解决自己在学习过程中存在的问题。教师应及时批改学生的检测试卷，给予反馈和指导，帮助学生提高解题能力和数学思维能力。同时，教师应根据学生的检测结果，调整教学方法和策略，以满足学生的学习需求。
四、教学方法与策略
1. 选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：本节课的教学方法主要包括讲授法和案例研究法。讲授法主要用于向学生传授一元二次方程根与系数的关系的理论知识，而案例研究法则用于让学生通过具体的案例深入理解和掌握这一关系。
2. 设计具体的教学活动：为了促进学生的参与和互动，可以设计一些小组讨论活动。例如，让学生分组讨论一元二次方程的根的判别式，以及如何根据判别式求解方程的根。此外，还可以设计一些数学游戏，让学生在游戏中运用和巩固所学知识。
8.5一元二次方程的根与系数的关系 (共19张PPT)
东平县初中数学
根与系数关系
如果关于x的方程 x2 pxq0
的两根是 x1 , x2 ,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
东平县初中数学
数
方 程 x1,, x2 x1,+ x2 x1. x2
学
2x2-3x-2=0
活
3x2-4x+1=0
动 三 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
（３）（x1- x2）2
东平县初中数学
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一 个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
东平县初中数学
1、已知方程3x2－19x+m=0的一 个根是1，求它的另一个根及m的 值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0 的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
东平县初中数学
2.设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根， 利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） (x1 1)( x2 1)
（2）
x2 x1 x1 x2
=
4ac 4a 2
=
东平县初中数学
1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 - 3x + 12=0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4
东平县初中数学
利用根与系数的关系,求下列方程的两根之 和、两根之积:
(1)x2+7x+6=0 (2)2x2-3x-2=0
东平县初中数学
1、下列方程中，两根的和与两根 的积各是多少？
一元二次方程的根与系数的关系ppt课件最新版
x1x2 =─
这种关系是这几个方程所特有的还是对
于任意的一元二次方程都适合的呢？
ax2bxc0(a0)中
x1 b2 b a 24ac,x2 b2 b a 24ac
x1
x2
bb24acbb24ac
2a
2a
b b24acb b24ac 2a
2b b
合作探究：一元二次方程的一般形式
ax2bxc0a0
方程的判别式 b24ac
当∆＞０时，方程才有解，可以用求根公
式写出它的根
求根公式 x b b2 4ac 2a
x1 x2
x1 x 2
x25x60
2x25x30
6x2x20
请大家再仔细的观察这张表,能不能发现
17.4一元二次方程根与系数的 关系
大顾店中学数学备课组 主备人：何玉柱 邹军
李青松
教学目标：
掌握一元二次方程根与系数的关 系，会运用关系定理求已知一元二 次方程的两根之和及两根之积，并 会解一些简单的问题。
预学检测
• 1、本节课主要学习那些内容？ • 2、你认为本节课的重点内容是什
么？ • 3、你对哪些内容有疑问？
此定理是法国数学家
韦达首先发现的，也 称为韦达定理
例题讲解：
例：已知方程５x²+kx-6=0的一个根是２， 求它的另一根及 k的值．
解：设另一根为x,根据跟与系数的关系 可 知，得到
2x 6 5
23 k 55
x3 5
k 5(23)7 5
例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两
x1 x 2, x 1 x 2 与方程的系数有什么关系
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 系数所得的商.
一元二次方程根与系数的关系 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
(b)2 ( b2 4ac)2
4a 2
b2 (b2 4ac)
4a 2
4ac 4a2
c a
探究新知
【结论】一元二次方程的根与系数的关系（：韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
一次项系数
∴
x1+x2=
b ＝－－2 ＝2 ，
a
1
c
x1 x2= a
＝－1＝－1.
1
1 x1
1 x2
x1 x2 ＝ 2
x1 x2
1
＝－2
.
∵ (x1 + x2)2 =x12 + 2x1 x2 + x22
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1 x2 = 22 - 2×(-1)= 6
反思评价
通过本节课你学到了什么？
归纳小结
一元二次方程的根与系数的关系（：韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
一次项系数
那么x1+x2=
b a
,
x1 x2=
c a
常数项
二次项系数
பைடு நூலகம்谢！
剪辑：覃凤妮 单位：广西玉林市玉州区九中 时间：2020年8月
2 3
4 3
a=1,b=2
a=1,b=-5 a=2,b=3 a=3,b=-4
- 3 a=1,c=-3
6 a=1,c=6
1 a=2,c=1 2 4 a=3,c=-4
初升高精品教材：第5讲 一元二次方程根与系数的关系
第5讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 1.1一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=(1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=- (3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 2 (12)4490∆=--⨯⨯=，∴ 原方程有两个相等的实数根．(3)2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根；(3)方程无实数根；(4) 若方程一根为-1，求另一个根及k 的值；解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=- (1) 141203k k ->⇒<； (2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -<⇒<；(4)35；-5；【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-= 1.2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+=+=-，12244ac cx x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -==a∆， 2212121212()x x x x x x x x +=+， x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]=等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====练习1． 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． （3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．【例5】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去． 综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【例6】已知x 1，x 2是一元二次方程4k x 2-4kx+k+1=0的两个实数根。