高等电磁场理论习题解答(作业)

第一章基本电磁理论

1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式。（作1-2—1-3）

解：付氏变换和付氏逆变换分别为：

麦氏方程：

对第一个方程进行付氏变换：

（时谐电磁场）

同理可得：

上面四式即为麦式方程的频域形式。

1-2 设各向异性介质的介电常数为

当外加电场强度为

(1) ；(2) ；(3) ；

(4) ；(5)

求出产生的电通密度。（作1-6）

解：

将E分别代入，得：

1-3 设各向异性介质的介电常数为

试求：(1) 当外加电场强度时，产生的电通密度D；

(2) 若要求产生的电通密度，需要的外加电场强度E。（作1-7—1-8）解：

即：.

附：

又

所以

1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为

试求该点表面电荷及电流密度。

解：由已知条件，理想导体表面某点：

(1-6-1)

(1-6-2)

知该点处的法向单位矢量为： (1-6-3)

理想导体表面上的电磁场满足边界条件：

(1-6-4)

(1-6-5)

将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：

(1-6-6)

将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：

(1-6-7)

1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为, 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:

（作1-9）

证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足

(1-9-1)

(1-9-2)

对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得

又

所以 (1-9-3)

又在非均匀各向同性介质中

即 (1-9-4)

将(1-9-4)代入(1-9-3)，得

即

第2章平面电磁波

2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。

解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell方程组为

(2-1-1)

(2-1-2)

(2-1-3)

(2-1-4)

对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得

即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得

所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为 (2-1-5)

(2-1-6)

由(2-1-4)式得即 (2-1-7)

由(2-1-3)式得即 (2-1-8)

利用矢量关系式，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹方程为

(2-1-9)

(2-1-10)

均匀介质中，

无源区中

2-4 推导式（2-2-8）。

解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz方程：

其中，

设复传播常数，则由得

即

所以由等号两边实部和虚部对应相等得

解以上方程组得

2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。

证：任一椭圆极化平面波可写为

令，，则上式变为

上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。

2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。

解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：

上式等价于

磁场强度的瞬时值表达式为：

其中表示波阻抗。

因此能流密度的瞬时值表达式为：

因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。

2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为

V/m

试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。

解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式

知传播常数，所以

波长：

频率：

因为此圆极化平面波的传播方向为方向，且电场强度分量相位超前分量相位，因此为左旋圆极化平面波。

磁场强度可写为

能流密度为：

2-9 设真空中平面上分布的表面电流，式中为常数。试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。

解：平面上分布的表面电流将产生向+z和-z方向传播的两个平面波。设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和，向-z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和。由电磁场在z=0平面处满足的边界条件可得：

(2-9-1)

(2-9-2)

又，

所以

即 (2-9-3)

将(2-9-3)代入(2-9-1)得：

得 (2-9-4)

所以 , z>0 (2-9-5)

， z>0 (2-9-6)

同理， z<0 (2-9-7)

, z<0 (2-9-8)

其中为真空波阻抗。

能流密度：

， z>0

, z<0

2-10 若在上题中有一个无限大的理想导电表面位于z = d平面，再求解其结果。

解：由2-9题知，平面上分布的表面电流将产生方向极化向和方向传播的两个平面波。为计算方便，本题均采用复矢量表示形式。