第二节多元函数的基本概念

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高等数学中的多元函数的基础概念详解

高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。

它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。

本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。

一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。

通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。

例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。

多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。

二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。

具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。

这与一元函数的连续性概念是类似的。

三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。

但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。

在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。

多元函数的基本概念

多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。

它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。

多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。

2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。

3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。

二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。

性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。

性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。

性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。

性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。

三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。

此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。

10-1 多元函数的基本概念

E-mail: xuxin@
二元函数定义
平面上的一个点集,即设D是xy平面上的一个点集即 D R2, 是平面上的一个点集若对任意的点 X = (x, y)∈D R2, 按照某个 ∈ 对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对上的二元实值函数, 应, 则称 f 是定义在 D 上的二元实值函数记作 f : D → R, X = (x, y) → z
E-mail: xuxin@
长方体体积 V = xyz V 随 x, y, z 的变化而变化或者说任给的变化而变化. 或者说, 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应一组数就有唯一的一个与之对应. 与之对应这些都是多元函数的例子. 有二个自变量这些都是多元函数的例子的称为二元函数. 的称为二元函数有三个自变量的称为三元函元函数. 数, …, 有 n 个自变量的称为 n 元函数与一元函数类似, 与一元函数类似我们有
E-mail: xuxin@
注4. 定义中,当x,y的值取定后,z的取值定义中, 的值取定后, 的值取定后的取值
就根据f的方程来定 . 通常情况下, 就根据的方程来定. 通常情况下 , 这个值是的方程来定唯一的,这时我们称z=f(x,y)为单值函数; 唯一的,这时我们称为单值函数; 但有时候取值是不唯一的, 但有时候取值是不唯一的,这时我们称之为多值函数; 为多值函数; 例如 x 2 + y 2 + z 2 = 9 一般情况,我们讨论的函数都是单值函数, 一般情况,我们讨论的函数都是单值函数, 如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理. 函数来处理.
E-mail: xuxin@
称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像记作 f (X) 下的像, 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值所对应的函数值. 所对应的函数值称 D 为函数 f 的定义域 D 在 f 下的像集的定义域. f (D)={ f (X )| X∈D }称为 f 的值域 ∈ 称为的值域. 习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 习惯上为二元函数另外, 为自变量, 为因变量. 另外称 x, y 为自变量 z 为因变量比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey .

多元函数基本概念

多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。

在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。

一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。

对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。

而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。

例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。

二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。

对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。

偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。

需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。

三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。

常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。

泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。

通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。

泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。

傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。

通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。

四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。

与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。

求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。

常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。

同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。

总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。

多元函数的基本概念

sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二多元函数的极限
（一）有关概念（二）多元函数极限的定义
二元函数的图形对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限三、多元函数的连续性
三、多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点平面点集：二维空间的任一子集, 记作： E R2 注平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}

第二节多元函数

z
M(x, y, z)
{(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) ∈ D}
这个点集称为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形. 二元函数的图形该几何图形通常是一张曲面. 该几何图形通常是一张曲面正是这曲面在Oxy 而定义域 D 正是这曲面在平面上的投影. 平面上的投影
(x, y)
2
2
2
y→0
y→0
xy2 例求极限 ( x, ylim0,0) 2 2 ; )→( x +y xy 1 2 2 ) 解由x + y ≥ 2 xy 知 2 2 ≤ (有界量 x +y 2
xy2 由有界变量与无穷小乘积为无穷小知 lim 2 2 = 0 x→0 x + y y→0
lim arcsin x2 + y2 (2) lim xy +1 1. 例求极限(1) x→0 x→0 xy 1 y→0
0.00 -0.72 -0.92 -1.00 -1.00 -1.00 0.00 -0.72 -0.92 0.72 0.92 0.00 -0.60 0.60 0.00
处的极限不存在. 函数 f (x, y)在 (0,0)处的极限不存在
x2 y2 例证明函数 f (x, y) = 2 在 (0,0)处的极限不 2 x +y 存在.
y→0
2.二元函数的连续性定义设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若在点P0(x0, y0)处连续. 定义若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量△x, △y时,函数随之取得增量△z,即
x→x0 , y→y0
lim
f (x, y) = f (x0, y0 ), 则称函数 f (x, y)

高等数学多元函数的概念

去心邻域内有定义，如果当点 P x, y 无限趋于
点 P0 x0 , y0 时，函数 f (x, y) 无限趋于一个常数
A，则称A为函数 f (x, y) 当 P P0 时的极限.
记为 lim f (x, y) A或 lim f (x, y) A
( x, y)( x0 , y0 )
如果点集E中的每一点都是内点，且E中任何两点
可用全在E内的折线连结起来，则称E为开区域(简
称区域).
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
y
若区域E包含在某个圆内，则称E为有界区域；否则，称为无界区域.
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z

y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2பைடு நூலகம்lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E ．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
的二元函数,记为
z f x ，y
例 1 设圆柱体的底面半径为 r , 高为 h ,则圆柱体体

多元函数的基本概念汇总

邻域设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点是某一正数点P0的邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
U (P0, ) {P | | PP 0 | } 或 U (P0, ) {( x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } 点 P0 的去心邻域记作 U (P0, ) 即
f (x, y) 0
必须注意 (1)二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A
(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时函数趋于不同的
值则函数的极限不存在 •讨论

xy 2 2 x y 0 2 2 函数 f (x, y) x y 在点(0 0)有无极限？ 2 2 0 x y 0
一、平面点集 n维空间
1.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x2y2<r2} 或 C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离
•外点如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 •边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为 E的边点

外点

边界点

内点
E的边界点的全体称为E的边界记作E 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
二元函数的图形点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形二元函数的图形是一张曲面举例
zaxbyc表示一张平面
方程x2y2z2a2确定两个二元函数

多元函数的基本概念

x3 + y3 , ( x , y ) ≠ (0,0) 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0)
处的连续性．在(0,0)处的连续性．处的连续性解取 y ) − f ( 0, 0 )
= ρ (sin 3 θ + cos 3 θ ) < 2 ρ
∀ ε > 0, ∃ δ = , 当 0 < 2
ε
x2 + y2 < δ 时
f ( x , y ) − f (0,0) < 2 ρ < ε
（5）二元函数的定义）
是平面上的一个点集，设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) ∈ D ，变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对应，的二元函数，值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z = f ( x , y ) （或记为 z = f (P ) ）.
便为数轴、平面、特殊地当 n = 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、维空间中邻域邻域：邻域： U ( P0 , δ ) = P | PP0 |< δ , P ∈ R n
{
}
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
U ( P0 , δ ) = {P | PP0 |< δ }
= ( x , y ) | ( x − x 0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ .
δ
•
{
}
P0
（2）区域）

多元函数的基本概念课件

曲线积分的计算公式为：∫L f(x,y,z) ds，其中L是积分曲线。
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的数学工具，分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领域有广泛应用，如计算力矩、功等物理量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多个变量上的数学函数。例如，三维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点，然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通过直角坐标系或极坐标系进行。
03
04
二重积分可以应用于面积、体积、质量等的计算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域上的函数值累积的数学工具。

多元函数的概念

多元函数的概念多元函数是一个多项式表达式，它有若干未知数和若干常量组成，这些未知数是函数所有自变量的函数。

它是对函数中多个变量的定义，也是自变量与因变量之间的关系，例如给定f(x,y)=aｘ+bｙ+c，其中ａ，ｂ，ｃ是常数，而ｘ，ｙ是未知数，则函数f(x,y)为二元多变量函数。

一、定义多元函数是指根据自变量相互之间的关系，把一个或多个未知的实数坐标（称为自变量）替换到实数的定义域使之成为另一个实数坐标（称为因变量）的函数。

二、分类1、一元函数：只有一个未知变量的函数。

其函数式为：y = f(x)，其中，x 是一个未知变量，而 y 是随之变化的量。

2、二元函数：含有两个未知变量的函数，如：f(x, y) = x2 + y23、三元函数：含有三个未知变量的函数，如：f(x,y,z) = x3 + y3 + z34、多元函数：含有三个以上未知变量的函数。

三、性质1、多元函数的性质取决于定义域及其关于所有自变量的函数关系。

2、当自变量取不同的值时，多元函数的结果也会有所不同。

3、多元函数一般都不具有可视化概念，因为它往往有多余于三个自变量，而我们只能通过特定条件来求解。

4、看似相似的多元函数有可能不具有相同的数学性质，要根据自变量的关系，分析其函数的特性以确定其定义域和值域。

四、用途1、多元函数用于研究多维空间概念，工程中描述物理系统中状态变化、解决非线性规划问题等。

2、可以用来描述参数之间的关系，用于求解在工业运筹学和统计学中复杂环境下的数学问题。

3、多元函数可用于预测数据，作为模型量化把客观现象变成形式，并可以计算出函数及其局部极值的原因。

4、多元函数也可以用来解决科学问题，如流体动力学的物理问题、地质作用的地质问题、提高经济效率的经济问题等。

04-多元函数的基本概念课件

多元函数的基本概念平面点集多元函数的概念多元函数的极限多元函数的连续性平面点集建立了直角坐标系的平面称为坐标平面，记作2R =R R ⨯{}(,)|,R .x y x y =∈ 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，称为平面点集. 记作E (){}(,)|,.x y x y P =具有性质设000(,)P x y 是xoy 平面上的一个点， δ是某一正数，与点000(,)P x y 距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为0(,)U P δ.{}2200(,)|()().x y x x y y δ=-+-< {}0||P PP δ=<0(,)U P δ 0P δ∙（1）内点：设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点，如果存在点P 的某一个邻域()U P E ⊂，则P 称为E 的内点.（2）外点：如果存在点P 的某一个邻域()U P E ⋂=∅，则P 称为E 的外点.EP∙EP∙ （3）边界点：如果点P 的任一邻域既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点，则P 称为E 的边界点.E 的边界点全体称为E 的边界，记作E ∂.如果对于任意给定的0δ>，点P 的去心邻域(,)U P δ 内总含有属于E 的点，则P 称为E 的聚点.点集E 的聚点可能属于E ，也可能不属于E .（1）如果点集E的点都是E的内点，则称E为开集.（2）如果点集E的边界E E∂⊂，则称E为闭集.（3）如果点集E内任何两点，都可用折线联接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.（4）连通的开集称为区域或开区域.∙∙重要的平面点集（5）开区域连同它的边界一起构成的点集称为闭区域.（6）如果存在某一个正数r ，使得(),E U O r ⊂，其中 O 是坐标原点，则称E 为有界集.否则，称之为无界集.例如点集22{(,)|14}x y x y ≤+≤是有界集.Oxy点集{(,)|0}x y x y +>是无界集.Oxy多元函数的概念R的一个非空子集,如果对于D内的任一点定义设D是2x y，按照某种法则都有唯一确定的实数z与之对应，(,)则称f是D上的二元函数，记作∈z f P=，P D∈或()=，(,)x y D(,)z f x y点集D称为该函数的定义域,x和y称为自变量,z称为因变量.f x y的全体所构成的集合称为函数f的值域，数值(,)f D，即记作()z z f x y x y D=∈f D={|(,),(,)}()约定如果一个用算式表示的函数没有明确指出定义域，则x y 则该函数的定义域理解为使算式有意义的所有点(,)所成的集合,称为自然定义域.例求二元函数222arcsin(3)(,)x y f x y x y--=-的定义域.所求定义域为222{(,)|24,}.D x y x y x y =≤+≤>22224x y x y⎧≤+≤⎨>⎩ 222310x y x y ⎧--≤⎪⎨->⎪⎩解2Oxy2设函数(,)z f x y =的定义域为D ，对于任意取定的(,)P x y D ∈，对应的函数值为(,)z f x y =，这样，以x为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点(,,)M x y z ，当(),x y 取遍D 上一切点时，得一个空间点集{(,,)|(,),(,)}x y z z f x y x y D =∈，这个点集称为二元函数(,)z f x y =的图形.二元函数的图形通常是一张曲面.类似地,可定义三元及三元以上的函数.n 时,n元函数统称为多元函数.当2多元函数的极限定义设函数()(,)f P f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，|()||(,)|f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数总存在正数δ，使得当点()()0,,P x y D U P δ∈⋂时，(,)f x y 当()()00,,x y x y →时的极限，记作()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=，或00(,)((,)(,))f x y Ax y x y →→.也记作0lim ()P P f P A →=，或0()()f P AP P →→.我们把二元函数的极限叫做二重极限.类似地,可定义n 元函数的极限概念.例求极限()()2222,0,01lim ()sin .x y x y x y→++ 解令22u x y =+，则()()2222,0,01lim ()sin x y x y x y→++ 01lim sin u u u→= 0.=注意二重极限存在是指(),P x y 以任何方式趋于000(,)P x y时，(,)f x y 都无限接近于A .确定极限不存在的常用方法：找两种不同趋近方式，使()()00,,lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时可断言(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在．解例证明()()22,0,0limx y xyx y→+不存在．取(y kx k =为常数),则()()22,0,0limx y xy x y →+ 2220lim x y kxx kx x k x →=⋅=+ 极限的值随k 的变化而变化 , 故极限不存在.21k k=+多元函数的连续性定义设函数()(,)f P f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，且0P D ∈.如果()()0000,,lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处的连续. 如果函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处不连续，则称点000(,)P x y是(,)f x y 间断点.解例讨论二元函数(,)f x y 在(0,0)处的连续性.令cos x ρθ=，sin y ρθ=，()(),0,0lim(,)x y f x y → 33lim (sin cos )ρρθθ→=+0(0,0)f ==3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩注意多元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为连续函数.由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的多元函数称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.解例求()(),0,011lim.x y xy xy→+-()(),0,011limx y xy xy→+-()(),0,01lim11x y xy →=++1.2=定理1(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.定理2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值.定理3(一致连续性定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必定在D 上一致连续.即若()f P 在有界闭区域D 上连续，则对于任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于D 上的任意两点1P 、2P ，只要12||P P δ<时，都有12|()()|f P f P ε-<.。

多元函数基本概念梳理

多元函数基本概念梳理在数学领域中，多元函数是一个重要的概念，它在各个学科领域中都有广泛的应用。

本文将对多元函数的基本概念进行梳理，包括多元函数的定义、定义域和值域、偏导数、全微分以及多元函数的极值等内容。

一、多元函数的定义多元函数是指含有多个自变量的函数。

一元函数只有一个自变量，如f(x)，而多元函数可以有多个自变量，如f(x, y)、f(x, y, z)等。

多元函数的定义通常为f：D→R，其中D是定义域，R是函数的值域。

二、定义域和值域多元函数的定义域是指所有自变量的取值范围的集合。

在定义域内，函数有定义和有意义。

值域是指函数的所有可能的取值集合。

定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。

三、偏导数偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数而进行的求导运算。

偏导数以∂f/∂x或∂f/∂y表示，其中∂表示偏导符号。

偏导数的求导方法与一元函数中的求导类似，但需要注意将其他自变量视为常数。

四、全微分全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和的过程。

全微分可表示为df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy。

全微分可以帮助研究者对多元函数的变化率进行分析和研究。

五、多元函数的极值多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。

多元函数的极值点可以通过偏导数或二阶导数的方法求解。

通过求取偏导数并使其等于0，我们可以得到多元函数的临界点。

通过对临界点进行判断，即可确定多元函数的极值点。

综上所述，多元函数是含有多个自变量的函数，其定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。

偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数。

全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和。

多元函数的极值可以通过求取偏导数并使其等于0，再通过对临界点进行判断来确定。

对于研究多元函数的性质和特点，掌握这些基本概念是非常重要的。

多元函数单调性知识点总结

多元函数单调性知识点总结一、多元函数的定义及基本概念1. 多元函数的定义多元函数是指在n维欧式空间中的定义域为n维的实数向量空间，值域为实数的函数。

多元函数的自变量和因变量都是n维向量。

一般地，设D⊂R^n, f: D→R为n个实变量的函数，那么称f为n元函数，记作f(x_1,x_2, …, x_n)，其中x_i(i=1,2,…,n)称为自变量，函数值y=f(x_1, x_2, …, x_n)称为因变量。

2. 多元函数的单调性多元函数的单调性是指当自变量变化时，函数值的变化趋势。

当函数值随着自变量的增加而增加，称函数在该区间上是单调递增的；当函数值随着自变量的增加而减小，称函数在该区间上是单调递减的。

二、多元函数的偏导数及一阶导数1. 多元函数的偏导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，如果在(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数，那么对于每一个自变量x_i，在其它自变量不变的情况下，可以对f关于x_i求导，得到f关于x_i的偏导数，记作∂f/∂x_i。

偏导数的定义如下：●当f在点(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数∂f/∂x_i时，即该函数在该点沿着第i个自变量的方向有导数。

这个导数叫做偏导数，记作∂f/∂x_i，也可简称为偏导。

其计算公式为：∂f/∂x_i = lim(h→0) (f(x_1, x_2, …, x_i+h, …, x_n) - f(x_1, x_2, …, x_i, …, x_n)) / h●如果在点(x_1, x_2, …, x_n)的邻域内,各个偏导数∂f/∂x_i都存在,则称多元函数f(x_1,x_2, …, x_n)在该点可偏导。

2. 多元函数的一阶导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，当其在点(x_1, x_2, …, x_n)处的各个偏导数∂f/∂x_i都存在时，称f在该点可偏导。

此时，函数f的一阶导数是一个n维向量，称为梯度，记作∇f(x_1, x_2, …, x_n) = (∂f/∂x_1, ∂f/∂x_2, …, ∂f/∂x_n)。

多元函数

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外点
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边界点
内点
聚点
如果对于任意给定的δ>0, 点 P 的去心邻域U(P,δ ) 内总有E中的点, 则称P是E的聚点.
点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E. 例如, 设平面点集 E={(x, y)|1<x2+y2≤2}. 满足1<x2+y2<2的一切点(x, y)都是E的内点; 满足x2+y2=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们都不属于E; 满足x2+y2=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边∂E上的一切点都是E的聚点.
o
U(P , δ ) ={P| 0<| P P|<δ}. 0 0
o
注：如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U(P0)表示点P0的某个 o 邻域, 点P0的某个去心邻域记作U(P ) 0
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点与点集之间的关系任意一点P∈R2与任意一个点集E⊂R2之间必有以下三种关系中的一种: •内点: 如果存在点P的某一邻域U(P), 使得U(P)⊂E, 则称P为E的内点; •外点: 如果存在点P的某个邻域U(P), 使得U(P)∩E=∅, 则称P为E的外点; •边界点: 如果点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称P点为 E的边点. E的边界点的全体, 称为E的边界, 记作∂E. 提问: E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
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•两点间的距离 Rn中点x=(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅ , xn)和点y=(y1, y2, ⋅ ⋅ ⋅ , yn)间的距离, 记作ρ(x, y), 规定

多元函数的基本概念

在其他领域中的应用
化学反应动力学
在化学反应动力学中，多元函数可以用来描述反应速率与反应物浓度之间的关系。
生物种群动态
在生物种群动态中，多元函数可以用来描述种群数量随时间的变化趋势，如Logistic增长模型。
图像卷积操作和滤波器设计。
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可微性
总结词
可微性是指函数在某一点或某一方向上的导数存在。
VS
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某一点或某一方向上的导数存在，则称该函数在该点或该方向上可微。可微性是多元函数的重要性质之一，它揭示了函数在某一点或某一方向上的局部变化率。
偏导数
总结词
详细描述
偏导数是指在多元函数的某个自变量固定时，该函数对其他自变量的导数。
在经济中的应用
供需模型
多元函数可以用来描述商品价格与供需量之间的关系，通过求导数来分析价格变动对供需量的影响。
投资组合优化
多元函数可以用来描述投资组合的预期收益与风险之间的关系，通过优化算法来找到最优的投资组合。
生产成本分析
在生产成本分析中，多元函数可以用来描述不同生产要素之间的成本关系，帮助企业进行成本控制和优化。
多元函数的基本概念
• 引言 • 多元函数的定义与表示 • 多元函数的性质 • 多元函数的极限 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01
引言
多元函数的概念
多元函数是数学中的一个概念，它是一个函数，其自变量和因变量都是多个。在多元函数中，因变量的值依赖于多个自变量的取值。
多元函数的定义域是一个点的集合，这些点在各个自变量的取值范围内。而函数的值域则是一组因变量的值，这些值由各个自变量的取值确定。