平面问题有限单元法
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弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题
- 在整体刚度矩阵中引入边界条件
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
2
例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
1
需求解的结点还剩：
2
I III IV II 4 5 3
因此关于这六个零分量的六个平衡方程不 用建立，须将整体刚度矩阵的第1，3，7， 8，10，12以及同序列的各列去掉。最后 得到：
6
结构整体分析（10）
- 结点载荷
j
I II IV
1N/m
i
III i
m
1
I
m
j
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例如，设单元 ij 边上受有x方向上的均布面力q，试求等效 结点载荷
载荷向结点移臵（7）
结构整体分析（1）
对于每个单元，我们已经知道了如何计算单元的劲度矩 阵以及载荷列阵：
结构整体分析（2）
根据虚功原理，我们也推导了结点力与结点位移的关系：
对于 i 点, 一个单元上的结点力为:
i 点的力平衡要求围绕 i 点的各单元产生的结点力与各单 元分配到 i 点的结点载荷相等。
3
6
结构整体分析（15）
1. 有限元法的求解步骤： 2. 划分有限元， 3. 利用已知的结点坐标以及结构的物理特性写出单元劲度 矩阵， 4. 利用整体编码与局部编码的关系写出整体刚度矩阵以及 力列阵， 5. 在整体刚度矩阵以及力列阵中将对应于零位移的行与列 划去，得到引入边界条件后的平衡方程组。 6. 求解平衡方程组，得到结点位移，并由此分析应力分布。
有限单元法的单元划分（2）
当结构具有凹槽或孔洞时，为了正确地描述应力集中效 应，必须把该处的网格画得很密。
当计算容量不允许时，可以分两次计算。第一次计算时， 将需要细化网格的目标区域的网格画得稀疏一点，甚至 和其他区域的网格大致相同，第二次计算时，将需要细 化的部分区域（区域边界上的结点位移是第一次计算后 的已知值）取出，利用第一次计算的计算结果，就可以 计算分析网格很密的目标区域了。
第4章 平面问题的有限元法-4收敛准则
1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 9 11 13
8
9 10 11 12 13 14
2
4
6
8 10 12 14
(a)
(b)
图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
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图4-13
四. 单元节点i、j、m的次序 在前面章节中，我们曾指出，为了在计算中保证单元的 面积 不会出现负值，节点i、j、m的编号次序必须是逆时 针方向。事实上，节点i、j、m的编号次序是可以任意安排 的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对取绝对值，即可 得到正确的计算结果。在实际计算时，应该注意所选有限元 分析软件的使用要求。 五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 在前面讨论整体刚度矩阵时，已经提到，整体刚度矩阵 的奇异性可以提高考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位 移，以达到求解的目的。
B =2(d+1)
若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量N 最 多为N =2nB = 4n(d+1) 其中：d为相邻节点的最大差值，n为节点总数。 例如在图4-13中，(a)与(b)的单元划分相同，且节点 总数都等于14，但两者的节点编号方式却完全不同。(a) 是按长边进行编号， d =7， N =488；而(b)是按短边进行 编号，d =2，N =168。显然(b)的编号方式可比(a)的编号 方式节省280个存储单元。
为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三 个条件，即 ⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当 节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生 应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力 ，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起 单元刚体位移的能力。 例如，三角形三节点单元位移模式中，常数项1、4 就 是用于提供刚体位移的。 ⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变 一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标 位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位 置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，
平面问题有限单元法教程
4、 Ni 1
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数 试凑法的步骤： 1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线； 2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带 参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点 为零”的条件自动满足。 3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1” 的性质确定待定参数。
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系
参考常应变单元位移函数可得：
P
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的
多项式
直角坐标中的同阶多项式。
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系 设Li、Lj为独立变量，则Lm=1－L－Lj， 利用：
1)面积坐标：
令：
Li
Ai A
Ai的高 A的高
P
Lj
Aj A
Lm
Am A
即： P Li , Lj , Lm
Li , Lj , Lm 称为面积坐标
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
2）面积坐标的性质
a. 与j-m 边平行的线上的三角形
P
内点有相同的值 Li
b. 角点坐标为:
i ( 1,0,0 ), j ( 0,1,0 ), m ( 0,0,1 )
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
5) 利用面积坐标求三角形单元的形函数 试凑法的步骤： 1、对于结点i 找出过其余结点的若干直线； 2、适当选用上述直线，将直线方程的左部以带 参数连乘式作为形函数Ni，这样可使在“它点 为零”的条件自动满足。 3、将I点坐标带入上面假定的Ni，用“本点为1” 的性质确定待定参数。
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系
参考常应变单元位移函数可得：
P
x xi Li x j Lj xm Lm y yi Li y j Lj ym Lm
由于以上两种坐标变换是线性变换，所以面积坐标表示的
多项式
直角坐标中的同阶多项式。
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
3) 面积坐标与直角坐标的转换关系 设Li、Lj为独立变量，则Lm=1－L－Lj， 利用：
1)面积坐标：
令：
Li
Ai A
Ai的高 A的高
P
Lj
Aj A
Lm
Am A
即： P Li , Lj , Lm
Li , Lj , Lm 称为面积坐标
第三章 平面问题有限单元法
1. 六结点三角形单元
2）面积坐标的性质
a. 与j-m 边平行的线上的三角形
P
内点有相同的值 Li
b. 角点坐标为:
i ( 1,0,0 ), j ( 0,1,0 ), m ( 0,0,1 )
1. 六结点三角形单元
6) 六结点三角形单元的形函数
形函数矩阵
N
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
N1 0
0 N1
N2 0
第七章 平面问题的有限单元法(Q4)
b y3 y2 y y1 4 2 2
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
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Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
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等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
结构力学第六章平面应力问题的有限单元法
结构力学第六章平面应力问题的有限单元法引言平面应力问题是结构力学中的重要内容之一。
为了求解这类问题，目前广泛应用的方法之一是有限元方法。
有限元方法通过将复杂的问题离散为多个简单的有限元单元，在每个单元上进行计算，最后得到整个问题的近似解。
本文将介绍平面应力问题的有限单元法的基本原理，并讨论其在结构力学中的应用。
有限单元法概述有限单元法是一种通过将连续问题离散为有限数量的简单单元，再通过求解这些单元的位移和应力来近似求解原始问题的方法。
在平面应力问题中，我们通常将结构物在平面上分割为多个有限单元，并在每个单元上进行力学分析。
有限单元法的基本思想是，先在每个单元上假设位移场的近似形式，然后将位移场的近似形式与力学原理相结合，得到每个单元上的平衡方程。
通过求解这些平衡方程，我们可以得到每个单元上的位移场和应力场。
在有限元分析中，我们通常选择线性三角形单元或矩形单元作为平面应力问题的有限单元。
这些单元通常具有简单的几何形状和计算形式，便于计算机求解。
平面应力问题的有限单元法步骤平面应力问题的有限单元法通常包括以下几个步骤：1.离散化 - 将结构物划分为多个有限单元。
在平面应力问题中，我们通常选择三角形或矩形作为单元。
2.选取近似函数 - 在每个单元上选择位移场的近似函数形式，通常选择多项式形式。
3.建立单元刚度矩阵 - 通过应用平衡方程和力学原理，建立每个单元上的刚度矩阵。
4.组装总刚度矩阵 - 将所有单元的刚度矩阵组装成总刚度矩阵。
要注意，由于每个单元的自由度不同，需要将刚度矩阵根据单元的连接关系进行组装。
5.施加边界条件 - 根据实际情况，对总刚度矩阵和载荷向量进行修正，将边界条件考虑在内。
6.求解位移场 - 通过求解线性代数方程组，得到每个单元上的位移场。
7.计算应力场 - 根据位移场，计算每个单元上的应力场。
应用案例为了进一步说明平面应力问题的有限单元法的应用，以下是一个简单的应用案例。
假设有一块矩形薄板，长为L，宽为W。
有限元分析第4章 平面问题有限单元法1
1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
弹性力学第6章---用有限单元法求平面问题
2.FEM分析的主要步骤：
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 位移模式 应变列阵 应力列阵
结点力列阵 等效结点荷载列阵 3.整体分析
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
e T
位移模式 三角形单元
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题是如何求 应变、应力。
( δ 来求出单元 首先,必须解决由单元的结点位移 δ i δ j δ m T d ((, u xy ) v (, xy ) 。 的位移函数 e 该插值公式表示了单 δ 应用插值公式,可由 求出位移 d 。 元中位移的分布形式,因此称为位移模式。 在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性 函数,也就是假定：
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
求解方法
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同 性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学 方法进行分析。 T 取各结点位移 δ 为基本未知量，然后 ( uv ) ( i 1 , 2 , ) i i i 对每个单元,分别求出各物理量,并均用 δ i 1 ,2 , )来表示。 i( 单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
e T δ ( δ δ δ ) i j m 求单元的位移函数
,
T d ((, u xyvxy ) , (, ) ) .
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe .
(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 ε Bδe .
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
FEM的分析过程(3) 3.整体分析
求解方法
作用于结点i上的力有：
第4章 平面问题的有限元法-1离散化
e
T i
T j
T T m
u
i
vi
T
uj
vj
um
vm
T
(4-7)
其中的子矩阵
i ui
vi
（i，j，m 轮换） (a)
式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。
在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来 的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其 内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本 方程在每个单元内部同样适用。 从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性 体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就 确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分 量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因 此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。 由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难 在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的 复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那 么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数 来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接
结构离散化后，要用单元内节点的位移通过插值(?)来 获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定 单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式 的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常 数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元 的类型而定。 （4-1） f N e
(c)
由(c)式左边的三个方程可以求得
1
1 uj 2 um ui xi xj xm 1 y j ,2 1 uj 2 ym 1 um yi 1 ui 1 y j , 1 1 xj 2 ym 1 xm yi 1 xi ui uj um
有限元2-弹性力学平面问题(24矩形单元,25六节点三角形单元)
u 1 1 2 3 4 u 2 1 2 3 4
u 3 1 2 3 4
u 4 1 2 3 4
有限单元法
土木工程学院
P-9/44
解方程组便可求得待定常数。将这些参数代回式 （2-4-4），经整理得：
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-6/44
二、结点位移列阵和结点力列阵
每个结点2个位移分量，共８个位移分量， 设结点位移和结点力列阵分别为：
d u v u v u v u v
e
2 4 2 e T F X Y X Y X Y X Y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 3
有限单元法
土木工程学院
P-18/44
第2章 弹性力学平面问题有限单元法
2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充
有限单元法
土木工程学院
3
1
2
(1 ,1 )
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-11/44
如果引进参数: ξ0=ξiξ, η0=ηiη(i=1, 2, 3, 4), (ξi, ηi)是矩形单元4个结点的局部坐标。结点i(ξi, ηi)的 坐标值分别是 (-1,-1), (1,-1),(1,1), (-1,-1)。代入 上式，则可将上式简记成：
Ai Li A
Lj Aj A
Am Lm A
i
m
Aj
第2章 弹性力学平面问题有限单元法(1-3节)
第二章 弹性力学平面问题有限单元法§2-1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x y ααα==++546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A x u x u =2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为:m m i j i a x y x y =-m ij by y =- (,,)i j mm i jc x x =-(,,)i j m表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)
存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化， 比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本 节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性 的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协 调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体 坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
其中，
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
有限元 第五讲
第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
3. 形函数构造方法： 1）广义坐标法：仅用在常应变单元 2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数 四面体单元的自然坐标是体积坐标
4. 构造曲面单元
等参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲 面单元
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数： 将结点坐标代入u(x,y,z)，得结点x方向位移:
u1 1 2 x1 3 y1 4 z1 u2 1 2 x2 3 y2 4 z2 u3 1 2 x3 3 y3 4 z3 u4 1 2 x4 3 y4 4 z4
（四个方程、四个未知量）
1 y4 z4
x2 1 z2 ci1 c1 (1)i1 x3 1 z3
x4 1 z4
x2 di1 d1 (1)i1 x3
x4
y2 1 y3 1 y4 1
1 x1 y1 z1 V 1 1 x2 y2 z2
6 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4
按1、2、3、4的顺序变换下2v2
N3u3 N4u4 N3v3 N4v4
w N1w1 N2w2 N3w3 N4w4
或： f N e （由结点位移表示的单元内位移）
N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0
N
0
N1
0
0 N2 0
0 N3 0
0
N4
0
0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4
形函数矩阵
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
3. 单元几何方程： 由结点位移求单元内应变
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空间受力状 态，属于空间问题，然而，对于某些特定问题，根据其结构和外力 特点可以简化为平面问题来处理。这种近似，可大大减少计算工作 工作量，为有限元分析提供方便。弹性力学平面问题可分为两类：
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
二、整体刚度矩阵
讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析
。假设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元 按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（4-25）
式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹 性体的平衡关系式。
1
i
j
m
n
1
外力在虚位移上所做的虚功
V
F1
* 1
F2
* 2
F3
* 3
* T
F
单位体积内的虚应变能
x
* x
y
* y
z
* z
xy
* xy
yz
* yz
zx
* zx
*
T
整个物体的的虚应变能
U * T dxdydz
e
ui
vi
u j
v j
um
T
vm
且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移
相同的位移模式。
故有
f N e
(c)
参照（4-13）式，单元内的虚应变{ *}为
B e
(d)
于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为
br cs
1
2
cr bs
cr cs
1
2
brb s
( r = i、j、m；s = i、j、m ) (4-28)
平面问题有限元解法(公式推导讲解)
位移边界条件：
应力边界条件：
若在su部分边界上给定了面力 和 ，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条件为：
其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。
*
圣维南原理
在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。
有限单元法的分析步骤如下： 物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
*
有限元单元模型中几个重要概念
单元 网格划分中每一个小的块体 节点 确定单元形状、单元之间相互联结的点 节点力 单元上节点处的结构内力 载荷 作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力） 约束 限制某些节点的某些自由度 弹性模量（杨式模量）E 泊松比（横向变形系数）μ 密度
由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。 图e，构件右端有位移边界条件， ，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。
按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。
按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。
*
按位移法求解平面问题
平面问题中，取位移分量u和v为基本未知函数。 从方程中消去形变分量和应力分量：
将几何方程代入上式
利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：
应力边界条件：
若在su部分边界上给定了面力 和 ，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条件为：
其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。
*
圣维南原理
在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。
有限单元法的分析步骤如下： 物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
*
有限元单元模型中几个重要概念
单元 网格划分中每一个小的块体 节点 确定单元形状、单元之间相互联结的点 节点力 单元上节点处的结构内力 载荷 作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力） 约束 限制某些节点的某些自由度 弹性模量（杨式模量）E 泊松比（横向变形系数）μ 密度
由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。 图e，构件右端有位移边界条件， ，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。
按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。
按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。
*
按位移法求解平面问题
平面问题中，取位移分量u和v为基本未知函数。 从方程中消去形变分量和应力分量：
将几何方程代入上式
利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：
平面问题有限元
aj = xm yi − xi ym = 0
cj = xi − xm = a
am = xi yj − xj yi = a2 bm = yi − yj = −a
3-2 平面问题的常应变(三角形 单元 平面问题的常应变 三角形)单元 三角形
• 据弹性力学几何方程得 单元的应变分量
∂u α2 ∂x εx ∂v ε = εy = = α6 ∂y γ α + α 5 xy ∂u + ∂v 3 ∂x ∂y
INm δ j δ m
ui v i Nm 0 uj 0 Nm vj um δi vm
[I]是单位矩阵， 是单位矩阵， 是单位矩阵 [N]称为形函数矩阵， 称为形函数矩阵， 称为形函数矩阵 Ni只与单元节点坐标有关，称为单元 只与单元节点坐标有关， 的形状函数
1 v = [(ai + bx + ci y)vi + (aj + bj x + cj y)vj + (am + bmx + cm y)vm] i 2A 3/12/2011
3-2 平面问题的常应变 三角形)单元 平面问题的常应变(三角形 单元 三角形
令
1 下标i， ， 轮换 轮换） Ni = (ai + bx + ci y) （下标 ，j，m轮换） i 2A
边界不协调产生重迭
3-2 平面问题的常应变(三角形 单元 平面问题的常应变 三角形)单元 三角形
例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵 。 例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵[N]。
ci = xm − xj = 0
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插值公式（a）在结点 xi , yi (i, j , m) 应等于结
点位移值 ui , vi (i, j , m) 。由此可求出 1 ~ 6。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
1 ~ 6 • 其中
xi , yi ,及ui , vi ,。 包含
将式（a）按未知数 ui , vi , 归纳为:
求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。 取各结点位移 δ i (ui v i )T (i 1,2,) 为基本未 知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均 用 δ (i 1,2,) 来表示。 i
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
或用矩阵表示为:
（ b）
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
u Ni d v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
为了保证FEM的收敛性：
•
（1）和（2）是必要条件， 而加上（3）就为充分条件。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
• 1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么
必须从低次项开始选取？
2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的
问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 （1）单元的位移模式 （2）单元的应变列阵
（3）单元的应力列阵
（4）单元的结点力列阵 （5）单元的等效结点荷载列阵 3.整体分析 建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
•
1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角 形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。 前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性
三角形单元
•
三结点三角形单元的位移模式，略去了2次
以上的项，因而其误差量级是 o( x 2 ); 且其中只 包含了 布如图
x, y 的1次项，所以在单元中
u和 v
m
N i 的分
（a）所示，
1
i
的分布如图（ vm um b）、（c）所示。 ui
m i
uj
j
vi
i
m
vj
j
(a)
j
(b)
(c)
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
单元分析的主要内容： （1）应用插值公式, 由单元结点位移
δ ( δ i δ j δ m ) ，求单元的位移函数
e T
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδ 。
e
第六章 用有限单元法解平面问题
应用插值公式，可由 因此称为位移模式。
δ
e 求出位移
d。
这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
•
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。 所以三角形单元的位移模式，可取为：
u 1 2 x 3 y , （ a） v 4 5 x 6 y。
力学方法求解，为什么？
2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移
δi 为基本未知数的。问
题是如何求应变、应力。
e T δ ( δ δ δ 首先必须解决：由单元的结点位移 i j m 来求出单元的位移函数 d (u( x, y) v( x, y)T 。
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi , 其中
表示对围绕i 结点的单元求和；
e
F F
i e e
Li
,
(i 1,2,)
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求 出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
结构的整体分析结点平衡方程组
第八节
第九节 第十节
解题的具体步骤 单元的划分
计算成果的整理 计算实例
第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章
用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method）
ui vi 0 u j N m v j （ c） u m v m
Nδ e。
• N －－ 称为形（态）函数矩阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
• 其中:
N i (ai bi x ci y ) 2 A ,
5 3
与刚体位移相比，
u u 0 y , v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第变，得：
x 2 ,
y 6 ,
xy 3 5 ,
可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两 单元边界ij 上， 之间均为线性变化， 也为连续。 δ i 和δ j
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。 其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析；
3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
虚功方程:
(δ ) F
* T
y
Fiy ,vi*
i
Fjy , v* j
j
其中:
• δ*
A
(ε* )T ζdxdyt
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
--结点虚位移;
o
x
图6-1
ε * --对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡 微分方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
• FEM中以后的一系列工作，都是以位移
模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保 证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。
u v u v T ε( ) x y x y
(a)
物理方程: ζ Dε
(b)
0 0 1 μ 2
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 E D μ 2 1 μ 0 μ 1 0 (c )
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能
进行了。
第六章 用有限单元法解平面问题
位移函数
§6-4
单元的应变列阵和应力列阵
单元中的位移函数用位移模式表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
其中，
N i (ai bi x ci y ) / 2 A。 (i, j, m)
(c)
深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 • 图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
基本物理量： 体力: f ( f x
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x
应变: 应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v ( x, y )) 。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用 于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和 非线性问题，并得到迅速发展。
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。
首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
•
1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应 用和发展。
点位移值 ui , vi (i, j , m) 。由此可求出 1 ~ 6。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
1 ~ 6 • 其中
xi , yi ,及ui , vi ,。 包含
将式（a）按未知数 ui , vi , 归纳为:
求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。 取各结点位移 δ i (ui v i )T (i 1,2,) 为基本未 知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均 用 δ (i 1,2,) 来表示。 i
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
或用矩阵表示为:
（ b）
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
u Ni d v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
为了保证FEM的收敛性：
•
（1）和（2）是必要条件， 而加上（3）就为充分条件。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
• 1.应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么
必须从低次项开始选取？
2.试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的
问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 （1）单元的位移模式 （2）单元的应变列阵
（3）单元的应力列阵
（4）单元的结点力列阵 （5）单元的等效结点荷载列阵 3.整体分析 建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
•
1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角 形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。 前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性
三角形单元
•
三结点三角形单元的位移模式，略去了2次
以上的项，因而其误差量级是 o( x 2 ); 且其中只 包含了 布如图
x, y 的1次项，所以在单元中
u和 v
m
N i 的分
（a）所示，
1
i
的分布如图（ vm um b）、（c）所示。 ui
m i
uj
j
vi
i
m
vj
j
(a)
j
(b)
(c)
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
单元分析的主要内容： （1）应用插值公式, 由单元结点位移
δ ( δ i δ j δ m ) ，求单元的位移函数
e T
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδ 。
e
第六章 用有限单元法解平面问题
应用插值公式，可由 因此称为位移模式。
δ
e 求出位移
d。
这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
•
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。 所以三角形单元的位移模式，可取为：
u 1 2 x 3 y , （ a） v 4 5 x 6 y。
力学方法求解，为什么？
2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
第六章 用有限单元法解平面问题
位移模式
§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
FEM是取结点位移
δi 为基本未知数的。问
题是如何求应变、应力。
e T δ ( δ δ δ 首先必须解决：由单元的结点位移 i j m 来求出单元的位移函数 d (u( x, y) v( x, y)T 。
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi , 其中
表示对围绕i 结点的单元求和；
e
F F
i e e
Li
,
(i 1,2,)
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。 通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求 出各单元的应变和应力。
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节
结构的整体分析结点平衡方程组
第八节
第九节 第十节
解题的具体步骤 单元的划分
计算成果的整理 计算实例
第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章
用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method）
ui vi 0 u j N m v j （ c） u m v m
Nδ e。
• N －－ 称为形（态）函数矩阵。
第六章 用有限单元法解平面问题
三角形单元
• 其中:
N i (ai bi x ci y ) 2 A ,
5 3
与刚体位移相比，
u u 0 y , v v0 x,
可见刚体位移项在式（a）中均已反映。
第变，得：
x 2 ,
y 6 ,
xy 3 5 ,
可见常量应变也已反映。
（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两 单元边界ij 上， 之间均为线性变化， 也为连续。 δ i 和δ j
FEM的概念
§6-2
有限单元法的概念
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。 其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析；
3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
虚功方程:
(δ ) F
* T
y
Fiy ,vi*
i
Fjy , v* j
j
其中:
• δ*
A
(ε* )T ζdxdyt
Fjx ,u* j
Fix ,ui*
--结点虚位移;
o
x
图6-1
ε * --对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡 微分方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
• FEM中以后的一系列工作，都是以位移
模式为基础的。
所以当单元趋于很小时，即 x, y 0 时，为了使FEM之解逼近于真解。则为了保 证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：
第六章 用有限单元法解平面问题
收敛性条件
（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。
u v u v T ε( ) x y x y
(a)
物理方程: ζ Dε
(b)
0 0 1 μ 2
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 E D μ 2 1 μ 0 μ 1 0 (c )
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能
进行了。
第六章 用有限单元法解平面问题
位移函数
§6-4
单元的应变列阵和应力列阵
单元中的位移函数用位移模式表示为
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
其中，
N i (ai bi x ci y ) / 2 A。 (i, j, m)
(c)
深梁（离散化结构）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。 • 图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
第六章 用有限单元法解平面问题
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
基本物理量： 体力: f ( f x
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x
应变: 应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v ( x, y )) 。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用 于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和 非线性问题，并得到迅速发展。
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。
首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
•
1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应 用和发展。