圆中常见数学模型

圆中常见数学模型

中考数学圆常见模型：辅助圆（隐形圆）、圆幂定理、米勒定理、托勒密定理、瓜豆原理、阿波罗尼斯圆问题

（一）.辅助圆（隐圆）

1.当线段一端点固定，长度固定时：另一端点运动轨迹是圆

Eg：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF 沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.

2.三点共圆：

Eg1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是（）A．40°B．30° C．20° D．35°

Eg2：如图在四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为.

3.四点共圆问题：

Eg：如图，ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为

4.三角形中：一定边且其对角一定，则其对应顶点轨迹为圆

3，0）、（0，5），点D在第一象限，Eg：在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（3，0）、（3

且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为_________．

D C

B

A

Q

O

P

E

D

P

C

（二）.圆幂定理：

1.相交弦定理：在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则PA PB PC PD

⋅=⋅

推论：在⊙O中，直径AB CD

⊥，则2

CE AE BE

=⋅

Eg1：如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，

求证：（1）IE=EC；（2）2

IE ED EA

=．

Eg2：如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则

QA

QC

的值为（）（A）1

3

2-；（B）3

2；（C）2

3+；（D）2

3+

2.切割线定理：在⊙O中，PA是切线，PB是割线，则2

PA PC PB

=⋅

Eg1：如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为

Eg2：如图，⊙O为△ABC的外接圆，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P,∠APC的平分线和AC,BC分别相交于D,E

P

O

D

C

B

A

O E

D

C

B

A

D

E

C B

P

A

O

(1) 证明：△CDE 是等腰三角形 (2) 证明：PD CE PE AD ⋅=⋅

3. 割线定理：在⊙O 中，PB 、PE 是割线，则PC PB PD PE ⋅=⋅

Eg1：如图，P 是圆O 外的一点，点B 、D 在圆上，PB 、PD 分别交圆O 于点A 、C ，如果AP =4，AB =2，PC =CD ，那么PD =________．

Eg2

：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点

E ，交BC 于点D ，连接BE 、AD 交于

点P ．求证：（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB •CE=2DP •AD ．

（三）.米勒定理：如图，点C 在运动的过程中，∠ACB 的大小在不断发生变化。

实验证明：当△ABC 的外接圆与ON 相切时，切点C 使得∠ACB 最大。

Eg2：如图点A ，B 在MQN ∠的边QM 上，过A ，B 两点的圆交QN 于点C ，D .OA=6.AB=8,∠MQN=30°，点P 从Q 点出

发沿射线QN 方向运动，当APB ∠的度数能取到最大值时，=ABP S △

D

E

C B

P

A

O

（四）.瓜豆原理:若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

瓜豆原理是主从联动轨迹问题：主动点叫做瓜，从动点叫做豆。

①瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；②瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。

关键是作出从动点的运动轨迹，根据主动点的特殊位置点，作出从动点的特殊点，从而连成轨迹。

Eg：如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C随点A运动所形成的图形的面积为（）

A B．27π C． D．

7

(五).阿波罗圆问题：

Eg：问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，

则AP+1

2

BP的最小值为．

（六）.托勒密定理：设四边形ABCD是圆内接四边形，则：AB·CD+AD·BC=AC·BD

Eg：已知:a、b、c分别是△ABC∠A、∠B、∠C所对应的三边长，且a²=b（b+c），求证：∠A=2∠B