一元线性回归分析案例
R软件一元线性回归分析非常详细
R软件一元线性回归分析(非常详细)R软件一元线性回归分析合金钢强度与碳含量的数据序号碳含量/%合金钢强度/107pa1 0.10 42.02 0.11 43.03 0.12 45.04 0.13 45.05 0.14 45.06 0.15 47.57 0.16 49.08 0.17 53.09 0.18 50.010 0.20 55.011 0.21 55.012 0.23 60.0这里取碳含量为x是普通变量，取合金钢强度为y是随机变量使用R软件对以上数据绘出散点图程序如下：>x=matrix(c(0.1,42,0.11,43,0.12,45,0.13,45 ,0.14,45,0.15,47.5,0.16,49,0.17,53,0.18,5 0,0.2,55,0.21,55,0.23,60),nrow=12,ncol=2, byrow=T,dimnames=list(1:12,c("C","E"))) >outputcost=as.data.frame(x)>plot(outputcost$C,outputcost$E)0.100.120.140.160.180.200.2245505560outputcost$Co u t p u t c o s t $E很显然这些点基本上（但并不精确地）落在一条直线上。
下面在之前数据录入的基础上做回归分析（程序接前文，下同）> lm.sol = lm(E~C,data = outputcost) >summary(lm.sol)得到以下结果：Call:lm(formula = E ~ C, data = outputcost)Residuals:Min 1Q Median 3Q Max-2.00449 -0.63600 -0.02401 0.71297 2.32451Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 28.083 1.567 17.92 6.27e-09 ***C 132.899 9.606 13.84 7.59e-08 *** ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 1.309 on 10 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.9503, Adjusted R-squared: 0.9454F-statistic: 191.4 on 1 and 10 DF, p-value: 7.585e-08由计算结果分析：常数项0∧β=28.083，变量（即碳含量）的系数1∧β=132.899 得到回归方程：∧y =28.083+132.899x由于回归模型建立使用的是最小二乘法 ,而最小二乘法只是一种单纯的数学方法 ,存在着一定的缺陷 ,即不论变量间有无相关关系或有无显著线性相关关系 ,用最小二乘法都可以找到一条直线去拟合变量间关系。
一元线性回归案例
S=963.191+18.501R
例9. CEO薪水与股本回报率
OLS回归线为 S=963.191+18.501R N=209, R^2=0.0132
企业股本回报率只能解释薪水变异中的 1.3%.
例2. 一个简单的工资方程
美国研究者以1976年的526名美国工人为样 本，OLS回归方程为：
W=-0.90 +0.54 E 这里W单位为美元/小时，E单位为年. E平均工资计算为5.90美元/小时. 根据消费者价格指数，这一数值相当于2003
年的19.06美元.
例2. 一个简单的工资方程
对同样的数据，但是把log(w)作为因变量， 得到的回归方程为：
Log(invpc)=-0.550+1.24log(price) (0.043) (0.382)
N=42 R^2=0.208 显著性检验不明显,事实上这一关系也是错误的,未
来我们将加上时间序列分析中特有的趋势分析说 名这个问题.
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2006年中国集装箱吞吐量增长与外贸 额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量( 百万标准箱),X表示外贸额(百亿美元).
出勤率无关，但这几乎不可能.
例5. 学校的数学成绩与学校午餐项目
以math10表示高中十年级学生在一次标准化 数学考试中通过的百分比.lnchprg表示有资 格接受午餐计划的学生的百分比.
若其他条件不变,若学生太贫穷不能保证正常 饮食,可以有资格接受学校午餐项目的资助, 他的成绩应有所提高.
例5. 学校的数学成绩与学校午餐项目
1992-1993学年美国密歇根州408所高中的 数据的OLS回归方程:
一元线性回归模型典型例题分析
第二章 一元线性回归模型典型例题分析例1、令kids 表示一名妇女生育孩子的数目,educ 表示该妇女接受过教育的年数.生育率对教育年数的简单回归模型为μββ++=educ kids 10（1）随机扰动项μ包含什么样的因素?它们可能与教育水平相关吗？（2)上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释.例2．已知回归模型μβα++=N E ，式中E 为某类公司一名新员工的起始薪金（元），N 为所受教育水平（年).随机扰动项μ的分布未知，其他所有假设都满足。
如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的截距项与斜率项有无变化?如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月,估计的截距项与斜率项有无变化？例3．对于人均存款与人均收入之间的关系式t t t Y S μβα++=使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：)011.0()105.151(067.0105.384ˆtt Y S +=2R ＝0.538 023.199ˆ=σ(1）β的经济解释是什么？(2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗?如果有冲突的话,你可以给出可能的原因吗？（3)对于拟合优度你有什么看法吗? （4）检验统计值？例4．下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？⑴ y x t n t t =+=αβ12,,, ⑵ y x t n t t t =++=αβμ12,,,⑶ y x t n t t t=++= ,,,αβμ12⑷ ,,,y x t n t t t =++=αβμ12 ⑸ y x t n t t =+= ,,,αβ12 ⑹ ,,,y x t n t t =+=αβ12⑺ y x t n t t t =++= ,,,αβμ12 ⑻ ,,,y x t n t tt =++=αβμ12其中带“＾”者表示“估计值”.例5．对于过原点回归模型i i i u X Y +=1β ,试证明∑=∧221)(iu XVar σβ例6、对没有截距项的一元回归模型i i i X Y μβ+=1称之为过原点回归（regression through the origin ）。
一元线性回归案例
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2006年中国集装箱吞吐量增长与外贸 额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量 (百万标准箱),X表示外贸额(百亿美元). OLS回归方程为 Y=3.7667+0.509X (2.06) (31.78) t (5)=2.776 n=6 R^2=0.996
0.1
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
例8. 集装箱吞吐量与外贸额
2001-2007年中国集装箱吞吐量增长与外贸 额增长的弹性分析.以Y表示集装箱吞吐量 增长率(%),X表示外贸额增长率(%). OLS回归方程为 Y=18.449+0.3155X (2.3982) (1.078) t (5)=2.015 n=7 R^2=0.1887
0.1
例4. 考试分数与出勤率
假如期末考试的分数(score)取决于出勤率 (attend)和影响考试成绩的其他无法观测因素 （如学生能力等）： score= β1+β2 attend+u 许多不加分析的回归发现： 这一回归中β2 〈0，即分数与出勤率负相关. 这一模型在什么情况下满足均值独立条件？ 除非学生学习能力、学习攻击、年龄及其他因素与 出勤率无关，但这几乎不可能.
例3. 静态菲利普斯曲线
时间序列数据 令inf(t)表示年通货膨胀率,unem(t)表示事业率, 下 列菲利普斯曲线假定了一个不变的自然失业率和 固定的通货膨胀率预期. Inf(t)=β1+β2 unem(t)+u 依据1948-1996年美国经济数据, OLS回归方程为 Inf(t)=1.42+0.468 unem(t) (1.72) (0.289) n=49 R^2=0.053
例5. 学校的数学成绩与学校午餐项目
一元线性回归分析案例
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相 关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间 的关系。
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课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
分析：由于问题中要求根 据身高预报体重，因此选 取身高为自变量，体重为 因变量．
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1. 散点图；
2.回归方程： yˆ 0.849x 85.172 身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
本例中, r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们 建立的回归模型是有意义的。
xi2
2
nx
,......(2)
i 1
i 1
其中x
1 n
n i 1
xi ,
y
1 n
n i 1
yi .
(x, y) 称为样本点的中心。
第8页/共39页
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1、回归直线方程
1、所求直线方程叫做回归直线方程；
相应的直线叫做回归直线。
2、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
然后，我们可以通过残差 e1, e2 , , en 来判断模型拟合的效果，
判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 1
2
3
4
5
新教材适用2023_2024学年高中数学第7章统计案例1一元线性回归课件北师大版选择性必修第一册
∧
∧
∧
(2)线性回归方程 Y= + bX 中的只能为正实数.
∧
∧
( √ )
( × )
(3)回归直线 Y= + X 一定过实际观测值(xi,yi)的中心点(, ).
( √ )
(4)任意一组成对数据(xi,yi)都能用直线拟合.
( × )
合作探究 释疑解惑
∧
= − =4-0.7×9=-2.3,
故Y关于X的线性回归方程为Y=-2.3+0.7X.
(2)由Y=-2.3+0.7X知,当X=9时,Y=-2.3+0.7×9=4,故预测当学生的记忆力为
9时,判断力为4.
1.本例条件不变,如果某学生的判断力为4,请预测该学生的记忆力是多少.
解:由Y=-2.3+0.7X知,当Y=4时,由4=-2.3+0.7X,解得X=9.
探究一
直线拟合的判断
【例1】观察两个变量得如表7-1-2所示数据:
表7-1-2
x
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
y
-9
-7
-5
-3
-1
1
5
3
7
9
画出散点图,判断它们是否能用直线拟合.
分析:可设x为自变量,y为因变量,作出散点图直接判断.
解:由数据可得相应的散点图如答图7-1-2:
答图7-1-2
由散点图可知,所有点不在一条直线附近,故不能用直线拟合.
X
0
1
Y
1
3
∧
C.(2,5) D.(2.5,5)
SPSS实现一元线性回归分析实例
SPSS实现一元线性回归分析实例2009-12-14 15:311、准备原始数据。
为研究某一大都市报开设周日版的可行性，获得了34种报纸的平日和周日的发行量信息(以千为单位)。
数据如图1所示。
SPSS17.0图12、判断是否存在线性关系。
制作直观散点图：（1）SPSS：菜单Analyze/Regression/linear Regression,如图2所示：图2 （2）打开对话框如图3图3图3中，Dependent是因变量，Independent是自变量，分别将左栏中的sunday选入因变量，daily选入自变量，newspaper作为标识标签选入case labels.(3)点击图3对话框中的plots按钮，如图4所示：图4将因变量DEPENTENT 选入Y:，自变量 ZPRED 选入X: continue 返回上级对话框。
单击主对话框OK.便生成散点图如图5所示：图5从以上散点图可看出，二者变量之间关系趋势呈线性关系。
2、回归方程菜单Analyze/Regression/linear Regression，在图3对话框的右边单击statistics如图6所示：图6regression coefficient回归系数，estimates估计值，confidence intervals level:95%置信区间，model fit拟合模型。
点击continue返回主对话框，单击OK.结果如图7、图8所示：图7图7中第一个图是变量的输入与输出，从图下的提示可知所有变量均输入与输出，没有遗漏。
图7中的第二图是模型总和R值，R平方值，R调整后的平方值，及标准误。
图8图8中第一图为方差统计图，包括回归平方和，自由度，方程检验F值及P值。
图8第二图为回归参数图，从图中可知，constant为回归方程截距，即13.836，回归系数为1.340，标准误分别为：35.804和0.071，及t检验值和95%的置信区间的最大值和最小值。
一元线性回归分析例题
SPSS一元线性回归分析例题（体检数据中的体重和肺活量的分析）某单位对12名女工进行体检，体检项目包括体重(kg)和肺活量(L)，数据如下：X(体重：kg) 42.00 42.00 46.00 46.00 46.00 50.0050.00 50.00 52.00 52.00 58.00 58.00Y(肺活量：L) 2.55 2.20 2.75 2.40 2.80 2.813.41 3.10 3.46 2.85 3.50 3.00用x表示体重，y表示肺活量，建立数据文件。
利用一元线性回归分析描述其关系。
基本操作提示：Step 1 建立数据文件，并打开该数据文件。
Step 2 选择菜单Analyz e→Regressio n→Linear，打开主对话框。
在“Dependent”(因变量)列表框中选择变量“肺活量”，作为线性回归分析的被解释变量；在“Independent”(自变量)列表框中选择变量“体重”，作为解释变量。
Step 3 单击“Statistics”按钮，在打开的对话框中，依次选择“Estimates”(显示回归系数的估计值)、“Confidence intervals”、“Model fit”(模型拟合)、“Descriptives”、“Casewise diagnostic”(个案诊断)和“All Cases”选项。
选择完毕后，单击“Continue”按钮，返回主对话框。
Step 4 单击“Plots”(图形)按钮，在打开的主对话框中，选择“DEPENDENT”(因变量)作为y轴变量，“*ZPRED”(标准化预测值)作为x轴变量；并在“Standardized Residual Plots”(标准化残差图)中选择“Histogram”(直方图)和“Normal probabilityplot”(正态概率图，即P-P图)选项。
选择完毕后，单击“Continue”按钮，返回主对话框。
Step 5 单击“Save”(保存)按钮，在打开的主对话框中，在“Predicted Values”(预测值)选项区域中选择“Unstandardized”和“S. E. ofmean predictions”(预测值均数的标准误差)选项；“PredictionIntervals”(预测区间)选项区域中选择“Mean”和“Individual”选项；“Residuals”(残差)选项区域中选择“Unstandardized”选项。
一元线性回归案例
8.5一元线性回归案例一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
2、过程与方法 本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R 的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。
3、情感、态度与价值观 通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。
加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。
教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。
体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。
培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。
教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
四、教学策略： 教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
一元线性回归模型案例
一元线性回归模型案例一元线性回归模型是统计学中最基本、应用最广泛的一种回归分析方法，可以用来探究自变量与因变量之间的线性关系。
一元线性回归模型的数学公式为：y = β0 + β1x，其中y表示因变量，x表示自变量，β0和β1分别为截距和斜率。
下面以一个实际案例来说明一元线性回归模型的应用。
假设我们有一组数据，其中x表示一个房屋的面积，y表示该房屋的售价，我们想利用一元线性回归模型来预测房屋的售价。
首先，我们需要收集一组已知数据，包括房屋的面积和售价。
假设我们收集了10个不同房屋的面积和售价数据，如下所示：房屋面积（x）（平方米）售价（y）（万元）80 12090 130100 140110 150120 160130 170140 180150 190160 200170 210我们可以根据这组数据绘制散点图，横坐标表示房屋面积x，纵坐标表示售价y，如下所示：（插入散点图）接下来，我们可以利用最小二乘法来拟合一条直线，使其能够最好地拟合这些散点。
最小二乘法是一种最小化误差平方和的方法，可以得到最优的拟合直线。
根据一元线性回归模型的公式，可以通过计算拟合直线的斜率β1和截距β0来实现最小二乘法。
其中，斜率β1可以通过下式计算得到：β1 = n∑(xiyi) - (∑xi)(∑yi)n∑(xi^2) - (∑xi)^2截距β0可以通过下式计算得到：β0 = (1/n)∑yi - β1(1/n)∑xi通过带入已知数据，我们可以计算得到斜率β1和截距β0的具体值。
在本例中，计算结果如下：β1 ≈ 1.0667β0 ≈ 108.6667最后，利用得到的斜率β1和截距β0，我们可以得到一元线性回归模型的具体公式为：y ≈ 108.6667 + 1.0667x我们可以利用这个回归模型进行预测。
例如，如果有一个房屋的面积为130平方米，那么根据回归模型，可以预测该房屋的售价为170 + 108.6667 ≈ 278.6667万元。
2.4-5 一元线性回归的预测及实例
区间估计思想： 区间估计思想：构造一个已知概率的统计量（如t分布的统 计量）该统计量包含Y0的真实均值和估计量，再将该统计 量取值的置信区间转化为Y0真实均值的置信区间
6
总体条件均值与个值预测值的区间估计 构造统计量
已知
Y0 = β 0 + β 1 X 0
2 ~ N (β , σ ) β1 1 ∑ xi2
E (Y0 ) = E ( β 0 + β 1 X 0 ) = E ( β 0 ) + X 0 E ( β 1 ) = β 0 + β 1 X 0
4
举例
所建立的家庭可支配收入利用 P34 例2.2.1 所建立的家庭可支配收入-消费支出 模型，求家庭可支配收入为6000 6000元时家庭消费支出均值 模型，求家庭可支配收入为6000元时家庭消费支出均值 和个值的预测值。 和个值的预测值
Y0 ( β 0 + β 1 X 0 ) t= ~ t (n 2) S Y
0
其中
S Y
0
1 (X 0 X )2 = σ ( + ) 2 n ∑ xi
2
Why?
8
置信区间的构造过程： 置信区间的构造过程：
易得：
P( t α < t < t α ) = 1 α
2 2
即
等价于
进而 于是，在1-α的置信度下，总体均值 总体均值E(Y|X0)的置信区间为 总体均值 的置信区间为
由P35 表2.2.1 可得： 可得：
10
解续： 解续： 进而，可求得： 进而，可求得：
E(Y|6000)预测值 预测值95%的置信区间为 预测值 的置信区间为
即
11
总体个值预测值的区间估计
一元线性回归模型案例
⼀元线性回归模型案例第⼆章⼀元线性回归模型案例⼀、中国居民⼈均消费模型从总体上考察中国居民收⼊与消费⽀出的关系。
表2.1给出了1990年不变价格测算的中国⼈均国内⽣产总值（GDPP）与以居民消费价格指数（1990年为100）所见的⼈均居民消费⽀出（CONSP）两组数据。
1) 建⽴模型，并分析结果。
输出结果为：对应的模型表达式为：201.1070.3862CONSP GDPP =+(13.51) (53.47) 20.9927,2859.23,0.55R F DW ===从回归估计的结果可以看出，拟合度较好，截距项和斜率项系数均通过了t 检验。
中国⼈均消费增加10000元，GDP 增加3862元。
⼆、线性回归模型估计表2.2给出⿊龙江省伊春林区1999年16个林业局的年⽊材采伐量和相应伐⽊剩余物数据。
利⽤该数据（1）画散点图；（2）进⾏OLS 回归；（3）预测。
表2.2 年剩余物y 和年⽊材采伐量x 数据（1）画散点图先输⼊横轴变量名，再输⼊纵轴变量名得散点图（2）OLS估计弹出⽅程设定对话框得到输出结果如图：由输出结果可以看出，对应的回归表达式为：0.76290.4043t t yx =-+ (-0.625) (12.11)20.9129,146.7166, 1.48R F DW === （3）x=20条件下模型的样本外预测⽅法⾸先修改⼯作⽂件范围将⼯作⽂件范围从1—16改为1—17确定后将⼯作⽂件的范围改为包括17个观测值，然后修改样本范围将样本范围从1—16改为1—17打开x的数据⽂件，利⽤Edit+/-给x的第17个观测值赋值为20将Forecast sample选择区把预测范围从1—17改为17—17，即只预测x=20时的y的值。
由上图可以知道，当x=20时，y的预测值是7.32，yf的分布标准差是2.145。
三、表2.3列出了中国1978—2000年的参政收⼊Y和国内⽣产总值GDP的统计资料。
一元线性回归模型案例
运用一元线性回归模型所做的预测0911554 经济系 XXX一．提出问题：对某市城镇居民年人均可支配收入X ，研究它与年人均消费性支出Y 之间的关系。
二．建立模型：消费性支出除受可支配收入的影响之外，还受到其它变量及随机因素的影响，将其它变量及随机因素的影响均归并到随机变量u 中； 根据X 与Y 的样本数据，可做二者的散点图：4005006007008009001,0001,1001,2001,300XY可知，二者变化趋势是线性的，由此建立两者之间的一元线性回归模型Y i =0β+1βX i +u i模型的假设条件：（1） 随机误差项u i 是随机变量，服从正态分布，且E(u i )=0，Var(u i )=2u σ；（2） (,)0i j Cov u u =，i≠j,即随机误差项u 无序列相关； （3） 解释变量X 与随机项u 不相关，即Cov(u i ,X i )=0。
三．估计结果：由样本观测数据（见附录1），样本回归模型为Y t =0ˆβ+1ˆβX t +e t 通过Eviews 软件估计一元线性回归模型，可得样本回归方程为ˆt Y=135.31+0.69X t （5.47）（28.04）， r 2=0.98括号内数字为回归系数对应的t 统计量的值。
（见附录2） 四．评价模型： （1）结构分析1ˆβ=0.69是样本回归方程的斜率，它表示该市城镇居民的消费倾向，说明年人均可支配收入每增加1元，将0.69元用于消费性支出；0ˆβ=135.31是样本回归方程的截距，表示不受可支配收入影响的自发消费行为。
1ˆβ和0ˆβ的符号和大小，均符合经济理论及目前该市的实际情况。
（2）拟合优度：r 2=0.98，说明总离差平方和的98%被样本回归直线解释，仅2%未被解释。
因此样本回归直线对样本点拟合优度很高。
五．预测：分别给出1999年、2000年该市人均可支配收入为X 1999=1763元，X 2000=1863元。
案例：一元线性回归模型实现
一元线性回归模型：案例分析下面用一个实例对本章内容作一简单回顾。
我们将收集中国财政收入和国内生产总值在1978~2006年间的历史数据，然后建立两者的一元线性回归模型，并用最小二乘法对其中的参数进行估计，最后对模型进行一些必要的检验。
一、中国财政收入和国内生产总值的历史数据由经济学等相关学科的理论我们知道，国内生产总值是财政收入的来源，因此财政收入在很大程度上由国内生产总值来决定。
为了考察中国财政收入和国内生产总值之间的关系，我们收集了中国财政收入和国内生产总值在1978~2005年间的历史数据，如表 2.4.1所示。
表2.4.1中国财政收入和国内生产总值数据表单位：亿元年份财政收入(Y) 国内生产总值(X) 年份财政收入(Y) 国内生产总值(X)1978 1132 3624 1992 3483 266521979 1146 4038 1993 4349 345611980 1160 4518 1994 5218 466701981 1176 4860 1995 6242 607941982 1212 5302 1996 7408 711771983 1367 5957 1997 8651 789731984 1643 7207 1998 9876 844021985 2005 8989 1999 11444 896771986 2122 10201 2000 13395 992151987 2199 11955 2001 16386 1096551988 2357 14922 2002 18904 1203331989 2665 16918 2003 21715 1358231990 2937 18598 2004 26396 1598781991 3149 21663 2005 31628 183868我们以X为横轴，Y为纵轴将这些数据的描绘在二维坐标图上，得到如下的散点图(图2.4.1 )。
9.7一元线性回归分析实例应用
ˆ1
n
n
n
n X iYi X i Yi
i 1
i1 i1
n
n
n
X
2 i
(
Xi )2
i 1
i 1
301632.78 193.60 251.48 301258.85 (193.60)2
1.043
ˆ0 Y ˆ1X 8.38 1.043 6.45 1.649
销售量/百万支
7.38 8.51 9.52 7.50 9.33
… 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26
X
广告费用/百万元
5.50 6.75 7.25 5.50 7.00
… 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80
一元线性回归分析应用
解
X 表示广告费用，Y 表示牙膏销售量。利用观察数据计算得到：
一元线性回归分析应用
解
广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为：
Yˆi 1.649 1.043Xi
回归系数 ˆ1 1.043 表示广告费用每增加1百万元，牙膏销售量 平均增加1.043百万支；广告费用每减少1百万元，牙膏销售量平均减少 1.043百万支。
一元线性回归分析应用
解
判定系数
n
R2
解
牙膏销售量的点预测为 1.649 1.0436.75 8.69 （百万支）
当广告费用投入为6.75百万元时，根据建立的一元线性归回方程 预测该公司牙膏的销售量为8.69百万支。
一元线性回归分析应用
图 “回归”工具输出结果
小结
1. 一元线性回归分析实例 2. 一元线性回归分析应用
8.5一元线性回归案例2
x
i 1
2
i
nx
2
（2）相应的直线叫做回归直线。 （3）对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。
（注意回归直线一定经过样本点的中心）
若点（ xi ， yi ）的分布趋于一条直线，则 xi 与 yi 满足以下 关系式：
yi bxi a ei , i 1,2, , n
x 159.8, y 172,
x
i 1
2 i
265448,
10
i 1 10
y
2 i
312350,
i 1
i
10
xy
i
2
i
287640
于是，r
x y 10 x y
i 1 i 2 10 i 1 2 i
( x 10 x )( y 10 y )
现在问： （1）随着机动船的数量的增加，被撞死的海牛数是否会增加？ （2）当机动船增加到 750 只，被撞死的海牛会是多少？
解： （1）首先画出案例一相应的散点图：
60 50 40 30 20 10 0
400
450
500
550
600
650
700
750
i
xi
yi
xi yi
xi
2
yi
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
447 460 481 498 513 512 526 559 585 614 645 675 711 719
13 21 24 16 24 20 15 34 33 33 39 43 50 47
5811 9660 11544 7968 12312 10240 7890 19006 19305 20262 25155 29025 35550 33793
一元线性回归模型案例
一元线性回归模型案例一元线性回归是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究一个自变量和一个因变量之间的线性关系。
在本文中，我们将通过一个实际案例来介绍一元线性回归模型的应用和分析过程。
案例背景：假设我们是某家电商平台的数据分析师，我们希望通过用户的年龄来预测其在平台上的消费金额。
我们收集了100位用户的年龄和其在平台上的消费金额的数据，现在我们希望利用一元线性回归模型来分析这些数据，以便更好地了解用户消费行为。
数据分析：首先，我们需要对收集到的数据进行初步的分析。
我们可以使用散点图来观察年龄和消费金额之间的关系。
通过观察散点图，我们可以初步判断年龄和消费金额之间是否存在线性关系，以及线性关系的方向和强度。
模型建立：在确认了年龄和消费金额之间存在线性关系后，我们可以建立一元线性回归模型。
模型的基本形式为，Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量（消费金额），X表示自变量（年龄），β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
我们需要通过最小二乘法来估计β0和β1的值，从而建立回归方程。
模型评价：建立回归模型后，我们需要对模型进行评价。
我们可以通过计算回归方程的拟合优度R^2来评价模型的拟合程度，R^2的取值范围为0到1，值越接近1表示模型拟合得越好。
此外，我们还可以利用残差分析来检验模型的假设是否成立，以及检验模型的稳健性和可靠性。
预测分析：最后，我们可以利用建立的回归模型进行预测分析。
通过输入不同年龄的值，我们可以利用回归方程来预测用户在平台上的消费金额。
预测分析可以帮助电商平台更好地了解不同年龄段用户的消费特点，从而制定针对性的营销策略和服务方案。
结论：通过以上一元线性回归模型的应用分析，我们可以得出结论，用户的年龄和在平台上的消费金额之间存在一定的线性关系，通过建立回归模型，我们可以对用户的消费金额进行预测和分析。
这对于电商平台来说具有重要的参考价值，可以帮助平台更好地了解用户消费行为，从而提升用户体验和增加销售额。
一元线性回归模型案例分析
一元线性回归模型案例分析一、研究的目的要求居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。
居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。
改革开放以来随着中国经济的快速发展，人民生活水平不断提高，居民的消费水平也不断增长。
但是在看到这个整体趋势的同时，还应看到全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。
例如，2002年全国城市居民家庭平均每人每年消费支出为6029.88元, 最低的黑龙江省仅为人均4462.08元，最高的上海市达人均10464元，上海是黑龙江的2.35倍。
为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。
影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，居民的收入水平、就业状况、零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。
为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
二、模型设定我们研究的对象是各地区居民消费的差异。
居民消费可分为城市居民消费和农村居民消费，由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。
而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城市居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。
所以模型的被解释变量Y 选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。
因为研究的目的是各地区城市居民消费的差异，并不是城市居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城市居民的消费支出来建立模型。
因此建立的是2002年截面数据模型。
影响各地区城市居民人均消费支出有明显差异的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入，其他因素虽然对居民消费也有影响，但有的不易取得数据，如“居民财产”和“购物环境”；有的与居民收入可能高度相关，如“就业状况”、“居民财产”；还有的因素在运用截面数据时在地区间的差异并不大，如“零售物价指数”、“利率”。