平面图形的面积

类似的，定义f(x)在 -，b的广义积分


b

f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b
定义f(x)在 -， 的广义积分

f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a b c
c
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限不存在时，称广义积分发散.
3 2
y x3 6x
y x2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
2 3 3
253 . 12 说明：适当时候要分区间
问题： 积分变量只能选 x 吗？
例 3
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围
成的图形的面积.
4.5 定积分的应用
主要内容
反常积分
面积、体积、弧长计算
在经济、社会科学中的应用
反常积分
1 求由y 2 , x轴及x 1所围成的 x
“无穷曲边梯形”面积
b 1
lim

b
dx 2 1 x
1
b
方法：
1）先求有限区间面积
2）取极限
一、广义积分定义
定义 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续，取
1 u2 ( ) 2 e du. 2 2 0 2
概率密度 f ( x )
1 2
e
x2 2


1 2

e
x2 2
dx 1
微元法
应用方向：平面图形的面积、旋转体体积、平 面曲线的弧长；变力做功；水压力；引力和平 均值等．
面积、体积、弧长的计算
微元法
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边图形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
例 1 计算由两条抛物线y x 和 y x 所围成的

1 u2 ( ) 2 e du. 2 0 2
(s) x e dx, s 0
s 1 x 0

性质4
(s)的其他形式
2 2 s 1 u2 0
令x u , 有( s ) 2 u
e
du,


0
xe
t x2
dx
1 t 1 ( ) 2 2
y x4
性质2 性质3
( s 1) s( s ) (n 1) n!
当s 0 时, ( s) 。

(s) x e dx, s 0
s 1 x 0

性质4
(s)的其他形式
2 2 s 1 u2
令x u , 有( s ) 2 u e du, 0 1 t 再令 2s 1 t , 或s , 则有 2 1 t 1 t u x2 x e dx u du 2 ( 2 ) 0
pa e e px , lim p b p a ,
b
p0 p0
函数
s 1 x 广义积分 ( s) x e dx, s 0 定义 0
称为 函数
且 性质1 (s)在s 0时是收敛的， 函数在定义域源自文库是连续 的。
b
1 , p1 ,
p1 p1
例3 计算广义积分 解:
0



dx . 2 1 x
dx dx 原式 2 1 x 0 1 x2 0 b dx dx lim lim 2 a a 1 x b 0 1 x 2
1
1 dx 例 2 证明广义积分 1 p x 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散.

解:


1
b 1 1 dx lim p dx p b 1 x x
x lim b 1
1 p
1 p b 1 blim 1 p p 1
b b
b a ， 若 lim f ( x )dx 存 在 ， 则 称 它 为 函 数 a
f ( x ) 在[a , ) 上的广义积分，记作a f ( x )dx .

a

f ( x )dx lim a f ( x )dx
b
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限不存在，称广义积分发散.
2 2
图形的面积.
解 : 两曲线的交点坐标为 (1,1).
x y2 y x2
A ( x x )dx
2 0
1
2 1 31 1 [ x x ]0 . 3 3 3
3 2
例 2
计算由曲线 y x 6 x 和 y x 所围成
3 2
的图形的面积.
解
0
A A1 A2
limarctanx limarctanx
a 0 a b
b 0

例4
证明广义积分 a e px dx 当 p 0 时收敛，

当 p 0 时发散.
解:
a

e
px
dx
lim e px dx
b a
b
1 b px lim( ) e d ( px) b p a
例1 计算广义积分 解:

b

2
1 1 cos dx. 2 x x
原 式 lim 2
b b

1 1 cos dx 2 x x
1 1 lim 2 cos d ( ) b x x 1 b lim[ sin ] 2 b x
1 lim(1 sin ) b b
曲边梯形求面积的问题
任一小区间 [ x , x x ]
y
f ( x)dx
y f ( x)
dA
面 积 元 素
，
A dA f ( x)dx

b
a
dA f ( x)dx
a
b
o a x x dx bx
此方法称为微元法
平面图形的面积问题
1）直角坐标系情形
2）极坐标系情形
(1)直角坐标系情形