平面图形的面积
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
《平面图形的面积》课件
contents
目录
• 引言 • 平面图形的面积基础知识 • 矩形面积的计算 • 三角形面积的计算 • 圆形面积的计算 • 多边形面积的计算 • 总结与回顾
01
引言
课程简介
平面图形面积的概念
介绍平面图形面积的基本概念，包括长方形、正方形、三角形、圆形等。
面积计算的意义
实际应用案例分析
通过分析一些实际应用案例，让学生更好地理解 平面图形面积在现实生活中的应用，并培养他们 解决实际问题的能力。
感谢形面积的计算公式
三角形面积的计算公式
面积 = (底 × 高) ÷ 2。
公式推导
通过将三角形划分为两个直角三角形，利用直角三角形的面积公式 推导得出。
适用范围
适用于所有三角形，无论是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角 形。
计算三角形的面积
01
02
03
确定底和高
根据题目或图形信息，确 定三角形的底和高。
总结词
准确、权威
详细描述
在国际单位制中，面积的单位是平方米，符号为m²。其他常用的面积单位还有平方厘米、平方分米、公顷、平方 千米等。
面积的计算公式
总结词
全面、准确
详细描述
对于不同的平面图形，有不同的面积计算公式。例如，矩形面积 = 长 × 宽，圆形面积 = π × r²（其 中r为半径），三角形面积 = 0.5 × 底 × 高。这些公式是计算平面图形面积的基础。
在给定的圆中，确定半径的长度 。
代入公式
将半径的长度代入圆的面积公式中 ，计算出圆的面积。
结果表示
将计算出的面积值表示在相应的位 置上。
圆形面积的应用
计算圆的周长
平面图形的周长和面积计算公式
小学数学图形计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长X4
字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长＞边长
字母表示为：S=a X a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C 表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）冷
公式：C= （a+b）X
长方形的面积=长＞宽
字母表示为：S=a X b
三、三角形（s面积a底h高）
三角形的面积二底＞高煜
字母表示为：s=a 0吃
三角形的高二面积＞2殒
字母表示为：h = s ＞为
三角形的底二面积＞2嘀
字母表示为：a = s ＞讳
四、平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积二底為
字母表示为：S= a ＞h
平行四边形的高=面积殒
字母表示为：h= s为
平行四边形的底=面积嚅
字母表示为：a= s讳
五、梯形（s表示面积，a表示上底，b 表示下底，h表示高。
）
梯形的面积=（上底+下底）嘀吃字母表示为：s=（a+b） Xi £
梯形的（上底+下底）=面积X2嘀字母表示为：a+b = s ^2讳
梯形的高=面积^2* （上底+下底）字母表示为：h = s ^2为+b。
平面图形面积计算
平面图形面积计算在几何学中，计算平面图形的面积是一个基本的技能。
无论是为了日常生活中的测量，还是在数学领域求解问题时，正确计算平面图形的面积都是必不可少的。
本文将针对常见的平面图形，介绍如何计算它们的面积。
一、矩形的面积计算矩形是最简单的平面图形之一，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
假设一矩形的长为L，宽为W，则该矩形的面积为 L × W。
二、正方形的面积计算正方形是特殊的矩形，其四条边长度相等。
正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长，或者面积 = 边长的平方。
假设一正方形的边长为A，则该正方形的面积为 A × A，或者 A²。
三、三角形的面积计算三角形是常见的平面图形，其面积计算需要根据已知的边长、高或底边及高来计算。
常用的面积计算公式有以下三种：1. 面积 = 1/2 ×底边 ×高假设一个三角形的底边长为B，高为H，则该三角形的面积为 1/2 ×B × H。
2. 面积 = (a × h) / 2假设一个三角形的底边长为a，高为h，则该三角形的面积为 (a × h) / 2。
3. 海伦公式对于已知三个边长的三角形，我们可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式的形式为：面积= √[s × (s-a) × (s-b) × (s-c)]其中，s 是三角形半周长，即s = (a + b + c) / 2，a、b、c 分别为三角形的三个边长。
四、圆的面积计算圆是一种特殊的平面图形，其面积计算需要使用圆周率π。
圆的面积计算公式为：面积= π × 半径的平方。
假设一个圆的半径为R，则该圆的面积为π × R²。
五、梯形的面积计算梯形是有两个平行底边的四边形，其面积计算需要使用梯形的上底、下底和高。
梯形的面积计算公式为：面积= (上底+ 下底) ×高的一半。
平面图形的面积
= 2∫
π
0
1 + a cos xdx ,
2 2
设椭圆的周长为 s 2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
π
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
= 2∫
0
π
(sin t )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
0
1 + a 2 cos 2 t dt
= 2∫
π
0
1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
0 x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 xy ′ = y 2 y′ 1 积分 ⇒ 2 ln | y |= ln | x | + c 1 = ⇒ y x
∴ y = cx , 其中c = ± e .
2
c1
9 ∴ y = x , 因为 f ( x ) 为单调函数 2 3 2x. 所以所求曲线为 y = 2
例 3
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
4
y ∈ [−2, 4] −
y2 dy = 18. A = ∫ y+4− −2 2
x = 1+sh dx =ch dx c c b x sh x b ∴ s =2∫ ch dx =2c c 0 0 c xb 1 x = 2csh (cch )′ =c⋅ sh c c c c
面积的测量与计算
面积的测量与计算面积是指平面图形所占据的空间大小，是一个重要的数学概念。
在日常生活和各个领域中，我们经常需要测量和计算面积。
本文将介绍常见平面图形的测量和计算方法，并提供一些实际应用的例子。
一、正方形的面积测量与计算正方形是一种边长相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长。
例如，假设一块正方形地板的边长为5米，我们可以通过将地板划分为1米乘1米的小方块，然后将这些小方块的数量相加，来测量地板的面积。
在这种情况下，地板的面积为5米 × 5米 = 25平方米。
二、长方形的面积测量与计算长方形是一种两对边分别相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
例如，假设一块长方形花坛的长度为6米，宽度为3米，我们可以直接将长度和宽度相乘，来计算花坛的面积。
在这种情况下，花坛的面积为6米 × 3米 = 18平方米。
三、三角形的面积测量与计算三角形是一种有三个边和三个角的多边形，它的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。
例如，假设一个三角形的底边长度为8米，高为4米，我们可以将底边长度和高相乘，再除以2，来计算三角形的面积。
在这种情况下，三角形的面积为（8米 × 4米）÷ 2 = 16平方米。
四、圆的面积测量与计算圆是由一条闭合曲线围成的平面图形，它的面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径（其中π的近似值为3.14）。
例如，假设一个圆的半径为5米，我们可以将半径的平方乘以π，来计算圆的面积。
在这种情况下，圆的面积为3.14 × 5米 × 5米 = 78.5平方米（近似值）。
五、实际应用例子面积的测量和计算在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些实际应用例子：1. 建筑业：在房屋建设中，建筑师需要测量房间的面积，以确定合适的家具和装饰品。
2. 农业：农民需要测量农田的面积，以确定种植作物的数量和施肥的比例。
小学五年级数学 平面图形的面积计算
算法（2）：12×5÷2=30（平方厘米）
× 算法（３）：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
练习：选取有效的条件进行计算它们的面积。（单位：厘米）
５ ４ ８
５
８
１２
６ ５ １０
８ ４
１、平行四边形面积：８×４＝３２（平方厘米） ２、梯形面积：（８＋１２）×４÷２＝４０（平方厘米） ３、三角形面积：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
Байду номын сангаас
练习： １２
６分米
（？）
１０
５米
Ｓ＝１０平方米
（１）： ６×１０÷１２＝５（分米） 或：１２x＝６×１０
（２）： ５x÷２＝１０ 或：１０×２÷５＝４（米）
1.5米
2米
3米
(1)求梯形面积: (1.5+2)×3÷2=5.25(平方米)=525(平方分米) (地板面积)
(2)求地砖面积: 20×20=400(平方厘米) =4(平方分米) (3)单位转换:(想一想) (4)求砖的块数: 525÷4=131.25≈132(块)
长方形、正方形 平行四边形 三角形 梯形
长方形
长方形面积=长×宽
S=ab
平行四边形
平行四边形面积=底×高
S=ah
正方形
正方形面积=边长×边长 S=a 2（a的平方）
三角形
三角形面积=底×高÷２
S=ah÷２
梯形
梯形面积=（上底＋下底）×高÷２
S=（a＋b）h÷2
练习：求下面图形的面积
单位：厘米
12 65
平面图形的面积公式
三、三角形
1-复制一个同样的三角形
2-将复制的旋转180度
3-拼成一个平行四边形，就可以按平行四 边形面积的一般计算三角形的面积
四、梯形
1-复制一个同样的梯形
2-将复制梯形旋转180度
3.和原梯形拼成一个平行四边形，按新平 行四边形的一半计算面积
4-加一辅助线（红线），将梯形分成两个 三角形更简单
平面图形的面积公式
目录
一、长方形-矩形 二、平行四边形 三、三角形 四、梯形 五、圆形
一、长方形-矩形
长方形的面积等于底×高
二、平行四边形
1-沿高剪切平行四边形
2-形成一个直角三角形和一个直角梯形
3-将剪下的直角三角形粘到另一边
4-形成一个长方形，就可以按长方形面积 公式计算面积
五、圆形
三角形是最简单的平面 图形，任何一个平面图 形的ห้องสมุดไป่ตู้积都可以拆成很 多个三角形计算
1.计算原的面积就是把圆拆成无数三角形， 在拼接成一个平行四边形
2.平行四边形的长等于一半圆周，高等于 半径，按平行四边形公式就可以求圆面积
三角形是最简单的平面 图形，任何一个平面图 形的面积都可以拆成很 多个三角形计算
第24讲 , 平面图形的面积
第24讲平面图形的面积【探究必备】日常生活中我们经常计算各种图形的面积。
以前我们学习过长方形和正方形面积的计算，对于平行四边形、三角形和梯形我们可以用转化的方法把它们分别转化成已经学过的图形，从而推导出它们的面积公式。
计算平行四边形和三角形的面积时，关键是要找准底和高，计算它们的面积时底和高必须对应，即用于计算面积的底和高是互相垂直的。
三角形、梯形与平行四边形的关系：1. 两个完全相同的三角形或梯形可以拼成一个平行四边形。
2. 三角形或梯形的面积等于与它等底等高平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于与它等底等高的三角形或梯形面积的2倍。
3. 面积相等、高相等的三角形的底是平行四边形的2倍；面积相等、底相等的三角形的高是平行四边形高的2倍。
组合图形是由两个或两个以上的简单平面图形，通过拼合、重叠或位移变换后，组合成的较复杂的图形。
正确求出组合图形的面积要注意以下几点：1. 切实掌握有关简单图形的概念、公式、牢固建立空间观念。
2. 仔细观察，认真思考，看清组合图形由哪些基本图形组合而成的。
3. 常用的解题方法有分解法和割补法。
对于较复杂的组合图形，还要用到图形转换，把其中一部分图形进行平移、翻折、旋转、对称变换，使问题化难为易。
常需要画出辅助线，标出图形各部分之间的关系。
【王牌例题】例1、一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是多少平方分米？分析与解答：平行四边形的面积=底×高，要求平行四边形的面积关键是先求出平行四边形的高，因为高是底的2倍，所以它的高为9×2=18（分米），故它的面积是9×18=162（平方分米）。
例2、一个平行四边形的停车场，底是63米，高是25米。
平均每辆车占地15平方米，这个停车场可以停车多少辆？分析与解答：这是一道关于平行四边形面积的应用问题。
要求这个停车场可以停车多少辆，由于平均每辆车占地15平方米，首先应求出这个停车场有多少平方米，也就是求它的面积，即它的面积为63×25=1575（平方米），由于由于平均每辆车占地15平方米，因此这个停车场可以停车1575÷15=105（辆）。
平面图形面积的计算
第一讲 平面图形面积知识平台：1．常见的几种规则图形（1）三角形定义：由三条线段首尾直接围成的图形叫做三角形。
锐角三角形（三个角都是锐角） 三角形直角三角形（有一个角是直角）（按角分） 钝角三角形（有一个角是钝角）不等边（腰）三角形三角形 只有两条边相等的三角形（按边分） 等腰三角形等边三角形直角梯形梯形 等腰梯形长方形四边形 平行四边形 菱形2．面积计算公式（1）三角形（2）四边形范例点击例1 已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分面积。
阴影部分的面积为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积。
52+32-52÷2-（5+3）×3÷2=9。
5平方厘米例2 如图，已知BCEF 是平行四边形，三角形ABC 是直角三角形，BC 长8厘米，AC 长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，求HC 的长度是多少？阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，则平行四边形面积比三角形ABC 的面积大12平方厘米。
求出平行四边形面积后就可求出平行四边形的高。
8×7÷2+12=40平方厘米 40÷8=5厘米。
例3 如图，已知阴影部分的面积为120平方厘米，P 、M 分别是AB 、BC 的中点，长方形宽是16厘米，求长方形的长是多少？若以三角形BPM 的面积为一个单位，三角形ADP 和三角形CDM 的面积均为三角形BPM 的2倍，而长方形面积是三角形BPM 的8倍，那么阴影部分面积是三角形BPM 的3倍，A B C D E FH所以，长方形面积为：120÷3×8=320平方厘米，可求出长方形的长：320÷16=20厘米。
例4 如图，长方形ABCD 中，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的面积比三角形DEF 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少厘米？三角形ABF 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米，则有长方形ABCD 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米。
平面图形面积的整理与复习
1
20
3 1
3 12
a
h b S＝ 21(a＋b)h
s＝a2 a
h a
s＝ah a
b
S＝ab
h
S＝
1 2
ah
a
r S＝ πr 2
1厘米
面积是1平方厘米
1厘米
宽：有几排
长：每排有几个
长方形的面积＝长×宽
S＝ab
1厘米 面积是1平方厘米
1厘米
正方形的面积＝边长×边长
S＝a2
a h
长方形的面积＝长×宽 平行四边形的面积＝ 底×高
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
C 2
＝
πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽
所以: 圆 的 面 积 = πr × r ＝ πr 2
a b
S＝ab
s＝a2
a
h
h
Sa＝a 21 ah
a s＝ah
r
h S＝b21(a＋b)h
S＝ πr 2
想做这样一个红色标志牌，你能 算出它的面积吗？
12厘米
6厘米
74厘厘米米
2厘米
170厘厘米米 （1）这个梯形的面积是多少？ （4+10）×2÷2=14（平方厘米） （2）如果梯形的上底增加3厘米，下底 减少3厘米，得到的图形的面积是多少？ 你发现了什么？ （7+7）×2÷2=14（平方厘米）
74厘厘米米
2厘米
170厘厘米米 （1）这个梯形的面积是多少？ （4+10）×2÷2=14（平方厘米） （2）如果梯形的上底增加3厘米，下底 减少3厘米，得到的图形的面积是多少？ 你发现了什么？ （7+7）×2÷2=14（平方厘米）
平面图形面积计算公式
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C＝4aS＝a2
长方形
a和b－边长
C＝2(a+b)S＝ab
三角形
a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角个中s＝(a+b+c)/2
S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)
四边形
d,D－对角线长α－对角线夹角
S＝dD/2·sinα
平行四边形
a,b－边长h－a边的高α－双方夹角
S＝ah ＝absinα
菱形
a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长
S＝Dd/2 ＝a2sinα
梯形
a和b－上.下底长h－高m－中位线长
S＝(a+b)h/2 ＝mh
圆
r－半径d－直径
C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4
球台
r1和r2－球台上.下底半径h－高
V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体
R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径
V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4
桶状体
D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高
V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中间) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)扇形ຫໍສະໝຸດ r—扇形半径a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)
弓形
l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数
S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3
所围成的平面图形的面积
所围成的平面图形的面积
平面图形是由线条、弧线和圆弧所组成的几何形状，并且以点和直线构成它们的边界，主要用于数学分析和描绘一些特定图形。
从其形式上来讲，平面图形可以分为几何图形和统计图形两类。
几何图形一般指通过平移、旋转或对称等等方法可以构成的图形，例如矩形、正方形、三角形等；而统计图形则主要用于可视化统计数据、显示它们间的相关性，例如条形图、饼图、折线图等。
所围成的平面图形的面积是以某种几何图形为基础，求解它所围成的平面图形的面积。
例如，对于一个类似三角形的平面图形，可以利用三角形面积公式来求解；而对于一个类似正方形的平面图形，就可以直接求解它的面积。
在实际的数学计算过程中，计算所围成的平面图形的面积通常会有不同的方法。
对于一般的图形，可以通过直接计算它的边界长度来求解，而对于曲线与圆弧的平面图形，则可以利用角度来求解；而对于复杂的平面图形，则可以通过采用不同的几何公式来解决问题。
此外，由于计算所围成的平面图形的面积过程中，需要对不同的图形进行抽象，因此我们也可以采用一些特殊的图形理论来帮助我们快速和准确地计算各种多边形和圆弧的面积。
例如，我们可以利用拓扑学来求解一些复杂的几何图形的面积，例如把一个复杂的图形划分为几个正多边形或者正圆形，各自用它们的面积公式来计算，然后把各自的结果加起来得到最终结果。
此外，由于所围成的平面图形的面积可能由多种元素构成，因此
我们还可以采用分形几何和变分技术来求解，这就能够帮助我们计算出比较复杂的形状图形的面积了。
总之，计算所围成的平面图形的面积常常会涉及到很多不同的方法和公式，因此，必须要掌握一定的几何知识，才能够准确地计算出各种多边形和圆弧的面积。
小学常用平面图形公式
常用平面图形公式
2017、6、15制版2022、3、15编辑打印
C= πd ；d = C ÷π或C=2πr ；
r=c÷π÷2
S圆=πr²r²=S÷π
S圆=π（ ）²（r=c÷π÷2）
S圆=π（c÷π÷2）²
圆周长
的一半：
等于圆的周长÷2
计算方法：2πr ÷ 2
即C半周长=πr
环形
（外圆的面积减去内圆的面积）
S环= πR²－πｒ²
S环= π（R²－ｒ²）
半圆
C半圆=πr＋2r=（π＋2）r
计算公式：C半圆=5.14 r
r= C半圆÷5.14
S半圆= S圆÷2
S半圆=πr²÷2=π（ ）²÷2
=π（c÷π÷2）内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π（圆面积是正方形面积的78.5％）S圆内正方形=2 r²S圆外正方形=4 r²
S圆外正方形∶ S圆内正方形=2:1S圆外正方形∶ S圆=4∶π S圆内正方形∶ S圆=2∶π
图形
周长
面积
正方形
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a=a²
长方形
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
平行
四边形
四条边之和
面积=底×高 s=ah
梯形
四条边之和
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)× h÷2
三角形
三条边之和
面积=底×高÷2 s=ah÷2
圆形
圆与正方形、长方形周长与面积关系
当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
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类似的，定义f(x)在 -，b的广义积分
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b
定义f(x)在 -， 的广义积分
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a b c
c
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限不存在时，称广义积分发散.
2 2
图形1,1).
x y2 y x2
A ( x x )dx
2 0
1
2 1 31 1 [ x x ]0 . 3 3 3
3 2
例 2
计算由曲线 y x 6 x 和 y x 所围成
3 2
的图形的面积.
解
0
A A1 A2
pa e e px , lim p b p a ,
b
p0 p0
函数
s 1 x 广义积分 ( s) x e dx, s 0 定义 0
称为 函数
且 性质1 (s)在s 0时是收敛的， 函数在定义域内是连续 的。
1 u2 ( ) 2 e du. 2 2 0 2
概率密度 f ( x )
1 2
e
x2 2
1 2
e
x2 2
dx 1
微元法
应用方向：平面图形的面积、旋转体体积、平 面曲线的弧长；变力做功；水压力；引力和平 均值等．
面积、体积、弧长的计算
微元法
曲边梯形求面积的问题
任一小区间 [ x , x x ]
y
f ( x)dx
y f ( x)
dA
面 积 元 素
，
A dA f ( x)dx
b
a
dA f ( x)dx
a
b
o a x x dx bx
此方法称为微元法
平面图形的面积问题
1）直角坐标系情形
2）极坐标系情形
(1)直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边图形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
例 1 计算由两条抛物线y x 和 y x 所围成的
1
1 dx 例 2 证明广义积分 1 p x 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散.
解:
1
b 1 1 dx lim p dx p b 1 x x
x lim b 1
1 p
1 p b 1 blim 1 p p 1
limarctanx limarctanx
a 0 a b
b 0
例4
证明广义积分 a e px dx 当 p 0 时收敛，
当 p 0 时发散.
解:
a
e
px
dx
lim e px dx
b a
b
1 b px lim( ) e d ( px) b p a
例1 计算广义积分 解:
b
2
1 1 cos dx. 2 x x
原 式 lim 2
b b
1 1 cos dx 2 x x
1 1 lim 2 cos d ( ) b x x 1 b lim[ sin ] 2 b x
1 lim(1 sin ) b b
b b
b a ， 若 lim f ( x )dx 存 在 ， 则 称 它 为 函 数 a
f ( x ) 在[a , ) 上的广义积分，记作a f ( x )dx .
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
b
b
当极限存在时，称广义积分收敛； 当极限不存在，称广义积分发散.
1 u2 ( ) 2 e du. 2 0 2
(s) x e dx, s 0
s 1 x 0
性质4
(s)的其他形式
2 2 s 1 u2 0
令x u , 有( s ) 2 u
e
du,
0
xe
t x2
dx
1 t 1 ( ) 2 2
3 2
y x3 6x
y x2
A 2 ( x 6 x x )dx 0 ( x x 6 x )dx
2 3 3
253 . 12 说明：适当时候要分区间
问题： 积分变量只能选 x 吗？
例 3
计算由曲线 y 2 2 x 和直线 y x 4 所围
成的图形的面积.
性质2 性质3
( s 1) s( s ) (n 1) n!
当s 0 时, ( s) 。
(s) x e dx, s 0
s 1 x 0
性质4
(s)的其他形式
2 2 s 1 u2
令x u , 有( s ) 2 u e du, 0 1 t 再令 2s 1 t , 或s , 则有 2 1 t 1 t u x2 x e dx u du 2 ( 2 ) 0
4.5 定积分的应用
主要内容
反常积分
面积、体积、弧长计算
在经济、社会科学中的应用
反常积分
1 求由y 2 , x轴及x 1所围成的 x
“无穷曲边梯形”面积
b 1
lim
b
dx 2 1 x
1
b
方法：
1）先求有限区间面积
2）取极限
一、广义积分定义
定义 设函数 f ( x ) 在区间[a , ) 上连续，取
y x4
b
1 , p1 ,
p1 p1
例3 计算广义积分 解:
0
dx . 2 1 x
dx dx 原式 2 1 x 0 1 x2 0 b dx dx lim lim 2 a a 1 x b 0 1 x 2